Baire uzayı (küme teorisi) - Baire space (set theory)

Gelen grubu teori , Baire alanı olan resim tüm sonsuz dizileri arasında doğal sayılar belirli ile topoloji . Bu alan, öğelerinin genellikle "gerçekler" olarak adlandırıldığı ölçüde, tanımlayıcı küme teorisinde yaygın olarak kullanılır . Bu ifade edilir , N , N , ω sembolü ile, ω ya da ω ω ile elde sayılabilir sıralı ile karıştırılmamalıdır sıra üs .

Baire alanı olarak tanımlanır Kartezyen ürün arasında sayılabilir sonsuz doğal sayılar kümesinin birçok kopya ve verilen ürün topolojisi (doğal sayılar kümesinin her bir kopyası verilir ayrık topoloji ). Baire uzayı genellikle doğal sayıların sonlu dizilerinin ağacı kullanılarak temsil edilir .

Baire uzayı, ikili basamakların sonsuz dizileri kümesi olan Cantor uzayı ile karşılaştırılabilir .

Topoloji ve ağaçlar

Ürün topolojisi Baire alan tanımlamak için kullanılan ağaç açısından daha somut olarak tarif edilebilir. Temel açık kümeler ürün topolojisi olan silindir setleri burada olarak karakterize:

Doğal sayı koordinat sonlu grubu I = Eğer { I } seçilir ve her biri için ı , belirli bir doğal sayı değeri v ı değeri olan doğal sayılar her sonsuz olan dizilerin kümesi seçilmektedir v i pozisyonda I a, temel açık küme. Her açık küme, bunların bir koleksiyonunun sayılabilir bir birleşimidir.

Daha resmi gösterim kullanarak, tek tek silindirler şu şekilde tanımlanabilir:

sabit bir tamsayı konumu n ve tamsayı değeri v için . Silindirler daha sonra silindir setlerinin jeneratörleridir: silindir setleri o zaman sonlu sayıda silindirin tüm kesişimlerinden oluşur. Yani, herhangi bir sonlu doğal sayı koordinatları kümesi ve her biri için karşılık gelen doğal sayı değerleri verildiğinde, silindirlerin kesişimi dikkate alınır.

Bu kesişime silindir seti denir ve bu tür tüm silindir setlerinin seti, ürün topolojisi için bir temel sağlar . Her açık küme, bu tür silindir kümelerinin sayılabilir bir birleşimidir.

Aynı topoloji için farklı bir temele geçilerek, açık kümelerin alternatif bir karakterizasyonu elde edilebilir:

{Doğal bir sayı dizisi ise ağırlık ı  : ı < n } seçilir, değerine sahip doğal sayılar her sonsuz olan dizilerin grubu W i konumunda ı tüm i < N olan, temel bir açık grubu. Her açık küme, bunların bir koleksiyonunun sayılabilir bir birleşimidir.

Böylece Baire uzayında temel bir açık küme, ortak bir sonlu başlangıç ​​parçası τ'yı genişleten tüm sonsuz doğal sayı dizilerinin kümesidir . Ω tam ağacın içinden geçen tüm sonsuz yolları kümesi olarak Baire alanı temsil Bu potansiyel müşteriler uzantısı tarafından sipariş edilen doğal sayılar sonlu dizilerin. Her sonlu başlangıç ​​parçası, sonlu diziler ağacının bir düğümüdür . Her açık küme, o ağacın düğümlerinin (muhtemelen sonsuz) birleşimiyle belirlenir. Baire uzayındaki bir nokta, ancak ve ancak yolu, belirleyici birleşimindeki düğümlerden birinden geçiyorsa açık kümededir.

Baire uzayının bir ağaçtan geçen yollar olarak temsili ayrıca kapalı kümelerin bir karakterizasyonunu verir. Baire uzayındaki her nokta bir dizi ω düğümünden geçer . Kapalı kümeler, açık kümelerin tamamlayıcılarıdır. Her kapalı küme, tamamlayıcı açık kümesini tanımlayan herhangi bir düğümden geçmeyen tüm Baire dizilerinden oluşur. Herhangi bir kapalı alt-kümesi için C Baire alan bir alt ağaç olduğu T bir ω herhangi bir noktada bu şekilde X olan C , ancak ve ancak X ile yol T : alt ağaç T elemanlarının tüm başlangıç parçadan oluşur C . Tersine, ω öğesinin herhangi bir alt ağacından geçen yol kümesi kapalı bir kümedir .

Kartezyen ürünler ayrıca alternatif bir topolojiye, kutu topolojisine sahiptir . Bu topoloji, gösterge setini sonlu olarak sınırlamadığından, ürün topolojisinden çok daha incedir. Geleneksel olarak, Baire uzayı bu topolojiye atıfta bulunmaz; sadece ürün topolojisine atıfta bulunur.

Özellikler

Baire uzayı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

  1. Bu mükemmel bir Polonya uzayıdır , yani izole noktaları olmayan tamamen metriklenebilir ikinci sayılabilir uzaydır . Bu haliyle, gerçek çizgi ile aynı kardinaliteye sahiptir ve terimin topolojik anlamında bir Baire uzayıdır .
  2. Öyle sıfır boyutlu ve tamamen kesildi .
  3. Yerel olarak kompakt değildir .
  4. Polonya uzayları için, boş olmayan herhangi bir Polonya uzayına sürekli olarak haritalanabilmesi anlamında evrenseldir . Üstelik, herhangi bir Polonya alanı vardır Dense'i G δ alt uzay homeomorphic için, bir G δ alt uzay Baire alanı.
  5. Baire uzayı, kendisinin herhangi bir sonlu veya sayılabilir sayıdaki kopyasının ürününe homeomorfiktir.
  6. Öyle otomorfizm grubu , bir sayılabilir sonsuz doymuş modeli bazı tam Teorinin .

Gerçek çizgiyle ilişkisi

Baire uzayı, gerçek hattan miras alınan alt uzay topolojisi verildiğinde, irrasyonel sayılar kümesine homeomorfiktir . Devamlı kesirler kullanılarak Baire uzayı ile irrasyoneller arasında bir homeomorfizma oluşturulabilir . Yani, bir dizi verildiğinde , karşılık gelen 1'den büyük bir irrasyonel sayı atayabiliriz.

Kullanarak açık birim aralığındaki irrasyonellerden başka bir homeomorfizm elde ederiz ve aynısını negatif irrasyoneller için de yapabiliriz. İrrasyonellerin, Baire uzayına homeomorfik olan ve dolayısıyla Baire uzayına da homeomorfik olan dört uzayın topolojik toplamı olduğunu görüyoruz.

Bakış açısından açıklayıcı küme teorisinin , gerçeği gerçek hat bağlı olduğu teknik sorunlar neden olur. Bu nedenle Baire uzayını incelemek daha yaygındır. Her Polonya uzayı Baire uzayının sürekli görüntüsü olduğu için, bu özelliklerin Baire uzayı için geçerli olduğunu ve sürekli fonksiyonlar tarafından korunduğunu göstererek keyfi Polonya uzayları hakkında sonuçları kanıtlamak çoğu zaman mümkündür .

ω ω aynı zamanda, tekdüze bir uzay olarak kabul edildiği gerçek analizde bağımsızdır, ancak önemsizdir . Ω üniform yapıları ω ve Ir ω: (irrasyonel), ancak farklı ω olan tam ise olağan metrik ir değildir (bu alanlar homeomorphic olmasına rağmen).

vardiya operatörü

Vites değiştirme operatörü Baire alanı, eşlenmiş zaman birimi aralığı arasında Reals olur, Gauss-Kuzmin'den-Wirsing operatör . Yani, bir dizi verildiğinde , T kaydırma operatörü döner . Aynı şekilde, devam eden kesir verildiğinde Gauss haritası döner . Baire uzayından karmaşık düzleme fonksiyonlar için karşılık gelen operatör Gauss–Kuzmin–Wirsing operatörüdür ; öyle transferi operatörü Gauss haritasının. Yani, Baire uzayından karmaşık düzleme kadar olan haritalar düşünülür . Bu haritalar alanı, Baire uzayındaki ürün topolojisinden bir topoloji devralır; örneğin, tek tip yakınsamaya sahip fonksiyonlar düşünülebilir . Bu fonksiyon uzayına etki eden kaydırma haritası, o zaman GKW operatörüdür.

Haar ölçüsü olan kaydırma operatörünün, vardiya altında değişmeyen bir fonksiyonu ile verilmektedir Minkowsky ölçüsü . Yani, T'nin kayma ve E'nin ω ω'nin herhangi bir ölçülebilir alt kümesi olduğu yerde şu vardır .

Ayrıca bakınız

Referanslar


  • Kechris, Alexander S. (1994). Klasik Tanımlayıcı Küme Teorisi . Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-94374-9.
  • Moschovakis, Yiannis N. (1980). Tanımlayıcı Küme Teorisi . Kuzey Hollanda. ISBN'si 0-444-70199-0.