Kapalı grafik teoremi - Closed graph theorem

Kübik fonksiyonun aralıktaki grafiği , fonksiyon sürekli olduğu için kapalıdır . Grafiği Heaviside fonksiyonu ile ilgili fonksiyon sürekli değildir, çünkü kapalı değildir.${\görüntüleme stili f(x)=x^{3}-9x}$${\görüntüleme stili [-4,4]}$${\görüntüleme stili [-2,2]}$

Gelen matematik , kapalı grafik teoremi karakterize birçok temel sonuçların birini de belirtebilir sürekli fonksiyonları kendi açısından grafikler . Her biri, kapalı grafiklere sahip fonksiyonların zorunlu olarak sürekli olduğu koşulları verir .

Kapalı grafiklere sahip grafikler ve haritalar

Eğer arasında bir haritasıdır topolojik alanlar daha sonra grafik bir dizi eşit ya da ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle \operatöradı {Gr} f:=\{(x,f(x)):x\in X\}}$

$${\displaystyle \operatöradı {Gr} f:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}}$$

grafiği kapalı${\görüntüleme stili f}$

). ${\displaystyle \operatöradı {Gr} f}$${\görüntüleme stili X\kez Y}$

Bir Hausdorff uzayına giren herhangi bir sürekli fonksiyonun kapalı bir grafiği vardır.

Topolojileri çeviri değişmez metriklerine göre (Cauchy) tamamlanmış olan iki topolojik vektör uzayı arasındaki herhangi bir doğrusal harita ve eğer ek olarak (1a) ürün topolojisi anlamında sıralı olarak sürekli ise, o zaman harita süreklidir ve grafiği,

, mutlaka kapalıdır. Tersine, (1a) yerine sahip bu tür bir doğrusal harita, bir, grafiği Kartezyen ürün boşlukta kapalı olduğu bilinen (1b) 'dir , daha sonra sürekli ve bu nedenle mutlaka sıralı süreklidir. ${\ Displaystyle L:X\'den Y'ye,}$${\görüntüleme stili L}$${\görüntüleme stili L}$${\görüntüleme stili L}$${\görüntüleme stili L}$${\görüntüleme stili X\kez Y}$${\görüntüleme stili L}$

Olan sürekli haritaları örnekleri değil kapalı

Herhangi bir uzay ise , o zaman kimlik haritası süreklidir, ancak köşegen olan grafiği, ancak ve ancak Hausdorff ise kapalıdır . Özellikle, Hausdorff değilse , süreklidir ancak kapalı

. ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \operatör adı {Id} :X\to X}$${\displaystyle \operatöradı {Gr} \operatöradı {Id} :=\{(x,x):x\in X\},}$${\görüntüleme stili X\kez X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \operatör adı {Id} :X\to X}$

Let anlamında olabildikleri gerçek sayılar olağan ile

. ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili Y}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili f(0)=1}$${\görüntüleme stili f(x)=0}$${\displaystyle x\neq 0}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili X\kez Y}$

Nokta küme topolojisinde kapalı grafik teoremi

Olarak nokta grubu topolojisi , kapalı grafik teoremi aşağıdakileri ifade etmektedir:

Kapalı grafik teoremi  -  Eğer bir bir haritasıdır topolojik uzay bir içine kompakt Hausdorff uzay sonra grafiği ancak ve ancak kapalıdır olduğunu sürekli . ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y,}$${\görüntüleme stili f}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$

Set değerli fonksiyonlar için

Grubu değerli fonksiyonlar için kapalı grafik teoremi  -  bir For Hausdorff kompakt aralık alanı , bir set-değerli fonksiyonu olduğunu, ancak ve ancak bir kapalı grafik sahip üst hemicontinuous ve F ( x ) her bir kapalı bir set edilir . ${\görüntüleme stili Y}$${\displaystyle F:X\to 2^{Y}}$${\görüntüleme stili x\in X}$

Fonksiyonel analizde

Ana madde: Kapalı çizge teoremi (fonksiyonel analiz)

Eğer arasında lineer bir operatördür

eğer grafik kapalıdır zaman ürün topolojisi ile donatılmıştır. ${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili X\kez Y}$${\görüntüleme stili X\kez Y}$

Kapalı grafik teoremi, belirli koşullar altında kapalı bir doğrusal operatörün sürekli olduğunu garanti eden fonksiyonel analizde önemli bir sonuçtur. Orijinal sonuç birçok kez genelleştirildi. Kapalı grafik teoremlerinin iyi bilinen bir versiyonu aşağıdaki gibidir.

Teorem  —  İki F-uzayı (örneğin Banach uzayları ) arasındaki doğrusal bir harita , ancak ve ancak grafiği kapalıysa süreklidir.

Ayrıca bakınız

• Neredeyse açık doğrusal harita
• Banach uzayı  – Tam normlu vektör uzayı
• Namlulu uzay  – Banach–Steinhaus teoreminin tutması için minimuma yakın gereksinimleri olan bir topolojik vektör uzayı.
• Kapalı grafik  – Ürün alanında kapalı bir haritanın

Notlar

Referanslar

bibliyografya

• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur, vectoriels topologiques'den kaçınır [ Topolojik Vektör Uzayları: Chapters 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de matematik . 2 . Eggleston, HG tarafından tercüme edilmiştir; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Folland, Gerald B. (1984), Gerçek Analiz: Modern Teknikler ve Uygulamaları (1. baskı), John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-80958-6
• Jarchow, Hans (1981). Yerel dışbükey uzaylar . Stuttgart: BG Teubner. ISBN'si 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topolojik Vektör Uzayları I . Grundlehren der matematikçi Wissenschaften. 159 . Garling, DJH New York tarafından çevrildi: Springer Science & Business Media. ISBN'si 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• Munkres, James R. (2000). Topoloji (İkinci baskı). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN'si 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Rudin, Walter (1991). Fonksiyonel Analiz . Saf ve Uygulamalı Matematikte Uluslararası Seriler. 8 (İkinci baskı). New York, NY: McGraw-Hill Bilim/Mühendislik/Matematik . ISBN'si 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Wilansky, Albert (2013). Topolojik Vektör Uzaylarında Modern Yöntemler . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .
• Zălinescu, Constantin (30 Temmuz 2002). Genel Vektör Uzaylarında Konveks Analizi . River Edge, NJ Londra: Dünya Bilimsel Yayıncılık . ISBN'si 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 – İnternet Arşivi aracılığıyla .
• "Kapalı grafik teoreminin kanıtı" . GezegenMath .