F alanı - F-space

Olarak fonksiyonel analiz , bir F alanı a, vektör uzayı V üzerinde gerçek veya karmaşık bir birlikte sayıları metrik d  : V x V → ℝ böylece

1. Skaler çarpım V olan sürekli göre d ve ℝ veya ℂ standart metrik.
2. İçinde Eklenen V ile ilgili olarak sürekli , d .
3. Metrik, çeviri değişmezdir ; yani, D ( x + bir , y + a ) = D ( x , y ), tüm X , y ve bir de V .
4. Metrik uzay ( V , d ) olan tam .

x işlemi || x || := d(0, x ) bir F-norm olarak adlandırılır , ancak genel olarak bir F-normunun homojen olması gerekli değildir. Çeviri değişmezliği ile, metrik F-normundan kurtarılabilir. Böylece, gerçek veya karmaşık bir F-uzayı, tam bir F-normu ile donatılmış bir gerçek veya karmaşık vektör uzayıdır.

Bazı yazarlar F- uzayı yerine Fréchet uzayı terimini kullanır , ancak genellikle "Fréchet uzayı" terimi yerel dışbükey F-uzayları için ayrılmıştır . Diğer bazı yazarlar, "F-uzayı" terimini, yerel dışbükey tam metrikleştirilebilir topolojik vektör uzayı anlamına gelen "Fréchet uzayı" ile eşanlamlı olarak kullanırlar . Metrik, bir F uzayındaki yapının parçası olabilir veya olmayabilir; birçok yazar, yalnızca böyle bir alanın yukarıdaki özellikleri karşılayacak şekilde ölçülebilir olmasını ister.

Örnekler

Tüm Banach uzayları ve Fréchet uzayları F uzaylarıdır. Özellikle, bir Banach uzayı, d ( αx , 0) = |α|⋅ d ( x , 0) için ek bir gereklilik olan bir F uzayıdır .

L ^p alanlarda , tüm için F-boşluklar içine yapılabilir p ≥ 0 ve için 1 ≥ p yerel olarak dışbükey ve bu nedenle Frechet alanlara ve Banach boşluklar içine yapılabilir.

örnek 1

${\displaystyle \scriptstyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$bir F uzayıdır. Sürekli seminormları ve sürekli lineer fonksiyonelleri kabul etmez - önemsiz ikili uzaya sahiptir .

Örnek 2

Tüm karmaşık değerli Taylor serilerinin uzayı olsun${\displaystyle \scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$

birim diskinde öyle ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|^{p}<\infty }$

o zaman ( 0 < p < 1 için ) p-norm altındaki F boşluklarıdır : ${\displaystyle \scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )}$

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}|a_{n}|^{p}\qquad (0<p<1)}$

Aslında, bir yarı-Banach cebiridir . Ayrıca, harita ile herhangi biri için sınırlı bir doğrusaldır (çarpımsal işlevsel) . ${\displaystyle \scriptstyle W_{p}}$${\displaystyle \scriptstyle \zeta }$${\displaystyle \scriptstyle |\zeta |\;\leq \;1}$${\displaystyle \scriptstyle f\,\mapsto \,f(\zeta )}$${\displaystyle \scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )}$

Yeterli koşullar

İlgili özellikler

• Grafiği kapalı olan bir F-uzayına doğrusal neredeyse sürekli bir harita süreklidir.
• Grafiği kapalı olan bir F-uzayına doğrusal neredeyse açık bir harita, zorunlu olarak açık bir haritadır .
• Bir F-uzayından alınan doğrusal sürekli neredeyse açık bir harita, zorunlu olarak açık bir haritadır .
• Görüntüsü kod alanında ikinci kategoride olan bir F-uzayından doğrusal sürekli neredeyse açık bir harita zorunlu olarak bir örtülü açık haritadır .

Ayrıca bakınız

• Banach uzayı  – Tam olan normlu vektör uzayı
• Tam metrik uzay  – Metrik geometri
• Komple topolojik vektör uzayı  – Birbirine kademeli olarak yaklaşan noktaların her zaman bir noktaya yakınsadığı bir TVS
• Fréchet uzayı  – Aynı zamanda tam bir metrik uzay olan bir yerel dışbükey topolojik vektör uzayı
• Hilbert uzayı  – Öklid uzayının sonsuz boyutlara izin veren genelleştirilmesi
• K-uzayı (fonksiyonel analiz)
• Ölçülebilir topolojik vektör uzayı  – Topolojisi bir metrik ile tanımlanabilen bir topolojik vektör uzayı
• namlulu alan
• Sayılabilir yarı namlulu alan
• DF alanı
• LB-uzay
• LF-alanı
• nükleer uzay
• Projektif tensör ürünü

Referanslar

• Hüseyin, Takdir (1978). Topolojik ve sıralı vektör uzaylarında namlululuk . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN'si 3-540-09096-7. OCLC  4493665 .
• Khaleelulla, SM (1982). Topolojik Vektör Uzaylarında Karşı Örnekler . Matematik Ders Notları . 936 . Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Rudin, Walter (1966), Gerçek ve Karmaşık Analiz , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .