Urelement - Urelement
Gelen grubu teori , bir dalı matematik bir urelement veya urelement (dan Alman öneki ur-'tır , 'ilkel'), bir olmayan bir amacı grubu , ama bu olabilir eleman , bir dizi. Aynı zamanda bir atom veya birey olarak da adlandırılır .
Teori
Birinci dereceden bir teoride urelementleri tedavi etmenin birkaç farklı ama esasen eşdeğer yolu vardır .
Bir yol, birinci dereceden teoride iki tür, küme ve urelement ile çalışmaktır; a ∈ b yalnızca b bir küme olduğunda tanımlanır . Bu durumda, eğer U bir dürtü ise, tamamen meşru olmasına rağmen , bunu söylemenin bir anlamı yoktur .
Diğer bir yol, kümeleri ve düzenekleri ayırt etmek için kullanılan tekil bir ilişki ile tek sıralı bir teoride çalışmaktır. Boş olmayan kümeler üyeler içerdiğinden, urelementler içermediğinden, tekli ilişki yalnızca boş kümeyi urelementlerden ayırmak için gereklidir. Bu durumda, uzantı aksiyomunun, yalnızca temel olmayan nesnelere uygulanacak şekilde formüle edilmesi gerektiğine dikkat edin.
Bu durum, setler ve sınıflar teorilerinin ele alınmasına benzer . Aslında, urelementler bir bakıma uygun sınıfların ikilidir: urelementlerin üyeleri olamazken, uygun sınıflar üye olamaz. Farklı bir şekilde ifade edersek, urelementler minimal nesnelerdir, uygun sınıflar üyelik ilişkisine göre maksimal nesnelerdir (ki bu tabii ki bir düzen ilişkisi değildir, bu yüzden bu benzetme kelimenin tam anlamıyla alınmamalıdır).
Küme teorisindeki dürtüler
Zermelo teorisini set şimdi (yani ZFA ZFA veya ZFCA dediğimiz bir versiyon 1908 dahil urelements arasında ve dolayısıyla bir seçim belitinin ). Kısa süre sonra, bu ve yakından ilişkili aksiyomatik küme teorileri bağlamında , zorunluluklar olmadan bir küme teorisinde kolayca modellenebilecekleri için ihtiyaçların gerekli olmadığı anlaşıldı. Böylece, kanonik standart sergileri aksiyomatik seti teorileri ZF ve ZFC urelements söz etmeyin. (Bir istisna için, bkz. Suppes.) Küme teorisinin aksiyomatizasyonları , urelementlerle Kripke-Platek küme teorisini ve Mendelson tarafından tanımlanan Von Neumann-Bernays-Gödel küme teorisinin varyantını içerir . Gelen tipi teori , tip 0 bir amacı, bir urelement adlandırılabilir; dolayısıyla "atom" adı.
NFU üretmek için New Foundations (NF) sistemine urelement eklemenin şaşırtıcı sonuçları vardır. Özellikle, Jensen , NFU'nun Peano aritmetiğine göre tutarlılığını kanıtladı ; Bu arada, NF'nin herhangi bir şeye göre tutarlılığı, Holmes'un ZF'ye göre tutarlılığının kanıtının doğrulanmasını bekleyen açık bir sorun olmaya devam ediyor. Üstelik NFU kalır nispeten tutarlı bir artar zaman sonsuzluk aksiyomu ve seçim belitinin . Bu arada, seçim aksiyomunun olumsuzlanması, merakla, bir NF teoremidir. Holmes (1998), bu gerçekleri NFU'nun matematik için NF'den daha başarılı bir temel olduğunun kanıtı olarak alır. Holmes ayrıca, herhangi bir teorinin veya fiziksel evrenin nesnelerini itici güç olarak kabul edebileceğimiz için, küme teorisinin zorlamalardan daha doğal olduğunu savunur . Gelen finitist grubu teorisi , urelements gibi atomik fiziksel bir nesne bileşenlerinden ya da örgüt üyesi olarak hedef olgusunun düşük seviyeli bileşen, eşleştirilir.
Kuin atomları
Urelementlere alternatif bir yaklaşım, onları kümeler dışında bir nesne türü olarak değil, belirli bir küme türü olarak düşünmektir. Quine atomları ( Willard Van Orman Quine adını almıştır ) yalnızca kendilerini içeren kümelerdir, yani x = { x } formülünü sağlayan kümelerdir .
Quine atomları, düzenlilik aksiyomunu içeren küme teorisi sistemlerinde var olamazlar , ancak temeli olmayan küme teorisinde var olabilirler . Düzenlilik aksiyomu kaldırılan ZF küme teorisi, herhangi bir sağlam temeli olmayan kümenin var olduğunu kanıtlayamaz (tutarsız olmadığı sürece, bu durumda herhangi bir rasgele ifade olacaktır ), ancak Quine atomlarının varlığıyla uyumludur. Aczel'in anti-temel aksiyomu , benzersiz bir Quine atomu olduğunu ima eder. Diğer sağlam temeli olmayan teoriler birçok farklı Quine atomunu kabul edebilir; spektrumun diğer ucunda Boffa'nın süper evrensellik aksiyomu yatar , bu da farklı Quine atomlarının uygun bir sınıf oluşturduğuna işaret eder .
Quine atomları, Quine's New Foundations'da da görünür ve bu, birden fazla böyle kümenin var olmasına izin verir.
Quine atomları, Peter Aczel tarafından refleksif kümeler olarak adlandırılan tek kümelerdir , ancak diğer yazarlar, örneğin Jon Barwise ve Lawrence Moss, x ∈ x özelliğine sahip daha büyük kümeler sınıfını belirtmek için ikinci terimi kullanır .