Aksiyomatik sistem - Axiomatic system

Gelen matematik ve mantık , bir aksiyomlaştırılması herhangi bir grubu bir aksiyomlardan bazı veya tüm aksiyonları için birlikte kullanılabilen başka mantıksal türet teoremi . Bir teori , genellikle bir aksiyomatik sistem ve onun tüm türetilmiş teoremlerini içeren, tutarlı , nispeten bağımsız bir bilgi bütünüdür. Tamamen tanımlanmış bir aksiyomatik sistem, özel bir biçimsel sistem türüdür . Resmi bir teori, mantıksal çıkarım altında kapalı bir dizi cümleyi tanımlayan aksiyomatik bir sistemdir (genellikle model teorisi içinde formüle edilir ). Bir resmi kanıtı bir tam yorumuyla matematiksel ispat resmi sistem içinde.

Özellikler

Bir aksiyomatik sistem olduğu söylenir tutarlı o sahip değilse çelişki . Yani sistemin aksiyomlarından hem bir önermeyi hem de onun olumsuzluğunu türetmek imkansızdır. Tutarlılık, çoğu aksiyomatik sistem için kilit bir gerekliliktir, çünkü çelişkinin varlığı herhangi bir ifadenin kanıtlanmasına izin verir ( patlama ilkesi ).

Bir aksiyomatik sistemde, sistemdeki diğer aksiyomlardan türetilebilen bir teorem değilse , bir aksiyoma bağımsız denir . Altta yatan aksiyomların her biri bağımsızsa, bir sistem bağımsız olarak adlandırılır. Tutarlılığın aksine, bağımsızlık, işleyen bir aksiyomatik sistem için gerekli bir gereklilik değildir - genellikle sistemdeki aksiyomların sayısını en aza indirmek için aranır.

Bir aksiyomatik sistemi denir komple her ifadesi için, ya kendisi ya da yadsınması sistemin aksiyomlardan türeyebililirler ise (eşit biçimde, her deyimi doğru veya yanlış kanıtlanmış olma yeteneğine sahip).

göreli tutarlılık

Tutarlılığın ötesinde, göreli tutarlılık aynı zamanda değerli bir aksiyom sisteminin işaretidir. Bu, bir birinci aksiyom sisteminin tanımsız terimlerinin bir saniyeden itibaren tanımlarının sağlandığı, öyle ki birincinin aksiyomlarının ikincinin teoremleri olduğu senaryoyu açıklar.

İyi bir örnek, gerçek sayı sistemi teorisine göre mutlak geometrinin göreli tutarlılığıdır . Doğrular ve noktalar , mutlak geometride tanımsız terimlerdir ( ilkel kavramlar olarak da adlandırılırlar ), ancak gerçek sayılar teorisinde her iki aksiyom sistemiyle tutarlı bir şekilde atanmış anlamlardır.

Modeller

Bir model, bir belitsel sistemi için iyi tanımlanmış bir dizi atar sisteminde tanımlanan ilişkilerle doğru bir şekilde, sistem içinde sunulan tanımlanmamış terimleri, yani. Somut bir modelin varlığı, bir sistemin tutarlılığını kanıtlar . Diğer aksiyomatik sistemlere dayanan soyut bir modelin aksine, atanan anlamlar gerçek dünyadan nesneler ve ilişkilerse bir modele somut denir .

Modeller, sistemdeki bir aksiyomun bağımsızlığını göstermek için de kullanılabilir. Belirli bir aksiyomu olmayan bir alt sistem için geçerli bir model oluşturarak, doğruluğu mutlaka alt sistemden gelmiyorsa, ihmal edilen aksiyomun bağımsız olduğunu gösteriyoruz.

Öğeleri arasında, ilişkilerini koruyacak şekilde bire bir yazışmalar bulunabilirse , iki modelin izomorfik olduğu söylenir . Her modelin diğerine eşbiçimli olduğu bir aksiyomatik sisteme kategorik (bazen kategorik ) denir . Categoriality (categoricity) malı tersi doğru değildir, ancak, bir sistemin bütünlük sağlar: iki model tarafından ifade edilemez özellikleri açısından farklılık çünkü Bütünlük, bir sistemin categoriality (categoricity) temin etmez semantik arasında sistem.

Örnek

Örnek olarak, aşağıdaki sayılabilir sonsuz sayıda aksiyomun ek semantiği ile birinci dereceden mantığa dayanan aşağıdaki aksiyomatik sistemi gözlemleyin (bunlar bir aksiyom şeması olarak kolayca resmileştirilebilir ):

(gayri resmi olarak, iki farklı öğe vardır).
(gayri resmi olarak, üç farklı öğe vardır).

Gayri resmi olarak, bu sonsuz aksiyom seti, sonsuz sayıda farklı öğe olduğunu belirtir. Bununla birlikte, sonsuz bir küme kavramı, böyle bir kümenin kardinalitesi şöyle dursun, sistem içinde tanımlanamaz .

Sistemin en az iki farklı modeli vardır - biri doğal sayılardır (diğer herhangi bir sayılabilir sonsuz kümeye izomorfik), diğeri ise gerçek sayılardır ( sürekliliğin kardinalitesine sahip herhangi bir başka kümeye izomorfiktir ). Aslında, sonsuz bir kümenin her bir kardinalitesi için bir tane olmak üzere sonsuz sayıda modeli vardır. Ancak, bu modelleri ayıran özellik, sistem içinde tanımlanamayan bir özellik olan kardinaliteleridir. Bu nedenle sistem kategorik değildir. Ancak tam olduğu gösterilebilir.

aksiyomatik yöntem

Tanımları ve önermeleri, her yeni terimin daha önce tanıtılan terimler tarafından biçimsel olarak ortadan kaldırılabileceği şekilde ifade etmek, sonsuz gerilemeyi önlemek için ilkel kavramlara (aksiyomlara) ihtiyaç duyar . Bu matematik yapma yöntemine aksiyomatik yöntem denir .

Aksiyomatik yönteme karşı ortak bir tutum mantıktır . Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell , Principia Mathematica adlı kitaplarında , tüm matematiksel teorilerin bir takım aksiyomlara indirgenebileceğini göstermeye çalıştılar. Daha genel olarak, bir önermeler bütününün belirli bir aksiyomlar koleksiyonuna indirgenmesi, matematikçinin araştırma programının temelini oluşturur. Bu, yirminci yüzyılın matematiğinde, özellikle homolojik cebir temelli konularda çok belirgindi .

Bir teoride kullanılan belirli aksiyomların açıklanması, matematikçinin çalışmak isteyeceği uygun bir soyutlama düzeyini netleştirmeye yardımcı olabilir. Örneğin, matematikçiler , Emmy Noether'in orijinal formülasyonundan farklı olarak, halkaların değişmeli olması gerekmediğini seçtiler . Matematikçiler dikkate karar topolojik boşluk olmadan daha genel olarak ayırma aksiyomu Felix Hausdorff başlangıçta formüle edilebilir.

Zermelo-Fraenkel aksiyonları , belitsel yöntemin sonucu, kümelere uygulanan grubu teorisi sorunları "doğru" bir formülasyon ve yardımcı avoid paradokslarının izin saf grubu teorisi . Böyle bir sorun, süreklilik hipoteziydi . Zermelo–Fraenkel küme teorisi, tarihsel olarak tartışmalı seçim aksiyomunu da içererek , genellikle ZFC olarak kısaltılır ve burada "C" "seçim" anlamına gelir. Birçok yazar kullanmak ZF dışlanan Seçim aksiyomu ile Zermelo-Fraenkel küme kuramı aksiyomlarından başvurmak için. Bugün ZFC, aksiyomatik küme teorisinin standart biçimidir ve bu nedenle matematiğin en yaygın temelidir .

Tarih

Görünüşe göre aksiyomatik yöntem kullanılmadan, eski Mısır, Babil, Hindistan ve Çin'de matematiksel yöntemler bir dereceye kadar gelişmiştir.

Euclid ait Alexandria en erken kaybolmamış aksiyomatik sunum kaleme Öklid geometrisi ve sayılar teorisi . Birçok aksiyomatik sistemler de dahil olmak üzere, on dokuzuncu yüzyılda geliştirilmiştir Öklid dışı geometri , temelleri gerçek analizi , Cantor 'ın küme teorisi , Frege ' temelleri üzerine un eserleri ve Hilbert bir araştırma aracı olarak aksiyomatik yöntemin 's 'yeni' kullanım . Örneğin, grup teorisi ilk kez o yüzyılın sonlarına doğru aksiyomatik bir temele oturtulmuştur. Aksiyomlar açıklığa kavuşturulduktan sonra ( örneğin, ters elemanların gerekli olması gerektiği), konu , bu çalışmaların dönüşüm grubu kökenlerine atıfta bulunmadan bağımsız olarak ilerleyebilir .

Sorunlar

Her tutarlı önerme bütünü, betimlenebilir bir aksiyomlar topluluğu tarafından yakalanamaz. Özyineleme teorisinde, bir bilgisayar programı dilde verilen bir önermenin bir teorem olup olmadığını anlayabiliyorsa , bir aksiyom koleksiyonuna özyinelemeli denir . Gödel'in ilk eksiklik teoremi daha sonra bize, özyinelemeli aksiyomatizasyon olmadan belirli tutarlı önermeler olduğunu söyler. Tipik olarak, bilgisayar teoremleri türetmek için aksiyomları ve mantıksal kuralları tanıyabilir ve bilgisayar bir ispatın geçerli olup olmadığını anlayabilir, ancak bir ifade için bir ispatın var olup olmadığını belirlemek, sadece ispatın veya ispatın çürütülmesini "bekleyerek" çözülebilir. oluşturuldu. Sonuç olarak, hangi önermelerin teorem olduğu bilinmez ve aksiyomatik yöntem bozulur. Böyle bir önermeler bütününe bir örnek , Peano aksiyomları (aşağıda açıklanmıştır) tarafından yalnızca kısmen aksiyomlaştırılan doğal sayılar teorisidir .

Uygulamada, her kanıt aksiyomlara kadar takip edilmez. Bazen, bir ispatın hangi aksiyom koleksiyonuna hitap ettiği bile net değildir. Örneğin, bir sayı-teorik ifade aritmetik dilinde (yani Peano aksiyomlarının dilinde) ifade edilebilir ve topolojiye veya karmaşık analize hitap eden bir ispat verilebilir . Kendisini yalnızca Peano aksiyomlarından türeyen başka bir kanıtın bulunup bulunamayacağı hemen belli olmayabilir.

Az ya da çok keyfi olarak seçilen herhangi bir aksiyom sistemi, bazı matematiksel teorilerin temelidir, ancak böyle bir keyfi aksiyomatik sistem mutlaka çelişkilerden arınmış olmayacaktır ve öyle olsa bile, herhangi bir şeye ışık tutması olası değildir. Matematik filozofları bazen matematikçilerin aksiyomları "keyfi olarak" seçtiklerini iddia ederler, ancak yalnızca tümdengelimli mantığın kanonları açısından bakıldığında keyfi görünseler de, bu görünümün tümdengelimli amaçlardaki bir sınırlamadan kaynaklanması mümkündür. mantık hizmet eder.

Örnek: Doğal sayıların Peano aksiyomizasyonu

0, 1, 2, 3, 4, ... doğal sayıların matematiksel sistemi, ilk olarak matematikçi Giuseppe Peano tarafından 1889'da tasarlanan bir aksiyomatik sisteme dayanmaktadır. Aksiyomları, tek bir tekli fonksiyon sembolü S dilinde seçti. (" ardıl " kısaltması ), doğal sayılar kümesi için:

  • 0 doğal sayısı vardır.
  • Her doğal sayı bir tarafından gösterilen bir ardıl sahiptir Sa .
  • Ardıl 0 olan doğal sayı yoktur.
  • Farklı doğal sayıların farklı ardılları vardır: eğer ab , o zaman SaSb .
  • Bir özelliğe 0 ve ayrıca sahip olduğu her doğal sayının halefi tarafından sahip olunuyorsa, o zaman tüm doğal sayılara (" Tümevarım aksiyomu ") sahiptir.

aksiyomizasyon

In matematik , aksiyomlaştırılması bilginin bir vücut alıp aksiyomlari doğru geri geri çalışma sürecidir. Bu tablolarda (yani bir sistemin bir formülasyondur aksiyonları bir sırayla - ilkel açısından bir dizi ilgili) tutarlı vücut önermeler türetilebilir tümdengelimli bu tablolardan. Bundan sonra, herhangi bir önermenin ispatı , prensipte, bu aksiyomlara kadar izlenebilir olmalıdır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma