Yeni Vakıflar - New Foundations

Olarak matematiksel mantık , yeni Temelleri ( NF ) bir olduğu belitsel grubu teorisi tarafından tasarlanan, Willard Van Orman Quine bir basitleştirme olarak türleri teorinin arasında Principia Mathematica . Quine, NF'yi ilk olarak 1937'de " Mathematical Logic için Yeni Temeller " başlıklı makalesinde önerdi ; dolayısıyla adı. Bu giriş kısmı ele nfu , önemli bir nedeni Jensen NF varyantı (1969) ve Holmes exposited (1998). 1940'ta ve 1951'de yapılan bir revizyonda Quine, bazen "Matematiksel Mantık" veya "ML" olarak adlandırılan ve uygun sınıfları ve aynı zamanda uygun sınıfları içeren bir NF uzantısını tanıttı .kümeler .

Yeni Temeller evrensel bir kümeye sahiptir , bu nedenle iyi temellendirilmemiş bir küme teorisidir . Yani, … x _n ∈ x _n-1 ∈ … ∈ x ₂ ∈ x ₁ gibi sonsuz azalan üyelik zincirlerine izin veren bir aksiyomatik küme teorisidir . Anlamanın aksiyom şemasını kullanarak yalnızca katmanlaştırılabilir formüllerin tanımlanmasına izin vererek Russell paradoksunu önler . Örneğin, x ∈ y katmanlanabilir bir formüldür, ancak x ∈ x değildir.

Tip teorisi TST

Tipler teorisinin basitleştirilmiş bir versiyonu olan Russellian dallanmamış tiplenmiş küme teorisinin (TST) ilkel yüklemleri eşitlik ( ) ve üyeliktir ( ). TST'nin doğrusal bir tür hiyerarşisi vardır: tip 0, aksi halde tanımlanmayan bireylerden oluşur. Her bir (meta) için doğal bir sayı , n , tip n + 1 nesneler tip kümeleridir N nesneler; n tipindeki kümeler, n -1 tipinde üyelere sahiptir . Kimlikle bağlanan nesneler aynı tipte olmalıdır. Aşağıdaki iki atomik formül, yazım kurallarını kısaca açıklar: ve . (Quinean küme teorisi, türleri belirtmek için bu tür üst simgelere olan ihtiyacı ortadan kaldırmaya çalışır.) ${\görüntüleme stili =}$${\görüntüleme stili \içinde }$ ${\displaystyle x^{n}=y^{n}\!}$${\displaystyle x^{n}\in y^{n+1}}$

TST'nin aksiyomları:

• Genişletme : aynı (pozitif) tipte aynı üyelere sahip kümeler eşittir;
• Bir anlama aksiyom şeması, yani:

Eğer  bir formül ise, o zaman küme mevcuttur.${\displaystyle \phi (x^{n})}$${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$

Herhangi bir formülü verilen diğer bir deyişle, formül bir aksiyomu kümesini temsil olup serbest olarak .${\displaystyle \phi (x^{n})\!}$${\displaystyle \var A^{n+1}\forall x^{n}[x^{n}\in A^{n+1}\leftrightarrow \phi (x^{n})]}$${\ Displaystyle A^{n+1}\!}$${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$${\displaystyle \phi (x^{n})}$

Bu tip teori, argümanları mutlaka aynı tipte olmak zorunda olmayan ilişki tiplerini içeren Principia Mathematica'da ilk kez ortaya konan teoriden çok daha az karmaşıktır . 1914'te Norbert Wiener , sıralı çiftin bir küme kümesi olarak nasıl kodlanacağını göstererek , burada açıklanan kümelerin doğrusal hiyerarşisi lehine ilişki türlerini ortadan kaldırmayı mümkün kıldı.

kine küme teorisi

Aksiyomlar ve tabakalaşma

New Foundations'ın (NF) iyi biçimlendirilmiş formülleri, TST'nin iyi biçimlendirilmiş formülleriyle aynıdır, ancak tür açıklamaları silinmiştir. NF'nin aksiyomları:

• Genişletilebilirlik : Aynı öğelere sahip iki nesne aynı nesnedir;
• Bir anlama şeması : Tüm TST Anlama örnekleri, ancak tür endeksleri düşürüldü (ve değişkenler arasında yeni tanımlamalar yapılmadan).

Konvansiyonel olarak, NF'nin Anlama şeması, tabakalı formül kavramı kullanılarak ve tiplere doğrudan atıfta bulunulmadan ifade edilir. Bir formül olduğu söylenen tabakalı bir mevcutsa fonksiyon f , doğal sayılar bu tür sözdizimi parçalarından herhangi atom altformül için bir elimizdeki f ( y ) = f ( x ,) + 1 herhangi bir atom altformül için ise arasında , elimizde f ( x ) = f ( y ) var. Anlama daha sonra olur: ${\görüntüleme stili\phi }$ ${\görüntüleme stili x\ y}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili x=y}$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$her tabakalı formül için mevcuttur .${\görüntüleme stili\phi }$

Tabakalaşma kavramında örtük olarak bulunan türlere dolaylı gönderme bile ortadan kaldırılabilir. Theodore Hailperin 1944 gösterdi anlama NF sonlu tip kavramına herhangi bir ilişkisi olmayan axiomatized edilebilir, böylece, örneklerinin sınırlı bir bağlantılı eşdeğerdir.

Anlama , saf küme teorisindekilere benzer problemlerle dolu görünebilir , ancak durum böyle değil. Örneğin, imkansız Russell sınıfının varlığı NF'nin bir aksiyomu değildir, çünkü tabakalaştırılamaz. ${\displaystyle \{x\mid x\değil \x\}}$${\displaystyle x\değil \x}$

sıralı çiftler

İlişkiler ve işlevler , TST'de (ve NF ve NFU'da) olağan şekilde sıralı çiftler kümeleri olarak tanımlanır . İlk olarak 1921'de Kuratowski tarafından önerilen sıralı çiftin olağan tanımı, NF ve ilgili teoriler için ciddi bir dezavantaja sahiptir: sonuçta elde edilen sıralı çift, argümanlarının türünden (sol ve sağ izdüşümleri ) zorunlu olarak daha yüksek bir türe sahiptir . Bu nedenle, tabakalaşmayı belirlemek amacıyla, bir fonksiyon, alanının üyelerinden üç tür daha yüksektir.

Eğer bir çift, tipi argümanlarıyla aynı tipte olacak şekilde tanımlanabiliyorsa ( tür düzeyinde sıralı bir çift ile sonuçlanır ), o zaman bir ilişki veya işlev, üyelerinin türünden yalnızca bir tür daha yüksektir. onun alanı. Bu nedenle, NF ve ilgili teoriler genellikle Quine'in sıralı ikilinin küme-teorik tanımını kullanır , bu da tip düzeyinde sıralı bir ikili verir . Holmes (1998) sıralı ikiliyi ve onun sol ve sağ izdüşümlerini ilkel olarak alır. Neyse ki, sıralı çiftin tanım gereği mi yoksa varsayımla (yani ilkel olarak alındığında) tür düzeyinde mi olduğu genellikle önemli değildir.

Tür düzeyinde sıralı bir çiftin varlığı Infinity anlamına gelir ve NFU + Infinity, NFU + "tür düzeyinde sıralı bir çift vardır" yorumunu yapar (bunlar tamamen aynı teori değildir, ancak farklılıklar önemsizdir). Tersine, NFU + Infinity + Choice , tür düzeyinde sıralı bir çiftin varlığını kanıtlar.

Kullanışlı büyük setlerin kabul edilebilirliği

NF (ve NFU + Infinity + Choice , aşağıda açıklanan ve tutarlı olduğu bilinen) , "çok büyük" oldukları için ZFC ve uygun uzantılarının izin vermediği iki tür kümenin oluşturulmasına izin verir (bazı küme teorileri bu varlıkları uygun sınıflar başlığı altında kabul eder). ):

• Evrensel kümesi V . Çünkü a, tabakalı bir formül , genel resim V = { x | x=x }, Anlama tarafından var olur . Hemen bir sonuç, tüm kümelerin tamamlayıcılarının olması ve NF altındaki tüm küme teorik evreninin bir Boole yapısına sahip olmasıdır.${\görüntüleme stili x=x}$
• Kardinal ve sıra sayıları . NF'de (ve TST), n elemanlıtüm kümelerin kümesi(burada dairesellik yalnızca görünürdür) mevcuttur. Dolayısıyla Frege NF ve NFU içinde kardinal sayılar eserlerin 'ın tanımı: Bir kardinal sayı olan denklik sınıfı altında setlerinin ilişkisi içinde equinumerosity : kümeleri A ve B bir mevcutsa equinumerous olan bijection aralarında, bu durumda biz yazma içinde. Aynı şekilde, bir sıra sayısı bir olan denklik sınıfı arasında iyi sıralı kümeler.${\ Displaystyle A\sim B}$

sonlu aksiyomatize edilebilirlik

Yeni Temeller sonlu olarak aksiyomlaştırılabilir .

kartezyen kapatma

Nesneleri NF kümeleri olan ve okları bu kümeler arasındaki fonksiyonlar olan kategori Kartezyen kapalı değildir ; Kartezyen kapatma, bir küme kategorisi için yararlı bir özellik olabilir. NF, Kartezyen kapanıştan yoksun olduğundan, sezgisel olarak beklendiği gibi her işlev kör olmaz ve NF bir topos değildir .

Tutarlılık sorunu ve ilgili kısmi sonuçlar

Uzun yıllar boyunca, NF ile ilgili göze çarpan sorun, aritmetiğin modellenebileceği herhangi bir iyi bilinen aksiyomatik sistemle göreceli olarak tutarlı olduğunun kesin olarak kanıtlanmamasıdır . NF disproves Seçim ve böylece kanıtlıyor Infinity (Specker, 1953). Ama aynı zamanda ( Jensen , 1969), urelements'e (üyeleri olmayan çok sayıda farklı nesne ) izin vermenin , Peano aritmetiğine göre tutarlı olan bir teori olan NFU'yu verdiği de bilinmektedir ; Sonsuzluk ve Seçim eklenirse, ortaya çıkan teori, sonsuzlu tip teorisi veya sınırlı Zermelo küme teorisi ile aynı tutarlılık gücüne sahiptir. (NFU, tip 0'ın yalnızca tek bir boş kümeye değil, öğelere sahip olduğu bir tip teorisi TSTU'ya karşılık gelir.) NF'nin nispeten tutarlı başka varyantları da vardır.

NFU, kabaca konuşursak, NF'den daha zayıftır çünkü NF'de evrenin güç seti evrenin kendisidir, NFU'da ise evrenin güç seti kesinlikle evrenden daha küçük olabilir (evrenin güç seti sadece kümeler, evren ise urelements içerebilir). Aslında, NFU+"Choice" da bu mutlaka böyledir.

Ernst Specker , NF'nin TST + Amb ile eşdeğer olduğunu göstermiştir; burada Amb , her tür indeksin birer birer yükseltilmesiyle elde edilen formül olmak üzere , herhangi bir formül için geçerli olan tipik belirsizliğin aksiyom şemasıdır . NF, aynı zamanda, türü birer birer yükselten, her bir türü bir sonraki daha yüksek türe eşleyen ve eşitlik ve üyelik ilişkilerini koruyan (ve Anlama örneklerinde kullanılamayan) bir "tür kaydırma otomorfizmi" ile güçlendirilmiş TST teorisi ile eşdeğerdir. : teorinin dışındadır). Aynı sonuçlar, karşılık gelen NF fragmanları ile ilgili olarak TST'nin çeşitli fragmanları için de geçerlidir. ${\displaystyle \phi \leftrightarrow \phi ^{+}}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili \fi ^{+}}$${\görüntüleme stili\phi }$

Jensen'in NFU'nun tutarlı olduğunu kanıtladığı aynı yıl (1969) , Grishin tutarlı olduğunu kanıtladı . NF'nin tam genişlemeli (üremesiz) parçasıdır ve sadece üç tip kullanılarak katmanlaştırılabilen Anlama örnekleridir . Bu teori, büyük ölçüde sıralı bir çift için açık bir tanım olmadığı için (bu garipliği hafifletmek için girişimlerde bulunulmasına rağmen) matematik için çok garip bir ortamdır . Bu beceriksizlik rağmen çünkü çok ilginç her TST'nin sonsuz modeli üç tür tatmin sınırlı Amb . Dolayısıyla bu tür her model için aynı teoriye sahip bir model vardır . Bu dört tip için tutmaz NF aynı teoridir ve biz nasıl ki dört tip TST'nin bir model elde etmek için hiçbir fikrim yok Amb tutar. ${\displaystyle NF_{3}}$${\displaystyle NF_{3}}$${\displaystyle NF_{3}}$${\displaystyle NF_{3}}$${\displaystyle NF_{4}}$

1983'te Marcel Crabbé, aksiyomları sınırsız genişleme olan ve hiçbir değişkene var olduğu iddia edilen kümeden daha yüksek bir tür atanmadığı Anlama örnekleri olan NFI adını verdiği bir sistemin tutarlı olduğunu kanıtladı . Bu bir predicativity NFI bir yüklem teori olmasa da, sınırlama: tüm endüktif kümelerinin kesişimi olarak tarif doğal sayılar (kümesini tanımlamak için yeterli impredicativity kabul eder; indüktif setleri fazla miktarı grubu aynı tiptedir not olduğu doğal sayıların tanımlanması). Crabbé ayrıca NFI'nin bir alt teorisini tartıştı, burada sadece parametrelere (serbest değişkenler) bir Comprehension örneği tarafından var olduğu iddia edilen küme tipine sahip olmasına izin verildi . Sonucu "tahmini NF" (NFP) olarak adlandırdı; Kendinden-üyeli bir evrene sahip herhangi bir teorinin gerçekten tahmin edici olup olmadığı elbette şüphelidir. Holmes, NFP'nin, indirgenebilirlik Aksiyomu olmaksızın Principia Mathematica türlerinin tahmin edici teorisi ile aynı tutarlılık gücüne sahip olduğunu göstermiştir .

2015'ten bu yana, Randall Holmes'un NF'nin ZF'ye göre tutarlılığına ilişkin birkaç aday kanıtı hem arxiv'de hem de mantıkçının ana sayfasında mevcuttu. Holmes, TST'nin 'tuhaf' bir varyantının, yani TTT _λ - 'λ-tipleri ile karışık tip teorisinin' - NF ile eş-tutarlılığını göstermektedir . Holmes daha sonra TTT _λ'nın ZFA'ya göre tutarlı olduğunu, yani atomlu ancak seçimsiz ZF'nin tutarlı olduğunu gösterir . Holmes bunu ZFA+C'de, yani atomları ve seçimi olan ZF'yi, 'kardinallerin birbirine dolanmış ağlarını' içeren bir ZFA sınıf modeli oluşturarak gösterir. Aday kanıtların tümü oldukça uzundur, ancak NF topluluğu tarafından henüz düzeltilemez bir hata tespit edilmemiştir.

NF(U) küme-teorik paradokslardan nasıl kaçınır?

NF , küme teorisinin iyi bilinen üç paradoksundan uzak durur . NFU bir That tutarlı teori (Peano aritmetik göreceli), ayrıca önler paradoksları bu aslında kişinin güvenini artırabilir.

Russell paradoksu : Kolay bir mesele; tabakalı bir formül değildir, bu nedenle varlığı herhangi bir Anlama örneği tarafından iddia edilmez . Quine, NF'yi bu paradoksu en üst düzeyde düşünerek kurduğunu söyledi. ${\displaystyle x\değil \x}$${\displaystyle \{x\mid x\değil \x\}}$

Cantor Paradoksu en büyüklerinden kardinal sayısı uygulanmasını sömüren Cantor teoremi için evrensel kümesi . Cantor teoremi (ZFC verilen) diyor kuvvet kümesi herhangi kümenindaha büyüktür(hayır olamaz enjeksiyon dan (bire-bir harita)içine). Tabii ki daha bir var enjeksiyon gelenINTOeğerevrensel kümesidir! Çözünürlük, türler teorisinde hiçbir anlam ifade etmeyengözlemlemeyi gerektirir: type of,türündendaha yüksektir. (Orijinal formu olduğunu temelde aynı nedenlerle türleri teoride bir teoremi olan doğru yazılmış versiyonu Cantor teoremi çalışan ZF ) 'dirburada,tek eleman alt kümelerinin kümesidir. Bu ilgi teoreminin özel örneği şudur: kümelerden daha az tek elemanlı kümeler vardır (ve dolayısıyla NFU'daysak, genel nesnelerden daha az tek elemanlı kümeler vardır). Evrenden tek elemanlı kümelere"bariz" önerme bir küme değildir; tanımı tabakasız olduğu için bir küme değildir. Bilinen tüm NFU modellerinde; Seçim , bir kişinin yalnızca urelementler olduğunu değil,vearasında birçok kardinal olduğunu kanıtlamasına izin verir. ${\görüntüleme stili P(A)}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili P(A)}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili P(V)}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili |A|<|P(A)|}$${\görüntüleme stili P(A)}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$${\görüntüleme stili P_{1}(A)}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$ ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|<<|V|}$${\görüntüleme stili |P(V)|}$${\görüntüleme stili |V|}$

Artık bazı yararlı kavramlar tanıtılabilir. Sezgisel olarak çekici olanı karşılayan bir kümeye Cantorian olduğu söylenir : bir Cantorian kümesi, Cantor teoreminin olağan biçimini karşılar . Bir dizi başka koşul tatmin , kısıtlama ve tekil için harita A , bir dizi Cantorian seti olmayıp sadece kuvvetle Cantorian . ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$

En büyük sıra sayısının Burali-Forti paradoksu aşağıdaki gibidir. (Aşağıdaki tanımlar naif bir dizi teori ) olarak sıra sayıları denklik sınıfları arasında iyi orderings altında izomorfik . Sıralamalarda bariz bir doğal iyi sıralama vardır; iyi sıralı olduğu için bir sıraya aittir . (İspat basittir ötesi indüksiyonu ) daha az belli bir bir sıra daha sıra sayısı doğal düzenin sipariş türü olduğu bir kendini. Ancak bu , sıraların sıra tipinin bu olduğu ve dolayısıyla tüm sıraların sıra türünden kesinlikle daha az olduğu anlamına gelir - ancak ikincisi, tanım gereği, kendisidir! ${\görüntüleme stili\Omega }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili\Omega }$${\görüntüleme stili <\Omega }$${\görüntüleme stili\Omega }$

NF(U)'daki paradoksun çözümü, daha küçük sıralar üzerindeki doğal düzenin düzen türünün 'den daha yüksek bir tür olduğu gözlemiyle başlar . Bu nedenle, tür düzeyinde sıralı bir çift , argümanlarının türünden iki tür daha yüksektir ve olağan Kuratowski sıralı çift dört tür daha yüksektir. Herhangi bir emir tipi için , bir emir tipi daha yüksek tanımlayabiliriz : eğer , o zaman emrin emir tipidir . T işleminin önemsizliği yalnızca görünüştedir; T'nin sıra sayıları üzerinde kesinlikle monoton (sıra koruyucu) bir işlem olduğunu göstermek kolaydır . ${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\ Displaystyle W\in \alpha }$${\görüntüleme stili T(\alfa )}$${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$

Şimdi sipariş türlerinde lemması tabakalı bir şekilde yeniden edilebilir: sıra sayısı doğal düzenin sipariş türü olan ya da (biz tipi seviye çifti bundan sonra kabul) çifti kullanıldığı bağlı olarak değişir. Bundan, sıra sayıları üzerindeki emir tipinin , ve dolayısıyla olduğu sonucuna varılabilir . Dolayısıyla T işlemi bir fonksiyon değildir; Sıra sayılarından sıra sayılarına doğru aşağı doğru bir sıra gönderen katı bir monoton küme haritası olamaz! T monoton olduğundan, sıra sayılarında küme olamayacak bir "azalan dizi" var. ${\görüntüleme stili <\alfa }$${\ Displaystyle T^{2}(\alpha )}$${\ Displaystyle T^{4}(\alpha )}$${\görüntüleme stili <\Omega }$${\ Displaystyle T^{2}(\Omega )}$${\ Displaystyle T^{2}(\Omega )<\Omega }$${\displaystyle \Omega >T^{2}(\Omega )>T^{4}(\Omega )\ldots }$

Herhangi bir NFU modelindeki sıra sayıları dışarıdan iyi sıralanmadığından, bu sonucun hiçbir NF(U) modelinin "standart" olmadığını gösterdiği söylenebilir. Bu konuda bir pozisyon alınmasına gerek yoktur, ancak herhangi bir NFU set modelinin iyi sıralanmamış "sıra sayılarına" sahip olmasının da bir NFU teoremi olduğu not edilebilir; NFU , üyelik ilişkisi bir küme ilişkisi olmadığı için, V'nin bir küme olmasına rağmen , evrenin V'nin bir NFU modeli olduğu sonucuna varmaz .

NFU'da matematiğin daha da geliştirilmesi için, aynısının ZFC'deki gelişimiyle karşılaştırmalı olarak, bkz . küme teorisinde matematiğin uygulanması .

Sistem ML (Matematiksel Mantık)

ML, kümelerin yanı sıra uygun sınıfları da içeren bir NF uzantısıdır. 1940 ilk baskısının küme teorisi Quine 'ın Matematiksel Mantık için NF evli uygun sınıflara ait NBG seti teorisi ve uygun sınıflar için sınırsız kavrayış bir aksiyomu şemasını içeriyordu. Ancak J. Barkley Rosser  ( 1942 ), Mathematical Logic'te sunulan sistemin Burali-Forti paradoksuna tabi olduğunu kanıtladı. Bu sonuç NF için geçerli değildir. Hao Wang  ( 1950 ), bu problemden kaçınmak için Quine'in ML için aksiyomlarının nasıl değiştirileceğini gösterdi ve Quine, Mathematical Logic'in 1951 ikinci ve son baskısında ortaya çıkan aksiyomlaştırmayı dahil etti .

Wang, UF tutarlıysa, revize edilmiş ML'nin de tutarlı olduğunu kanıtladı ve ayrıca revize edilmiş ML'nin tutarlılığının UF'nin tutarlılığını ima ettiğini gösterdi. Yani, NF ve revize edilmiş ML eş-tutarlıdır.

NFU Modelleri

NFU modellerini toplu olarak üretmenin oldukça basit bir yöntemi vardır. Model teorisinin iyi bilinen tekniklerini kullanarak , üzerinde harici bir otomorfizm j (bir model kümesi değil ) bulunan standart olmayan bir Zermelo küme teorisi modeli ( temel teknik için tam ZFC kadar güçlü bir şey gerekli değildir) oluşturulabilir. bu , kümelerin kümülatif hiyerarşisinin bir sırasını hareket ettirir . Bunu genelliği kaybetmeden varsayabiliriz . Sıra yerine sırayı hareket ettiren otomorfizm hakkında konuşuyoruz çünkü modeldeki her sıranın bir sıranın indeksi olduğunu varsaymak istemiyoruz. ${\displaystyle V_{\alfa }}$${\displaystyle j(\alpha )<\alpha }$

NFU modelinin etki alanı standart olmayan sıralama olacaktır . NFU modelinin üyelik ilişkisi ${\displaystyle V_{\alfa }}$

• ${\displaystyle x\in _{NFU}y\equiv _{def}j(x)\in y\wedge y\in V_{j(\alpha )+1}.}$

Şimdi bunun aslında bir NFU modeli olduğu kanıtlanabilir. NFU dilinde tabakalı bir formül olsun . Formüldeki tüm değişkenlere, tabakalı olduğuna tanıklık eden bir tür ataması seçin. Bu katmanlama tarafından değişkenlere atanan tüm türlerden daha büyük bir doğal sayı N seçin . ${\görüntüleme stili\phi }$

Formülü , NFU modelindeki üyelik tanımını kullanarak, otomorfizm j ile standart olmayan Zermelo küme teorisi modelinin dilindeki bir formüle genişletin . j'nin herhangi bir kuvvetinin bir denklemin veya üyelik ifadesinin her iki tarafına uygulanması, j bir otomorfizm olduğundan doğruluk değerini korur . Her bir atomik formüle , x'in i tipine atanmış her değişkeni tam olarak j'nin uygulamaları ile olacak şekilde böyle bir uygulama yapın . Bu, NFU üyelik ifadelerinden türetilen atomik üyelik ifadelerinin formu ve katmanlara ayrılmış formül sayesinde mümkündür. Her nicelleştirilmiş cümle forma dönüştürülebilir (ve benzer şekilde varoluşsal niceleyiciler için ). Bir formül yerde, bu dönüşümü gerçekleştirmek ve elde ettiği j ilişkili bir değişkenine uygulanan hiçbir zaman. ${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili\phi _{1}}$ ${\görüntüleme stili\phi _{1}}$${\görüntüleme stili Ni}$${\displaystyle (\forall x\in V_{\alpha }.\psi (j^{Ni}(x)))}$${\displaystyle (\forall x\in j^{Ni}(V_{\alpha }).\psi (x))}$${\displaystyle \phi _{2}}$

Herhangi bir serbest değişken seç y içinde atanan tip i . Uygulama formül elde etmek için, tüm formüle eşit olan y uygulaması olmadan görünür j . Şimdi (nedeniyle var j görünür serbest değişkenler ve sabitler ancak zorunlu) aittir ve tam olarak bu içerir y orijinal formül tatmin NFU modelinde. NFU modelinde bu uzantıya sahiptir ( j'nin uygulanması, NFU modelindeki farklı üyelik tanımlarını düzeltir). Bu , NFU modelinde Tabakalı Anlamanın geçerli olduğunu ortaya koymaktadır. ${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili j^{iN}}$${\görüntüleme stili\phi _{3}}$${\displaystyle \{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\}}$${\displaystyle V_{\alpha +1}}$${\görüntüleme stili\phi }$${\displaystyle j(\{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\})}$

Zayıf Uzantılılığın geçerli olduğunu görmek basittir: öğesinin boş olmayan her öğesi standart olmayan modelden benzersiz bir uzantı devralır, boş küme de olağan uzantısını devralır ve diğer tüm nesneler birer öğedir. ${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$

Temel fikir, j otomorfizminin "evrenimizin" "güç kümesini" , "evrenimizin" içindeki dış izomorfik kopyasına kodlamasıdır . Evrenin alt kümelerini kodlamayan kalan nesneler, urelements olarak kabul edilir . ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$${\displaystyle V_{\alfa }}$${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$

Eğer doğal bir sayıdır , n , bir evrenin (tabii ki, dıştan sonsuz) sonlu olduğunu istemler NFU bir model alır. Eğer sonsuzsa ve Seçim standart olmayan ZFC modelinde geçerliyse, bir NFU + Infinity + Seçim modeli elde edilir . ${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili \alfa }$

NFU'daki matematiksel temellerin kendi kendine yeterliliği

Felsefi nedenlerle, bu ispatı gerçekleştirmek için ZFC veya ilgili herhangi bir sistemde çalışmanın gerekli olmadığını belirtmek önemlidir . NFU'nun matematik için bir temel olarak kullanılmasına karşı yaygın bir argüman, ona güvenmenin nedenlerinin ZFC'nin doğru olduğu sezgisiyle ilgili olduğudur. TST'yi (aslında TSTU) kabul etmek yeterlidir. Anahatta: TSTU tip teorisini (her pozitif tipte urelementlere izin verir) bir meta teori olarak alın ve TSTU'daki TSTU set modelleri teorisini düşünün (bu modeller, set dizileri olacaktır (bu modeller meta teoride aynı tipte olacaktır) gömmelerle birlikte her biri içine güç grubu katıştırmalarını kodlama içine bir tip saygılı bir şekilde). İçine bir yerleştirme verildiğinde (baz tipinin alt kümeleriyle temel "tip" öğelerini tanımlayarak), yerleştirmeler doğal bir şekilde her "türden" ardılına tanımlanabilir. Bu, dikkatle transfinit dizilere genelleştirilebilir . ${\görüntüleme stili T_{i}}$${\görüntüleme stili P(T_{i})}$${\displaystyle P_{1}(T_{i+1})}$${\görüntüleme stili T_{i}}$${\displaystyle T_{i+1}}$${\görüntüleme stili T_{0}}$${\görüntüleme stili T_{1}}$${\ Displaystyle T_{\alfa }}$

Bu tür dizi dizilerinin inşasının, inşa edildikleri türün boyutuyla sınırlı olduğuna dikkat edin; bu, TSTU'nun kendi tutarlılığını kanıtlamasını engeller (TSTU + Infinity , TSTU'nun tutarlılığını kanıtlayabilir; TSTU+ Infinity'nin tutarlılığını kanıtlamak için , daha güçlü varsayımlar olmadan TSTU+ Infinity'de var olduğu kanıtlanamayan bir dizi kardinalite içeren bir tür gerekir ). Şimdi, model teorisinin aynı sonuçları, bir NFU modeli oluşturmak ve bunun bir NFU modeli olduğunu doğrulamak için kullanılabilir, aynı şekilde, 'ler olağan yapı yerine kullanılır . Son hareket, NFU tutarlı olduğundan, metateoriyi TSTU'dan NFU'ya önyükleyerek metateorimizdeki mutlak türlerin kullanımını bırakabileceğimizi gözlemlemektir. ${\displaystyle \beth _{\omega }}$${\ Displaystyle T_{\alfa }}$${\displaystyle V_{\alfa }}$

Otomorfizm hakkında gerçekler j

Otomorfizm j Bu tür bir model yakın NFU belirli doğal işlemler ile ilgilidir. Örneğin, eğer W standart olmayan modelde bir iyi sıralama ise (burada Kuratowski çiftlerini kullandığımızı varsayıyoruz, böylece iki teorideki fonksiyonların kodlanması bir dereceye kadar uyuşacaktır) bu da NFU'da iyi sıralamadır (tümü NFU'nun iyi sıralamaları, standart olmayan Zermelo küme teorisi modelinde iyi sıralamalardır, ancak modelin yapımında urelements oluşumu nedeniyle tam tersi değildir ) ve W , NFU'da α tipine sahiptir, ardından j ( W ) NFU'da T tipi (α) iyi bir sıralama olacaktır .

Aslında j , NFU modelindeki bir fonksiyon tarafından kodlanmıştır. Standart olmayan modeldeki herhangi bir elemanın tekilliğini kendi tek öğesine gönderen işlev, NFU'da x'in evrendeki herhangi bir nesne olduğu her bir tekilliği { x } j'ye ( x ) gönderen bir işlev haline gelir . Bu işlevi çağırın Endo ve aşağıdaki özelliklere sahip alalım: Endo bir olan enjeksiyon özelliğiyle, kümelerin kümesi haline singletons kümesinden o Endo ({ x }) = { Endo ({ y }) | y ∈ x } her x kümesi için . Bu fonksiyon, evren üzerinde, orijinal standart olmayan modelin üyelik ilişkisini yeniden üreten tip düzeyinde bir "üyelik" ilişkisi tanımlayabilir. ${\displaystyle V_{j(\alpha )}}$

Sonsuzluğun güçlü aksiyomları

Bu bölümde, etki eden olağan baz teorisi, NFU + çeşitli "sonsuzluğun kuvvetli aksiyomlar" eklenmesinin kabul edilir Infinity + Seçim . Tutarlı olduğu bilinen bu temel teori, TST + Infinity veya Zermelo küme teorisi ile sınırlı formüllerle sınırlı Ayırma ile aynı güce sahiptir (Mac Lane küme teorisi).

Bu temel teoriye , "erişilemeyen bir kardinal var" gibi ZFC bağlamından tanıdık olan güçlü sonsuzluk aksiyomları eklenebilir , ancak Kantor ve güçlü Kantor kümeleri hakkındaki iddiaları düşünmek daha doğaldır. Bu tür iddialar, yalnızca olağan türden büyük kardinaller meydana getirmekle kalmaz , aynı zamanda teoriyi kendi koşulları içinde güçlendirir.

Her zamanki güçlü ilkelerin en zayıfı:

• Rosser'ın Sayma Aksiyomu . Doğal sayılar kümesi, güçlü bir Kantorian kümesidir.

NFU'da doğal sayıların nasıl tanımlandığını görmek için , doğal sayıların küme teorik tanımına bakın . Rosser tarafından verilen bu aksiyomun orijinal biçimi, her bir doğal sayı n için " { m |1≤ m ≤ n } kümesinin n üyesi vardır" şeklindeydi . Bu sezgisel olarak açık olan iddia katmanlaştırılmamıştır: NFU'da kanıtlanabilen şey "{ m |1≤ m ≤ n } kümesinin üyeleri vardır" (burada kardinaller üzerindeki T işlemi ; bu bir kardinal türünü bir yükseltir). Herhangi bir kardinal sayının (doğal sayılar dahil) öne sürülmesi , o kardinalitenin A kümelerinin Kantorian olduğunu iddia etmeye eşdeğerdir (normal bir dil kötüye kullanımıyla, bu tür kardinallere "Kantor kardinalleri" olarak atıfta bulunuruz). Her bir doğal sayının Kantorian olduğu iddiasının, tüm doğal sayılar kümesinin kuvvetle Kantorian olduğu iddiasına eşdeğer olduğunu göstermek kolaydır. ${\ Displaystyle T^{2}(n)}$${\displaystyle T(|A|)=|P_{1}(A)|}$${\displaystyle T(|A|)=|A|}$

Sayma , NFU ile tutarlıdır, ancak tutarlılık gücünü belirgin şekilde artırır; beklendiği gibi aritmetik alanında değil, daha yüksek küme teorisinde. NFU + Infinity , her birinin var olduğunu, ancak var olmadığını kanıtlar ; NFU + Sayma (kolayca) Infinity'yi kanıtlar ve ayrıca her n için varlığını kanıtlar , ancak varlığını kanıtlamaz . (bkz. beth numaraları ). ${\displaystyle \beth _{n}}$${\displaystyle \beth _{\omega }}$${\displaystyle \beth _{\beth _{n}}}$${\displaystyle \beth _{\beth _{\omega }}}$

Sayma , katmanlaştırma amacıyla doğal sayılar kümesiyle sınırlı değişkenlere tür atamanın gerekmediği anlamına gelir ; kuvvetli bir Kantorian kümesinin kuvvet kümesinin kuvvetle Kantoryen olduğu bir teoremdir , bu nedenle, doğal sayıların herhangi bir yinelenen kuvvet kümesiyle veya gerçek sayılar kümesi gibi tanıdık kümelerle sınırlandırılmış değişkenlere tür atamak ayrıca gerekli değildir. , gerçeklerden gerçeklere ve benzeri işlevler kümesi. Saymanın teorik küme gücü pratikte, doğal sayı değerlerine (veya ilgili değer türlerine) sahip olduğu bilinen değişkenleri tekli parantezlerle açıklama zorunluluğunun olmamasından veya tabakalı küme elde etmek için T işlemini uygulamaktan daha az önemlidir. tanımlar. ${\görüntüleme stili N}$

Sayma , Sonsuzluk anlamına gelir ; ihtiyaçları aşağıda aksiyomların her NFU + bitişiktir edilecek Sonsuzluk güçlü varyantları etkisini elde etmek Sonsuzluk ; Ali Enayat , NFU + "evren sonludur" modellerinde bu aksiyomların bazılarının gücünü araştırmıştır.

Türden bir model tatmin yukarıda inşa Sayma otomorfizm durumunda sadece j Zermelo küme kuramı yatan standart dışı modelinde düzeltmeleri tüm doğal sayılar.

Düşüneceğimiz bir sonraki güçlü aksiyom,

• Kuvvetli Kantorian ayırma aksiyomu : Herhangi bir kuvvetli Kantorian A kümesi ve herhangi bir formül (tabakalı olması gerekmez!) için { x ∈ A |φ} kümesi mevcuttur.${\görüntüleme stili\phi }$

Hemen sonuçları (bir sonucu değildir tabakalandırılmamış koşulları için matematiksel indüksiyon dahil Sayma , bir çok, ancak doğal sayılar indüksiyon tüm tabakalandırılmamış örnekleri olmasına bağlı Sayma ).

Bu aksiyom şaşırtıcı derecede güçlüdür. Robert Solovay'ın yayınlanmamış çalışması, NFU* = NFU + Sayma + Strongly Cantorian Separation teorisinin tutarlılık gücünün , Zermelo küme teorisi + Değiştirme ile aynı olduğunu göstermektedir . ${\ Displaystyle \ Sigma _{2}}$

Bu aksiyom, Zermelo küme teorisinin altında yatan standart olmayan modelde j ile sabitlenen ve yalnızca j ile sabitlenen sıra sayılarına hakim olan sıra sayıları standart ise ve bu tür herhangi bir sıra sayısının kuvvet kümesi ise, yukarıda oluşturulan türden bir modelde ( Seçim ile ) geçerlidir. modelde de standarttır. Bu koşul yeterlidir ancak gerekli değildir.

Sıradaki

• Kantorian Kümeleri Aksiyomu : Her Cantorian küme kuvvetle Cantorian'dır.

Bu çok basit ve çekici iddia son derece güçlüdür. Solovay, NFUA = NFU + Infinity + Cantorian Kümeleri teorisinin tutarlılık kuvvetinin ZFC + her somut doğal sayı n için bir n -Mahlo kardinalinin varlığını iddia eden bir şema ile kesin denkliğini göstermiştir . Ali Enayat, (ZFC'nin kümülatif hiyerarşisinin ilk bölümünün doğal bir resmini veren) temelli genişleme ilişkilerinin Kantorian eşdeğerlik sınıfları teorisinin, ZFC'nin n- Mahlo kardinalleri ile genişlemesini doğrudan yorumladığını göstermiştir. Bu teorinin bir modeline, kalıtsal olarak güçlü Cantorian'ın olağan üyelik ilişkisi modeliyle ZFC'nin güçlü uzantısını oluşturduğu bir model vermek için bir permütasyon tekniği uygulanabilir.

Bu belit (yukarıda yapılan türde bir modelinde tutan Seçim sabit sıra sayıları sadece durumunda) j altta yatan standart olmayan modelinde ZFC modelinin sıra sayıları bir başlangıç (uygun sınıfı) segment vardır.

Sonraki

• Kantorian Ayrımı Aksiyomu : Herhangi bir Kantorian A kümesi ve herhangi bir formül için (tabakalı olması gerekmez!) { x ∈ A |φ} kümesi mevcuttur.${\görüntüleme stili\phi }$

Bu, önceki iki aksiyomun etkisini birleştirir ve aslında daha da güçlüdür (tam olarak nasıl olduğu bilinmemektedir). Tabakalandırılmamış matematiksel indüksiyon olduğunu kanıtlayan etkinleştirir n her için -Mahlo kardinaller n , verilen Cantorian takımları bir uzantısı veren ZFC sadece olduğunu iddia öncekinden daha da güçlü olduğunu , n her somut doğal sayısı için -Mahlos ( standart olmayan karşı örneklerin olasılığını açık bırakarak).

Bu aksiyom, j ile sabitlenen her sıra standart ise ve j ile sabitlenen bir sıranın her bir güç kümesi de ZFC'nin temel modelinde standartsa, yukarıda açıklanan türden bir modelde geçerli olacaktır . Yine, bu koşul yeterlidir, ancak gerekli değildir.

Bir sıra olduğu söylenir Cantorian bu sabit ise T , ve güçlü Cantorian (bu kendisi Cantorian olduğunu ima) sadece Cantorian sıra sayılarını hakim ise. Yukarıda oluşturulan türden modellerde, NFU'nun Cantorian sıra sayıları, j ile sabitlenen sıra sayılarına karşılık gelir (bunlar aynı nesneler değildir, çünkü iki teoride sıra sayılarının farklı tanımları kullanılır).

İçin gücü Eşit Cantorian Setleri olduğunu

• Büyük Ordinaller aksiyomu : Her olmayan Cantorian sıralı için , bir doğal sayı olduğu , n olacak şekilde .${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle T^{n}(\Omega )<\alpha }$

Tüm sıralarda doğal düzenin sıra türü olduğunu hatırlayın . Bu yalnızca ima Cantorian Setleri biz varsa Seçim (ama her durumda tutarlılık gücü o düzeydedir). Biri bile tanımlamak dikkat çekicidir : bu N inci terimi sıra sayısı herhangi bir sonlu dizisinin s uzunluğunun N , öyle ki , her bir uygun için i . Bu tanım tamamen tabakasızdır. Benzersizliği kanıtlanabilir ( var olduğu n olanlar için) ve bu kavram hakkında belirli bir miktarda sağduyulu akıl yürütme gerçekleştirilebilir, Büyük Sıralamaların Seçim varlığında Kantor Kümeleri ima ettiğini göstermeye yetecek kadar . Bu aksiyomun karmaşık biçimsel ifadesine rağmen, T'nin sıra sayıları üzerindeki etkisini olabildiğince basitleştirmeye varan çok doğal bir varsayımdır . ${\görüntüleme stili\Omega }$${\ Displaystyle T^{n}(\Omega )}$${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle s_{0}=\Omega }$${\displaystyle s_{i+1}=T(s_{i})}$${\ Displaystyle T^{n}(\Omega )}$

Yukarıda yapılan türden bir model tatmin edecek Büyük sıra sayıları tarafından hareket ettirilen sıra sayısı ise, j bir hakim tam sıra sayıları olan altta yatan standart olmayan modelinde ZFC . ${\ Displaystyle j^{-i}(\alpha )}$

• Küçük Ordinaller Aksiyomu : Herhangi bir formül φ için, A'nın güçlü Kantorian ordinalleri olan öğelerinin tam olarak φ gibi güçlü Kantorian ordinalleri olacak şekilde bir A kümesi vardır .

Solovay, NFUB = NFU + Infinity + Cantorian Kümeleri + Morse-Kelley küme teorisi ile Küçük Ordinallerin tutarlılık gücündeki kesin eşdeğerliği ve ayrıca uygun sınıf sırasının (tüm sıraların sınıfı) zayıf kompakt bir kardinal olduğu iddiasını göstermiştir . Bu gerçekten çok güçlü! Ayrıca, Cantorian Setleri çıkarılmış NFUB olan NFUB-'nin, NFUB ile aynı güce sahip olduğu kolayca görülür.

Sabit sıra sayıları her toplama, yukarıda yapılan türde bir modeli bu aksiyomu tatmin edecek j sabit sıra sayıları ile sıra sayıları bazı kümesinin kesişme olan j ZFC altında yatan standart olmayan modelde,.

NFUM = NFU + Infinity + Büyük Sıra Sayıları + Küçük Sıra Sayıları teorisi daha da güçlüdür . Bu, uygun sınıf sıralı κ üzerinde κ-tam temel olmayan bir ultrafiltre olan sınıflar üzerine bir yüklem içeren Morse-Kelley küme teorisine eşdeğerdir ; aslında, bu Morse-Kelley küme teorisi + "uygun sınıf sıralaması ölçülebilir bir kardinaldir "!

Buradaki teknik ayrıntılar ana nokta değildir; bu, makul ve doğal (NFU bağlamında) iddiaların, ZFC bağlamında çok güçlü sonsuzluk aksiyomlarına güç olarak eşdeğer olduğu ortaya çıkar . Bu gerçek, yukarıda açıklanan ve bu aksiyomları karşılayan NFU modellerinin varlığı ile özel özelliklere sahip otomorfizmalara sahip ZFC modellerinin varlığı arasındaki korelasyon ile ilgilidir .

Ayrıca bakınız

• alternatif küme teorisi
• aksiyomatik küme teorisi
• Küme teorisinde matematiğin uygulanması
• pozitif küme teorisi
• Doğal sayıların küme teorik tanımı

Notlar

Referanslar

• Crabbe, Marcel (1982). "Quine'in NF'sinin tahmin edilemez bir parçasının tutarlılığı üzerine". Sembolik Mantık Dergisi . 47 (1): 131–136. doi : 10.2307/2273386 . JSTOR  2273386 .
• Forster, TE (1992), Evrensel bir küme ile küme teorisi. Yazılmamış bir evreni keşfetmek , Oxford Science Publications, Oxford Logic Guides, 20 , New York: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 0-19-853395-0, MR  1166801
• Holmes, M. Randall (1998), Evrensel küme ile temel küme teorisi (PDF) , Cahiers du Centre de Logique, 10 , Louvain-la-Neuve: Université Catholique de Louvain, Département de Philosophie, ISBN 2-87209-488-1, MR  1759289
• Jensen, RB (1969), " Quine'in NF'sinin Hafif(?) Modifikasyonunun Tutarlılığı Üzerine", Synthese , 19 (1/2): 250–63, doi : 10.1007/bf00568059 , JSTOR  20114640 , S2CID  46960777 Quine tarafından tartışma ile.
• Quine, WV (1937), "New Foundations for Mathematical Logic", The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 44 (2): 70–80, doi : 10.2307/2300564 , JSTOR  2300564
• Quine, Willard Van Orman (1940), Matematiksel Mantık (ilk baskı), New York: WW Norton & Co., Inc., MR  0002508
• Quine, Willard Van Orman (1951), Matematiksel mantık (Revize ed.), Cambridge, Mass.: Harvard University Press, ISBN 0-674-55451-5, MR  0045661
• Quine, WV , 1980, "Matematiksel Mantık için Yeni Temeller", Mantıksal Bir Bakış Açısından , 2. baskı, gözden geçirilmiş. Harvard Üniv. Basın: 80-101. Her şeyin başladığı yerin kesin versiyonu, yani Quine'in American Mathematical Monthly'deki 1937 tarihli makalesi .
• Rosser, Barkley (1942), "Burali-Forti paradoksu", Journal of Symbolic Logic , 7 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267550 , JSTOR  2267550 , MR  0006327
• Wang, Hao (1950), "Formel bir mantık sistemi", Journal of Symbolic Logic , 15 (1): 25–32, doi : 10.2307/2268438 , JSTOR  2268438 , MR  0034733
• Holmes, M. Randall (2008). "Anlama Motivasyonu Quine 'Yeni Vakıflar Kriterı olarak Simetri ' ". Studia Logica'nın fotoğrafı . 88 (2): 195–213. doi : 10.1007/s11225-008-9107-8 . S2CID  207242273 .

Dış bağlantılar

• Solomon Feferman (2011) tarafından "Kategori Teorisinin Temelleri için Zenginleştirilmiş Tabakalı sistemler"
• Stanford Felsefe Ansiklopedisi :
  • Quine'in Yeni Temelleri - Thomas Forster tarafından.
  • Alternatif aksiyomatik küme teorileri - Randall Holmes tarafından.
• Randall Holmes: Yeni Temeller Ana Sayfası.
• Randall Holmes: Bir Evrensel Küme ile Küme Teorisi Bibliyografyası.
• Randall Holmes: UF tutarlılık kanıtında yeni bir geçiş