varoluşsal niceleme - Existential quantification

Gelen yüklem mantığı , bir varoluş miktar bir türüdür nicelik , bir mantıksal sabit olduğu yorumlanır "en az bir az var", "vardır" olarak veya "bazıları için". Genellikle, bir yüklem değişkeni ile birlikte kullanıldığında varoluşsal niceleyici (" ∃ x " veya " ∃( x ) ") olarak adlandırılan mantıksal operatör sembolü ∃ ile gösterilir . Varoluşsal niceleme, özelliğin veya ilişkinin alanın tüm üyeleri için geçerli olduğunu iddia eden evrensel nicelemeden ("herkes için") farklıdır . Bazı kaynaklarda terimini kullanmak existentialization varoluşsal ölçümü başvurmak için.

Temel bilgiler

Bazı doğal sayıların kendisiyle çarpımının 25 olduğunu belirten bir formül düşünün .

0·0 = 25 veya 1·1 = 25 veya 2·2 = 25 veya 3·3 = 25, vb.

Bu , "veya" ifadesinin tekrar tekrar kullanılması nedeniyle mantıklı bir ayrım gibi görünmektedir . Bununla birlikte, "ve benzeri", bunu bütünleştirmeyi ve biçimsel mantıkta bir ayrılma olarak yorumlamayı imkansız kılar . Bunun yerine, ifade daha resmi olarak şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

Bazı doğal sayılar için n , n · n = 25.

Bu, varoluşsal niceleme kullanan tek bir ifadedir.

Bu ifade, orijinalinden daha kesindir, çünkü "ve benzeri" ifadesi tüm doğal sayıları içermek ve diğer her şeyi hariç tutmak zorunda değildir . Ve alan açıkça belirtilmediği için ifade biçimsel olarak yorumlanamadı. Ancak nicel ifadede doğal sayılar açıkça belirtilir.

Bu özel örnek doğrudur, çünkü 5 doğal bir sayıdır ve 5'i n yerine koyduğumuzda "5·5 = 25" üretiriz, bu doğrudur. " n · n = 25"in yalnızca tek bir doğal sayı olan 5 için doğru olması önemli değildir ; tek bir çözümün varlığı bile bu varoluşsal nicelemenin doğru olduğunu kanıtlamak için yeterlidir. Buna karşılık, " n , n · n = 25 bazı çift ​​sayıları için " yanlıştır, çünkü çift çözümler yoktur.

Söylem alanı değerler değişken belirtir, n almaya izin verilir, bir ifadenin gerçekliği yanlışlığını için kritik öneme sahiptir. Mantıksal bağlaçlar , belirli bir yüklemi yerine getirmek için söylem alanını kısıtlamak için kullanılır. Örneğin:

Bazı pozitif tek sayılar için n , n · n = 25

olduğu mantıksal olarak eşdeğer için

Bazı doğal sayılar için n , n tektir ve n · n = 25'tir.

Burada "ve" mantıksal bağlaçtır.

Gelen sembolik mantık , "∃" (döndürülmüş harf " E bir de", sans-serif yazı) varoluşsal kantifikasyonunu belirtmek için kullanılır. Dolayısıyla, eğer P ( a , b , c ) " a · b = c" yüklemi ise ve doğal sayılar kümesi ise, o zaman ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \var {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n,n,25)}$

(doğru) ifadedir

Bazı doğal sayılar için n , n · n = 25.

Benzer şekilde, eğer Q ( n ) " n çifttir" yüklemi ise, o zaman

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P( n,n,25){\büyük )}}$

(yanlış) ifadedir

Bazı doğal sayılar için n , n çifttir ve n · n = 25.

Gelen matematik , bir "bir" ifadesi ispatı yoluyla elde edilebilir yapıcı kanıtı ya da bir ile, "bir" ifadesi tatmin edici bir nesne sergiler, yapısal olmayan kanıt gibi bir nesne olması gerektiğini gösterir, ancak sergileyen biri olmadan .

Özellikleri

olumsuzlama

Nicelleştirilmiş bir önerme işlevi bir ifadedir; bu nedenle, ifadeler gibi nicelleştirilmiş işlevler reddedilebilir. Sembol göstermektedirler olumsuzlama için kullanılır. ${\görüntüleme stili \ldeğil \ }$

Örneğin, eğer P ( x ) " x , 0'dan büyük ve 1'den küçüktür " yüklemi ise, o zaman, tüm doğal sayıların X söyleminin bir alanı için , varoluşsal niceleme " x'ten büyük olan bir doğal sayı vardır. 0 ve 1"den küçük sembolik olarak şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle \var {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

Bunun yanlış olduğu kanıtlanabilir. Doğrusu, " 0'dan büyük ve 1'den küçük bir x doğal sayısının olması söz konusu değildir " veya sembolik olarak şöyle söylenmelidir :

${\displaystyle \lnot \ \var {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$.

İfadenin doğru olduğu söylem alanının hiçbir öğesi yoksa, o zaman tüm bu öğeler için yanlış olmalıdır. Yani, inkar

${\displaystyle \var {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

mantıksal olarak eşdeğer "herhangi bir doğal sayı için olan X , X ya da 0'dan büyük olmadığı ve en az 1 olan":

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\l değil P(x)}$

Genel olarak, bir önerme fonksiyonunun varoluşsal nicelemesinin olumsuzlaması, o önermesel fonksiyonun olumsuzlamasının evrensel bir nicelemesidir ; sembolik,

${\displaystyle \lnot \ \var {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x) )}$

(Bu, mantığı yüklemek için De Morgan yasalarının bir genellemesidir .)

Yaygın bir hata, "bütün kişiler evli değil" (yani, "evli olmayan bir kişi var") kastedildiğinde, "bütün kişiler evli değildir" (yani, "evli kimse yoktur") ifadesidir. :

${\displaystyle \lnot \ \var {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x) )\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \var {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

Olumsuzlama, "bazıları için" yerine "hayır için" bir ifadeyle de ifade edilebilir:

${\displaystyle \var {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \var {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

Evrensel niceleyiciden farklı olarak, varoluşsal niceleyici, mantıksal ayrımlar üzerine dağıtır:

${\displaystyle \vardır {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\vardır {x}{\in }\mathbf {X} \,P (x)\lor \var {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

Çıkarım Kuralları

Dönüşüm kuralları
önermeler hesabı
çıkarım kuralları
Uygulama girişi  / ortadan kaldırılması ( modus ponens ) İki koşullu giriş  / eleme Bağlaç tanıtımı  / ortadan kaldırılması Ayrışma giriş  / eleme Ayrık  / varsayımsal kıyas Yapıcı  / yıkıcı ikilem Emilim  / modus tollens  / modus ponendo tollens olumsuzlama giriş
Değiştirme kuralları
ilişkilendirme değişebilirlik DAĞILMA çifte olumsuzlama De Morgan'ın yasaları aktarma maddi çıkarım İhracat totoloji
Yüklem mantığı
çıkarım kuralları
Evrensel genelleme  / somutlaştırma Varoluşsal genelleme  / somutlaştırma
v T e

Bir çıkarımın kural sonuca hipotez den mantıklı bir adım haklı bir kuraldır. Varoluşsal niceleyiciyi kullanan birkaç çıkarım kuralı vardır.

Varoluşçu giriş (∃I), önerme işlevinin söylem alanının belirli bir öğesi için doğru olduğu biliniyorsa, o zaman önerme işlevinin doğru olduğu bir öğenin var olduğu doğru olmalıdır sonucuna varır. Sembolik,

${\displaystyle P(a)\to \ \ var {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

Varoluşsal örnekleme , Fitch tarzı bir kesinti ile yürütüldüğünde, herhangi bir aktif alt türetme içinde görünmeyen bir özne için varoluşsal olarak nicelenmiş bir değişkeni değiştirirken yeni bir alt türetme girerek ilerler. Yerine konulan öznenin bulunmadığı bu alt türetme içinde bir sonuca varılabilirse, o alt türevden o sonuçla çıkılabilir. Varoluşsal eliminasyonun (∃E) arkasındaki mantık şöyledir: Önerme işlevinin doğru olduğu bir öğenin var olduğu verilirse ve bu öğeye keyfi bir ad verilerek bir sonuca varılabilirse, bu sonuç zorunlu olarak doğrudur. , adını içermediği sürece. Sembolik olarak, keyfi bir için c ve teklif için Q ki burada c görünmez:

${\displaystyle \var {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

${\görüntüleme stili P(c)\to \ Q}$aynı X alanı üzerindeki tüm c değerleri için doğru olmalıdır ; Aksi takdirde, mantık takip etmez: Eğer c keyfi değilse ve bunun yerine söylem alanının belirli bir öğesiyse, o zaman P ( c ) ifadesinin belirtilmesi, haksız bir şekilde o nesne hakkında daha fazla bilgi verebilir.

boş küme

Formül , P'den ( x ) bağımsız olarak her zaman yanlıştır . Bunun nedeni , boş kümeyi ifade etmesi ve boş kümede herhangi bir tanımdan hiçbir x'in - verilen bir P ( x ) yüklemini yerine getiren bir x bir yana - olmamasıdır . Daha fazla bilgi için ayrıca Vacuous gerçeğine bakın . ${\displaystyle \var {x}{\in }\emptyset \,P(x)}$${\görüntüleme stili \boş küme }$

ek olarak

Gelen Kategori teorisi ve teorisi temel topo , varoluş niceleyici olarak anlaşılabilir sol eşlenik a funktor arasındaki güç setleri , ters görüntüsü setleri arasında bir fonksiyonun funktor; aynı şekilde, evrensel niceleyici de doğru ektir .

kodlama

Unicode ve HTML'de, semboller kodlanmıştır U + 2203 ∃ BULUNMAMAKTADIR (HTML  ∃ · ∃, ∃ · matematiksel sembol olarak) ve U + 2204 ∄ VAR EDER DEĞİL Var (HTML  ∄ ° ∄, ∄, ∄ ).

In TeX , sembol "\ var" ile üretilir.

Ayrıca bakınız

• varoluş cümlesi
• varlık teoremi
• Birinci dereceden mantık
• Lindström niceleyici
• Mantık sembollerinin listesi – unicode sembolü için ∃
• niceleyici varyansı
• niceleyiciler
• benzersizlik niceleme
• evrensel niceleme

Notlar

Referanslar

• Hinman, P. (2005). Matematiksel Mantığın Temelleri . AK Peters. ISBN'si 1-56881-262-0.