Modus tollens -Modus tollens

Dönüşüm kuralları
önermeler hesabı
çıkarım kuralları
Uygulama girişi  / ortadan kaldırılması ( modus ponens ) İki koşullu giriş  / eleme Bağlaç tanıtımı  / ortadan kaldırılması Ayrışma giriş  / eleme Ayrık  / varsayımsal kıyas Yapıcı  / yıkıcı ikilem Emilim  / modus tollens  / modus ponendo tollens olumsuzlama giriş
Değiştirme kuralları
ilişkilendirme değişebilirlik DAĞILMA çifte olumsuzlama De Morgan'ın yasaları aktarma maddi çıkarım İhracat totoloji
Yüklem mantığı
çıkarım kuralları
Evrensel genelleme  / somutlaştırma Varoluşsal genelleme  / somutlaştırma

Gelen önerme mantığı , modus Tollens ( / m oʊ d ə s t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ) olarak da bilinen tarz tollendo Tollens ( Latince ve "uzak alarak uzaklaştırılması yöntemi" için) , sonucu inkar , bir olan tümdengelim argüman formu ve çıkarsama kuralı . Modus tollens "P ise, o zaman Q. Q değil. Bu nedenle, P değil" şeklini alır. Bir ifade doğruysa, o zaman onun çelişkili olduğu genel gerçeğin bir uygulamasıdır . Bu şekilde Şekil çıkarım gelen P Q anlaşılacağı üzere Q olumsuzlamanın P yadsýnmasý ima a, geçerli bir tartışma.

Çıkarım kuralı modus tollens'in tarihi antik çağa kadar uzanır. Modus tollens argümanını açıkça tanımlayan ilk kişi Theophrastus'tur .

Modus Tollens yakından ilişkilidir modüs ponens . İki benzer, ancak geçersiz argüman biçimi vardır : sonucu onaylamak ve öncülü reddetmek . Ayrıca bkz. çelişki ve çelişki ile ispat .

Açıklama

Bir formu modus Tollens argümanı bir benzeyen tasımı iki tesislerinde ve bir sonuca sahip:

Eğer P daha sonra, S .

Q değil .

Bu nedenle, P değil .

İlk öncül, P'nin Q'yu ima etmesi gibi koşullu ("eğer-öyleyse") bir iddiadır . İkinci öncül iddiasını olan Q , bunun sonucu olarak , koşullu istemin, söz konusu değildir. Bu iki tesislerinde itibaren mantıksal sonucuna varılabilir P , öncül koşullu iddianın da durum böyle değildir.

Örneğin:

Köpek bir davetsiz misafir tespit ederse, köpek havlayacaktır.

Köpek havlamadı.

Bu nedenle, köpek tarafından herhangi bir davetsiz misafir tespit edilmedi.

Öncüllerin her ikisinin de doğru olduğunu varsayarsak (köpek bir davetsiz misafir algılarsa havlar ve aslında havlamaz), hiçbir davetsiz misafirin tespit edilmediği sonucu çıkar. Bu geçerli bir argümandır çünkü öncüller doğruysa sonucun yanlış olması mümkün değildir. (Köpeğin tespit etmediği bir davetsiz misafirin olabileceği düşünülebilir, ancak bu argümanı geçersiz kılmaz; ilk öncül "köpek bir davetsiz misafir tespit ederse " dir. Önemli olan köpeğin tespit etmesi veya yapmasıdır. bir davetsiz misafir algılamayın, olup olmadığını değil.)

Başka bir örnek:

Baltalı katil bensem, balta kullanabilirim.

Balta kullanamıyorum.

Bu nedenle, baltalı katil ben değilim.

Başka bir örnek:

Rex bir tavuksa, o bir kuştur.

Rex bir kuş değil.

Bu nedenle, Rex bir tavuk değildir.

İlişkisi modüs ponens

Her kullanım modus Tollens bir kullanımına dönüştürülen olabilir modüs ponens ve biri kullanımına aktarılması maddi bir ima olduğunu öncül. Örneğin:

Eğer P daha sonra, S . (öncül – maddi ima)

Değilse Q , o zaman P . (aktarma ile türetilmiştir)

Q değil . (Öncül)

Bu nedenle, P değil . ( modus ponens tarafından türetilmiştir )

Benzer şekilde, modus ponens'in her kullanımı , modus tollens ve yer değiştirme kullanımına dönüştürülebilir .

resmi gösterim

Modus'un Tollens kural resmen olarak ifade edilebilir:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\dolayısıyla \neg P}}}$

burada "P, Q'yu ima eder" ifadesi anlamına gelir. "Q değil" (veya kısaca "Q değil") anlamına gelir. Ardından, " " ve " " her biri kendi başına bir ispat satırı olarak göründüğünde , " " geçerli bir şekilde bir sonraki satıra yerleştirilebilir. ${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\görüntüleme stili \neg Q}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\görüntüleme stili \neg Q}$${\görüntüleme stili \neg P}$

Modus'un Tollens kural yazılabilir sequent gösterimde:

${\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P}$

burada A, metalogical sembolü, yani a, sentaktik sonucu arasında ve bazı mantıksal sistem ; ${\görüntüleme stili \vdash }$${\görüntüleme stili \neg P}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\görüntüleme stili \neg Q}$

veya işlevsel bir totoloji veya önerme mantığı teoreminin ifadesi olarak :

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}$

önermeler nerede ve bazı biçimsel sistemlerde ifade edilirler ; ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$

veya varsayımlar dahil:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}}$

Kural, varsayımlar kümesini değiştirmediğinden, bu kesinlikle gerekli değildir.

Modus tollens içeren daha karmaşık yeniden yazmalar , örneğin küme teorisinde sıklıkla görülür :

${\ Displaystyle P\subseteq Q}$

${\görüntüleme stili x\Q değil}$

${\displaystyle \bu nedenle x\notin P}$

("P, Q'nun bir alt kümesidir. x, Q'da değildir. Bu nedenle, x, P'de değildir.")

Ayrıca birinci dereceden yüklem mantığında :

${\görüntüleme stili\tüm x için:~P(x)\to Q(x)}$

${\görüntüleme stili \neg Q(y)}$

${\görüntüleme stili \bu nedenle ~\neg P(y)}$

("Tüm x için, eğer x P ise, o zaman x, Q'dur. y, Q değildir. Bu nedenle, y, P değildir.")

Kesin konuşmak gerekirse, bunlar modus tollens örnekleri değildir , ancak birkaç ekstra adım kullanılarak modus tollens'ten türetilebilirler .

Doğruluk tablosu aracılığıyla gerekçe

Modus tollens'in geçerliliği bir doğruluk tablosu aracılığıyla açıkça gösterilebilir .

P	Q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Modus tollens örneklerinde, p → q'nun doğru ve q'nun yanlış olduğunu öncül olarak kabul ederiz. Doğruluk tablosunun yalnızca bir satırı vardır - dördüncü satır - bu iki koşulu karşılayan. Bu satırda p yanlıştır. Bu nedenle, p → q'nun doğru ve q'nun yanlış olduğu her durumda, p de yanlış olmalıdır.

resmi kanıt

Ayrık kıyas yoluyla

Adım	önerme	türetme
1	${\ Displaystyle P\rightarrow Q}$	verilen
2	${\görüntüleme stili \neg Q}$	verilen
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Maddi çıkarım (1)
4	${\görüntüleme stili \neg P}$	Ayırıcı kıyas (3,2)

Via reductio ad absurdum

Adım	önerme	türetme
1	${\ Displaystyle P\rightarrow Q}$	verilen
2	${\görüntüleme stili \neg Q}$	verilen
3	${\görüntüleme stili P}$	Varsayım
4	${\görüntüleme stili Q}$	Modus ponens (1,3)
5	${\displaystyle Q\land \neg Q}$	Bağlaç tanıtımı (2,4)
6	${\görüntüleme stili \neg P}$	Reductio ad absurdum (3,5)
7	${\displaystyle \neg Q\sağ ok \neg P}$	Koşullu giriş (2,6)

karşıtlık yoluyla

Adım	önerme	türetme
1	${\ Displaystyle P\rightarrow Q}$	verilen
2	${\görüntüleme stili \neg Q}$	verilen
3	${\displaystyle \neg Q\sağ ok \neg P}$	çelişki (1)
4	${\görüntüleme stili \neg P}$	Modus ponens (2,3)

Diğer matematiksel çerçevelerle yazışmalar

olasılık hesabı

Modus tollens şu şekilde ifade edilen Bayes teoremi ile birleştirilmiş toplam olasılık yasasının bir örneğini temsil eder :

${\displaystyle \Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,}$,

burada koşullu ve Bayes teoremi (genişletilmiş hali) ile elde edilir: ${\displaystyle \Pr(P\mid Q)}$${\displaystyle \Pr(P\mid \l değil Q)}$

${\displaystyle \Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr( Q\mid \lnotP)\,a(\lnot P)}}\;\;\;}$ve . ${\displaystyle \;\;\;\Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\L değil Q\mid \lP değil)\,a(\P değil)}}}$

Yukarıdaki denklemlerde belirtmektedir olasılığı ve belirtmektedir taban değeri (aka. Önceki olasılık arasında) . Koşullu olasılık mantıklı bir ifade genelleştirir biz de açıklamaya herhangi olasılığını atayabilirsiniz DOĞRU veya YANLIŞ atama ek olarak, yani. Bunun DOĞRU olmaya eşdeğer olduğunu ve bunun YANLIŞ olmaya eşdeğer olduğunu varsayın . O zaman ve ne zaman olduğunu görmek kolaydır . Bunun nedeni , son denklemde öyle olmasıdır . Bu nedenle, birinci denklemdeki çarpım terimleri her zaman YANLIŞ olmaya eşdeğer olan bir sıfır faktöre sahiptir . Bu nedenle, Bayes teoremi ile birleştirilmiş toplam olasılık yasası , modus tollens'in bir genellemesini temsil eder . ${\görüntüleme stili \Pr(Q)}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili bir(P)}$${\görüntüleme stili P}$ ${\görüntüleme stili \Pr(Q\orta P)}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\görüntüleme stili \Pr(Q)=1}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili \Pr(Q)=0}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili \Pr(P)=0}$${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$${\görüntüleme stili \Pr(Q)=0}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)=0}$${\görüntüleme stili \Pr(P)=0}$${\görüntüleme stili P}$

öznel mantık

Modus tollens , aşağıdaki gibi ifade edilen öznel mantıkta kaçırma operatörünün bir örneğini temsil eder :

${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A }){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,}$,

nerede hakkında öznel görüşü belirtir ve kaynak tarafından ifade edildiği gibi bir çift iki terimli koşullu görüşü belirtir . Parametre , temel oranı (aka. önceki olasılık ) belirtir . Hakkında kaçırılan marjinal görüş belirtilir . Koşullu görüş , mantıksal ifadeyi genelleştirir , yani, DOĞRU veya YANLIŞ atamanın yanı sıra, kaynak , ifadeye herhangi bir öznel görüş atayabilir. Vaka mutlak DOĞRU görüşü kaynağına eşdeğerdir söyleyerek DOĞRUDUR ve dava mutlak YANLIŞ görüşü kaynağına eşdeğerdir söyleyerek YANLIŞ. Kaçırma operatörü arasında sübjektif mantık mutlak YANLIŞ abduced görüş üretir şartlı görüş zaman mutlak DOĞRU olduğunu ve buna bağlı olarak görüş mutlak YANLIŞ. Dolayısıyla, sübjektif mantık kaçırma ikisinin bir genelleme temsil modus Tollens ve toplam olasılık Kanun ile kombine Bayes teoremi . ${\ Displaystyle \ omega _{Q}^{A}}$${\görüntüleme stili Q}$${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$${\görüntüleme stili A}$${\ Displaystyle a_{P}}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili P}$${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q|P}^{A}}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\görüntüleme stili A}$${\ Displaystyle \ omega _{Q}^{A}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili Q}$${\ Displaystyle \ omega _{Q}^{A}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili Q}$${\ Displaystyle {\widetilde {\circledcirc }}}$${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q|P}^{A}}$${\ Displaystyle \ omega _{Q}^{A}}$

Ayrıca bakınız

• Yokluğun  kanıtı - Bir şeyin eksik olduğunu veya var olmadığını gösteren her türlü kanıt
• Latince ifadeler
• Modus operandi  – Çalışma alışkanlıkları
• Modus ponens  – Mantıksal çıkarım kuralı
• Modus vivendi  - Çatışan tarafların barış içinde bir arada yaşamasına izin veren düzenleme
• Sıra dışı
• Çelişki ile  ispat – Bir önermenin doğruluğunu veya geçerliliğini belirleyen dolaylı ispat biçimi
• çelişkili kanıt
• Stoacı mantık  - Stoacı filozoflar tarafından geliştirilen önermeler mantığı sistemi

Notlar

Kaynaklar

• Audun Jøsang, 2016, Öznel Mantık; Belirsizlik Altında Akıl Yürütme İçin Bir Biçimcilik Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1

Dış bağlantılar

• Modus Tollens Wolfram MathWorld'de