Topolar - Topos

Gelen matematik bir topos ( UK : / t ɒ p ɒ s / , ABD : / t oʊ p oʊ s , t oʊ s ɒ s / ; çoğul topo / t oʊ p ɔɪ / veya / t ɒ s ɔɪ / veya toposes ) bir olduğunu kategori olduğunu kategorisinde gibi davranır kasnaklar arasında setleri bir üzerinde topolojik uzay bir tarih: daha genel (veya sitede ). Topoi , kümeler kategorisi gibi davranır ve bir yerelleştirme kavramına sahiptir; bunlar nokta küme topolojisinin doğrudan bir genellemesidir . Grothendieck topo uygulamalar bulabilir cebirsel geometri ; daha genel temel topoi mantıkta kullanılır .

Grothendieck topos (geometride topos)

1940'larda demetlerin matematiğe girmesinden bu yana, ana tema bir uzay üzerindeki demetleri inceleyerek bir uzayı incelemek olmuştur. Bu fikir, Alexander Grothendieck tarafından bir "topos" kavramını tanıtarak açıklanmıştır . Bu kavramın ana faydası, matematikte topolojik buluşsal yöntemlerin çok etkili olduğu, ancak dürüst bir topolojik alanın eksik olduğu durumların bolluğundadır; bazen buluşsal yöntemi resmileştiren bir topos bulmak mümkündür. Bu programatik fikrin önemli bir örneği , bir şemanın étale toposudur . Grothendieck'in farklı matematiksel durumların “özünü” enkarne etme kabiliyetinin bir başka örneği, muhtemelen çok farklı dillerde yazılmış olsalar da ortak bir matematiksel içeriği paylaşan teorileri birbirine bağlamak için köprüler olarak kullanımlarıyla verilir.

eşdeğer tanımlar

Bir Grothendieck topos, aşağıdaki üç özellikten herhangi birini karşılayan bir kategori C'dir . ( Jean Giraud'un bir teoremi , aşağıdaki özelliklerin hepsinin eşdeğer olduğunu belirtir.)

Bir vardır küçük kategori D ve bir kapsama Cı ↪ Presh ( D bir sonlu kabul) sınır-koruma , sol eşlenik .
C , bir Grothendieck sitesindeki kasnak kategorisidir .
C , aşağıdaki Giraud aksiyomlarını karşılar.

Burada Presh ( D ) kategorisi belirtmektedir kontravaryant functors gelen D setleri kategori; böyle bir karşıt değişkenli functor sıklıkla presheaf olarak adlandırılır .

Giraud'un aksiyomları

C kategorisi için Giraud'un aksiyomları :

C'nin küçük bir jeneratör seti vardır ve tüm küçük eşikleri kabul eder . Ayrıca, fiber ürünler yan ürünler üzerinde dağılır. Bir dizi verilir Yani I , bir ben için birlikte-eşleme -indexed A ve morfizmanın A' → A , geri çekilme bir olduğunu ben pullbacks ait eşçarpımı -indexed:

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\sağ)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{ A}A')

.

İçinde toplamlar C ayrık bulunmaktadır. Diğer bir deyişle, bir fiber ürün , X ve Y bunların toplamı üzerinde ilk amacı, içinde C .
Tüm denklik ilişkileri içinde C olan etkili .

Son aksiyomun en fazla açıklamaya ihtiyacı var. Eğer X, bir amacı, C , bir "eşdeğerlik ilişkisi" R ' ile X'in bir haritasıdır R → X x x olarak Cı öyle ki herhangi bir nesne için Y'nin de C , indüklenen harita Hom ( Y , R ) → Hom ( Y , X, ) x Hom ( Y , X ) grubu Hom (sıradan bir eşdeğerlik ilişki veren , Y , X ). Yana Cı eş limitler sahip biz oluşturabilir coequalizer iki haritaları R → X ; buna X / R deyin . Kanonik harita ise eşdeğerlik ilişkisi "etkili"

R\to X\times _{X/R}X\,\!

bir izomorfizmdir.

Örnekler

Giraud'un teoremi zaten tam bir örnek listesi olarak "sitelerde demetler" veriyor. Bununla birlikte, eşdeğer olmayan sitelerin genellikle eşdeğer topoi'ye yol açtığına dikkat edin. Giriş bölümünde belirtildiği gibi, sıradan topolojik uzaylar üzerindeki demetler, topos teorisinin birçok temel tanımını ve sonucunu motive eder.

Kümeler ve G kümeleri kategorisi

Kategori setlerinin önemli özel durum şudur: topos teoride bir noktanın rol oynamaktadır. Gerçekten de, bir küme, bir noktadaki demet olarak düşünülebilir, çünkü tek nesneli tekil kategorideki işlevler ve yalnızca kimlik morfizmi, kümeler kategorisindeki yalnızca belirli kümelerdir.

Benzer şekilde, herhangi bir grup için -kümeler kategorisine eşdeğer bir topos vardır . Bunu, bir nesne ile kategorideki ön demetler kategorisi olarak oluşturuyoruz, ancak şimdi morfizmler grubu tarafından verilmektedir . Herhangi bir functor hedef üzerinde bir -eylem vermek zorunda olduğundan, bu -set kategorisini verir . Benzer şekilde, bir grupoid için ön demetler kategorisi, içindeki nesneler kümesi tarafından indekslenen kümelerin bir koleksiyonunu verir ve içindeki bir nesnenin otomorfizmleri , işlevcinin hedefi üzerinde bir etkiye sahiptir. ${\görüntüleme stili BG}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}}$

Halkalı alanlardan Topoi

Daha egzotik örnekler ve topos teorisinin varlık nedeni cebirsel geometriden gelir. Bir topos'da temel örnek bir Zariksi topos'da geliyor düzeni . Her şema için , ön demetler kategorisi Zarisksi topos'u oluşturan bir site (açık alt kümeler tarafından verilen nesneler ve inklüzyonlar tarafından verilen morfizmler) vardır . Ancak bir kez seçkin morfizm sınıfları göz önüne alındığında, bunun önemsiz olmayan matematiğe yol açan çoklu genellemeleri vardır. Ayrıca, topoi, cebir kategorisi üzerinde tamamen işlevler olarak şemaları incelemek için temelleri verir. ${\görüntüleme stili X}$ ${\metin{Açık}}(X)$ $(X)_{Zar}$

Bir şemaya ve hatta bir yığına bir étale topos, bir fppf topos veya bir Nisnevich topos ilişkilendirilebilir. Topos'un bir başka önemli örneği de kristalin bölgedendir . étale topos durumunda, bunlar , tamamen kendi étale temel gruplarının yapısı tarafından belirlenen cebirsel geometrideki nesneleri inceleyen anabelian geometrideki çalışmanın temel nesnelerini oluşturur .

patolojiler

Topos teorisi, bir anlamda, klasik nokta küme topolojisinin bir genellemesidir. Bu nedenle, eski ve yeni patolojik davranış örnekleri görmeyi beklemelisiniz . Örneğin, Pierre Deligne'den kaynaklanan ve hiçbir noktası olmayan önemsiz bir topos örneği vardır (bir toposun noktalarının tanımı için aşağıya bakınız).

geometrik morfizmler

Eğer ve topoi ise, bir geometrik morfizm bir çift birleşik fonksiyondur ( u ^∗ , u _∗ ) (burada u ^∗ : Y → X u _∗ : X → Y 'ye bitişik bırakılır ), öyle ki u ^∗ sonlu limitleri korur. O Not u ^* otomatik olarak sağ eşlenik sahip sayesinde eş limitler korur. ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y}$ ${\görüntüleme stili u:X\to Y}$

By Freyd en eşlenik funktoru teoremi , geometrik morfizmalar vermek X → Y bir functor vermektir u ^* : Y → X korur limitlerini ve tüm küçük eş limitler sonlu olduğunu. Böylece topoi arasındaki geometrik morfizmler, yerel haritaların analogları olarak görülebilir .

Eğer ve topolojik uzaylarsa ve bunlar arasında sürekli bir haritaysa, o zaman kasnaklar üzerindeki geri çekme ve ileri itme işlemleri, siteler için ilişkili topoiler arasında geometrik bir morfizm verir . ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y}$ ${\görüntüleme stili u}$ ${\text{Açık}}(X),{\text{Açık}}(Y)$

topoi noktaları

Bir toposun bir noktası , kümelerin toposundan 'ye geometrik bir morfizm olarak tanımlanır . ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili X}$

Eğer X, sıradan bir alan ve X bir nokta , X , bir demet alır sonra funktor F olan gövdeye F _x sıradan bir nokta bu nedenle, bir sağ eşlenik ( "dikey demet" funktor) sahip olan X , aynı zamanda, bir evrenini belirler -teorik nokta. Bunlar, x : 1 → X sürekli haritası boyunca geri-ileri itme olarak oluşturulabilir .

Bir uzayın etal toposu için , bir nokta bir nesneden biraz daha rafinedir . Bir noktayı göz önüne alındığında yatan şemasının bir nokta topos'da ait sonra ayrılabilir alan uzantısı tarafından verilen bir şekilde ilişkili harita orijinal noktadan faktörler . Daha sonra çarpanlara ayırma haritası ${\görüntüleme stili (X)_{et}}$ ${\görüntüleme stili X}$ $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili x'}$ ${\görüntüleme stili (X)_{et}}$ ${\görüntüleme stili k}$ ${\görüntüleme stili \kappa (x)}$ $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ ${\görüntüleme stili x}$

${\text{Spec}}(k)\to {\text{Spec}}(\kappa (x))$

Bir olan Etale morfizmanın şemaları.

Daha doğrusu, bunlar küresel noktalardır. Bir toposun uzay-benzeri yönünü sergilemek için kendi başlarına yeterli değildirler, çünkü önemsiz olmayan bir topos herhangi birine sahip olmayabilir. Genelleştirilmiş noktalar, bir topos Y'den ( tanım aşaması ) X'e kadar olan geometrik morfizmlerdir . Uzay benzeri yönü göstermek için bunlardan yeterince var. Örneğin, X, bir topos sınıflandırma S [ T ], bir geometrik teorisine T , evrensel özellik noktalarının modelleri söylüyor T (tanım herhangi bir aşamasında Y ).

Temel geometrik morfizmler

Bir geometrik morfizm ( u ^∗ , u _∗ ) eğer u ^∗ ek bir u ekine sahipse gereklidir _!, ya da eşdeğer olarak (birleşik fonksiyon teoremi ile) eğer u ^∗ sadece sonlu değil tüm küçük limitleri de koruyorsa.

halkalı topoi

Bir halkalı topos bir çift (X, R) , X, bir topos ve R, bir değişmeli halka nesnesi içinde X . Halkalı alanların yapılarının çoğu, halkalı topoi için geçer. Kategorisi R Modül nesneler X bir bir değişmeli kategori yeterli injectives ile. Daha kullanışlı bir değişmeli kategori, yarı-uyumlu R - modüllerinin alt kategorisidir : bunlar, bir sunumu kabul eden R- modülleridir.

Halkalı boşlukların yanı sıra bir diğer önemli halkalı topoi sınıfı, Deligne-Mumford yığınlarının étale topoi'sidir .

topoi'nin homotopi teorisi

Michael Artin ve Barry Mazur , bir topos yanlısı basit bir kümenin ( homtopiye kadar ) altında yatan siteyle ilişkilendirildi . (O Ho (pro-SS) bunu dikkate almak daha iyidir; Edwards bakınız) bu kullanma ters sistemini simplicial setleri biri olabilir bazen bir şekilde birleşen eşyerellik değişmez klasik topolojide topos teoride değişmezler ters sistemi. Bir şemanın étale toposuyla ilişkili basit yanlısı kümenin çalışmasına étale homotopi teorisi denir . İyi durumlarda (şema Noetherian ve geometrik olarak tek dallıysa ), bu basite yakın küme sonludur .

Temel topoi (mantıkta topoi)

Tanıtım

Matematiğin geleneksel bir aksiyomatik temeli, tüm matematiksel nesnelerin nihayetinde kümeler tarafından temsil edildiği küme teorisidir ( kümeler arasında eşlenen fonksiyonlar dahil ). Kategori teorisindeki daha yeni çalışmalar, bu temelin topoi kullanılarak genelleştirilmesine izin verir; her topos tamamen kendi matematiksel çerçevesini tanımlar. Küme kategorisi tanıdık bir topos oluşturur ve bu topos içinde çalışmak geleneksel küme teorik matematiğini kullanmaya eşdeğerdir. Ancak bunun yerine birçok alternatif topoi ile çalışmayı tercih edebilirsiniz. Seçim aksiyomunun standart bir formülasyonu herhangi bir toposta anlamlıdır ve geçersiz olduğu topoi'ler vardır. Konstrüktivistler , dışlanmış orta yasası olmayan bir topos üzerinde çalışmakla ilgileneceklerdir . Belirli bir G grubu altındaki simetri önemliyse, tüm G kümelerinden oluşan topos kullanılabilir .

Gruplar teorisi gibi bir cebirsel teoriyi bir topos olarak, bir sınıflandırıcı topos şeklinde kodlamak da mümkündür . Teorinin bireysel modelleri, örneğin bizim örneğimizde grupları, daha sonra karşılık gelen functors topos yapısına saygı setleri kategori kodlama topos'da den.

Resmi tanımlama

Temel çalışma için kullanıldığında bir topos aksiyomatik olarak tanımlanacaktır; küme teorisi daha sonra topos teorisinin özel bir durumu olarak ele alınır. Kategori teorisinden yola çıkarak, bir toposun birden fazla eşdeğer tanımı vardır. Aşağıdakiler kısa olma erdemine sahiptir:

Topos, aşağıdaki iki özelliğe sahip bir kategoridir:

Sonlu indeks kategorileri üzerinden alınan tüm limitler mevcuttur.
Her nesnenin bir güç nesnesi vardır. Bu , küme teorisinde güç kümesinin rolünü oynar .

Biçimsel olarak, bir elektrik nesnesi bir nesne , bir çift birlikte aşağıdaki anlamda olan sınıflandırır ilişkileri. İlk olarak, her nesne için bir morfizmin ("bir alt kümeler ailesi") bir alt nesne oluşturduğuna dikkat edin . Biçimsel olarak, bu geri çekme ile tanımlanır boyunca . Bir güç nesnesinin evrensel özelliği, her ilişkinin bu şekilde ortaya çıkması ve ilişkiler ve morfizmler arasında ikili bir yazışma vermesidir . ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili (PX,\ni _{X})}$ ${\ni _{X}}\subseteq PX\times X$ ${\görüntüleme stili I}$ $r\kolon I\to PX$ $\{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X$ ${\görüntüleme stili \ni _{X}}$ $r\times X:I\times X\to PX\times X$ $R\subseteq I\times X$ $r\kolon I\to PX$

Sonlu limitlerden ve güç nesnelerinden şunu türetebiliriz:

Sonlu indeks kategorileri üzerinden alınan tüm kolimitler mevcuttur.
Kategorinin bir alt nesne sınıflandırıcısı vardır .
Kategori Kartezyen kapalıdır .

Bazı uygulamalarda, alt nesne sınıflandırıcının rolü çok önemlidir, oysa güç nesneleri değildir. Bu nedenle bazı tanımlar, tanımlananın ve türetilenin rollerini tersine çevirir.

mantıksal işlevler

Bir mantıksal funktoru sonlu sınırları ve güç nesneleri koruyan toposes arasında bir funktoru olup. Mantıksal işlevler, topozların sahip olduğu yapıları korur. Özellikle, sonlu sınırlayıcıları, alt nesne sınıflandırıcılarını ve üstel nesneleri korurlar .

Açıklama

Yukarıda tanımlandığı gibi bir topos, bir nesnenin alt nesnesi kavramının temel veya birinci dereceden bir tanımı olduğu Kartezyen kapalı bir kategori olarak anlaşılabilir . Bu kavram, kavramlarının doğal kategorik soyutlama alt- kümesi, bir alt-grubu , bir grubun, ve daha genel olarak altcebirine herhangi bir cebirsel yapısı , topos'da kavramını öncedir. İkinci dereceden dilde sadece topoi değil, herhangi bir kategoride, yani bireysel morfizmler yerine morfizm sınıfları cinsinden tanımlanabilir. Verilen iki monics m , n, sırasıyla gelen Y ve Z için X , biz söylemek m ≤ n bir morfizmanın var olması durumunda p : Y → Z kendisi için np = m , bir uyaran ön sipariş için monics üzerinde X . Ne zaman m ≤ n ve n ≤ m biz söylemek m ve n eşdeğerdir. X'in alt nesneleri , moniklerin ona karşılık gelen denklik sınıflarıdır.

Bir topos'ta "altnesne", en azından dolaylı olarak, aşağıdaki gibi birinci dereceden bir kavram haline gelir.

Yukarıda belirtildiği gibi, bir topos, tüm sonlu limitlere ve dolayısıyla özellikle boş limite veya son nesne 1'e sahip bir kategori C'dir . Bu durumda, x : 1 → X biçimindeki morfizmleri x ∈ X öğeleri olarak ele almak doğaldır . Böylece f : X → Y morfizmaları, her bir x ∈ X öğesini fx ∈ Y öğesine eşleyen fonksiyonlara karşılık gelir ve uygulama bileşim tarafından gerçekleştirilir.

O zaman X'in bir alt nesnesini , aynı görüntüye sahip olan m : X′ → X moniklerinin bir denklik sınıfı olarak tanımlamayı düşünebiliriz { mx | x ∈ X' }. Buradaki yakalama, iki veya daha fazla morfizmin aynı işleve karşılık gelebileceğidir, yani, C (1,-): C → Küme functor'un sadık olduğu anlamında C'nin somut olduğunu varsayamayız . Örneğin kategori GRPH ve grafikler ve ilişkili homomorfizmalar olan son bir hedefi, 1, bir tepe ve bir kenar (kendi kendine döngü) ile grafiktir bir topos, ancak beton olmadığı için elemanları 1 → G bir grafiktir ve G karşılık gelmektedir ancak diğer kenarlara değil, kendi kendine döngülere veya kendi kendine döngüleri olmayan köşelere. İkinci dereceden tanımı yapar ise G ve her kendi kendine ilmeklerin alt grafiğini G (kendi noktalar ile) 'in belirgin subobjects G (her kenar ve her köşe, bir kendi kendine döngü olmadıkça), bu görüntü-bazlı bir yapar olumsuzluk. Bu, aşağıdaki Diğer örnekler bölümünde açıklandığı gibi Yoneda Lemma aracılığıyla grafik örneği ve ilgili örnekler için ele alınabilir , ancak bu daha sonra birinci dereceden olmaktan çıkar. Topoi daha soyut, genel ve birinci dereceden bir çözüm sunar.

Şekil 1. m , genel alt nesnenin t'nin f boyunca geri çekilmesi olarak .

Yukarıda işaret edildiği gibi, bir topos Cı bir subobject sınıflandırıcı Q'dan, yani bir nesne vardır C bir eleman ile t ∈ Ω, genel subobject bir C , her bu özelliğine sahip, mghorta m : X ', → X genel bir geri çekilme olarak ortaya çıkmaktadır benzersiz bir morfizm boyunca alt nesne f : X → Ω, Şekil 1'e göre. Şimdi bir moniğin geri çekilmesi bir moniktir ve t dahil tüm öğeler moniktir, çünkü herhangi bir nesneden 1'e yalnızca bir morfizm vardır, bu nedenle f boyunca t : X → Ω bir moniktir. İçin monics X ve pullbacks ile eşleşme bu nedenle t gelen Morfizm boyunca X Q için. Sonraki morfizmler, monikleri, her biri bir morfizm f : X → Ω tarafından belirlenen denklik sınıflarına böler , bu sınıfın karakteristik morfizmi, ki biz bu sınıfın f ile karakterize edilen veya adlandırılan X'in alt nesnesi olarak kabul edilir .

Bütün bunlar, somut olsun ya da olmasın, herhangi bir topo için geçerlidir. Somut durumda, yani C (1,-) sadık, örneğin kümeler kategorisi, durum fonksiyonların tanıdık davranışına indirgenir. İşte monics m : X ' → X tam enjeksiyonları dan (bire fonksiyonlar) vardır X' için X ve belirli bir görüntünün {olanlar mx | x ∈ X′ }, f : X → Ω morfizmine karşılık gelen X'in alt nesnesini oluşturur, bunun için f ⁻¹ ( t ) o görüntüdür. Bir alt nesnenin monikleri genel olarak birçok etki alanına sahip olacaktır, ancak bunların hepsi birbiriyle uyum içinde olacaktır.

Özetlemek gerekirse, bu birinci dereceden alt nesne sınıflandırıcı kavramı, daha önce herhangi bir kategori için ikinci dereceden alt nesne kavramıyla açıkça tanımlanmış olduğu gibi , monikler üzerindeki X ile aynı denklik ilişkisini örtük olarak tanımlar . Bir morfizm sınıfı üzerindeki eşdeğerlik ilişkisi kavramının kendisi, özünde ikinci derecedendir; bu, topos tanımı, yalnızca alt nesne sınıflandırıcı Ω kavramını açıkça tanımlayarak , X'in alt nesnesi kavramını karakterize edilen örtük bir sonuç olarak bırakarak (ve dolayısıyla adlandırılabilir) ilişkili morfizmi ile f : X → Ω.

Diğer örnekler

Her Grothendieck topos bir temel topos'tur, ancak bunun tersi doğru değildir (çünkü her Grothendieck topos, bir temel topos için gerekli olmayan birlikte tamdır).

Sonlu kümeler, sonlu G kümeleri (bir G grubunun sonlu bir küme üzerindeki eylemleri ) ve sonlu grafikler kategorileri, Grothendieck topoi olmayan temel topoi'lerdir.

Eğer Cı- küçük kategorisi, daha sonra funktoru kategorisi Seti ^Cı (tüm kovariant functors oluşan C ile kümelerine doğal dönüşümler Morfizm gibi) topos olup. Örneğin, iki köşe arasında birden çok yönlendirilmiş kenara izin veren türden grafiklerin Grph kategorisi bir topos'tur . Bir grafik, bir kenar kümesi ve bir tepe kümesi olmak üzere iki kümeden ve bu kümeler arasındaki iki işlev s ,t'den oluşur ve her e kenarına kaynağı s ( e ) ve hedef t ( e ) atanır . Bu nedenle Grph , Set ^C functor kategorisine eşdeğerdir ; burada C , iki E ve V nesnesi ve her bir kenarın sırasıyla kaynak ve hedefini veren iki s,t : E → V morfizmi olan kategoridir .

Yoneda Lemma olduğunu iddia C ^op içinde yerleştirmelere Seti ^C tam bir alt kategorisi olarak. Grafik örnekte gömme temsil Cı ^op alt kategori olarak belirle ^C , iki nesnelerdir 'V tek tepe no-kenar grafik gibi E' , iki tepe bir kenar grafik olarak (functors olarak her ikisi) ve iki özdeş olmayan morfizm, V' ila E' arasındaki iki grafik homomorfizmidir (her ikisi de doğal dönüşümler olarak). Doğal dönüşümler V ' isteğe bağlı bir grafik (funktor) için G tepe noktalarını oluşturan G gelenler ise E' için G kenarlarını oluşturmaktadır. Her ne kadar ayarlayın ^Cı biz belirleyebilir, GRPH ya göre beton yapılmaması V ' ya da bir E', tek başına, funktor U : GRPH → Seti ² nesne gönderme G (kümelerinin çiftine GRPH ( V' , G ), GRPH ( E' , G )) ve morfizm h : G → H için fonksiyon çiftine ( Grph ( V' , h ), Grph ( E' , h )) sadıktır. Yani, bir grafik morfizmi, uygulama hala kompozisyon olarak gerçekleştirilen, ancak şimdi çok sayıda genelleştirilmiş elemanla birlikte, biri köşeleri ve diğeri kenarları haritalayan bir çift fonksiyon olarak anlaşılabilir . Bu, nesneleri temel bir kümeye sahip olan somut bir kategorinin geleneksel kavramının, bir nesnenin birden çok temel kümeye sahip olmasına, yani çok-sıralı olmasına izin vererek daha geniş bir topoi aralığına hitap etmek için genelleştirilebileceğini gösterir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Bazı nazik kağıtlar

Edwards, DA; Hastings, HM (Yaz 1980). "Čech Teorisi: Geçmişi, Bugünü ve Geleceği" . Rocky Mountain Matematik Dergisi . 10 (3): 429–468. doi : 10.1216/RMJ-1980-10-3-429 . JSTOR 44236540 .
Baez, John . "Kısaca Topos teorisi" . Nazik bir giriş.
Steven Vickers : " Toposes pour les nuls " ve " Toposes pour les vraiment nuls " Genelleştirilmiş uzaylar olarak toposelere ilk ve hatta daha temel girişler.
İllusie, Luc (2004). "...Bir Topos nedir?" (PDF) . AMS Bildirimleri . 51 (9): 160–1.

Aşağıdaki metinler, topozlara ve kategori teorisinin temellerine kolay girişlerdir. Çok az matematiksel mantık ve küme teorisi bilenler, hatta matematikçi olmayanlar için uygun olmalıdırlar.

Lawvere, F. William ; Schanuel, Stephen H. (1997). Kavramsal Matematik: Kategorilere İlk Giriş . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-47817-5."Bilgisayar bilimcileri, mantıkçılar, fizikçiler, dilbilimciler vb. için kategorilere giriş." (kapak metninden alıntı).
Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Matematik için kümeler . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-01060-3. Matematiğin temellerini kategorik bir bakış açısıyla tanıtır.

Topozlar üzerine Grothendieck temel çalışması:

Grothendieck, A .; Verdier, JL (1972). Theorie des Topos ve Cohomologie Etale des Schémas . Matematik ders notları. 269 . Springer. doi : 10.1007/BFb0081551 . ISBN'si 978-3-540-37549-4. Cilt 2 270 doi : 10.1007/BFb0061319 ISBN 978-3-540-37987-4

Aşağıdaki monograflar, topos teorisinin bir kısmına veya tamamına bir giriş içerir, ancak öncelikle yeni başlayan öğrencilere hitap etmez. Artan zorluk derecesine göre (algılanan) sıralanmıştır.

McLarty, Colin (1992). İlköğretim Kategorileri, İlköğretim Toposes . Clarendon Basın. ISBN'si 978-0-19-158949-2.Kategori teorisi, topos teorisi ve topos mantığının temellerine güzel bir giriş. Çok az önkoşul olduğunu varsayar.
Goldblatt, Robert (2013) [1984]. Topoi: Mantığın Kategorik Analizi . Kurye Şirketi. ISBN'si 978-0-486-31796-0. İyi bir başlangıç. Robert Goldblatt'ın ana sayfasında çevrimiçi olarak mevcuttur .
Bell, John L. (2001). "Kategorik Mantığın Gelişimi" . Gabbay'da, DM; Günthner, Franz (ed.). Felsefi Mantık El Kitabı . 12 (2. baskı). Springer. s. 279–. ISBN'si 978-1-4020-3091-8.Sürüm John Bell'in ana sayfasında çevrimiçi olarak mevcuttur .
MacLane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (2012) [1994]. Geometri ve Mantıkta Kasnaklar: Topos Teorisine İlk Giriş . Springer. ISBN'si 978-1-4612-0927-0. Daha eksiksiz ve okunması daha zor.
Barr, Michael ; Wells, Charles (2013) [1985]. Topozlar, Üçlüler ve Teoriler . Springer. ISBN'si 978-1-4899-0023-4.(Çevrimiçi sürüm). Geometri ve Mantıktaki Kasnaklardan daha özlü , ancak yeni başlayanlar için zor.

Uzmanlar için referans eserler, ilk giriş için daha az uygun

Edwards, DA; Hastings, HM (1976). Geometrik topoloji uygulamaları ile Čech ve Steenrod homotopi teorileri . Matematik Ders Notları. 542 . Springer-Verlag. doi : 10.1007/BFb0081083 . ISBN'si 978-3-540-38103-7.
Borceux, Francis (1994). Kategorik Cebir El Kitabı: Cilt 3, Demet Teorisi . Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları. 52 . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-44180-3.Johnstone'un belirttiği gibi, "Borceux'un olağanüstü başyapıtı"nın üçüncü bölümü. Yine de bir giriş olarak uygundur, ancak yeni başlayanlar verilen çok miktarda materyal arasında en alakalı sonuçları tanımakta zorlanabilirler.
Johnstone, Peter T. (2014) [1977]. Topos Teorisi . Kurye. ISBN'si 978-0-486-49336-7.Uzun bir süre için standart topos teorisi özeti. Bununla birlikte, Johnstone bile bu çalışmayı "okuması çok zor ve korkaklar için değil" olarak tanımlıyor.
Johnstone, Peter T. (2002). Bir Filin Eskizleri: Bir Topos Teorisi Özeti . 2 . Clarendon Basın. ISBN'si 978-0-19-851598-2. 2010'un başlarında, bu ezici özetin planlanan üç cildinden ikisi mevcuttu.
Caramello, Olivia (2017). Teoriler, Siteler, Toposes: Matematik teorilerini topos-teorik `köprüler aracılığıyla ilişkilendirmek ve incelemek . Oxford Üniversitesi Yayınları. doi : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001 . ISBN'si 9780198758914.

Topos teorisinin özel uygulamalarını hedefleyen kitaplar

Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter; Rota, GC, ed. (2004). Kategorik Temeller: Sıra, Topoloji, Cebir ve Demet Teorisinde Özel Konular . Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları. 97 . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-83414-8. Birçok ilginç özel uygulama içerir.

Languages

In other projects