Alt nesne sınıflandırıcı - Subobject classifier

Gelen Kategori teorisi , bir subobject sınıflandırıcı bir kategori özel bir amacı Ω olduğu şekilde, sezgisel, alt nesneler herhangi bir nesne X gelen Morfizm için kategori tekabül ettiği X Q için. Tipik örneklerde, morfizmin alt nesnenin öğelerine "doğru" ve X'in diğer öğelerine "yanlış" ataması . Bu nedenle, bir alt nesne sınıflandırıcı, "doğruluk değeri nesnesi" olarak da bilinir ve kavram, mantığın kategorik açıklaması. Bununla birlikte, alt nesne sınıflandırıcılarının genellikle basit ikili mantık doğruluk değerlerinden {true, false} çok daha karmaşık olduğuna dikkat edin.

Giriş örneği

Bir örnek olarak, set Ω = {0,1} bir subobject sınıflandırıcı olan setleri kategorisinde ve işlevleri: Her alt kümesi için A ve S dahil fonksiyonu ile tanımlanan  j  : A → S biz işlevi atayabilirsiniz χ _A dan S A'nın elemanlarını tam olarak 1'e eşleyen Ω ( karakteristik fonksiyona bakınız ). S'den Ω'ya kadar her fonksiyon bu şekilde tam olarak bir A alt kümesinden ortaya çıkar .

Daha net olmak gerekirse, bir düşünün alt kümesi A ve S ( A ⊆ S ), S kümesidir. Alt küme olma kavramı,  aşağıdaki gibi tanımlanan karakteristik fonksiyon χ _A : S → {0,1} kullanılarak matematiksel olarak ifade edilebilir :

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = {\ begin {case} 0, & {\ mbox {if}} x \ notin A \\ 1, & {\ mbox {if}} x \ in A \ {case}}} sonlandır$

(Burada 1'i doğru ve 0'ı yanlış olarak yorumlar.) Karakteristik fonksiyonun rolü, hangi elemanların A alt kümesine ait olduğunu belirlemektir . Aslında, χ _A , A'nın unsurları için kesinlikle doğrudur .

Bu şekilde, S'nin tüm alt kümelerinin toplanması ve S'den Ω = {0,1} 'e kadar olan tüm haritaların toplanması izomorfiktir .

Bu kavramı kategorize etmek için, kategori teorisinde bir alt nesnenin aslında bir nesne ve tek bir oktan oluşan bir çift olduğunu hatırlayın (başka bir nesneye dahil etme olarak yorumlanır). Bu duruma göre, gerçek okla seçilir elemanı 1 'e atıfta bulunmaktadır: Gerçek : {0} → {0, 1} alt kümesi, 0 ile 1 eşleştiren bir bölgesinin S artık olarak tanımlanabilir geri çekilme ve gerçek özelliğine boyunca _A fonksiyonu , aşağıdaki diyagramda gösterilmiştir:

Bu şekilde tanımlandığında, χ bir morfizmdir Sub _C ( S ) → Hom _C (S, Ω). Tanım olarak, bu morfizm bir izomorfizm ise , a bir alt nesne sınıflandırıcıdır .

Tanım

Genel tanımı için, bir kategori ile başlayan C bir sahiptir , terminal bir nesne biz 1 amacı, Ω tarafından temsil etmektedir, C bir subobject sınıflandırıcı C bir morfizmalar mevcutsa

1 → Ω

aşağıdaki özellik ile:

Her bir monomorfizm için j : U → X benzersiz bir morfizm vardır χ _j : X → Ω öyle ki aşağıdaki değişmeli diyagram

a, geri çekme diyagramıdır -yani u olan sınır şeması:

Morfizmanın χ _j sonra adlandırılır sınıflandırma morfizmanın ile temsil edilen altnesnesi için j .

Diğer örnekler

Demet setler

Kategorisi demetler bir ilgili setleri topolojik boşluk X olan bir subobject sınıflandırıcı Ω, aşağıdaki gibi tarif edilebilir: herhangi biri için açık set u arasında X , Q ( U ) açık olan tüm alt-kümesidir U . Terminal bir amacı atar demet 1 Singleton her açık kümesine {*} , U ve X 1 Ω Maps η ailesi tarafından verilir →: morfizmanın η _U  : 1 ( u ) → Ω ( U ) tarafından tanımlanan η _U (*) = U her açık set için , U ve X . X üzerinde bir F demeti ve bir j : G → F alt demeti verildiğinde, χ _j  : F → Ω biçimlendirme sınıflandırması χ _{j, U}  : F ( U ) → Ω ( U ) haritalarının ailesi tarafından verilir , burada χ _{j, U} ( x ) her açık kümeler birleşimi olan V bölgesinin U bu kısıtlama bu x için V (kasnakların anlamında) içerdiği j _V ( G ( V )).

Kabaca konuşursak, bu topos içindeki bir iddia değişken olarak doğru veya yanlıştır ve açık bir U alt kümesinin bakış açısından doğruluk değeri , iddianın doğru olduğu U'nun açık alt kümesidir .

Ön çemberler

Küçük bir kategoriyi Verilen , kategorisi presheaves (yani funktoru kategorisi tüm kontravaryant functors oluşan için ) herhangi göndererek funktor tarafından verilen bir subobject classifer sahiptir kümesine elek üzerinde . Sınıflandırıcı morfizmler, yukarıdaki küme demetleri örneğindekilere oldukça benzer şekilde yapılandırılmıştır. ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ayarla} ^ {C ^ {op}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mathrm {Ayar}}$${\ displaystyle c \ in C}$${\ displaystyle c}$

Temel topoi

Yukarıdaki her iki örnek de aşağıdaki genel gerçek tarafından ele alınmıştır: Sonlu limitlere ve güç nesnelerine sahip bir kategori olarak tanımlanan her temel topo , zorunlu olarak bir alt nesne sınıflandırıcısına sahiptir. Yukarıdaki iki örnek Grothendieck topoi'dir ve her Grothendieck toposu temel bir topo'dur .

Ilgili kavramlar

Bir quasitopos , neredeyse bir alt nesne sınıflandırıcı olan bir nesneye sahiptir; yalnızca güçlü alt nesneleri sınıflandırır.

Notlar

Referanslar

• Artin, Michael ; Alexander Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (1964). Séminaire de Géometrie Algébrique IV . Springer-Verlag .
• Barr, Michael; Charles Wells (1985). Topozlar, Üçlüler ve Teoriler . Springer-Verlag . ISBN   0-387-96115-1 .
• Bell, John (1988). Topozlar ve Yerel Küme Teorileri: Giriş . Oxford: Oxford University Press .
• Goldblatt, Robert (1983). Topoi: Mantığın Kategorilere Göre Analizi . North-Holland , Dover Publications, Inc (2006) tarafından yeniden basılmıştır. ISBN   0-444-85207-7 .
• Johnstone, Peter (2002). Bir Filin Eskizleri: Bir Topos Teorisi Özeti . Oxford: Oxford University Press .
• Johnstone, Peter (1977). Topos Teorisi . Akademik Basın . ISBN   0-12-387850-0 .
• Mac Lane, Saunders (1998). Çalışan Matematikçi Kategorileri . Matematikte Lisansüstü Metinler . 5 (2. baskı). New York, NY: Springer-Verlag . ISBN   0-387-98403-8 . Zbl   0906.18001 .
• Mac Lane, Saunders ; Ieke Moerdijk (1992). Geometri ve Mantıkta Sheaves: Topos Teorisine İlk Giriş . Springer-Verlag . ISBN   0-387-97710-4 .
• McLarty, Colin (1992). Temel Kategoriler, Temel Topozlar . Oxford: Oxford University Press . ISBN   0-19-853392-6 .
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, editörler. (2004). Kategorik temeller. Sıra, topoloji, cebir ve demet teorisinde özel konular . Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-83414-7 . Zbl   1034.18001 .
• Taylor, Paul (1999). Matematiğin Pratik Temelleri . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-63107-6 .