Hariç tutulan orta yasası - Law of excluded middle

In mantık , dışlanmış orta kanunu (veya orta hariç ilkesi ) devletler her söz konusu önermenin , ya bu önerme ya da olumsuzluk olduğu doğrudur . Bu sözde biridir düşüncenin üç yasaları ile birlikte Çelişmeme hukuk ve kimlik yasa . Bununla birlikte, hiçbir mantık sistemi yalnızca bu yasalar üzerine kurulmaz ve bu yasaların hiçbiri modus ponens veya De Morgan yasaları gibi çıkarım kuralları sağlamaz .

Yasa olarak da bilinir yasa (ya prensip ) hariç üçte içinde, Latince principium tertii exclusi . Bu yasanın bir başka Latince tanımı da tertium non datur'dur : "üçüncü bir [olasılık] verilmez". Bu bir totolojidir .

İlke , her önermenin doğru ya da yanlış olduğunu belirten semantik bivalence ilkesiyle karıştırılmamalıdır . Çift değerlik ilkesi her zaman dışlanan orta yasayı ima ederken, tersi her zaman doğru değildir. Yaygın olarak atıfta bulunulan bir karşı örnek, şu anda kanıtlanamayan, ancak gelecekte kanıtlanabilen ifadeleri, iki değerlik ilkesi başarısız olduğunda hariç tutulan orta yasasının uygulanabileceğini göstermek için kullanır.

Tarih

Aristo

Bilinen en eski formülasyon, Aristoteles'in çelişkisizlik ilkesi tartışmasındadır , ilk olarak Yorum Üzerine'de önerilmiştir , burada iki çelişkili önermeden (yani bir önermenin diğerinin olumsuzlanması olduğu yerde) birinin doğru, diğerinin olması gerektiğini söyler. YANLIŞ. Bunu Metafizik 3. kitabında da bir ilke olarak ifade ederek, her durumda tasdikin veya inkar etmenin gerekli olduğunu, bir çelişkinin iki kısmı arasında bir şey olmasının imkansız olduğunu söyler.

Aristoteles , belirsizliğin belirsiz isimlerin kullanımından kaynaklanabileceğini, ancak gerçeklerin kendilerinde var olamayacağını yazdı:

O halde, eğer "insan" sadece bir konu hakkında bir şey ifade etmekle kalmıyor, aynı zamanda bir anlamı da varsa, "insan olmanın" tam olarak "erkek olmamak" anlamına gelmesi imkansızdır. ... Ve aynı şey olmak ve olmamak, tıpkı bizim "insan" dediğimiz, diğerlerinin "insan olmayan" dediği gibi, bir muğlaklık dışında mümkün olmayacaktır; ama söz konusu olan, aynı şeyin aynı zamanda hem isim olarak insan olup hem de olamayacağı değil, gerçekte olup olmadığıdır. ( Metafizik 4.4, WD Ross (çev.), GBWW 8, 525–526).

Aristoteles'in önerme mantığında ¬( P ∧ ¬ P ) olarak yazılacak olan "aynı şey olmak ve olmamak mümkün olmayacak" iddiası, modern mantıkçıların dışlanmış orta ( P ) yasası diyebilecekleri bir ifadedir. ∨ ¬ P ), Aristo'nun iddianın yadsınması dağılımı hiçbir ifadesi eski iddialar ne olursa olsun o, onları eşdeğer kılan olarak hem ikincisi herhangi ifadesi olmasını gerektirir iken, doğru ve yanlış ya doğru veya yanlış.

Ancak Aristoteles, "çelişkilerin aynı anda aynı şey için doğru olması imkansız olduğuna göre, açıkçası karşıtların da aynı anda aynı şeye ait olamazlar" diye yazar (Kitap IV, CH 6, s. 531). Daha sonra, "çelişkiler arasında bir aracı olamaz, ancak bir konuda herhangi bir yüklemi onaylamalı ya da reddetmeliyiz" (Kitap IV, CH 7, s. 531) önermektedir. Aristoteles'in geleneksel mantığı bağlamında , bu, dışlanmış orta, P ∨ ¬ P yasasının dikkate değer ölçüde kesin bir ifadesidir .

Ayrıca Yorum Üzerine'de Aristoteles , deniz savaşı üzerine yaptığı tartışmada, gelecekteki olası durumlar için dışlanan orta yasasını reddediyor gibi görünüyor .

Leibniz

Her zamanki biçimi, "Her yargı ya doğrudur ya da yanlıştır" [dipnot 9]..." (Kolmogorov'dan van Heijenoort, s. 421) dipnot 9: "Bu Leibniz'in çok basit formülasyonudur (bkz. Nouveaux Essais , IV. ,2)" (ibid s 421)

Bertrand Russell ve Principia Mathematica

İlke olarak ifade edilmiştir teoremi ait önermeler mantığı ile Russell ve Whitehead de Principia Mathematica olarak:

${\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p}$.

Peki "gerçek" ve "yanlış" nedir? Açılış PM'de hızlı bir şekilde bazı tanımları duyurur:

Doğruluk değerleri . Bir önermenin "gerçek-değer" dir gerçeği doğru ve eğer yalan ... "p ∨ q" nin gerçek-değer gerçeği yanlış * ise [* Bu tabir Frege kaynaklanmaktadır] ise hakikat p veya q'nun değeri doğrudur, aksi halde yanlıştır ... "~ p"nin değeri p'nin tersidir..." (s. 7-8)

Bu çok yardım değil. Ancak daha sonra, çok daha derin bir tartışmada ("Doğruluk ve Yanlışlığın Tanımı ve sistematik belirsizliği" Bölüm II bölüm III, s. 41 ff), PM , "a" ve "b" arasındaki ilişki açısından doğru ve yanlışı tanımlar. ve "algılayıcı". Örneğin, "Bu 'a', 'b'dir" (örneğin, "Bu 'a nesnesi', 'kırmızıdır'") gerçekten "' a nesnesi' bir duyu-verisidir" ve "'kırmızı' bir duyu-verisidir" anlamına gelir. ve birbirleriyle ve "Ben" ile "ilişki içinde" dururlar. Dolayısıyla, gerçekten demek istediğimiz şudur: "'Bu a nesnesinin kırmızı olduğunu algılıyorum" ve bu 3. tarafça inkar edilemez bir "gerçek"tir.

PM ayrıca bir "duyu-veri" ve bir "duyum" arasında bir ayrım tanımlar:

Yani, "bu kırmızıdır" diye yargıladığımız (dediğimiz) zaman, ortaya çıkan üç terimin, zihin ile "bu" ve "kırmızı"nın ilişkisidir. Öte yandan, "bunun kırmızılığını" algıladığımızda, zihin ve karmaşık nesne "bunun kırmızılığı" olmak üzere iki terimin bir ilişkisi vardır (s. 43-44).

Russell, PM (1910–1913) ile aynı zamanda yayınlanan Felsefenin Sorunları (1912) adlı kitabında "duyum-veri" ve "duyum" arasındaki ayrımını yineledi :

Duyumda dolaysız olarak bilinen şeylere "duyu-verileri" adını verelim: renkler, sesler, kokular, sertlikler, pürüzler vb. Bu şeylerin hemen farkına varma deneyimine "duyum" adını vereceğiz... Rengin kendisi bir duyu-verisidir, bir duyum değil. (s. 12)

Russell, aynı kitapta (Bölüm XII, Doğruluk ve Yanlışlık ) "doğruluk" ve "yanlışlık" tanımlarının ardındaki mantığı daha da açıklamıştır .

Principia Mathematica'da dışlanan orta yasasının sonuçları

Principia Mathematica , Whitehead ve Russell'daki ✸2.1 formülü, hariç tutulan orta kuralından mantıkçının argümantasyon araç setindeki en güçlü araçlardan bazılarını türetmiştir . ( Principia Mathematica'da formüller ve önermeler, baştaki bir yıldız işareti ve "✸2.1" gibi iki sayı ile tanımlanır.)

✸2.1 ~ p ∨ p "Bu, dışlanan ortanın Yasasıdır" ( PM , s. 101).

✸2.1'in ispatı kabaca şöyledir: "ilkel fikir" 1.08, p → q = ~ p ∨ q'yu tanımlar . İkame p için q , bu kural olarak verir p → p = ~ p ∨ s . Yana s → p (bu ayrı olarak kanıtlanmıştır teoremi 2.08 olan) doğru, daha sonra ~ p ∨ s doğru olmalıdır.

✸2.11 p ∨ ~ p ( Öngörülerin permütasyonuna aksiyom 1.4 tarafından izin verilir)
✸2.12 p → ~(~ p ) (Çifte olumsuzlama ilkesi, bölüm 1: "bu gül kırmızıdır" doğruysa, o zaman doğru değildir " 'bu gül kırmızı değil' doğrudur".)
✸2.13 p ∨ ~{~(~ p )} (Lemma, 2.12 ile birlikte
2.14'ü türetmek için kullanılır) ✸2.14 ~(~ p ) → p (Çifte olumsuzlama ilkesi, bölüm 2)
✸2.15 (~ p → q ) → (~ q → p ) (Dört "Transpozisyon
İlkesinden " biri. 1.03, 1.16 ve 1.17'ye benzer. Burada çok uzun bir gösterim gerekliydi.) ✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) ("Bu gül kırmızıysa o zaman bu domuz uçar" doğruysa, "Bu domuz
uçmazsa bu gül kırmızı değildir" doğrudur.) ✸ 2.17 ( ~ p → ~ q ) → ( q → p ) ("
Dönüşüm ilkelerinden" bir diğeri.) ✸2.18 (~ p → p ) → p (" İndirgeme ad absurdum'un tamamlayıcısı" olarak adlandırılır . hangi izler kendi sahtelik hipotezi doğrudur"( PM , s. 103-104).)

Bu teoremlerin çoğu -özellikle ✸2.1, ✸2.11 ve ✸2.14- sezgicilik tarafından reddedilir. Bu araçlar, Kolmogorov'un "Hilbert'in dört uygulama aksiyomu" ve "Hilbert'in iki olumsuzlama aksiyomu" (Kolmogorov, van Heijenoort, s. 335) olarak alıntı yaptığı başka bir biçime dönüştürülür.

Önermeler ✸2.12 ve ✸2.14, "çift olumsuzlama": Sezgici yazdıkları LEJ Brouwer o "dediği ifade çoklu türlerin karşılıklılık ilkesi , her sistem için bir özellik doğruluğu izler ilkedir, bu özelliğin imkansızlığının imkansızlığı" (Brouwer, age, s. 335).

Bu ilkeye genellikle "çifte olumsuzlama ilkesi" denir ( PM , s. 101-102). Dışlanan orta (✸2.1 ve ✸2.11) yasasından, PM hemen ✸2.12 ilkesini türetir. Biz yerine ~ p için p ~ vermek üzere 2.11 s ∨ ~ (~ p ) ve dolaylı tanımına (yani 1.01 p → q = ~ p ∨ q), daha sonra ~ p ∨ ~ (~ p) p = → ~ (~p). QED (2.14'ün türetilmesi biraz daha karmaşıktır.)

Reichenbach

Bu yasanın kapsayıcının "ortasını" ortadan kaldırdığı ya da onun yasasında (3) kullanıldığı , en azından iki değerli mantık için -yani bir Karnaugh haritasıyla görülebilir- doğrudur . Ve bu, Reichenbach'ın bazılarının dışlayıcının -ya da kapsayıcının - ya da .

Bu konu hakkında (kuşkusuz çok teknik terimlerle) Reichenbach şu gözlemde bulunuyor:

datur olmayan tertium

29. ( x )[ f ( x ) ∨ ~ f ( x )]

ana terimlerinde ayrıntılı değildir ve bu nedenle şişirilmiş bir formüldür. Bu gerçek belki de bazı insanların neden kapsayıcı-'veya' ile yazmayı (29) mantıksız bulduğunu ve dışlayıcı -'veya' işaretiyle yazılmasını istediğini açıklayabilir.

30. ( x )[ f ( x ) ⊕ ~ f ( x )], burada "⊕" sembolü özel-veya

hangi biçimde tamamen ayrıntılı ve dolayısıyla daha dar anlamda nomolojik olurdu . (Reichenbach, s. 376)

(30) satırında "(x)", Russell ve Reichenbach tarafından kullanılan bir form olan "herkes için" veya "herkes için" anlamına gelir; bugün sembolizm genellikle x'tir . Böylece ifadenin bir örneği şöyle görünecektir: ${\ Displaystyle \ forall }$

• ( domuz ): ( Sinekler ( domuz ) ⊕ ~ Sinekler ( domuz ))
• (Görünen ve görülmeyen tüm "domuz" örnekleri için): ("Domuz uçar" veya "Domuz uçmaz", ancak ikisi aynı anda değil)

Mantıkçılar ve Sezgiciler

1800'lerin sonundan 1930'lara kadar, Hilbert ve takipçileri arasında Hermann Weyl ve LEJ Brouwer'a karşı sert ve kalıcı bir tartışma yaşandı . Brouwer'in sezgicilik adı verilen felsefesi, 1800'lerin sonlarında Leopold Kronecker ile ciddi olarak başladı .

Hilbert, Kronecker'in fikirlerinden şiddetle hoşlanmadı:

Kronecker, inşaat olmadan varlığın olamayacağı konusunda ısrar etti. Ona göre, Paul Gordan'a [başka bir yaşlı matematikçi] gelince, Hilbert'in değişmez sistemin temelinin sonluluğuna ilişkin kanıtı basitçe matematik değildi. Öte yandan Hilbert, yaşamı boyunca, bir kavrama atanan niteliklerin asla bir çelişkiye yol açmayacağını kanıtlayabilirse, kavramın matematiksel varlığının bu şekilde kurulduğunda ısrar etmekti (Reid s. 34).

[Kronecker'in] iddiası, sonlu sayıda pozitif tam sayılarla fiilen oluşturulmadıkça hiçbir şeyin matematiksel varlığa sahip olduğunun söylenemeyeceğiydi (Reid s. 26).

Tartışmanın Hilbert üzerinde derin bir etkisi oldu. Reid, Hilbert'in ikinci sorununun ( 1900'de Paris'teki İkinci Uluslararası Konferansta Hilbert'in sorunlarından biri ) bu tartışmadan (italikler orijinalinde) geliştiğini belirtir :

İkinci probleminde [Hilbert] gerçek sayıların aritmetiğinin aksiyomlarının tutarlılığının matematiksel bir kanıtını istemişti .

Bu sorunun önemini göstermek için aşağıdaki gözlemi ekledi:

"Bir kavrama çelişkili nitelikler atfedilirse, matematiksel olarak kavramın var olmadığını söylerim " (Reid s. 71)

Böylece Hilbert şunu söylüyordu: "Eğer p ve ~ p'nin ikisinin de doğru olduğu gösterilirse, o zaman p yoktur" ve böylece çelişki yasası biçimine dönüştürülen dışlanmış orta yasasına başvuruyordu.

Ve son olarak yapılandırmacılar ... matematiği sonlu veya potansiyel olarak (fakat gerçekte değil) sonsuz yapılar üzerindeki somut işlemlerin incelenmesiyle sınırladılar; Tamamlanmış sonsuz bütünlükler ..., Hariç Tutulan Orta Yasasına dayanan dolaylı kanıtlar gibi reddedildi. Yapılandırmacılar arasında en radikal olanı, eski topolog LEJ Brouwer tarafından yönetilen sezgicilerdi (Dawson s. 49)

Kin tartışması 1900'lerin başından 1920'lere kadar devam etti; 1927'de Brouwer, "ona [sezgiciliğe] alaycı tonlarda polemik yapmaktan" şikayet etti (Brouwer, van Heijenoort, s. 492). Ancak tartışma verimliydi: Principia Mathematica (1910–1913) ile sonuçlandı ve bu çalışma, dışlanan orta yasasına kesin bir tanım verdi ve tüm bunlar, 20. yüzyılın başlarındaki matematikçiler için gerekli entelektüel bir ortam ve araçlar sağladı. :

Hınçtan ve kısmen onun doğurduğu birkaç önemli mantıksal gelişme ortaya çıktı... Zermelo'nun küme teorisi aksiyomatizasyonu (1908a) ... bunu iki yıl sonra Principia Mathematica'nın ilk cildi izledi ... Russell ve Whitehead, tip teorisi aracılığıyla, aritmetiğin çoğunun mantıkçı araçlarla nasıl geliştirilebileceğini gösterdi (Dawson s. 49).

Brouwer, tartışmayı "olumsuz" veya "yokluk"tan "yapıcı" kanıta göre tasarlanmış kanıtların kullanımına indirgedi:

Brouwer'a göre, belirli bir özelliğe sahip bir nesnenin var olduğu ifadesi, en azından prensipte böyle bir nesnenin bulunmasını veya inşa edilmesini sağlayacak bir yöntem bilindiğinde ve yalnızca kanıtlandığında ...

Hilbert doğal olarak aynı fikirde değildi.

"Saf varoluş kanıtları, bilimimizin tarihsel gelişimindeki en önemli işaretler olmuştur" diye devam etti. (Reid s. 155)

Brouwer ... dışlanan ortanın mantıksal ilkesini kabul etmeyi reddetti... Argümanı şuydu:

Kümesinin bir üyesi söz konusudur "Bir deyim olduğunu varsayalım ' S mülkiyet sahip P kümesi sonlu ise.', Öyle mümkün in ilkesinin-to her üyesi incelemek S ve üyesi olup olmadığını belirlemek S P özelliği ile veya S'nin her üyesi P özelliğinden yoksundur . Bu nedenle, Brouwer sonlu kümeler için hariç tutulan orta ilkesini geçerli kabul etti.Sonsuz kümeler için kabul etmeyi reddetti çünkü S kümesi sonsuz ise, yapamayız -prensipte bile- kümenin her bir üyesini inceleyin İncelememiz sırasında kümenin P özelliğine sahip bir üyesi bulursak , ilk alternatif doğrulanır; ancak böyle bir üye asla bulamazsak, ikinci seçenek doğrulanır. alternatifi henüz kanıtlanmadı.

Matematik teoremleri çoğu zaman, olumsuzlamanın bizi bir çelişkiye sürükleyeceği belirlenerek kanıtlandığından, Brouwer'in önerdiği bu üçüncü olasılık, şu anda kabul edilen birçok matematiksel ifadeyi sorgulayacaktır.

"Matematikçiden Hariç Tutulan Orta Prensibini almak," dedi Hilbert, "boksörün yumruklarını kullanmasını yasaklamakla aynıdır."

"Muhtemel kayıp Weyl'i rahatsız etmemiş gibi görünüyor... Brouwer'ın programı yaklaşmakta olan şeydi, Zürih'teki arkadaşlarına ısrar etti." (Reid, s. 149)}}

1941'de Yale'deki konferansında ve müteakip makalesinde Gödel bir çözüm önerdi: "evrensel bir önermenin olumsuzlanmasının, bir karşı örneğin varlığını ... ileri sürmek olarak anlaşılması gerektiği" (Dawson, s. 157))

Gödel'in dışlanmış orta nokta yasasına yaklaşımı, "'yükümlü tanımların kullanımına" karşı yapılan itirazların, "dışlanmış orta ve ilgili önermeler hesabının teoremlerinden" "daha fazla ağırlık taşıdığını" iddia etmekti (Dawson s. 156). "sistemini Σ ... önerdi ve yorumunun birkaç uygulamasından bahsederek sonuçlandırdı. Bunların arasında ~ (∀A: (A ∨ ~A)) ilkesinin (tutarsızlığa rağmen) sezgisel mantıkla tutarlılığının bir kanıtı vardı. ∃ A: ~ (A ∨ ~A)" varsayımının (Dawson, s. 157)

Tartışma zayıflamış gibiydi: matematikçiler, mantıkçılar ve mühendisler günlük işlerinde dışlanan orta (ve çift olumsuzlama) yasasını kullanmaya devam ediyor.

Dışlanan ortanın yasasının (prensibi) sezgici tanımları

Aşağıdakiler, "bilmenin" ne anlama geldiğinin ardındaki derin matematiksel ve felsefi sorunu vurgular ve aynı zamanda "yasanın" ne anlama geldiğini (yani, yasanın gerçekte ne anlama geldiğini) açıklamaya yardımcı olur. Yasayla ilgili güçlükleri ortaya çıkar: doğrulanamaz olandan (denenemez, bilinemez) ya da imkansızdan ya da yanlıştan çıkarılan gerçek çıkarımları kabul etmek istemezler. (Tüm alıntılar van Heijenoort'tan alınmıştır, italikler eklenmiştir).

Brouwer , "dışlanmış orta ilkesi" tanımını sunar; Burada "test edilebilirlik" konusunu da görüyoruz:

Sadece söz test edilebilirlik temelinde, belirli bir sonlu ana sistem içinde tasavvur mülkler için, orada tutun, ise, "orta hariç ilkesi" her sistem için her mülk [richtig] veya imkansız ya doğru prensip olduğunu , ve özellikle tamamlayıcı türlerin karşılıklılığı ilkesi, yani her sistem için bir özelliğin doğruluğunun, bu özelliğin imkansızlığının imkansızlığından çıktığı ilkesi. (335)

Kolmogorov'un tanımı Hilbert'in iki olumsuzlama aksiyomunu aktarıyor

5. A → (~ A → B )
6. ( A → B ) → { (~ A → B ) → B }

Hilbert'in ilk olumsuzlama aksiyomu, "yanlıştan her şey çıkar", ilk ima aksiyomunun yaptığı gibi, yalnızca sembolik mantığın yükselişiyle ortaya çıktı. imkansız bir şeyin sonuçları hakkında: A doğru yargısı yanlış olarak kabul edilirse B'yi kabul etmek zorundayız ...

Hilbert'in ikinci olumsuzlama aksiyomu, dışlanan orta ilkesini ifade eder. İlke burada türevler için kullanıldığı biçimde ifade edilir: B , A'dan olduğu kadar ~ A'dan da geliyorsa , B doğrudur. Her zamanki biçimi, "her yargı ya doğrudur ya da yanlıştır", yukarıda verilene eşdeğerdir.

Olumsuzlamanın ilk yorumundan, yani yargıyı doğru kabul etmenin yasaklanmasından, dışlanmış orta ilkesinin doğru olduğu kesinliğini elde etmek imkansızdır... Brouwer, bu tür transfinit yargılar durumunda, ilkesinin geçerli olduğunu göstermiştir. hariç tutulan orta bariz olarak kabul edilemez

9 Dipnot: "Bu Leibniz'in çok basit bir formülasyon (bakınız, Nouveaux ESSAIS ., IV, 2) formülasyon" terimi bir ya da bir B ya da değil- B "yargıların mantığı ile hiçbir ilgisi yoktur.

dipnot 10: "Sembolik olarak ikinci biçim şu şekilde ifade edilir:

bir ∨ ~ bir

burada ∨ "veya" anlamına gelir. İki formun eşdeğerliği kolayca kanıtlanmıştır (s. 421)

Örnekler

Örneğin, eğer P önerme ise:

Sokrates ölümlüdür.

o zaman dışlanmış orta yasası, mantıksal ayrılmanın :

Ya Sokrates ölümlüdür ya da Sokrates ölümlü değildir.

yalnızca biçimi nedeniyle doğrudur. Yani, Sokrates'in ne ölümlü ne de ölümlü olmadığı şeklindeki "orta" konum mantık tarafından dışlanır ve bu nedenle ya ilk olasılık ( Sokrates ölümlüdür ) ya da onun olumsuzlaması ( Sokrates ölümlü değildir ) Gerçek olmak.

Dışlanan orta yasasına dayanan bir argüman örneği aşağıdadır. bunu kanıtlamaya çalışıyoruz

iki irrasyonel sayı vardır ve bunlar rasyoneldir.${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili a^{b}}$

Bunun irrasyonel olduğu bilinmektedir ( kanıta bakınız ). Sayıyı düşünün ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$.

Açıkça (orta hariç) bu sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. Rasyonel ise, ispat tamamdır ve

${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$ve .${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

Ama irrasyonel ise, o zaman izin ver ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ve .${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

Sonra

${\displaystyle a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\sağ)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left ({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\sağ)}={\sqrt {2}}^{2}=2}$,

ve 2 kesinlikle rasyoneldir. Bu, kanıtı tamamlar.

Yukarıdaki argümanda, "bu sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir" iddiası, dışlanan orta yasasına başvurur. Örneğin bir sezgici , bu ifadeyi daha fazla desteklemeden bu argümanı kabul etmeyecektir. Bu, söz konusu sayının aslında irrasyonel (veya duruma göre rasyonel) olduğunun bir kanıtı şeklinde gelebilir; veya sayının rasyonel olup olmadığını belirleyebilecek sonlu bir algoritma.

Sonsuz üzerinde yapıcı olmayan kanıtlar

Yukarıdaki kanıt, sezgiciler tarafından izin verilmeyen, yapıcı olmayan bir kanıt örneğidir :

İspat yapıcı değildir, çünkü belirli sayılar vermez ve bu teoremi yerine getirir, ancak birinin çalışması gereken yalnızca iki ayrı olasılığı yerine getirir. (Aslında mantıksız ama bu gerçeğin bilinen kolay bir kanıtı yok.) (Davis 2000:220)${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

(Yukarıdaki belirli örneğin yapıcı kanıtlarını üretmek zor değildir; örneğin ve her ikisinin de irrasyonel olduğu kolayca gösterilebilir ve sezgiciler tarafından izin verilen bir kanıt). ${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$${\displaystyle b=\log _{2}9}$${\görüntüleme stili a^{b}=3}$

By olmayan yapıcı Davis yollarla "bir kanıtıdır aslında olduğu belirli koşulları sağlayarak matematik kişiler söz konusu açıkça varlıkları sergilemek için bir yöntem sağlamaktır olmazdı." Diye (s. 85). Bu tür kanıtlar, sezgiciler tarafından sonsuzluğa genişletildiğinde izin verilmeyen bir nosyon olan tamamlanmış bir bütünlüğün varlığını varsayar -onlara göre sonsuz asla tamamlanamaz:

Klasik matematikte , sezgicilerin kabul etmediği, yapıcı olmayan veya dolaylı varlık kanıtları vardır. Örneğin, P ( n ) olacak şekilde bir n'nin var olduğunu kanıtlamak için , klasik matematikçi, P ( n ) için değil, tüm n için varsayımdan bir çelişki çıkarabilir . Hem klasik hem de sezgisel mantık altında, indirgeme ad absurdum ile bu , P ( n ) değil, tüm n'leri vermez . Klasik mantık içine bu sonuç dönüştürülmesi sağlayan bir vardır n P şekildedir ( n ) değil, intuitionistic ... klasik anlamı genel olarak doğal sayılar tamamlanan sonsuz bütününde bir yerde bir orada meydana n böyle o P ( n o tamamlanmış bir bütünlük olarak doğal sayılar gebe olmadığından), ona kullanılamaz. (Kleene 1952:49–50)

David Hilbert ve Luitzen EJ Brouwer , sonsuza uzanan dışlanmış orta yasasının örneklerini veriyor. Hilbert'in örneği: "ya yalnızca sonlu sayıda asal sayı olduğu ya da sonsuz sayıda asal sayı olduğu iddiası" (Davis 2000:97'de alıntılanmıştır); ve Brouwer's: "Her matematiksel tür ya sonlu ya da sonsuzdur." (Brouwer 1923, van Heijenoort 1967:336). Genel olarak, sezgiciler, sonlu kümeler (kümeler) üzerindeki söylemle sınırlandığında, dışlanmış orta yasasının kullanımına izin verir, ancak sonsuz kümeler (örneğin doğal sayılar) üzerindeki söylemde kullanıldığında değil. Bu nedenle sezgiciler, kapsamlı iddiaya kesinlikle izin vermezler: " Sonsuz kümeler D : P veya ~ P ile ilgili tüm P önermeleri için " (Kleene 1952:48).

Dışlanan orta yasasına olası karşı örnekler, yalancı paradoksu veya Quine'in paradoksunu içerir . Bu paradoksları, özellikle bazı çözünürlükler Graham Priest 'in dialetheism LP somutlaştığı kadarıyla gerçek ve yalancı olarak Yalancı dışarı dışlanan bir teoremi olarak ortada fakat kararlılığının kanunumuz var. Bu şekilde, dışlanmış orta yasası doğrudur, ancak gerçeğin kendisi ve dolayısıyla ayrım dışlayıcı olmadığı için, ayrımlardan birinin paradoksal olup olmadığını veya hem doğru hem de yanlış olup olmadığını hemen hemen hiçbir şey söylemez.

eleştiriler

Birçok modern mantık sistemi, dışlanan orta yasasının yerine başarısızlık olarak olumsuzlama kavramı koyar . Bir önermenin doğru ya da yanlış olması yerine, bir önerme ya doğrudur ya da doğruluğu kanıtlanamaz. Bu iki dikotomi, yalnızca tamamlanmamış mantıksal sistemlerde farklılık gösterir . Başarısızlık olarak olumsuzlama ilkesi, otoepistemik mantığın temeli olarak kullanılır ve mantık programlamasında yaygın olarak kullanılır . Bu sistemlerde programcı, dışlanmış orta kuralı gerçek bir gerçek olarak ileri sürmekte özgürdür, ancak bu sistemlere a priori yerleşik değildir .

Gibi Matematikçiler L. E. J. Brouwer ve Arend Heyting aynı zamanda modern matematik bağlamında dışlanmış orta yasasının yararlılığını karşı çıkmışlardır.

matematiksel mantıkta

Modern matematiksel mantıkta , dışlanan ortanın olası kendi kendine çelişkiye yol açtığı gösterilmiştir . Mantıkta, ne doğru ne de yanlış olabilecek, iyi inşa edilmiş önermeler yapmak mümkündür; Bunun yaygın bir örneği " Yalancı paradoksu ", kendisi ne doğru ne de yanlış olabilen "bu ifade yanlıştır" ifadesidir. Dışlanan orta yasası, "Bu ifade yanlış değildir" ifadesinin olumsuzlanması olarak burada hala geçerlidir, doğru olarak atanabilir. Gelen set teorisi , böyle bir kendini referans paradoks seti "kendilerini içermeyen tüm kümelerin kümesi" inceleyerek oluşturulabilir. Bu küme açık bir şekilde tanımlanmıştır, ancak bir Russell paradoksuna yol açar : küme, öğelerinden biri olarak kendisini içeriyor mu? Ancak, modern Zermelo-Fraenkel küme teorisinde , bu tür bir çelişki artık kabul edilmemektedir.

benzer yasalar

Bazı mantık sistemlerinin farklı ama benzer yasaları vardır. Bazı sonlu n- değerli mantıklar için , dışlanmış n + 1'inci yasa olarak adlandırılan benzer bir yasa vardır . Olumsuzlama döngüsel ise ve "∨" bir "maks operatör" ise, yasa nesne dilinde (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P) ile ifade edilebilir, burada " ~...~" n −1 olumsuzluk işaretini ve "∨ ... ∨" n −1 ayrılma işaretini temsil eder. Cümle en azından birini almak zorunda olduğunu kontrol etmek kolaydır n doğruluk değerlerine (ve biri değil bir değer n ).

Diğer sistemler yasayı tamamen reddeder.

Ayrıca bakınız

• Brouwer-Hilbert tartışması : dışlanan ortanın Yasası etrafındaki biçimci-sezgici bölünme üzerine bir açıklama
• Consequentia mirabilis  – Önerme mantığında akıl yürütme modeli
• Diaconescu teoremi
• Hariç tutulan dördüncü kanun
• Dışlanan orta yasası üçlü mantık ve bulanık mantık gibi çok değerli mantıklarda doğru değildir - Belirsizlik  hakkında akıl yürütme sistemi
• düşünce yasaları
• Sınırlı her şeyi bilme ilkesi  – Matematiksel kavram
• Mantıksal grafikler : önerme mantığı için bir grafik sözdizimi
• Peirce yasası  - Mantık ve felsefede kullanılan aksiyom: sezgiyi klasik hale getirmenin başka bir yolu
• Mantıksal determinizm : uygulama orta ila modal hariç tutulur  - Biçimsel mantık önermelerinin türü
• Dışlanan orta yasasının doğru olmadığı başka bir sistem olan Prasangika Budizm okulunda onaylamayan olumsuzlama
• matematiksel yapılandırmacılık
• Yapıcı küme teorisi

Dipnotlar

Referanslar

• Aquinas, Thomas , " Summa Theologica ", İngiliz Dominik Eyaletinin Babaları (çev.), Daniel J. Sullivan (ed.), cilt. 19-20 Robert Maynard Hutchins (ed.), Great Books of the Western World , Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. GB 19-20 olarak anılır.
• Aristoteles , " Metafizik ", WD Ross (çev.), cilt. 8 Robert Maynard Hutchins (ed.), Great Books of the Western World , Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Atıf GB 8 olarak verilmiştir. 1st yayınlanmış, WD Ross (çev.), The Works of Aristotle , Oxford University Press, Oxford, Birleşik Krallık.
• Martin Davis 2000, Mantık Motorları: Matematikçiler ve Bilgisayarın Kökeni , WW Norton & Company, NY, ISBN  0-393-32229-7 pbk.
• Dawson, J. , Mantıksal İkilemler, Kurt Gödel'in Yaşamı ve Çalışması , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
• van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Düzeltmelerle yeniden basılmıştır, 1977.
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1923, Matematikte, özellikle fonksiyon teorisinde dışlanmış orta ilkesinin önemi üzerine [yorumla yeniden basılmıştır, s. 334, van Heijenoort]
• Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Dışlanan orta ilkesi üzerine , [yorum ile yeniden basılmıştır, s. 414, van Heijenoort]
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1927, Fonksiyon tanımlarının alanları üzerine , [yorumlarla yeniden basılmıştır, s. 446, van Heijenoort] Brouwer, (1923) adlı eserinde doğrudan ilgili olmasa da, bu yazıda tanımlanan belirli kelimeleri kullanır.
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1927(2), Biçimciliğe Sezgisel Düşünceler , [yorumla yeniden basılmıştır, s. 490, van Heijenoort]
• Stephen C. Kleene 1952 orijinal baskı, 1971 6 düzeltmeli baskı, 10. baskı 1991, Metamathematics'e Giriş , North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9 .
• Kneale, W. ve Kneale, M. , The Development of Logic , Oxford University Press, Oxford, İngiltere, 1962. Düzeltmelerle yeniden basılmıştır, 1975.
• Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell , Principia Mathematica'dan *56'ya kadar , Cambridge, University Press 1962 (1927'nin İkinci Baskısı, yeniden basılmıştır). Gizemli sembolizm nedeniyle son derece zor, ancak ciddi mantıkçılar için olmazsa olmaz.
• Bertrand Russell , Anlam ve Gerçeğe Bir Araştırma . Harvard Üniversitesi'nde Verilmiş 1940 için William James Dersleri.
• Bertrand Russell , The Problems of Philosophy, With a New Introduction by John Perry , Oxford University Press, New York, 1997 baskısı (ilk olarak 1912). Okuması çok kolay: Russell harika bir yazardı.
• Bertrand Russell , The Art of Philosophizing and Other Essays , Littlefield, Adams & Co., Totowa, NJ, 1974 baskısı (ilk basım 1968). "Çizim Çıkarımları Sanatı" üzerine harika bir makale içeriyor.
• Hans Reichenbach , Sembolik Mantığın Unsurları , Dover, New York, 1947, 1975.
• Tom Mitchell , Makine Öğrenimi , WCB McGraw-Hill, 1997.
• Constance Reid , Hilbert , Copernicus: Springer-Verlag New York, Inc. 1996, ilk kez 1969'da yayınlandı. Çoğu röportajlardan elde edilen zengin bir biyografik bilgi içerir.
• Bart Kosko , Fuzzy Thinking: The New Science of Fuzzy Logic , Hyperion, New York, 1993. Bulanık düşüncenin en iyi hali . Ama kavramlara iyi bir giriş.
• David Hume , İnsan Anlayışına İlişkin Bir Araştırma , Great Books of the Western World Encyclopædia Britannica, Cilt 35, 1952, s. 449 ff. Bu çalışma, 1758'de Hume tarafından "genç" İnsan Doğası İncelemesi: Varlık Deneysel Akıl Yürütme yöntemini Ahlaki Konulara Tanıtma Girişimi'ni yeniden yazması olarak yayımlandı . Ben, Mutabakat ilk 1739 yayınlanan yeniden basıldı: David Hume, İnsan Doğası Bir İnceleme , Penguen Classics, 1985 Ayrıca bakınız: David Applebaum , Hume'un Vision , Vega, Londra, 2001: bir kısmının bir basım An Soruşturma s. 94 ff

Dış bağlantılar

• "Çelişki" girdisi içinde Felsefe Stanford Encyclopedia