Üstel nesne - Exponential object

Gelen matematik , spesifik olarak Kategori teorisi , bir üstel nesne veya harita nesnesi bir kategorik genellemedir işlev alanı içinde grubu teori . Kategoriler tüm sonlu ürünler ve üstel nesneler denir kartezyen kapalı kategoriler . Bitişik ürünleri olmayan kategoriler ( En İyi alt kategorileri gibi ) yine de üstel bir yasaya sahip olabilir .

Tanım

Izin bir kategori olması, izin ve olmak nesneler arasında ve izin tümüne sahip ikili ürünler ile . Bir amacı , bir birlikte morfizmalar bir bir üstel bir amacı herhangi bir nesne için ise ve morfizmalar benzersiz morfizmanın vardır (adlandırılır devrik arasında ) şekilde, aşağıdaki diyagram yolculukları : ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ displaystyle Y}$${\ textstyle Z ^ {Y}}$ ${\ textstyle \ mathrm {eval} \ kolon (Z ^ {Y} \ times Y) \ rightarrow Z}$${\ displaystyle X}$${\ textstyle g \ iki nokta üst üste X \ çarpı Y \ ila Z}$${\ textstyle \ lambda g \ iki nokta üst üste X \ ila Z ^ {Y}}$${\ displaystyle g}$

Benzersiz bu şekilde tahsis her birine bir kurar izomorfizm ait hom-setleri , ${\ displaystyle \ lambda g}$${\ displaystyle g}$${\ textstyle \ mathrm {Hom} (X \ times Y, Z) \ cong \ mathrm {Hom} (X, Z ^ {Y}).}$

Eğer tüm nesneler için mevcut olarak , daha sonra funktor nesnelerin tanımlanan ve okları ile , a, hemen eş ürün functor . Bu nedenle morfizmler ve bazen birbirlerinin üstel birleşimleri olarak adlandırılır . ${\ textstyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Z, Y}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle (-) ^ {Y} \ iki nokta üst üste \ mathbf {C} \ - \ mathbf {C}}$${\ displaystyle Z \ mapsto Z ^ {Y}}$${\ displaystyle (f \ iki nokta üst üste X \ - Z) \ mapsto (f ^ {Y} \ iki nokta üst üste X ^ {Y} \ - Z ^ {Y})}$${\ displaystyle - \ times Y}$${\ displaystyle \ lambda g}$${\ displaystyle g}$

Eşitlik tanımı

Alternatif olarak, üstel nesne denklemler aracılığıyla tanımlanabilir:

• Varlığı , operasyonun varlığı ile garanti altına alınmıştır . ${\ displaystyle \ lambda g}$${\ displaystyle \ lambda -}$
• Yukarıdaki diyagramların değişebilirliği eşitlikle garanti edilmektedir . ${\ displaystyle \ forall g \ kolon X \ times Y \ to Z, \ \ mathrm {eval} \ circ (\ lambda g \ times \ mathrm {id} _ {Y}) = g}$
• Teklik eşitlik güvencesindedir . ${\ displaystyle \ lambda g}$${\ displaystyle \ forall h \ kolon X \ - Z ^ {Y}, \ \ lambda (\ mathrm {eval} \ circ (h \ times \ mathrm {id} _ {Y})) = h}$

Evrensel mülkiyet

Üstel , çarpım işlevinden nesneye evrensel bir morfizm tarafından verilir . Bu evrensel morfizm, bir nesneden ve bir morfizmden oluşur . ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle - \ times Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ textstyle \ mathrm {eval} \ kolon (Z ^ {Y} \ times Y) \ rightarrow Z}$

Örnekler

Gelen setlerinin kategorisinde , üstel nesne tüm fonksiyonların kümesidir . Haritası adildir değerlendirme haritası çiftini gönderir için . Herhangi harita için harita olduğunu Körili biçimi : ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Y \ - Z}$${\ displaystyle \ mathrm {eval} \ iki nokta üst üste (Z ^ {Y} \ kere Y) \ - Z}$${\ displaystyle (f, y)}$${\ displaystyle f (y)}$${\ displaystyle g \ iki nokta üst üste (X \ çarpı Y) \ sağ Z}$${\ displaystyle \ lambda g \ iki nokta üst üste X \ ila Z ^ {Y}}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ lambda g (x) (y) = g (x, y). \,}$

Bir Heyting cebiri , tüm üstel nesneleri içeren sınırlı bir kafestir . Heyting implication, için alternatif bir gösterimdir . Yukarıdaki birleştirme sonuçları, implication ( ) 'nın meet ( )' e doğru bitişik olduğu anlamına gelir . Bu ek şu şekilde veya daha eksiksiz olarak yazılabilir : ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle Y \ Rightarrow Z}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle \ Rightarrow: H \ times H \ - H}$${\ displaystyle \ kama: H \ times H \ - H}$${\ Displaystyle (- \ kama Y) \ dashv (Y \ Rightarrow -)}$

$${\ displaystyle (- \ kama Y): H {\ stackrel {\ longrightarrow} {\ underet {\ longleftarrow} {\ top}}} H: (Y \ Rightarrow -)}$$

Gelen topolojik boşlukların kategorisi , üstel bir amacı şartıyla Varlığından a, yerel kompakt Hausdorff alanı . Bu durumda, uzay tüm kümesidir sürekli fonksiyonlar gelen etmek ile birlikte ile kompakt-açık topoloji . Değerlendirme haritası, kümeler kategorisindeki ile aynıdır; yukarıdaki topoloji ile süreklidir. Eğer yerel kompakt Haussdorf değildir, üstel nesne (uzay olmayabilir hala var, ancak değerlendirme işlevi ihtiyacı sürekli olmayabilir çünkü üstel nesne başarısız olabilir). Bu nedenle, topolojik uzaylar kategorisi kartezyen kapalı değildir. Bununla birlikte, yerel olarak kompakt topolojik uzaylar kategorisi de kartezyen kapalı değildir, çünkü yerel olarak kompakt uzaylar için yerel olarak kompakt olması gerekmez ve . Kartezyen bir kapalı alan kategorisi, örneğin, kompakt bir şekilde oluşturulmuş Hausdorff uzayları tarafından yayılan tam alt kategori tarafından verilmektedir . ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Y}$

Gelen fonksiyonel programlama dilleri , morfizmanın sıklıkla edilir denilen ve sözdizimi genellikle edilir yazılı . Buradaki morfizm , alıntılanan ifadeleri değerlendiren bazı programlama dillerindeki eval işlevi ile karıştırılmamalıdır . ${\ displaystyle \ operatorname {eval}}$${\ displaystyle \ operatorname {uygula}}$${\ displaystyle \ lambda g}$${\ displaystyle \ operatöradı {köri} (g)}$${\ displaystyle \ operatorname {eval}}$

Ayrıca bakınız

• Kapalı tek biçimli kategori

Notlar

Referanslar

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006) [1990]. Soyut ve Somut Kategoriler (Kedilerin Sevinci) . John Wiley & Sons.
• Awodey Steve (2010). "Bölüm 6: Üstel Değerler". Kategori teorisi . Oxford New York: Oxford University Press. ISBN   978-0199237180 .
• MacLane, Saunders (1998). "Bölüm 4: Bitişik Noktalar". Çalışan matematikçi kategorileri . New York: Springer. ISBN   978-0387984032 .

Dış bağlantılar

• Üstel nesnelerin ve diğer kategorik yapıların örneklerini üreten etkileşimli Web sayfası . Jocelyn Paine tarafından yazılmıştır .