Matematiksel mantık - Mathematical logic

Matematiksel mantık , matematik içindeki mantığın incelenmesidir . Başlıca alt alanlar model teorisi , ispat teorisi , küme teorisi ve özyineleme teorisini içerir . Matematiksel mantık araştırmaları, genellikle, ifade gücü veya tümdengelim gücü gibi biçimsel mantık sistemlerinin matematiksel özelliklerini ele alır. Bununla birlikte, doğru matematiksel akıl yürütmeyi karakterize etmek veya matematiğin temellerini oluşturmak için mantık kullanımlarını da içerebilir .

Başlangıcından bu yana, matematiksel mantık, matematiğin temellerinin araştırılmasına hem katkıda bulunmuş hem de bu çalışmalar tarafından motive edilmiştir. Bu çalışma 19. yüzyılın sonlarında geometri , aritmetik ve analiz için aksiyomatik çerçevelerin geliştirilmesiyle başladı . 20. yüzyılın başlarında bu şekillendirdiği David Hilbert 'in programında temel teorilerin tutarlılığını kanıtlamak için. Sonuçları Kurt Gödel , Gerhard Gentzen ve diğerleri tutarlılığı kanıtlayan ilgili meseleleri programa kısmi çözünürlüğü sağlanır ve açıklık. Küme teorisindeki çalışmalar, küme teorisi için yaygın aksiyom sistemlerinde kanıtlanamayan bazı teoremler olmasına rağmen, neredeyse tüm sıradan matematiğin kümeler cinsinden formüle edilebileceğini göstermiştir. Matematiğin temellerindeki çağdaş çalışma, matematiğin tamamının geliştirilebileceği teoriler bulmaya çalışmaktan ziyade, genellikle matematiğin hangi bölümlerinin belirli formal sistemlerde ( ters matematikte olduğu gibi) resmileştirilebileceğini belirlemeye odaklanır .

Alt alanlar ve kapsam

Matematiksel Mantık El Kitabı 1977 yılında dört bölüme çağdaş matematiksel mantık kaba bir bölünme yapar:

  1. küme teorisi
  2. model teorisi
  3. özyineleme teorisi ve
  4. ispat teorisi ve yapıcı matematik (tek bir alanın parçaları olarak kabul edilir).

Birçok teknik ve sonuç birden fazla alan arasında paylaşılsa da, her alanın ayrı bir odağı vardır. Bu alanlar arasındaki sınır çizgileri ve matematiksel mantık ile matematiğin diğer alanlarını ayıran çizgiler her zaman keskin değildir. Gödel'in eksiklik teoremi sadece özyineleme teorisi ve ispat teorisinde bir dönüm noktası değil, aynı zamanda modal mantıkta Löb teoremine yol açmıştır . Zorlama yöntemi, küme teorisi, model teorisi ve özyineleme teorisinin yanı sıra sezgisel matematik çalışmasında kullanılır.

Kategori teorisinin matematiksel alanı birçok resmi aksiyomatik yöntem kullanır ve kategorik mantık çalışmasını içerir , ancak kategori teorisi normalde matematiksel mantığın bir alt alanı olarak kabul edilmez. Matematiğin çeşitli alanlarında uygulanabilirliği nedeniyle, Saunders Mac Lane de dahil olmak üzere matematikçiler, küme teorisinden bağımsız olarak matematik için temel bir sistem olarak kategori teorisini önerdiler. Bu temeller , klasik veya klasik olmayan mantığı kullanabilen genelleştirilmiş küme teorisi modellerine benzeyen topozları kullanır.

Tarih

Matematiksel mantık, 19. yüzyılın ortalarında matematiğin bir alt alanı olarak ortaya çıktı ve iki geleneğin birleştiğini yansıttı: biçimsel felsefi mantık ve matematik. "Lojistik", "sembolik mantık", " mantık cebiri " ve daha yakın zamanlarda basitçe "biçimsel mantık" olarak da adlandırılan matematiksel mantık, son [ondokuzuncu] yüzyılda detaylandırılan mantıksal teoriler kümesidir. yapay bir notasyon ve titiz bir tümdengelim yöntemi yardımıyla." Bu ortaya çıkmadan önce mantık, retorikle , hesaplarla , kıyas yoluyla ve felsefeyle çalışılırdı . 20. yüzyılın ilk yarısı, matematiğin temelleri üzerine şiddetli tartışmaların eşlik ettiği temel sonuçların patlamasına tanık oldu.

Erken tarih

Tarihte Çin , Hindistan , Yunanistan ve İslam dünyası dahil olmak üzere birçok kültürde mantık teorileri geliştirilmiştir . Yunan yöntemleri, özellikle Organon'da bulunan Aristoteles mantığı (veya terim mantığı), binlerce yıldır Batı biliminde ve matematiğinde geniş uygulama ve kabul gördü. Stoacılar , özellikle chrysippus , gelişimi başladı yüklem mantığı . 18. yüzyıl Avrupa'sında, biçimsel mantığın işlemlerini sembolik veya cebirsel bir şekilde ele alma girişimleri, Leibniz ve Lambert de dahil olmak üzere felsefi matematikçiler tarafından yapılmıştı , ancak emekleri yalıtılmış ve az biliniyordu.

19. yüzyıl

On dokuzuncu yüzyılın ortalarında, George Boole ve ardından Augustus De Morgan , mantığın sistematik matematiksel tedavilerini sundular. George Peacock gibi cebircilerin çalışmalarına dayanan çalışmaları , geleneksel Aristotelesçi mantık doktrinini matematiğin temellerinin incelenmesi için yeterli bir çerçeveye genişletti . Charles Sanders Peirce daha sonra Boole'un ilişkiler ve niceleyiciler için mantıksal bir sistem geliştirmek için yaptığı çalışmaları temel aldı ve 1870'den 1885'e kadar birkaç makalede yayınladı.

Gottlob Frege , 1879'da yayınlanan Begriffsschrift adlı eserinde , genellikle mantık tarihinde bir dönüm noktası olarak kabul edilen bir çalışma olan niceleyicilerle bağımsız bir mantık gelişimi sundu . Frege'nin çalışması, Bertrand Russell yüzyılın sonlarına doğru onu tanıtmaya başlayana kadar belirsiz kaldı . Frege'nin geliştirdiği iki boyutlu notasyon hiçbir zaman geniş çapta benimsenmedi ve çağdaş metinlerde kullanılmadı.

1890'dan 1905'e kadar Ernst Schröder , Vorlesungen über die Algebra der Logik'i üç cilt halinde yayınladı . Bu çalışma Boole, De Morgan ve Peirce'in çalışmalarını özetledi ve genişletti ve 19. yüzyılın sonunda anlaşıldığı şekliyle sembolik mantığa kapsamlı bir referanstı.

temel teoriler

Matematiğin uygun bir temel üzerine inşa edilmediğine dair endişeler, aritmetik, analiz ve geometri gibi matematiğin temel alanları için aksiyomatik sistemlerin geliştirilmesine yol açtı.

Mantıkta, aritmetik terimi, doğal sayılar teorisini ifade eder . Giuseppe Peano , Boole ve Schröder'in mantıksal sisteminin bir varyasyonunu kullanarak, ancak niceleyiciler ekleyerek adını ( Peano aksiyomları ) taşımaya başlayan aritmetik için bir dizi aksiyom yayınladı . Peano, o sırada Frege'nin çalışmasından habersizdi. Aynı zamanda Richard Dedekind , doğal sayıların tümevarım özellikleriyle benzersiz bir şekilde karakterize edildiğini gösterdi . Dedekind, Peano'nun aksiyomlarının biçimsel mantıksal karakterinden yoksun olan farklı bir karakterizasyon önerdi. Bununla birlikte, Dedekind'in çalışması, doğal sayılar kümesinin benzersizliği (izomorfizme kadar) ve ardıl fonksiyon ve matematiksel tümevarımdan toplama ve çarpmanın özyinelemeli tanımları da dahil olmak üzere, Peano'nun sisteminde erişilemez teoremleri kanıtladı .

19. yüzyılın ortalarında, Öklid'in geometri aksiyomlarındaki kusurlar biliniyordu. 1826'da Nikolai Lobachevsky tarafından kurulan paralel varsayımın bağımsızlığına ek olarak , matematikçiler Öklid tarafından kabul edilen bazı teoremlerin aslında onun aksiyomlarından kanıtlanamayacağını keşfettiler. Bunlar arasında, bir doğrunun en az iki nokta içerdiği veya merkezleri bu yarıçapla ayrılmış aynı yarıçaptaki dairelerin kesişmesi gerektiği teoremi vardır. Hilbert , Pasch'ın önceki çalışmalarına dayanarak geometri için eksiksiz bir aksiyom seti geliştirdi . Geometrinin aksiyomlaştırılmasındaki başarı, Hilbert'i doğal sayılar ve gerçek doğru gibi matematiğin diğer alanlarının tam aksiyomizasyonlarını aramaya motive etti . Bu, 20. yüzyılın ilk yarısında önemli bir araştırma alanı olacaktı.

19. yüzyıl , fonksiyonların yakınsaklığı teorileri ve Fourier serileri de dahil olmak üzere , gerçek analiz teorisinde büyük ilerlemelere tanık oldu . Karl Weierstrass gibi matematikçiler , hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli fonksiyonlar gibi sezgiyi genişleten fonksiyonlar oluşturmaya başladılar . Bir hesaplama kuralı veya düzgün bir grafik olarak bir fonksiyonun önceki kavramları artık yeterli değildi. Weierstrass , doğal sayıların özelliklerini kullanarak analizi aksiyomlaştırmaya çalışan analizin aritmetizasyonunu savunmaya başladı . Limit ve sürekli fonksiyonların modern (ε, δ)-tanımı, 1817'de Bolzano tarafından zaten geliştirilmişti , ancak nispeten bilinmiyordu. 1821'de Cauchy , sürekliliği sonsuz küçükler cinsinden tanımladı (bkz. Cours d'Analyse, sayfa 34). 1858'de Dedekind , çağdaş metinlerde hala kullanılan bir tanım olan rasyonel sayıların Dedekind kesimleri cinsinden gerçek sayıların bir tanımını önerdi .

Georg Cantor , sonsuz küme teorisinin temel kavramlarını geliştirdi. İlk sonuçları kardinalite teorisini geliştirdi ve gerçeklerin ve doğal sayıların farklı kardinalitelere sahip olduğunu kanıtladı . Önümüzdeki yirmi yıl boyunca, Cantor bir dizi yayında bir transfinit sayılar teorisi geliştirdi . 1891'de köşegen argümanını tanıtan gerçek sayıların sayılamazlığının yeni bir kanıtını yayınladı ve bu yöntemi Cantor'un hiçbir kümenin kendi güç kümesiyle aynı kardinaliteye sahip olamayacağı teoremini kanıtlamak için kullandı . Cantor, her kümenin iyi sıralanabileceğine inanıyordu , ancak bu sonuç için bir kanıt üretemedi ve 1895'te açık bir problem olarak bıraktı.

20. yüzyıl

20. yüzyılın ilk on yıllarında, ana çalışma alanları küme teorisi ve biçimsel mantıktı. Resmi olmayan küme teorisindeki paradoksların keşfi, bazılarının matematiğin kendisinin tutarsız olup olmadığını merak etmesine ve tutarlılığın kanıtlarını aramasına neden oldu.

1900'de Hilbert , gelecek yüzyıl için 23 problemden oluşan ünlü bir liste hazırladı. Bunlardan ilk ikisi , sırasıyla süreklilik hipotezini çözmek ve temel aritmetiğin tutarlılığını kanıtlamaktı; onuncusu, tamsayılar üzerinden çok değişkenli bir polinom denkleminin bir çözümü olup olmadığına karar verebilecek bir yöntem üretmekti . Hilbert'in 1928'de ortaya koyduğu Entscheidungsproblem'i çözme çabasında olduğu gibi, bu problemleri çözmek için yapılan sonraki çalışmalar, matematiksel mantığın yönünü şekillendirdi . Bu problem, resmileştirilmiş bir matematiksel ifade verildiğinde, ifadenin doğru mu yanlış mı olduğuna karar verecek bir prosedür istedi.

Set teorisi ve paradokslar

Ernst Zermelo , Georg Cantor'un elde edemediği bir sonucu, her setin iyi sıralanabileceğinin bir kanıtını verdi . Kanıtı elde etmek için Zermelo , matematikçiler ve küme teorisinin öncüleri arasında hararetli tartışma ve araştırma çeken seçim aksiyomunu tanıttı . Yöntemin hemen eleştirilmesi, Zermelo'nun sonucunun ikinci bir açıklamasını yayınlamasına ve doğrudan kanıtına yönelik eleştirilere değinmesine neden oldu. Bu makale, matematik camiasında seçim aksiyomunun genel kabulüne yol açtı.

Seçim aksiyomu hakkındaki şüphecilik, saf küme teorisinde yakın zamanda keşfedilen paradokslarla pekiştirildi . Cesare Burali-Forti bir paradoksu ifade eden ilk kişiydi : Burali-Forti paradoksu , tüm sıra sayılarının toplanmasının bir küme oluşturamayacağını gösteriyor. Çok kısa bir süre sonra, Bertrand Russell keşfetti Russell'ın paradoksu 1901 yılında, ve Jules Richard keşfetti Richard'ın paradoksu .

Zermelo, küme teorisi için ilk aksiyom kümesini sağladı. Bu aksiyomlar, Abraham Fraenkel tarafından önerilen ek değiştirme aksiyomu ile birlikte artık Zermelo-Fraenkel küme teorisi (ZF) olarak adlandırılmaktadır. Zermelo'nun aksiyomları, Russell paradoksunu önlemek için boyutun sınırlandırılması ilkesini içeriyordu .

1910'da Russell ve Alfred North Whitehead tarafından Principia Mathematica'nın ilk cildi yayınlandı. Bu ufuk açıcı çalışma , Russell ve Whitehead'in paradokslardan kaçınmak için geliştirdiği tamamen biçimsel bir tip teorisi çerçevesinde fonksiyonlar ve kardinalite teorisini geliştirdi. Principia Mathematica , 20. yüzyılın en etkili eserlerinden biri olarak kabul edilir, ancak tip teorisi çerçevesi matematik için temel bir teori olarak popüler olmadığı kanıtlanmıştır.

Fraenkel, seçim aksiyomunun, Zermelo'nun urelements ile küme teorisinin aksiyomlarından kanıtlanamayacağını kanıtladı . Paul Cohen'in daha sonraki çalışmaları , urelementlerin eklenmesine gerek olmadığını ve seçim aksiyomunun ZF'de kanıtlanamaz olduğunu gösterdi. Cohen'in ispatı , küme teorisinde bağımsızlık sonuçları oluşturmak için artık önemli bir araç olan zorlama yöntemini geliştirdi .

sembolik mantık

Leopold Löwenheim ve Thoralf Skolem , birinci dereceden mantığın sonsuz yapıların kardinalitelerini kontrol edemeyeceğini söyleyen Löwenheim-Skolem teoremini elde etti . Skolem, bu teoremin küme teorisinin birinci dereceden formalizasyonlarına uygulanacağını ve bu tür herhangi bir formalizasyonun sayılabilir bir modele sahip olduğunu ima ettiğini fark etti . Bu mantık dışı gerçek, Skolem'in paradoksu olarak bilinir hale geldi .

Doktora tezinde Kurt Gödel , birinci dereceden mantıkta sözdizimi ve anlambilim arasında bir yazışma kuran tamlık teoremini kanıtladı . Gödel , birinci dereceden mantıksal sonucun sonlu doğasını gösteren kompaktlık teoremini kanıtlamak için tamlık teoremini kullandı . Bu sonuçlar, matematikçiler tarafından kullanılan baskın mantık olarak birinci dereceden mantığın kurulmasına yardımcı oldu.

1931'de Gödel , Principia Mathematica ve İlişkili Sistemlerin Biçimsel Olarak Karar Verilemez Önermeleri Üzerine adlı kitabını yayınladı ve bu, yeterince güçlü, etkili birinci dereceden tüm teorilerin eksikliğini (kelimenin farklı bir anlamında) kanıtladı. Gödel'in eksiklik teoremi olarak bilinen bu sonuç, matematiğin aksiyomatik temellerine ciddi sınırlamalar getirerek Hilbert'in programına güçlü bir darbe vurdu. Herhangi bir biçimsel aritmetik teorisi içinde aritmetiğin tutarlı bir kanıtını sağlamanın imkansızlığını gösterdi. Ancak Hilbert, bir süredir eksiklik teoreminin önemini kabul etmedi.

Gödel'in teoremi, yeterince güçlü, etkili herhangi bir aksiyom sisteminin tutarlılık kanıtının, sistem tutarlıysa veya daha zayıf herhangi bir sistemde sistemin kendisinde elde edilemeyeceğini gösterir. Bu, düşündükleri sistem içinde resmileştirilemeyen tutarlılık kanıtlarının olasılığını açık bırakır. Gentzen, sonlu bir tümevarım ilkesiyle birlikte sonlu bir sistem kullanarak aritmetiğin tutarlılığını kanıtladı . Gentzen'in sonucu , ispat teorisinde anahtar araçlar haline gelen kesme eleme ve ispat teorik sıra sayıları fikirlerini ortaya çıkardı . Gödel, klasik aritmetiğin tutarlılığını daha yüksek türlerde sezgisel aritmetiğin tutarlılığına indirgeyen farklı bir tutarlılık kanıtı verdi.

Meslekten olmayanlar için sembolik mantık üzerine ilk ders kitabı, 1896'da Alice Harikalar Diyarında'nın yazarı Lewis Carroll tarafından yazılmıştır.

Diğer dalların başlangıçları

Alfred Tarski , model teorisinin temellerini geliştirdi .

1935'ten başlayarak, bir grup önde gelen matematikçi , bir dizi ansiklopedik matematik metni olan Éléments de matématique'i yayınlamak için Nicolas Bourbaki takma adı altında işbirliği yaptı . Sert ve aksiyomatik bir tarzda yazılmış bu metinler, titiz sunum ve küme-teorik temelleri vurguladı. Bu metinler tarafından oluşturulan, bijection , enjeksiyon ve surjection sözcükleri gibi terminoloji ve metinlerin kullandığı küme-teorik temeller, matematik boyunca geniş çapta benimsendi.

Hesaplanabilirlik çalışması, özyineleme teorisi veya hesaplanabilirlik teorisi olarak bilinmeye başladı , çünkü Gödel ve Kleene tarafından yapılan erken formalizasyonlar, fonksiyonların özyinelemeli tanımlarına dayanıyordu. Bu tanımlar Turing'in Turing makinelerini içeren resmileştirmesine eşdeğer gösterildiğinde , yeni bir kavramın - hesaplanabilir fonksiyon - keşfedildiği ve bu tanımın sayısız bağımsız karakterizasyonu kabul edecek kadar sağlam olduğu ortaya çıktı. 1931'de eksiklik teoremleri üzerine yaptığı çalışmada Gödel, etkin bir biçimsel sistem konusunda titiz bir kavramdan yoksundu; Yeni hesaplanabilirlik tanımlarının bu amaç için kullanılabileceğini hemen fark etti ve yalnızca orijinal makalede ima edilebilecek olan eksiklik teoremlerini genel olarak ifade etmesine izin verdi.

Özyineleme teorisinde çok sayıda sonuç 1940'larda Stephen Cole Kleene ve Emil Leon Post tarafından elde edildi . Kleene, Turing'in öngördüğü göreceli hesaplanabilirlik kavramlarını ve aritmetik hiyerarşiyi tanıttı . Kleene daha sonra özyineleme teorisini üst düzey işlevsellere genelleştirdi. Kleene ve Georg Kreisel , özellikle ispat teorisi bağlamında, sezgisel matematiğin biçimsel versiyonlarını incelediler.

Resmi mantıksal sistemler

Özünde, matematiksel mantık, resmi mantıksal sistemler kullanılarak ifade edilen matematiksel kavramlarla ilgilenir . Bu sistemler, birçok ayrıntıda farklılık gösterseler de, yalnızca sabit bir biçimsel dilde ifadeleri dikkate alma ortak özelliğini paylaşırlar. Önerme mantığı ve birinci mertebeden mantık sistemleri, matematiğin temellerine uygulanabilirlikleri ve arzu edilen ispat-teorik özellikleri nedeniyle bugün en çok çalışılan sistemlerdir . Gibi güçlü klasik mantık ikinci dereceden mantık ya infinitary mantığı da birlikte incelenir Klasik olmayan mantık gibi intuitionistic mantık .

Birinci dereceden mantık

Birinci dereceden mantık , belirli bir biçimsel mantık sistemidir . Bu sözdizimi sadece sınırlı ifadeleri kapsar iyi oluşturulmuş formüller kendi ise, semantik tüm sınırlama ile karakterize edilir Nicelik sabit için söylem alanı .

Formel mantığın ilk sonuçları, birinci dereceden mantığın sınırlarını belirledi. Löwenheim-Skolem teoremi (1919) sayılabilir birinci dereceden dildeki cümlenin bir dizi sonsuz modeli var ise o zaman her bir sonsuz cardinality en az bir modeli sahip olduğunu göstermiştir. Bu, bir dizi birinci dereceden aksiyomun doğal sayıları, gerçek sayıları veya izomorfizme kadar herhangi bir sonsuz yapıyı karakterize etmesinin imkansız olduğunu gösterir . İlk temel çalışmaların amacı, matematiğin tüm bölümleri için aksiyomatik teoriler üretmek olduğundan, bu sınırlama özellikle keskindi.

Gödel'in tamlık teoremi , birinci dereceden mantıkta mantıksal sonucun anlamsal ve sözdizimsel tanımları arasındaki denkliği kurdu . Belirli bir aksiyom kümesini karşılayan her modelde belirli bir cümle doğruysa, o zaman aksiyomlardan cümlenin sonlu bir çıkarımının olması gerektiğini gösterir. Doluluk teoremi ilk tamlık teoremi Gödel'in ispatı bir Lemma olarak göründü ve mantıkçıların önemini kavradı ve rutin uygulamak için başlamasından önceki yıllar sürdü. Bir cümle kümesinin, ancak ve ancak her sonlu alt kümenin bir modeli varsa veya başka bir deyişle, tutarsız bir formül kümesinin sonlu tutarsız bir alt kümesine sahip olması durumunda bir modeli olduğunu söyler. Tamlık ve kompaktlık teoremleri, birinci dereceden mantıktaki mantıksal sonuçların karmaşık analizine ve model teorisinin geliştirilmesine izin verir ve bunlar, matematikte birinci dereceden mantığın öne çıkmasının kilit bir nedenidir.

Gödel'in eksiklik teoremleri , birinci mertebeden aksiyomatizasyonlar için ek sınırlar koyar. İlk eksiklik teoremi tutarlı için, aritmetik yorumlama yeteneğine sahiptir mantıksal sistemini etkili bir şekilde verilen (aşağıda tanımlanmıştır) o devletler, bir (doğal sayılar için geçerlidir anlamında) doğrudur deyimi ancak mantıklı içinde kanıtlanabilir değildir vardır sistem (ve aslında mantıksal sistemle tutarlı olabilecek bazı standart olmayan aritmetik modellerinde başarısız olabilir). Örneğin, Peano aksiyomlarını ifade edebilen her mantıksal sistemde , Gödel cümlesi doğal sayılar için geçerlidir, ancak kanıtlanamaz.

Burada, sistemin dilinde herhangi bir formül verildiğinde, formülün bir aksiyom olup olmadığına karar vermek mümkünse, mantıksal bir sistemin etkin bir şekilde verildiği söylenir ve Peano aksiyomlarını ifade edebilen birine "yeterince güçlü" denir. Birinci dereceden mantığa uygulandığında, birinci eksiklik teoremi, yeterince güçlü, tutarlı, etkili herhangi bir birinci dereceden teorinin temelde eşdeğer olmayan modellere sahip olduğunu , Löwenheim-Skolem teoremi tarafından kurulandan daha güçlü bir sınırlamaya sahip olduğunu ima eder . İkinci eksiklik teoremi aritmetik için hiçbir yeterince güçlü, tutarlı, etkili aksiyomu sistemi olduğunu göstermek için yorumlanmıştır kendi tutarlılığı, ispat edebiliriz devletler Hilbert'in programı ulaşılamıyor.

Diğer klasik mantık

Birinci mertebeden mantığın yanı sıra birçok mantık çalışılmaktadır. Bunlar infinitary mantığı formüller bilgi sonsuz bir miktar sağlamak için de izin verir, ve daha yüksek dereceden mantık doğrudan semantik ayarlanan teorik bir kısmını içerir.

En iyi çalışılan sonsuz mantık . Bu mantıkta, niceleyiciler, birinci dereceden mantıkta olduğu gibi yalnızca sonlu derinliklere yuvalanabilir, ancak formüllerin içinde sonlu veya sayılabilir sonsuz bağlaçlar ve ayrılıklar olabilir. Böylece, örneğin, aşağıdaki gibi bir formül kullanarak bir nesnenin bir tam sayı olduğunu söylemek mümkündür.

Üst düzey mantıklar, yalnızca söylem alanının öğelerinin değil , aynı zamanda söylem alanının alt kümelerinin, bu tür alt kümelerin kümelerinin ve daha yüksek türdeki diğer nesnelerin nicelleştirilmesine izin verir . Semantikler, her bir yüksek tip niceleyici için ayrı bir etki alanına sahip olmak yerine, niceleyiciler bunun yerine uygun türdeki tüm nesneler arasında değişecek şekilde tanımlanır. Birinci mertebeden mantığın geliştirilmesinden önce incelenen mantıklar, örneğin Frege'nin mantığı, benzer küme-teorik yönlere sahipti. Daha yüksek mertebeden mantıklar, doğal sayılar gibi yapıların tam aksiyomizasyonlarına izin vererek daha açıklayıcı olsalar da, birinci mertebeden mantıktan tamlık ve kompaktlık teoremlerinin analoglarını karşılamazlar ve bu nedenle ispat-teorik analize daha az uygundurlar.

Başka bir mantık türü Sabit noktalı bir mantık sizinendüktif tanımlarıiçin bir yazma gibi,ilkel yinelemeli fonksiyonlar.

Birinci dereceden mantığın bir uzantısını resmi olarak tanımlayabiliriz - bu bölümdeki tüm mantığı kapsayan bir kavram çünkü bazı temel şekillerde birinci dereceden mantık gibi davranırlar, ancak genel olarak tüm mantığı kapsamaz, örneğin sezgisel, modal veya bulanık mantık .

Lindström teoremi , hem kompaktlık teoremini hem de aşağı doğru Löwenheim-Skolem teoremini karşılayan birinci mertebeden mantığın tek uzantısının birinci mertebeden mantık olduğunu ima eder .

Klasik olmayan ve modal mantık

Modal mantıklar , belirli bir formülün yalnızca doğru olmadığını, aynı zamanda mutlaka doğru olduğunu belirten bir operatör gibi ek modal operatörleri içerir. Modal mantık, matematiği aksiyomatize etmek için sıklıkla kullanılmasa da, birinci dereceden kanıtlanabilirlik ve küme teorik zorlamanın özelliklerini incelemek için kullanılmıştır.

Sezgisel mantık , Heyting tarafından Brouwer'ın resmileştirmeden kaçındığı sezgicilik programını incelemek için geliştirildi. Sezgisel mantık, özellikle, her cümlenin doğru olduğunu veya olumsuzluğunun doğru olduğunu belirten dışlanan orta yasasını içermez . Kleene'nin sezgisel mantığın kanıt teorisi ile çalışması, yapıcı bilginin sezgisel kanıtlardan kurtarılabileceğini gösterdi. Örneğin, sezgisel aritmetikte kanıtlanabilir herhangi bir toplam işlev hesaplanabilir ; Peano aritmetiği gibi klasik aritmetik teorilerinde bu doğru değildir .

cebirsel mantık

Cebirsel mantık , biçimsel mantığın anlamını incelemek için soyut cebir yöntemlerini kullanır . Temel bir örnek, klasik önerme mantığında doğruluk değerlerini temsil etmek için Boole cebirlerinin kullanımı ve sezgisel önerme mantığında doğruluk değerlerini temsil etmek için Heyting cebirlerinin kullanılmasıdır . Birinci mertebeden mantık ve daha yüksek mertebeden mantık gibi daha güçlü mantıklar, silindirik cebirler gibi daha karmaşık cebirsel yapılar kullanılarak incelenir .

Küme teorisi

Küme teorisi ,nesnelerin soyut koleksiyonları olan kümelerin incelenmesidir. Sıra sayıları ve kardinal sayılar gibi temel kavramların çoğu, küme teorisinin resmi aksiyomları geliştirilmeden önce Cantor tarafından gayri resmi olarak geliştirildi. İlk tür aksiyomlaştırılması , Zermelo nedeniyle olmak için biraz daha uzatılmış Zermelo-Fraenkel grubu teorisi hemen matematik için en yaygın olarak kullanılan temel teori (ZF),.

Von Neumann-Bernays-Gödel küme teorisi (NBG), Morse-Kelley küme teorisi (MK) ve Yeni Temeller (NF) dahil olmak üzere küme teorisinin diğer formalizasyonları önerilmiştir . Bunlardan ZF, NBG ve MK , kümelerin kümülatif hiyerarşisini tanımlamada benzerdir . New Foundations farklı bir yaklaşım benimsiyor; tüm kümelerin kümesi gibi nesnelere, küme-varoluş aksiyomlarındaki kısıtlamalar pahasına izin verir. Kripke-Platek küme teorisi sistemi, genelleştirilmiş özyineleme teorisi ile yakından ilişkilidir.

Küme teorisindeki iki ünlü ifade , seçim aksiyomu ve süreklilik hipotezidir . İlk olarak Zermelo tarafından belirtilen seçim aksiyomu, Fraenkel tarafından ZF'den bağımsız olarak kanıtlandı, ancak matematikçiler tarafından geniş çapta kabul edildi. Boş olmayan kümeler koleksiyonu verildiğinde, koleksiyondaki her kümeden tam olarak bir öğe içeren tek bir C kümesi olduğunu belirtir. Set C koleksiyonunda her setten "tercih" tek eleman olduğu söylenir. Koleksiyondaki her küme boş olmadığı için, böyle bir seçim yapma yeteneği bazıları tarafından açık olarak kabul edilirken, seçimin yapılabileceği genel, somut bir kuralın olmaması aksiyomu yapıcı olmayan kılmaktadır. Stefan Banach ve Alfred Tarski , katı bir topu sonlu sayıda parçaya ayrıştırmak için tercih edilen aksiyomun kullanılabileceğini ve daha sonra orijinal boyutta iki katı top yapmak için ölçeklendirme olmadan yeniden düzenlenebileceğini gösterdi. Banach-Tarski paradoksu olarak bilinen bu teorem, tercih edilen aksiyomun pek çok mantık dışı sonuçlarından biridir.

İlk olarak Cantor tarafından bir varsayım olarak önerilen süreklilik hipotezi, 1900 yılında David Hilbert tarafından 23 probleminden biri olarak listelendi . Gödel, süreklilik hipotezinin Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomlarından (aksiyomlu veya aksiyomsuz) aksiyomlarından çürütülemeyeceğini gösterdi. seçim), süreklilik hipotezinin tutması gereken kurulabilir küme teorisi evrenini geliştirerek . 1963'te Paul Cohen , süreklilik hipotezinin Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomlarından kanıtlanamayacağını gösterdi. Bununla birlikte, küme teorisi için yeni aksiyomların hipotezi çözmesi mümkün olduğundan, bu bağımsızlık sonucu Hilbert'in sorusunu tamamen çözmedi. Bu doğrultudaki son çalışmalar , önemi henüz net olmamakla birlikte, W. Hugh Woodin tarafından yürütülmüştür .

Küme teorisindeki çağdaş araştırmalar, büyük kardinaller ve kararlılık çalışmasını içerir . Büyük kardinaller, belirli özellikleri o kadar güçlü olan kardinal sayılardır ki, bu tür kardinallerin varlığı ZFC'de kanıtlanamaz. Tipik olarak incelenen en küçük büyük kardinal, erişilemez bir kardinal varlığı , ZFC'nin tutarlılığını zaten ima eder. Büyük kardinaller son derece yüksek olması gerçeğine rağmen önem düzeyi , onların varlığı gerçek hattının yapısı için birçok etkileri vardır. Kararlılık , belirli iki oyunculu oyunlar için kazanma stratejilerinin olası varlığına atıfta bulunur (oyunların belirlendiği söylenir ). Bu stratejilerin varlığı, gerçek çizginin ve diğer Polonya uzaylarının yapısal özelliklerini ima eder .

model teorisi

Model teorisi , çeşitli biçimsel teorilerin modellerini inceler. İşte teori belirli bir biçimsel mantık ve içinde formüllerin bir dizi imza bir süre, modeli teorisinin somut yorumunu veren bir yapıdır. Model teorisi, evrensel cebir ve cebirsel geometri ile yakından ilişkilidir, ancak model teorisi yöntemleri bu alanlardan daha fazla mantıksal hususlara odaklanır.

Belirli bir teorinin tüm modellerinin kümesine temel sınıf denir ; klasik model teorisi, belirli bir temel sınıftaki modellerin özelliklerini belirlemeye veya belirli yapı sınıflarının temel sınıfları oluşturup oluşturmadığını belirlemeye çalışır.

Niceleyici eleme yöntemi, belirli teorilerdeki tanımlanabilir kümelerin çok karmaşık olamayacağını göstermek için kullanılabilir. Tarski, reel-kapalı alanlar için niceleyici eliminasyonunu kurdu , gerçek sayıların alan teorisini de gösteren bir sonuç karar verilebilir . Ayrıca yöntemlerinin cebirsel olarak kapalı keyfi karakteristik alanlara eşit derecede uygulanabilir olduğunu kaydetti. Bundan gelişen modern bir alt alan o-minimal yapılarla ilgilidir .

Morley'in kategori teoremi , Michael D. Morley tarafından kanıtlandı , eğer sayılabilir bir dilde birinci dereceden bir teori, sayılamayan bazı kardinalitelerde kategorik ise, yani bu kardinalitenin tüm modelleri izomorfikse, o zaman tüm sayılamayan kardinalitelerde kategoriktir.

Süreklilik hipotezinin önemsiz bir sonucu, sürekliden daha az sayıda izomorfik olmayan sayılabilir modele sahip tam bir teorinin yalnızca sayılabilir sayıda modele sahip olabileceğidir. Vaught en varsayım adını, Robert Lawson Vaught , bu hatta bağımsız süreklilik hipotezinin doğru olduğunu söylüyor. Bu varsayımın birçok özel durumu oluşturulmuştur.

özyineleme teorisi

Hukuk ve de denir, hesaplanabilirlik teorisi , özelliklerini inceleyen hesaplanabilir fonksiyonlar ve Turing derece uncomputability aynı düzeyde kümeler halinde uncomputable işlevleri bölmek. Özyineleme teorisi ayrıca genelleştirilmiş hesaplanabilirlik ve tanımlanabilirlik çalışmalarını da içerir. Özyineleme teorisi1930'larda Rózsa Péter , Alonzo Church ve Alan Turing'in çalışmalarından doğduve 1940'larda Kleene ve Post tarafından büyük ölçüde genişletildi.

Klasik özyineleme teorisi, fonksiyonların doğal sayılardan doğal sayılara hesaplanabilirliğine odaklanır. Temel sonuçlar, Turing makineleri , λ hesabı ve diğer sistemler kullanılarak çok sayıda bağımsız, eşdeğer karakterizasyona sahip sağlam, kanonik bir hesaplanabilir fonksiyon sınıfı oluşturur . Daha gelişmiş sonuçlar, Turing derecelerinin yapısı ve yinelemeli olarak numaralandırılabilir kümelerin kafesi ile ilgilidir .

Genelleştirilmiş özyineleme teorisi, özyineleme teorisi fikirlerini artık zorunlu olarak sonlu olmayan hesaplamalara genişletir. Hiperaritmetik teori ve α-özyineleme teorisi gibi alanların yanı sıra daha yüksek türlerde hesaplanabilirlik çalışmasını içerir .

Özyineleme teorisindeki çağdaş araştırmalar, algoritmik rastgelelik , hesaplanabilir model teorisi ve tersine matematik gibi uygulamaların yanı sıra saf özyineleme teorisindeki yeni sonuçların incelenmesini içerir.

Algoritmik olarak çözülemeyen problemler

Özyineleme teorisinin önemli bir alt alanı algoritmik çözülemezliği inceler; bir karar problemi veya fonksiyon problemi , probleme tüm yasal girdiler için doğru cevabı döndüren olası bir hesaplanabilir algoritma yoksa algoritmik olarak çözülemez . 1936'da Church ve Turing tarafından bağımsız olarak elde edilen çözülemezlikle ilgili ilk sonuçlar, Entscheidungsproblem'in algoritmik olarak çözülemez olduğunu gösterdi . Turing bunu , hem özyineleme teorisinde hem de bilgisayar biliminde geniş kapsamlı çıkarımlarla sonuçlanan durma probleminin çözülemezliğini ortaya koyarak kanıtladı .

Sıradan matematikten karar verilemeyen problemlerin bilinen birçok örneği vardır. Grupları için kelime sorun ile algoritmik çözülemeyen kanıtlandı Pyotr Novikov 1959 W. Boone göre, bağımsız bir şekilde, 1955 ve yoğun kunduz tarafından geliştirilen bir sorun, Tibor Rado 1962, diğer iyi bilinen bir örnektir.

Hilbert'in onuncu problemi , tamsayı katsayılarına sahip çok değişkenli bir polinom denkleminin tamsayılarda bir çözümü olup olmadığını belirlemek için bir algoritma istedi. Julia Robinson , Martin Davis ve Hilary Putnam tarafından kısmi ilerleme kaydedilmiştir . Sorunun algoritmik çözülemezliği 1970 yılında Yuri Matiyasevich tarafından kanıtlandı .

Kanıt teorisi ve yapıcı matematik

İspat teorisi , çeşitli mantıksal tümdengelim sistemlerindeki resmi ispatların incelenmesidir. Bu ispatlar, matematiksel tekniklerle analizlerini kolaylaştıran resmi matematiksel nesneler olarak temsil edilir. Hilbert tarzı kesinti sistemleri , doğal kesinti sistemleriveGentzen tarafından geliştirilen ardışık hesap dahil olmak üzere çeşitli kesinti sistemleri yaygın olarak kabul edilir.

Yapıcı matematik çalışması, matematiksel mantık bağlamında, sezgisel mantık gibi klasik olmayan mantıktaki sistemlerin yanı sıra tahmin edici sistemlerin çalışmasını da içerir . Tahminciliğin ilk savunucularından biri , yalnızca tahmin yöntemlerini kullanarak gerçek analizin büyük bir bölümünü geliştirmenin mümkün olduğunu gösteren Hermann Weyl'di .

Kanıtlar tamamen sınırlı olduğu için, bir yapıdaki doğruluk olmadığı için, yapıcı matematikte kanıtlanabilirliği vurgulamak yaygındır. Klasik (ya da yapıcı olmayan) sistemlerdeki kanıtlanabilirlik ile sezgisel (ya da sırasıyla yapıcı) sistemlerdeki kanıtlanabilirlik arasındaki ilişki özellikle ilgi çekicidir. Gibi sonuçlar Gödel-Gentzen negatif çeviri onu gömmek üzere mümkündür (veya bu gösterinin tercüme intuitionistic deliller hakkında bazı özelliklerini sağlayan) intuitionistic mantığı içine klasik mantık, klasik deliller geri transfer edilecek.

Kanıt teorisinde son gelişmeler çalışma dahil kanıtı madencilik tarafından Ulrich Kohlenbach ve çalışma kanıtı-teorik ordinals tarafından Michael Rathjen .

Uygulamalar

"Matematiksel mantık, yalnızca matematiğe ve temellerine ( G. Frege , B. Russell , D. Hilbert , P. Bernays , H. Scholz , R. Carnap , S. Lesniewski , T. Skolem ) değil, aynı zamanda başarıyla uygulanmıştır. fiziğe (R. Carnap, A. Dittrich, B. Russell, CE Shannon , AN Whitehead , H. Reichenbach , P. Fevrier), biyolojiye ( JH Woodger , A. Tarski ), psikolojiye ( FB Fitch , CG Hempel ) , hukuk ve ahlaka ( K. Menger , U. Klug, P. Oppenheim), ekonomiye ( J. Neumann , O. Morgenstern ), pratik sorulara ( EC Berkeley , E. Stamm ) ve hatta metafiziğe ( J. [Jan] Salamucha, H. Scholz, JM Bochenski ) Mantık tarihine uygulamalarının son derece verimli olduğu kanıtlanmıştır ( J. Lukasiewicz , H. Scholz, B. Mates , A. Becker, E. Moody , J. Salamucha, K . Duerr, Z. Jordan, P. Boehner , JM Bochenski, S. [Stanislaw] T. Schayer, D. Ingalls )." "Teolojiye de başvurular yapılmıştır (F. Drewnowski, J. Salamucha, I. Thomas)."

Bilgisayar bilimi ile bağlantılar

Çalışma bilgisayar bilimi Hesaplama teorisi yakından matematiksel mantık hesaplanabilirlilik çalışmanın ilişkilidir. Ancak bir vurgu farkı var. Bilgisayar bilimcileri genellikle somut programlama dillerine ve uygulanabilir hesaplanabilirliğe odaklanırken, matematiksel mantıktaki araştırmacılar genellikle teorik bir kavram olarak hesaplanabilirliğe ve hesaplanamazlığa odaklanır.

Teorisi programlama dillerinin semantik ilgilidir modeli teorisi gibidir, programın doğrulama (özellikle model kontrolü ). Curry-Howard yazışma provaları ve programlar arasındaki ilgilidir geçirmez teorisi , özellikle intuitionistic mantık . Lambda hesabı ve birleştirici mantık gibi resmi hesaplar artık idealize edilmiş programlama dilleri olarak incelenmektedir .

Bilgisayar bilimi ayrıca otomatik teorem ispatlama ve mantık programlama gibi ispatların otomatik olarak kontrol edilmesi ve hatta bulunması için teknikler geliştirerek matematiğe katkıda bulunur .

Tanımlayıcı karmaşıklık teorisi, mantığı hesaplama karmaşıklığıyla ilişkilendirir . Bu alandaki ilk önemli sonuç, Fagin'in teoremi (1974), NP'nin tam olarak varoluşçu ikinci derece mantığın cümleleri tarafından ifade edilebilen diller kümesi olduğunu ortaya koydu .

Matematiğin temelleri

19. yüzyılda matematikçiler, kendi alanlarındaki mantıksal boşlukların ve tutarsızlıkların farkına vardılar. Bu gösterilmiştir Öklid belitsel usulün bir örnek olarak yüzyıllardır öğretilen geometri için Belitleriyle, eksiktir. Sonsuz küçüklerin kullanımı ve fonksiyonun tanımı, Weierstrass'ın hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli fonksiyonu gibi patolojik örnekler keşfedildiği için analizde gündeme geldi .

Cantor'un keyfi sonsuz kümeler üzerine çalışması da eleştirilere hedef oldu. Leopold Kronecker , matematikte sonlu, somut nesnelerin incelenmesine dönüşü onaylayarak ünlü "Tanrı tam sayıları yarattı; geri kalan her şey insanın eseridir" demişti. Kronecker'in argümanı 20. yüzyılda yapılandırmacılar tarafından ileri sürülmüş olsa da, matematik topluluğu bir bütün olarak onları reddetti. David Hilbert , "Kimse bizi Cantor'un yarattığı Cennetten kovamaz" diyerek, sonsuzun incelenmesinden yanaydı.

Matematikçiler, matematiğin büyük bölümlerini resmileştirmek için kullanılabilecek aksiyom sistemlerini aramaya başladılar. İşlev gibi daha önceki saf terimlerden belirsizliği kaldırmaya ek olarak, bu aksiyomatizasyonun tutarlılık kanıtlarına izin vermesi umuluyordu. 19. yüzyılda, bir dizi aksiyomun tutarlılığını kanıtlamanın ana yöntemi, ona bir model sağlamaktı. Bu durumda, örneğin, non-Öklid geometrisi tanımlayarak tutarlı ispat edilebilir noktası sabit bir küre ve bir noktayı ifade etmek için hat anlamına gelmek büyük daire küre üzerinde. Elde edilen yapı, bir eliptik geometri modeli , paralel varsayım dışında düzlem geometrisinin aksiyomlarını karşılar.

Biçimsel mantığın gelişmesiyle birlikte Hilbert, sistemdeki olası ispatların yapısını analiz ederek bir aksiyom sisteminin tutarlı olduğunu kanıtlamanın mümkün olup olmayacağını sordu ve bu analiz aracılığıyla bir çelişkiyi kanıtlamanın imkansız olduğunu gösterdi. Bu fikir ispat teorisi çalışmasına yol açtı . Üstelik Hilbert , izin verdiği yöntemlere atıfta bulunmak için sonlu terimini kullanarak, ancak bunları tam olarak tanımlamadan , analizin tamamen somut olması gerektiğini önerdi . Hilbert'in programı olarak bilinen bu proje, Gödel'in biçimsel aritmetik kuramlarının tutarlılığının, bu kuramlarda biçimselleştirilebilen yöntemler kullanılarak kurulamayacağını gösteren eksiklik teoremlerinden ciddi şekilde etkilenmiştir. Gentzen, sonlu tümevarım aksiyomlarıyla güçlendirilmiş bir sonlu sistemde aritmetiğin tutarlılığının bir kanıtını üretmenin mümkün olduğunu gösterdi ve bunu yapmak için geliştirdiği teknikler ispat teorisinde ufuk açıcıydı.

Matematiğin temelleri tarihindeki ikinci bir konu, klasik olmayan mantıkları ve yapıcı matematiği içerir . Yapıcı matematik çalışması, çeşitli yapıcı tanımları olan birçok farklı programı içerir . En uygun uçta, ZF küme teorisindeki, seçim aksiyomunu kullanmayan ispatlara birçok matematikçi tarafından yapıcı denir. Yapılandırmacılığın daha sınırlı versiyonları kendilerini doğal sayılarla , sayı-teorik fonksiyonlarla ve doğal sayı kümeleriyle (gerçek sayıları temsil etmek için kullanılabilir, matematiksel analiz çalışmasını kolaylaştırarak ) sınırlar. Ortak bir fikir, işlevin kendisinin var olduğu söylenmeden önce, işlevin değerlerini hesaplamanın somut bir yolunun bilinmesi gerektiğidir.

20. yüzyılın başlarında, Luitzen Egbertus Jan Brouwer , matematik felsefesinin bir parçası olarak sezgiciliği kurdu . İlk başta çok az anlaşılan bu felsefe, bir matematiksel ifadenin bir matematikçi için doğru olması için, o kişinin ifadeyi sezebilmesi , sadece doğruluğuna inanmakla kalmayıp, gerçeğinin nedenini de anlayabilmesi gerektiğini belirtti. Bu hakikat tanımının bir sonucu , dışlanan orta yasasının reddedilmesiydi, çünkü Brouwer'e göre doğruluğunun iddia edilemeyeceği, ancak onların olumsuzlamalarının da doğru olduğu iddia edilemeyecek ifadeler vardır. Brouwer'in felsefesi etkiliydi ve önde gelen matematikçiler arasında şiddetli anlaşmazlıkların nedeniydi. Daha sonra, Kleene ve Kreisel sezgici mantığın resmileştirilmiş versiyonlarını inceleyeceklerdi (Brouwer resmileştirmeyi reddetti ve çalışmalarını resmi olmayan doğal dilde sundu). BHK yorumunun ve Kripke modellerinin ortaya çıkmasıyla sezgiciliğin klasik matematikle uzlaştırılması daha kolay hale geldi .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

lisans metinleri

  • Walicki, Michal (2011). Matematiksel Mantığa Giriş . Singapur : Dünya Bilimsel Yayıncılık . ISBN'si 9789814343879.
  • Boolo, George ; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2002). Hesaplanabilirlik ve Mantık (4. baskı). Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 9780521007580.
  • Crossley, JN; Kül, CJ; Brickhill, CJ; Stillwell, JC; Williams, NH (1972). Matematiksel mantık nedir? . Londra, Oxford, New York: Oxford University Press . ISBN'si 9780198880875. Zbl  0251.02001 .
  • Enderton, Herbert (2001). Mantığa matematiksel bir giriş (2. baskı). Boston MA: Akademik Basın . ISBN'si 978-0-12-238452-3.
  • Fisher, Alec (1982). Resmi Sayı Teorisi ve Hesaplanabilirlik: Bir Çalışma Kitabı . (bağımsız çalışma için ilk kurs olarak uygundur) (1. baskı). Oxford Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-19-853188-3.
  • Hamilton, AG (1988). Matematikçiler için Mantık (2. baskı). Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-36865-0.
  • Ebbinghaus, H.-D.; Flum, J.; Thomas, W. (1994). Matematiksel Mantık (2. baskı). New York : Springer . ISBN'si 9780387942582.
  • Katz, Robert (1964). Aksiyomatik Analiz . Boston MA: DC Heath ve Şirketi .
  • Mendelson, Elliott (1997). Matematiksel Mantığa Giriş (4. baskı). Londra: Chapman & Hall . ISBN'si 978-0-412-80830-2.
  • Rautenberg, Wolfgang (2010). Matematiksel Mantığa Kısa Bir Giriş (3. baskı). New York : Springer . doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 . ISBN'si 9781441912206.
  • Schwichtenberg, Helmut (2003–2004). Matematiksel Mantık (PDF) . Münih : Mathematisches Institut der Universität München . 2016-02-24 alındı .
  • Shawn Hedman, Mantıkta ilk ders: model teorisine giriş, ispat teorisi, hesaplanabilirlik ve karmaşıklık , Oxford University Press , 2004, ISBN  0-19-852981-3 . Hesaplanabilirlik teorisi ve karmaşıklık teorisi ile yakın ilişki içinde olan mantığı kapsar
  • van Dalen, Dirk (2013). Mantık ve Yapı . Üniversitext. Berlin: Springer . doi : 10.1007/978-1-4471-4558-5 . ISBN'si 978-1-4471-4557-8.

Lisansüstü metinler

Araştırma makaleleri, monograflar, metinler ve anketler

Klasik makaleler, metinler ve koleksiyonlar

Bochenski, Jozef Maria, ed. (1959). Matematiksel Mantığın Kesinliği . Synthese Kütüphanesi, Cilt. 1. Otto Bird tarafından çevrilmiştir. Dordrecht : Springer . doi : 10.1007/978-94-017-0592-9 . ISBN'si 9789048183296.

  • Burali-Forti, Cesare (1897). Sınır ötesi sayılarla ilgili bir soru .Van Heijenoort 1976 , s. 104-111'de yeniden basılmıştır

Cantor, Georg (1874). "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen cebirsel Zahlen" (PDF) . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1874 (77): 258-262. doi : 10.1515/crll.1874.77.258 . S2CID  199545885 . Carroll, Lewis (1896). Sembolik Mantık . Kessinger Eski Baskıları. ISBN'si 9781163444955.

Soare, Robert Irving (22 Aralık 2011). "Hesaplanabilirlik Teorisi ve Uygulamaları: Klasik Hesaplanabilirlik Sanatı" (PDF) . Matematik Bölümü . Chicago Üniversitesi . 23 Ağustos 2017'de alındı . Domuzbaşı, Richard (1498). Hesaplamalar Suiseth Anglici (Litvanca). Papie: Franciscum Gyrardengum'a göre.

Dış bağlantılar