Zermelo küme teorisi - Zermelo set theory

1908'de Ernst Zermelo tarafından yayınlanan önemli bir makalede belirtildiği gibi Zermelo küme teorisi (bazen Z ^- ile gösterilir ), modern Zermelo-Fraenkel küme teorisinin (ZF) ve von Neumann-Bernays-Gödel kümesi gibi uzantılarının atasıdır. teorisi (NBG). Her zaman anlaşılmayan ve sıklıkla yanlış alıntılanan torunlarından bazı farklılıklar taşır. Bu makale , orijinal metin (İngilizce'ye çevrilmiş) ve orijinal numaralandırma ile orijinal aksiyomları ortaya koymaktadır .

Zermelo küme teorisinin aksiyomları

Aksiyomlar Zermelo küme teorisinin bunlardan bazıları (şart olmamakla birlikte tümü) kümesi varken nesneler için belirtilmiştir ve kalan nesnelerdir urelements değil setleri. Zermelo'nun dili örtük olarak bir üyelik ilişkisi ∈, bir eşitlik ilişkisi = (temel mantığa dahil değilse) ve bir nesnenin küme olup olmadığını söyleyen tekli bir yüklemi içerir. Küme teorisinin sonraki sürümleri genellikle tüm nesnelerin kümeler olduğunu varsayar, bu nedenle hiçbir öğe yoktur ve tekli yüklem gerekmez.

AXIOM I. Genişleme aksiyomu ( Aksiyom der Bestimmtheit ) "Eğer bir M kümesinin her elemanı aynı zamanda N'nin bir elemanıysa ve bunun tersi de ... o zaman M N . Kısaca, her küme elemanları tarafından belirlenir."${\görüntüleme stili \eşdeğer }$

AXIOM II. İlköğretim setleri aksiyomu ( Elementarmengen der Axiom ) "Hiç hiçbir öğesi içeren bir dizi, boş seti, ∅, söz konusudur. Eğer bir etki alanının herhangi nesnedir, bir dizi {vardır bir } içeren bir ve yalnızca bir olarak Eğer bir eleman. bir ve B etki herhangi iki nesneler, her bir dizi {vardır bir , b elemanları olarak ihtiva} bir ve b , ancak hiçbir nesne x ikisi farklı ". Bkz . çiftler aksiyomu .

AXIOM III. Ayırma aksiyomu ( Aussonderung der aksiyomu zaman)" önerme fonksiyonu - ( X ) bir grubu tüm elemanları için kesin M , M bir alt sahiptir M'  tam olarak bu elemanlar, elemanlar olarak ihtiva eden x ait M (- ki X ) doğru "

AXIOM IV. Güç setinin aksiyomu ( Potenzmenge der Axiom ) "Her set için T kümesi vardır tekabül T'  , güç seti ait T elemanlarının hassas tüm alt kümeleri olarak içerdiği, T  ."

AXIoM V. birliğinin Axiom ( Vereinigung'a der Axiom ) "Her set için T kümesi vardır tekabül ∪T , birliği T unsurlarının tam olarak tüm unsurları elemanlar olarak içerir T  ."

AXIOM VI. Seçim beliti ( auswahl der Axiom ) "Eğer T öğelerinin tümü, kendi birlik karşılıklı ayrık gelen ∅ farklıdır kümeleridir ve kümesidir ∪T içeren alt kümesi en az bir S ₁ tane ve her eleman ile ortak noktası sadece bir elemente sahip ait T  ."

AXIOM VII. Sonsuz aksiyomu ( aksiyomu des Unendlichen ) "etki, en az bir set duyulmaktadır Z bir unsur olarak boş kümesi içerir ve böylece her öğesinin bu oluşturulmaktadır bir formu {başka bir eleman vardır karşılık gelen bir ,} başka bir deyişle, a öğelerinin her biri ile aynı zamanda öğe olarak karşılık gelen { a } kümesini içerir ."

Standart küme teorisi ile bağlantı

En yaygın olarak kullanılan ve kabul edilen küme teorisi, seçim aksiyomunun eklenmesiyle Zermelo-Fraenkel küme teorisinden oluşan ZFC olarak bilinir . Bağlantılar, Zermelo'nun teorisinin aksiyomlarının nereye karşılık geldiğini gösterir. "Temel kümeler" için tam bir eşleşme yoktur. (Daha sonra, singleton kümesinin, şimdi "çiftler aksiyomu" olarak adlandırılan şeyden türetilebileceği gösterildi. Eğer a varsa, a ve a var, dolayısıyla { a , a } var ve dolayısıyla { a , a } genişleme ile = { a }.) Boş küme aksiyomu zaten sonsuz aksiyomu tarafından varsayılır ve şimdi bunun bir parçası olarak dahil edilir.

Zermelo küme teorisi, yer değiştirme ve düzenlilik aksiyomlarını içermez . Değiştirme aksiyomu ilk olarak 1922'de yayımlandı İbrahim Fraenkel ve Thoralf Skolem bağımsız Zermelo aksiomları seti {varlığını ispat edemez bulduklarını, Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} Z ₀ kümesidir ve doğal sayılar ve Z _{, n + 1} olan güç grubu ve Z _{, n} . Her ikisi de bunu kanıtlamak için yer değiştirme aksiyomunun gerekli olduğunu anladı. Ertesi yıl, John von Neumann , bu aksiyomun sıra teorisini inşa etmek için gerekli olduğuna dikkat çekti . Düzenlilik aksiyomu, 1925'te von Neumann tarafından belirtildi.

Modern ZFC sisteminde, ayırma aksiyomunda atıfta bulunulan "önerme işlevi", " parametreli birinci dereceden bir formülle tanımlanabilen herhangi bir özellik" olarak yorumlanır , bu nedenle ayırma aksiyomu bir aksiyom şemasıyla değiştirilir . "Birinci dereceden formül" kavramı, 1908'de Zermelo aksiyom sistemini yayınladığı zaman bilinmiyordu ve daha sonra bu yorumu çok kısıtlayıcı olduğu için reddetti. Zermelo küme teorisi genellikle, ayırma aksiyomunun her birinci dereceden formül için bir aksiyom içeren bir aksiyom şemasıyla değiştirildiği birinci dereceden bir teori olarak alınır. Ayrım aksiyomunun artık tek bir aksiyom olduğu ikinci dereceden mantıkta bir teori olarak da düşünülebilir . Zermelo küme teorisinin ikinci dereceden yorumu, muhtemelen Zermelo'nun kendi anlayışına daha yakındır ve birinci dereceden yorumdan daha güçlüdür.

ZFC küme teorisinin olağan kümülatif hiyerarşisinde V _α (a sıra sayıları için), V _α için α kümelerinden herhangi biri , ilk sonsuz sıra sayısından daha büyük bir sınır sıra sayısı ( V V _{·2 gibi} ) Zermelo kümesinin bir modelini oluşturur. teori. Dolayısıyla Zermelo küme teorisinin tutarlılığı, ZFC küme teorisinin bir teoremidir. V _ω·2 modeli bu tür kardinaller içermediğinden , Zermelo'nun aksiyomları do _ω veya daha büyük sonsuz kardinallerin varlığını ima etmez. (Kardinaller ve sıra sayıların genel tanımı çok iyi çalışmadığından, Zermelo küme teorisinde kardinaller farklı şekilde tanımlanmalıdır: olağan tanımla ω2 sırasının varlığını kanıtlamak bile mümkün değildir.)

Sonsuz beliti genellikle hemen önce Sonsuz Von Neumann varlığını öne için modifiye edilir sıra ; orijinal Zermelo aksiyomları bu kümenin varlığını kanıtlayamaz, değiştirilmiş Zermelo aksiyomları da Zermelo'nun sonsuzluk aksiyomunu kanıtlayamaz. Zermelo'nun aksiyomları (orijinal veya değiştirilmiş), bir küme olarak varlığını veya sonsuz indeksli kümelerin kümülatif hiyerarşisinin herhangi bir sırasını kanıtlayamaz . ${\görüntüleme stili\omega }$${\displaystyle V_{\omega }}$

Zermelo, küme olmayan ve öğe içermeyen öğelerin varlığına izin verdi ; bunlar artık genellikle küme teorilerinden çıkarılmıştır.

Mac Lane küme teorisi

Mac Lane tarafından ortaya teori, ayarlamak Mac Lane  ( 1986 ), her nicelik sınırlanmış olduğu birinci dereceden formüllerine sınırlı ayırma aksiyoma Zermelo grubu teoridir. Mac Lane küme teorisi, güç olarak bir doğal sayı nesnesine sahip topos teorisine veya Principia mathematica'daki sisteme benzer . Küme teorisi veya mantığı ile doğrudan bağlantılı olmayan hemen hemen tüm sıradan matematiği yürütmek için yeterince güçlüdür.

Zermelo'nun makalesinin amacı

Giriş, küme teorisi disiplininin varlığının "belirli çelişkiler veya "çatışmalar" tarafından tehdit ediliyor gibi göründüğünü, ilkelerinden -göründüğümüz kadarıyla düşüncemizi zorunlu olarak yöneten ilkelerden- türetilebilecek ve tamamen tatmin edici bir çözümü olmayan "belirli çelişkiler" tarafından tehdit edildiğini belirtmektedir. henüz bulunamadı". Zermelo elbette " Russell çatışkısından " bahsediyor .

Georg Cantor ve Richard Dedekind'in orijinal teorisinin nasıl birkaç tanıma ve yedi ilke veya aksiyoma indirgenebileceğini göstermek istediğini söylüyor . O diyor değil aksiyomlar tutarlı olduğunu ispatlayamamıştır.

Tutarlılıkları için yapılandırmacı olmayan bir argüman aşağıdaki gibidir. Tanımlama V _a ait α biri için sıra sayıları aşağıdaki gibi · ω + 1, ω + 2, ..., ω, 0, 1, 2, ..., ω 2:

• V ₀ boş kümedir.
• β+1 formunun halefi olan _α için V _α , V _β'nın tüm alt kümelerinin toplamı olarak tanımlanır .
• α için bir limit (örneğin ω, ω·2) o zaman V _α , β<α için V _β'nın birleşimi olarak tanımlanır .

O zaman Zermelo küme teorisinin aksiyomları tutarlıdır çünkü V _ω·2 modelinde doğrudurlar . Yapılandırmacı olmayan biri bunu geçerli bir argüman olarak görebilirken, bir yapılandırmacı muhtemelen bunu yapmaz: V _{ω 'ye} kadar olan kümelerin inşasında herhangi bir sorun olmasa da , V _ω+1'in inşası daha az açıktır çünkü kişi yapıcı bir şekilde tanımlayamaz. V _{ω '} nin her alt kümesi . Bu argüman, Zermelo küme teorisine tek bir yeni sonsuzluk aksiyomunun eklenmesiyle geçerli bir kanıta dönüştürülebilir, basitçe V _ω·2 vardır . Bu muhtemelen bir yapılandırmacı için ikna edici değildir, ancak Zermelo küme teorisinin tutarlılığının, Zermelo teorisinin kendisinden çok farklı olmayan, sadece biraz daha güçlü bir teori ile kanıtlanabileceğini gösterir.

ayrılık aksiyomu

Zermelo, kendi sisteminin Axiom III'ünün antinomileri ortadan kaldırmaktan sorumlu olduğunu söylüyor. Cantor'un orijinal tanımından aşağıdaki gibi farklıdır.

Kümeler, herhangi bir keyfi mantıksal olarak tanımlanabilir kavramla bağımsız olarak tanımlanamaz. Önceden oluşturulmuş kümelerden bir şekilde oluşturulmaları gerekir. Örneğin, kuvvet kümeleri alınarak oluşturulabilirler veya zaten "verilmiş" kümelerin alt kümeleri olarak ayrılabilirler . Bunun, "tüm kümelerin kümesi" veya "tüm sıralı sayıların kümesi" gibi çelişkili fikirleri ortadan kaldırdığını söylüyor.

O kurtuluverir Russell paradoksu bu Teorem vasıtasıyla: "Her dizi en az bir alt kümesini sahip unsuru değildir ". AXIOM III tarafından " " kavramıyla ayrılan alt kümesi olsun . O zaman girilemez . İçin ${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle M_{0}}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle M_{0}}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle x\notin x}$${\displaystyle M_{0}}$${\görüntüleme stili M}$

1. Eğer içinde , daha sonra bir eleman içeren , x olan X mi x (yani kendisini), tanımını ters hangi .${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$
2. Eğer değil ve varsayarak bir elemanıdır , M , daha sonra bir elemanıdır M tatmin tanımı "bu " ve benzeri içinde olan bir çelişki.${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle x\notin x}$${\displaystyle M_{0}}$

Bu nedenle, varsayım olduğu teoremi kanıtlayan yanlıştır. Bu nedenle, B evrensel alanının tüm nesneleri bir ve aynı kümenin öğeleri olamaz. "Bu , ilgilendiğimiz kadarıyla Russell çatışkısını ortadan kaldırır ". ${\displaystyle M_{0}}$${\görüntüleme stili M}$

Bu , bir şeye gönderme yapıyor gibi görünen " B alanı" sorununu bıraktı . Bu, uygun bir sınıf fikrine yol açtı .

Cantor teoremi

Zermelo'nun makalesi, " Cantor teoremi " adından ilk bahseden olabilir . Cantor teoremi: "Eğer M sonra hep keyfi bir set olup M <P ( M ) [güç seti M .] Her set alt kümelerinin kümesi daha düşük cardinality" dedi.

Zermelo bunu function: M → P( M ) fonksiyonunu dikkate alarak ispatlar . Aksiyom III ile bu, aşağıdaki M'  kümesini tanımlar :

M'  = { m : m ∉ φ( m )}.

Ancak hiçbir öğe m '  bir M  karşılık gelebilir M'  , örneğin, bu şekilde φ ( m '  ) = M'  . Aksi takdirde bir çelişki oluşturabiliriz:

1) Eğer m '  olan M'  sonra tanımı ile m '  ∉ cp ( m,'  ) = M  çelişki ilk bölümü,

2) m'  , M' içinde  değil de M'de ise,  o zaman tanımı gereği m'  ∉ M'  = φ( m'  ) ki bu tanım gereği m'nin  M'  içinde olduğunu ima eder , bu da çelişkinin ikinci kısmıdır.

yani çelişkili m'  yok. Bu kanıtın, Zermelo'nun Russell paradoksunu bertaraf etme biçimiyle yakın benzerliğine dikkat edin.

Ayrıca bakınız

• S (küme teorisi)

Referanslar

• Ferreirós, José (2007), Düşünce Labirenti: Küme Teorisinin Tarihi ve Matematiksel Düşüncedeki Rolü , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Mac Lane, Saunders (1986), Matematik, biçim ve işlev , New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-4872-9 , ISBN 0-387-96217-4, MR  0816347.
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007/bf01449999 , S2CID  120085563. İngilizce çeviri: Heijenoort, Jean van (1967), "Investigations in the basics of set teorisi", Frege'den Gödel'e : Matematiksel Mantıkta Bir Kaynak Kitap, 1879-1931 , Bilim Tarihinde Kaynak Kitaplar, Harvard Üniv. Basın, s. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.