Büyük kardinal - Large cardinal

Matematiksel alanında küme teorisinin bir büyük kardinal mülkiyet mülkiyet belli bir türüdür sonluötesi kardinal sayılar . Bu tür özelliklere sahip kardinaller, adından da anlaşılacağı gibi, genellikle çok "büyüktür" (örneğin, α = ω α olacak şekilde en küçük α'dan daha büyük ). Bu tür kardinallerin var olduğu önermesi , küme teorisinin en yaygın aksiyomatizasyonunda , yani ZFC'de kanıtlanamaz ve bu tür önermeler, ZFC'nin ötesinde, bir kişinin istenen kesinliği kanıtlayabilmesi için ne kadar "ne kadar" gerektiğini ölçmenin yolları olarak görülebilir. Sonuçlar. Başka bir deyişle, Dana Scott'ın deyimiyle, "daha fazlasını istiyorsan daha fazlasını varsaymak zorundasın" gerçeğini nicelleştiriyor olarak görülebilirler .

Tek başına ZFC'den kanıtlanabilen sonuçların hipotezler olmadan ifade edilebileceği kabaca bir kongre vardır, ancak kanıt başka varsayımlar gerektiriyorsa (büyük kardinallerin varlığı gibi), bunların belirtilmesi gerekir. Bunun sadece bir dil geleneği mi yoksa daha fazlası mı olduğu, farklı felsefi okullar arasında tartışmalı bir noktadır (bkz . Aşağıdaki Motivasyonlar ve epistemik durum ).

Bir büyük kardinal aksiyomu bir aksiyomu bazı Belirtilen büyük kardinal özelliğiyle bir kardinal (veya bunların belki çok) var olduğu belirten edilir.

Çoğu çalışma seti teorisyeni, şu anda dikkate alınan büyük kardinal aksiyomların ZFC ile tutarlı olduğuna inanmaktadır . Bu aksiyomlar, ZFC'nin tutarlılığını ifade edecek kadar güçlüdür. Bunun sonucu ( Gödel'in ikinci eksiklik teoremi aracılığıyla ) ZFC ile tutarlılıklarının ZFC'de kanıtlanamaması (ZFC'nin tutarlı olduğu varsayılarak).

Büyük bir kardinal özelliğin ne olduğuna dair genel olarak kabul edilmiş kesin bir tanım yoktur, ancak esasen herkes büyük kardinal özellikler listesindekilerin büyük kardinal özellikler olduğunu kabul eder .

Kısmi tanım

Kardinal sayıların bir özelliğinin büyük bir kardinal özellik olması için gerekli bir koşul , böyle bir kardinalin varlığının ZFC ile tutarsız olduğunun bilinmemesidir ve ZFC tutarlıysa , ZFC'nin şu ifadeyle tutarlı olduğu kanıtlanmıştır: "böyle bir kardinal yok."

Tutarlılık gücü hiyerarşisi

Büyük ana aksiyomlarla ilgili dikkate değer bir gözlem , tutarlılık gücüne göre katı doğrusal sırayla ortaya çıktıklarıdır . Yani, aşağıdakiler için bir istisna bilinmemektedir: İki büyük ana aksiyom A 1 ve A 2 verildiğinde , tam olarak üç şeyden biri gerçekleşir:

  1. ZFC tutarsız olmadığı sürece, ZFC + A 1 ancak ve ancak ZFC + A 2 tutarlıysa tutarlıdır;
  2. ZFC + A 1 , ZFC + A 2'nin tutarlı olduğunu kanıtlar ; veya
  3. ZFC + A 2 , ZFC + A 1'in tutarlı olduğunu kanıtlar .

Söz konusu teorilerden biri tutarsız olmadığı sürece, bunlar birbirini dışlar.

Durumda 1, biz söylemek A 1 ve A 2 olan equiconsistent . 2. durumda, A 1'in tutarlılık açısından A 2'den daha güçlü olduğunu söyleriz (3. durum için tersi de geçerlidir). Eğer bir 2 daha güçlüdür A 1 , daha sonra ZFC + A 1 ZFC + ispat edemez A 2 ZFC + bile ek hipotezi ile tutarlı olan bir 1 (gerçekten olması elbette koşuluyla) kendisi tutarlıdır. Bu, Gödel'in ikinci eksiklik teoreminden kaynaklanmaktadır .

Büyük kardinal aksiyomların tutarlılık gücüne göre doğrusal olarak sıralandığı gözlemi, teorem değil, gözlemdir. (Büyük kardinal özelliğin kabul edilmiş bir tanımı olmadan, sıradan anlamda kanıta tabi değildir). Ayrıca, her durumda, üç vakadan hangisinin geçerli olduğu bilinmemektedir. Saharon Shelah , "Bunu açıklayan bir teorem var mı, yoksa vizyonumuz fark ettiğimizden daha tek tip mi?" Diye sordu. Ancak Woodin , bunu Ω-mantığının çözülmemiş ana sorunu olan Ω-varsayımından çıkarır . Ayrıca, birçok kombinatoryal ifadenin, örneğin aralarında orta olmaktan ziyade, bazı büyük kardinallerle tam olarak aynı tutarda olması da dikkate değerdir.

Tutarlılık kuvvetinin sıralaması, büyük bir kardinal aksiyomun en küçük tanığının boyutuyla aynı olmak zorunda değildir. Örneğin, büyük bir kardinalin varlığı, tutarlılık gücü açısından bir süper kompakt kardinalin varlığından çok daha güçlüdür , ancak her ikisinin de var olduğunu varsayarsak, ilk büyük, ilk süper kompakttan daha küçüktür.

Motivasyonlar ve epistemik durum

Büyük kardinaller, belirli bir kümenin tüm alt kümelerini bir araya toplayan güç kümesi işleminin sonsuz bir şekilde yinelenmesiyle oluşturulan von Neumann evreni V bağlamında anlaşılır . Tipik olarak, model , büyük ana aksiyonları olduğu başarısız aksiyomlarının bulundurmadığı olanların alt modelleri gibi bazı doğal bir şekilde görülebilir. Örneğin, erişilemez bir kardinal varsa , bu tür ilk kardinalin yüksekliğinde "evreni kesmek", erişilemez bir kardinalin olmadığı bir evren verir . Ya da ölçülebilir bir kardinal varsa , tam olanı yerine tanımlanabilir güç kümesi işlemini yinelemek Gödel'in yapılandırılabilir evrenini , L'yi verir, bu da "ölçülebilir bir kardinal vardır" ifadesini karşılamaz (ölçülebilir kardinali bir sıralı olarak içerse bile ).

Bu nedenle, birçok küme kuramcısının (özellikle Kabal geleneğinden esinlenenler) belirli bir bakış açısına göre , büyük kardinal aksiyomlar, dikkate almamız gereken tüm kümeleri düşündüğümüzü "söyler", oysa olumsuzluklar "kısıtlayıcıdır" ve bu kümelerin yalnızca bazılarını düşündüğümüzü söyler. Dahası, büyük ana aksiyomların sonuçları doğal kalıplara düşüyor gibi görünüyor (bkz. Maddy, "Aksiyomlara İnanmak, II"). Bu nedenlerden ötürü, bu tür küme teorisyenleri, büyük kardinal aksiyomların ZFC'nin uzantıları arasında tercih edilen bir statüye sahip olduğunu, biri daha az açık motivasyon aksiyomlarıyla ( Martin'in aksiyomu gibi ) veya sezgisel olarak olası olmadığını düşündükleri diğer aksiyomlarla paylaşılmadığını düşünme eğilimindedirler ( V = L ). Bu gruptaki sert gerçekçiler , daha basitçe, büyük ana aksiyomların doğru olduğunu söyleyecektir .

Bu bakış açısı, küme teorisyenleri arasında hiçbir şekilde evrensel değildir. Bazı formalistler , standart küme teorisinin tanım gereği ZFC'nin sonuçlarının incelenmesi olduğunu iddia ederler ve prensipte diğer sistemlerin sonuçlarını incelemeye karşı çıkmasalar da, tercih edilen büyük kardinalleri ayırmak için hiçbir neden görmezler. Ayrıca ontolojik maksimalizmin uygun bir motivasyon olduğunu reddeden ve hatta büyük ana aksiyomların yanlış olduğuna inanan realistler de var . Ve nihayet, büyük kardinal aksiyomların negations inkar bazı kim olduğu (örneğin) bir olamayacağını işaret ederek, kısıtlayıcı Geçişli seti L kendisi olduğunu tatmin etmiyor olsa bile, ölçülebilir bir kardinal vardır inanmaktadır L modeli önerme.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar