Sezgicilik - Intuitionism

Bu makale matematik ve felsefi mantıkta Sezgicilik hakkındadır. Ahlaki epistemolojide terim için bkz Etik sezgicilik .

Gelen matematik felsefesi , sezgicilik veya neointuitionism (karşıt preintuitionism ), bir yaklaşımdır matematik insanlarda yapıcı zihinsel aktivite yerine objektif gerçekte var olduğu iddia temel ilkelerinin keşif tamamen sonucu olduğu kabul edilmektedir. Yani, mantık ve matematik, nesnel gerçekliğin derin özelliklerinin ortaya çıkarıldığı ve uygulandığı analitik faaliyetler olarak kabul edilmez, bunun yerine, nesnel bir gerçeklikte olası bağımsız varoluşlarına bakılmaksızın, daha karmaşık zihinsel yapıları gerçekleştirmek için kullanılan içsel olarak tutarlı yöntemlerin uygulaması olarak kabul edilir. .

Gerçek ve kanıt

Sezgiciliğin temel ayırt edici özelliği, matematiksel bir ifadenin doğru olmasının ne anlama geldiğini yorumlamasıdır. In Brouwer ' orijinal sezgicilik, matematiksel ifadenin gerçeği öznel bir iddiadır: zihinsel bir yapı için matematiksel ifadesi karşılık ve bir matematikçi sadece tarafından bu yapı geçerliliğini doğrulayarak bir ifadenin gerçeği iddia edebilir sezgi . Sezgisel hakikat kavramının belirsizliği, genellikle anlamı hakkında yanlış yorumlara yol açar. Kleene , gerçekçi bir konumdan sezgisel gerçeği resmen tanımladı, ancak Brouwer, gerçekçi/Platonist konumu reddettiği göz önüne alındığında, muhtemelen bu biçimselleştirmeyi anlamsız olarak reddedecektir. Sezgisel gerçek bu nedenle biraz kötü tanımlanmış kalır. Bununla birlikte, sezgici doğruluk kavramı klasik matematikten daha kısıtlayıcı olduğundan, sezgici, kanıtladıkları her şeyin aslında sezgisel olarak doğru olduğundan emin olmak için klasik mantığın bazı varsayımlarını reddetmelidir. Bu sezgisel mantığın doğmasına neden olur .

Bir sezgici için, belirli özelliklere sahip bir nesnenin var olduğu iddiası, bu özelliklere sahip bir nesnenin inşa edilebileceği iddiasıdır. Herhangi bir matematiksel nesne, bir zihnin inşasının bir ürünü olarak kabul edilir ve bu nedenle, bir nesnenin varlığı, onun inşasının olasılığına eşdeğerdir. Bu, bir varlığın varlığının, onun yokluğu reddedilerek kanıtlanabileceğini söyleyen klasik yaklaşımla çelişir. Sezgiciler için bu geçerli değildir; yokluğun çürütülmesi, varlığını iddia etmek için gerekli olduğu gibi, varsayılan nesne için bir inşa bulmanın mümkün olduğu anlamına gelmez. Bu haliyle, sezgicilik, matematiksel yapılandırmacılığın bir çeşididir ; ama tek tür değil.

Olumsuzlamanın yorumu, sezgici mantıkta klasik mantıktan farklıdır. Klasik mantıkta, bir ifadenin olumsuzlanması, ifadenin yanlış olduğunu ileri sürer ; bir sezgici için bu, ifadenin çürütülebilir olduğu anlamına gelir . Dolayısıyla sezgicilikte olumlu ve olumsuz bir ifade arasında bir asimetri vardır. Eğer bir P önermesi kanıtlanabilir ise, o zaman P kesinlikle çürütülebilir olamaz. Ancak P'nin reddedilemeyeceği gösterilebilse bile , bu P'nin bir kanıtı oluşturmaz . Dolayısıyla P , değil-P'den daha güçlü bir ifadedir .

Benzer şekilde, bu ifade etmek A veya B tutan bir intuitionist için, ya da bu isteme olan bir ya da B edilebilir kanıtlanmıştır . Özellikle dışlanan orta , " A ya da A değil " yasası geçerli bir ilke olarak kabul edilmemektedir. Örneğin, A , bir sezgicinin henüz kanıtlamadığı veya çürütmediği bir matematiksel ifadeyse, o sezgici " A ya da A değil " gerçeğini iddia etmeyecektir . Ancak sezgici, " A ve A değil " in doğru olamayacağını kabul edecektir . Bu nedenle, sezgisel mantığın "ve" ve "veya" bağlaçları , klasik mantıkta olduğu gibi de Morgan'ın yasalarını karşılamaz .

Sezgisel mantık, inşa edilebilirliği soyut gerçeğin yerine koyar ve modern matematikte model teorisinin ispatından soyut gerçeğe geçişle ilişkilendirilir . Mantıksal hesap, türetilmiş önermeler veren dönüşümler boyunca doğruluktan ziyade gerekçeyi korur. Bu felsefenin çeşitli okullarda, en önemlisi etmek felsefi destek veren olarak alınmıştır Anti-gerçekçilik arasında Michael Dummett . Bu nedenle, adının iletebileceği ilk izlenimin aksine ve belirli yaklaşımlarda ve disiplinlerde (örneğin Bulanık Kümeler ve Sistemler) gerçekleştirildiği gibi, sezgici matematik, ironik bir şekilde, Sezgiciliğin oluşturmaya çalıştığı temel unsurların bulunduğu geleneksel olarak kurulmuş matematikten daha titizdir. /ret/refound, sezgisel olarak verildiği gibi alınır.

Sonsuzluk

Sezgiciliğin farklı formülasyonları arasında, sonsuzluğun anlamı ve gerçekliği üzerine birkaç farklı pozisyon vardır.

Terimi, potansiyel sonsuz adımları sonsuz bir dizi olan bir matematiksel prosedürü belirtmektedir. Her adım tamamlandıktan sonra, her zaman gerçekleştirilecek başka bir adım vardır. Örneğin, sayma sürecini düşünün: 1, 2, 3, ...

Terimi, gerçek sonsuz elemanları, sonsuz sayıda içeren tamamlanmış bir matematiksel bir nesne anlamına gelmektedir. Bir örnek doğal sayılar kümesidir , N = {1, 2, ...}.

Cantor'un küme teorisi formülasyonunda, bazıları diğerlerinden daha büyük olan birçok farklı sonsuz küme vardır. Örneğin, tüm gerçek sayılar kümesi R , N'den daha büyüktür , çünkü doğal sayıları gerçek sayılarla bire bir eşleştirmeye koymaya çalıştığınız herhangi bir prosedür her zaman başarısız olacaktır: her zaman sonsuz bir sayı olacaktır. gerçek sayıların "artık". Doğal sayılarla birebir örtüşen herhangi bir sonsuz kümeye "sayılabilir" veya "sayılabilir" denir. Bundan daha büyük sonsuz kümelere "sayılamaz" denir.

Cantor'un küme teorisi , şimdi modern matematiğin en yaygın temeli olan Zermelo-Fraenkel küme teorisinin (ZFC) aksiyomatik sistemine yol açtı . Sezgicilik, kısmen Cantor'un küme teorisine bir tepki olarak yaratıldı.

Modern yapıcı küme teorisi , ZFC'den (veya bu aksiyomun gözden geçirilmiş bir versiyonundan) sonsuzluk aksiyomunu ve doğal sayıların N kümesini içerir. Çoğu modern yapıcı matematikçi, sayılabilir sonsuz kümelerin gerçekliğini kabul eder (ancak, bir karşı örnek için Alexander Esenin-Volpin'e bakın).

Brouwer, gerçek sonsuzluk kavramını reddetti, ancak potansiyel sonsuzluk fikrini kabul etti.

"Weyl 1946'ya göre, 'Brouwer, hiçbir şüpheye yer bırakmayacak şekilde düşündüğüm gibi, tüm doğal sayıların toplamının varoluşsal karakterine olan inancı destekleyen hiçbir kanıt bulunmadığını açıkça belirtti ... bir sonraki sayıya geçilerek ulaşılan, sonsuzluğa açık bir olasılıklar çokluğudur, yaratılış statüsünde sonsuza kadar kalır, ama kendinde var olan kapalı bir şeyler âlemi değildir. çatışkılar da dahil olmak üzere zorluklarımızın kaynağı – Russell'ın kısır döngü ilkesinin belirttiğinden daha temel nitelikte bir kaynak Brouwer, gözlerimizi açtı ve tüm insan olanaklarını aşan bir 'mutlak' inancıyla beslenen klasik matematiğin ne kadar ileri gittiğini görmemizi sağladı. idrak, gerçek anlam ve kanıta dayalı hakikat iddiasında bulunabilecek ifadelerin ötesine geçer." (Kleene (1952): Metamatematiğe Giriş , s. 48-49)

Tarih

Sezgiciliğin tarihi, on dokuzuncu yüzyıl matematiğindeki iki tartışmaya kadar sürülebilir.

Bu ilk icadı olduğu ötesi aritmetik tarafından Georg Cantor en ünlü öğretmeni de dahil olmak üzere önemli matematikçiler bir dizi ve sonraki reddi Leopold Kronecker'in teyit -a finitist .

Bunlardan ikincisi Gottlob Frege'nin küme teorisi aracılığıyla matematiği mantıksal bir formülasyona indirgeme çabası ve Russell paradoksunun keşfedicisi genç Bertrand Russell tarafından raydan çıkarılmasıydı . Frege üç ciltlik kesin bir çalışma planlamıştı, ancak tam ikinci cilt basılacakken Russell, Frege'ye kendi paradoksunu özetleyen bir mektup gönderdi, bu da Frege'nin kendine gönderme kurallarından birinin kendi içinde çelişkili olduğunu gösterdi. İkinci cildin bir ekinde Frege, sisteminin aksiyomlarından birinin aslında Russell paradoksuna yol açtığını kabul etti.

Frege, hikayeye göre, depresyona girdi ve çalışmasının üçüncü cildini planladığı gibi yayınlamadı. Daha fazla bilgi için Davis (2000) Bölüm 3 ve 4: Frege: Atılımdan Umutsuzluğa ve Cantor: Sonsuzdan Sapma'ya bakın. Orijinal eserler ve van Heijenoort'un yorumu için van Heijenoort'a bakın.

Cantor'un sonlu-ötesi aritmetikteki sonuçlarını kanıtlamak için kullandığı mantıksal yöntemler, esasen Russell'ın paradoksunu inşa ederken kullandıklarıyla aynıdır. Bu nedenle, birinin Russell paradoksunu nasıl çözmeyi seçeceği, Cantor'un sınırötesi aritmetiğine atfedilen statü üzerinde doğrudan etkilere sahiptir.

Yirminci yüzyılın başlarında LEJ Brouwer sezgici konumu, David Hilbert ise biçimci konumu temsil ediyordu - bkz. van Heijenoort. Kurt Gödel , Platoncu olarak anılan görüşler ileri sürmüştür (Gödel ile ilgili çeşitli kaynaklara bakınız). Alan Turing şöyle düşünüyor: " Bir ispattaki tüm adımların mekanik olmadığı, bazıları sezgisel olan yapıcı olmayan mantık sistemleri ". (Turing 1939, Davis 2004, s. 210) Daha sonra, Stephen Cole Kleene Meta-matematiğe Giriş'te (1952) sezgiciliğin daha rasyonel bir değerlendirmesini ortaya koydu.

Katkıda Bulunanlar

Sezgisel matematiğin dalları

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

In Bölüm 39 Vakıflar Anglin çok hassas, kısa açıklamalar veren 20. yüzyıl ile ilgili olarak, Platonism (Godel göre), formalizm (Hilbert göre) ve Sezgicilik (Brouwer göre).
  • Martin Davis (ed.) (1965), Karar Verilemez , Raven Press, Hewlett, NY. Gödel, Church, Kleene, Turing, Rosser ve Post'un orijinal makalelerinin derlenmesi. Adıyla yeniden Davis, Martin, ed. (2004). Karar Verilemez . Kurye Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-43228-1.
  • Martin Davis (2000). Mantık Motorları: Matematikçiler ve Bilgisayarın Kökeni (1. baskı). WW Norton & Company, New York. ISBN'si 0-393-32229-7.
  • John W. Dawson Jr., Mantıksal İkilemler: Kurt Gödel'in Yaşamı ve Çalışması , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
Goldstein'dan daha az okunabilir, ancak Bölüm III Excursis'te Dawson mükemmel bir "A Capsule History of the Development of Logic to 1928" verir.
  • Rebecca Goldstein , Eksiklik: Kurt Gödel'in Kanıtı ve Paradoksu , Atlas Books, WW Norton, New York, 2005.
II . Bölümde Hilbert ve Biçimciler Goldstein daha fazla tarihsel bağlam verir. Bir Platoncu olarak Gödel , Viyana Çevresi'nin mantıksal pozitivizminin varlığında suskundu . Goldstein, Wittgenstein'ın etkisini ve biçimcilerin etkisini tartışıyor . İntuitionists daha karşı olduklarını Goldstein notlar Platonism daha Biçimciliği .
  • van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Düzeltmelerle yeniden basılmıştır, 1977. Aşağıdaki makaleler van Heijenoort'ta yer almaktadır:
  • LEJ Brouwer , 1923, Matematikte, özellikle fonksiyon teorisinde dışlanmış orta ilkesinin önemi üzerine [yorumla yeniden basılmıştır, s. 334, van Heijenoort]
  • Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Dışlanan orta ilkesi üzerine , [yorum ile yeniden basılmıştır, s. 414, van Heijenoort]
  • LEJ Brouwer , 1927, Fonksiyon tanımlarının alanları üzerine , [yorum ile yeniden basılmıştır, s. 446, van Heijenoort]
Doğrudan ilgili olmasa da, Brouwer (1923) adlı eserinde bu yazıda tanımlanan belirli kelimeleri kullanır.
  • LEJ Brouwer , 1927(2), Biçimcilik üzerine Sezgisel düşünceler , [yorumla yeniden basılmıştır, s. 490, van Heijenoort]
  • Jacques Herbrand, (1931b), "Aritmetiğin tutarlılığı üzerine", [yorum ile yeniden basılmıştır, s. 618ff, van Heijenoort]
Van Heijenoort'un yorumundan, Herbrand'ın gerçek bir "sezgici" olup olmadığı belirsizdir; Gödel (1963) gerçekten de "...Herbrand bir sezgiciydi" iddiasında bulundu. Ancak van Heijenoort, Herbrand'ın anlayışının "Hilbert'in 'sonlu' ('sonlu') kelimesinin Brouwer'in doktrinine uygulandığı şekliyle 'sezgisel' kelimesine çok daha yakın olduğunu söylüyor.
Bölüm III'te Matematiksel Akıl Yürütmenin Bir Eleştirisi, §11. Paradokslar , Kleene Sezgicilik ve Biçimciliği derinlemesine tartışıyor . Kitabın geri kalanı boyunca, hem Biçimci (klasik) hem de Sezgici mantığı birincisine vurgu yaparak ele alır ve karşılaştırır.
  • Stephen Cole Kleene ve Richard Eugene Vesley , The Foundations of Intuitionistic Mathematics , North-Holland Publishing Co. Amsterdam, 1965. Başlangıç ​​cümlesi her şeyi anlatıyor "Matematikte yapıcı eğilim...". Uzmanlar için bir metin, ancak Kleene'nin olağanüstü net üslubuyla yazılmış.
  • Hilary Putnam ve Paul Benacerraf , Matematik Felsefesi: Seçilmiş Okumalar , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. 2. baskı, Cambridge: Cambridge University Press, 1983. ISBN  0-521-29648-X
Bölüm I. matematik temeli , matematik temelleri üzerine Sempozyumu
  • Rudolf Carnap , Matematiğin mantıksal temelleri , s. 41
  • Arend Heyting , Matematiğin sezgici temelleri , s. 52
  • Johann von Neumann , Matematiğin formalist temelleri , s. 61
  • Arend Heyting, Tartışma , s. 66
  • LEJ Brouwer, Sezgicilik ve Biçimcilik , s. 77
  • LEJ Brouwer, Bilinç, felsefe ve matematik , s. 90
  • Constance Reid , Hilbert , Copernicus – Springer-Verlag, 1. baskı 1970, 2. baskı 1996.
Hilbert'in kesin biyografisi, "Programını", Sezgiciler ve Biçimciler arasındaki müteakip, bazen kin dolu savaşla birlikte tarihsel bağlama yerleştirir.
  • Paul Rosenbloom , The Elements of Mathematical Logic , Dover Publications Inc, Mineola, New York, 1950.
Daha çok Principia Mathematica tarzında - birçok sembol, bazıları antika, bazıları Alman alfabesinden. Aşağıdaki konumlarda sezgicilikle ilgili çok iyi tartışmalar: Bölüm 4'teki 51-58. sayfalar Çok Değerli Mantık, Modal Mantık, Sezgicilik; sayfa 69–73 Bölüm III Önerme Fonksiyonlarının Mantığı Bölüm 1 Resmi Olmayan Giriş; ve P. 146-151 Bölüm 7 Seçim Aksiyomu.
Yapıcı matematik ve standart olmayan analiz açısından (diğerlerinin yanı sıra) sezgiciliğin yeniden değerlendirilmesi .

ikincil referanslar

  • AA Markov (1954) Algoritma teorisi . [Jacques J. Schorr-Kon ve PST personeli tarafından çevrilmiştir] Künye Moskova, SSCB Bilimler Akademisi, 1954 [yani Kudüs, İsrail Bilimsel Çeviriler Programı, 1961; Teknik Hizmetler Ofisi, ABD Ticaret Bakanlığı, Washington'dan edinilebilir] Açıklama 444 s. 28 cm. SSCB Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü Eserlerinin Rusça Çevirisine tp eklendi, v. 42. Orijinal adı: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Dartmouth Koleji kütüphanesi. ABD Ticaret Bakanlığı, Teknik Hizmetler Ofisi, numara OTS 60–51085.]
Uzmanlar için ikincil bir referans: Markov, "Matematik için algoritma kavramını daha kesin hale getirmenin tüm önemi, matematik için yapıcı bir temel sorunuyla bağlantılı olarak ortaya çıkıyor ....[s. 3, italikler eklendi. ] Markov, çalışmalarının daha sonraki uygulamalarının "yazarın gelecekte yazmayı umduğu özel bir kitabı hak ettiğine" inanıyordu (s. 3). Ne yazık ki, söz konusu eser görünüşte hiç ortaya çıkmadı.

Dış bağlantılar