Boyut sınırlaması aksiyomu - Axiom of limitation of size

Gelen küme teorisinin , boyutu sınırlaması aksiyomu önerdiği John von Neumann yaptığı 1925 aksiyomu sistemine yönelik setleri ve sınıflar . Bazı sınıfların küme olamayacak kadar büyük olduğunu kabul ederek , küme teorisinin önceki formülasyonlarında karşılaşılan paradokslardan kaçınan boyut sınırlamasını resmileştirir . Von Neumann, paradoksların, bu büyük sınıfların bir sınıfın üyesi olmasına izin verilmesinden kaynaklandığını fark etti. Bir sınıfın üyesi olan bir sınıf bir kümedir; küme olmayan bir sınıf uygun bir sınıftır . Her sınıf, tüm kümelerin sınıfı olan V'nin bir alt sınıfıdır . Boyutta sınırlaması aksiyomu ve daha küçük olması halinde ise bir sınıf kümesi olduğunu söylüyor V -yani, hiçbir fonksiyon haritalama orada o üzerine V . Genellikle, bu aksiyom eşdeğer biçimde ifade edilir : Bir sınıf, ancak ve ancak onu V ile eşleyen bir işlev varsa uygun bir sınıftır .

Von Neumann'ın aksiyomu, değiştirme , ayırma , birleşme ve küresel seçim aksiyomlarını ima eder . Von Neumann–Bernays–Gödel küme teorisi (NBG) ve Morse–Kelley küme teorisindeki yer değiştirme, birleşim ve küresel seçim kombinasyonuna eşdeğerdir . Paul Bernays , Kurt Gödel ve John L. Kelley'ninkiler gibi daha sonraki sınıf teorileri açıklamaları, von Neumann'ın aksiyomundan ziyade değiştirme, birleşme ve küresel seçime eşdeğer bir seçim aksiyomunu kullanır. 1930'da Ernst Zermelo , boyut sınırlaması aksiyomunu karşılayan küme teorisi modellerini tanımladı.

Abraham Fraenkel ve Azriel Lévy , boyut sınırlaması aksiyomunun , güç kümesi aksiyomunu ima etmediği için "boyut sınırlaması doktrini"nin tamamını kapsamadığını belirtmişlerdir . Michael Hallett, büyüklük doktrininin sınırlandırılmasının, kuvvet kümesi aksiyomunu haklı çıkarmadığını ve "von Neumann'ın [kuvvet kümelerinin küçüklüğüne ilişkin] açık varsayımının, Zermelo'nun, Fraenkel'in ve Lévy'nin belirsiz bir şekilde gizlenmiş örtük varsayımın küçüklüğüne göre tercih edilebilir göründüğünü savundu. güç setleri."

Resmi açıklama

Boyut sınırlaması aksiyomunun olağan versiyonu - bir sınıf ancak ve ancak onu V'ye eşleyen bir fonksiyon varsa uygun bir sınıftır  - küme teorisinin biçimsel dilinde şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y{\ bigl (}\var D(y\in D)\x\var olduğunu ima eder[\,x\C\land (x,y)\in F\,]{\bigr )}\\&\,\land \ ,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr ) }\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{hizalı}}}$

Gödel, büyük harf değişkenlerinin tüm sınıflar üzerinde, küçük harf değişkenlerinin ise tüm kümeler arasında değiştiği kuralını ortaya koydu. Bu konvansiyon şunları yazmamıza izin verir:

Gödel'in kuralıyla, boyut sınırlaması aksiyomu şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle {\begin{hizalı}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y\exists x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\, [\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\ima eder y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end {hizalı}}}$

aksiyomun etkileri

Von Neumann, boyut sınırlaması aksiyomunun yer değiştirme aksiyomunu ima ettiğini kanıtladı, bu aksiyom şu şekilde ifade edilebilir: Eğer F bir fonksiyon ve A bir küme ise, o zaman F ( A ) bir kümedir. Bu çelişki ile kanıtlanmıştır . Let F bir fonksiyonu olabilir ve A kümesi olsun. F ( A ) 'nin uygun bir sınıf olduğunu varsayalım . Sonra F ( A )'yı V'ye eşleyen bir G fonksiyonu vardır . Yana bileşik işlev G  ∘  F harita A üzerine V , boyut sınırlı beliti ima bir ters uygun bir sınıf, bir set olmak. Bu nedenle, F ( A ) bir kümedir. Yer değiştirme aksiyomu ayrılma aksiyomunu ima ettiğinden, boyut sınırlaması aksiyomu ayrılma aksiyomunu ima eder .

Von Neumann da onun aksiyomu ima kanıtladı V edilebilir iyi sıralı . Kanıtı bu çelişkili tarafından kanıtlayarak başlar Ord , tüm sınıf ordinals , uygun bir sınıftır. Varsayın Ord kümesidir. O olduğu için Geçişli seti ∈ tarafından iyi sıralı olduğundan, tam sıralı olduğunu. Yani Ord  ∈  Ord çelişmektedir, Ord ∈ tarafından iyi sıralı ediliyor. Bu nedenle, Ord uygun bir sınıftır. Von Neumann aksiyomu bir işlev olduğunu ima Yani F eşler Ord üzerine V . V'nin iyi bir sıralamasını tanımlamak için , G , F'nin sıralı çiftlerinden oluşan (α, x ) alt sınıfı olsun ,  burada α en küçük β'dır, öyle ki (β,  x ) ∈  F ; yani, G  = {(α,  x ) ∈  F  : ∀β((β,  x ) ∈  F  ⇒ α ≤ β)}. Fonksiyonu G, a, bire bir karşılık bir alt kümesi arasında Ord ve V . Bu nedenle, x  <  y, eğer G ⁻¹ (x) <  G ⁻¹ (y), V'nin iyi sıralanmasını tanımlar . Bu iyi sıralama genel bir seçim fonksiyonunu tanımlar : Inf  ( x ) boş olmayan bir x kümesinin en küçük elemanı olsun . Yana Inf  ( x ) ∈  X , bu işlev bir eleman seçer x Boş olmayan her kümesi için x . Bu nedenle, Inf  ( x ) küresel bir seçim işlevidir, bu nedenle Von Neumann'ın aksiyomu küresel seçim aksiyomunu ima eder .

1968'de Azriel Lévy , von Neumann'ın aksiyomunun birlik aksiyomunu ima ettiğini kanıtladı . İlk olarak, birlik aksiyomunu kullanmadan, her sıra kümesinin bir üst sınırı olduğunu kanıtladı. Sonra eşleştiren bir fonksiyon kullandık Ord üzerine V eğer kanıtlamak için bir kümesidir, o zaman ∪  A kümesidir.

Yer değiştirme, genel seçim ve birleşme aksiyomları ( NBG'nin diğer aksiyomlarıyla birlikte ) boyutun sınırlandırılması aksiyomunu ima eder. Bu nedenle, bu aksiyom, NBG veya Morse-Kelley küme teorisindeki yer değiştirme, küresel seçim ve birleşme kombinasyonuna eşdeğerdir . Von Neumann'ın aksiyom sistemi birleşim aksiyomunu içerdiğinden, bu küme teorileri yalnızca yer değiştirme aksiyomunu ve boyutun sınırlandırılması aksiyomunun yerine bir seçim aksiyomu biçimini ikame etti. Lévy'nin bu aksiyomun gereksiz olduğuna dair kanıtı yıllar sonra geldi.

Küresel Seçim aksiyomu ile NBG aksiyomlarının zamanki yerini Seçim aksiyomu büyüklüğünün sınırlaması belitini ima etmez. 1964'te William B. Easton , küresel seçimin yerini seçim aksiyomunun aldığı bir NBG modeli oluşturmak için zorlamayı kullandı . Easton'ın modelde, V edilemez doğrusal sipariş onu iyi sıralı olamaz bu yüzden. Bu nedenle, boyut sınırlaması aksiyomu bu modelde başarısız olur. Ord üzerine eşlenemeyen uygun bir sınıfının bir örneğidir V (yukarıda kanıtlandığı gibi) için bir işlev eşlemesi varsa Ord üzerine V , daha sonra V de sipariş edilebilir.

NBG'nin yerine koyma aksiyomunun yerini daha zayıf ayırma aksiyomunun aldığı aksiyomlar, boyut sınırlaması aksiyomunu ima etmez. Aynı zamanda kardinal olan -th sonsuz ilk sıra sayısı olarak tanımlayın ; numaralandırma 'da başlar, bu nedenle 1939'da Gödel , inşa edilebilir evrenin bir alt kümesi olan L _{ω ω'nin} , yerine ayırma ile değiştirilen bir ZFC modeli olduğuna dikkat çekti . Ayırma ile ikame değiştirme ile NBG bir model haline genişletmek için kendi sınıfları L setleri olsun _{co co + 1} L inşa edilebilir altkümeleridir, _{co co} . Bu model, NBG'nin sınıf varlığı aksiyomlarını karşılar, çünkü bu aksiyomların küme değişkenlerini L _{ω ω ile} sınırlamak, L' de geçerli olan ayırma aksiyomunun örneklerini üretir . L _{ω ω+'ya} ait bir fonksiyon olduğu için küresel seçim aksiyomunu karşılar. ₁ ω _{ω ile} L _{ω ω} eşlenir , bu da L _{ω ω'nin} iyi sıralı olduğu anlamına gelir . Uygun sınıf {ω boyutu nedeniyle sınırlı beliti başarısız _n  :  n  önem düzeyi olan ∈ ω} o L üzerine eşlenecek değildir bu yüzden, _{ω ω} önem düzeyi vardır . ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alfa }}$${\görüntüleme stili \alfa }$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \omega _{0}=\omega .}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

1923'te Zermelo'ya yazdığı bir mektupta von Neumann, aksiyomunun ilk versiyonunu belirtti: Bir sınıf, ancak ve ancak onunla V arasında bire bir yazışma varsa uygun bir sınıftır . Boyut sınırlaması aksiyomu, von Neumann'ın 1923 aksiyomunu ima eder. Bu nedenle, aynı zamanda tüm uygun sınıfların V ile eşit olduğu anlamına gelir .

Zermelo'nun modelleri ve boyut sınırlaması aksiyomu

1930'da Zermelo, küme teorisi modelleri üzerine bir makale yayınladı ve burada bazı modellerinin boyut sınırlaması aksiyomunu karşıladığını kanıtladı. Bu modeller inşa edilir ZFC kullanarak toplu hiyerarşi V _a ile tanımlanır, ötesi yineleme :

1. V ₀  =  ∅ .
2. V _a+1  =  V _a  ∪  P ( V _a ). Diğer bir deyişle, birlik içinde V _a ve güç grubu .
3. β limiti için: V _β  = ∪ _{α < β}  V _α . Yani, V _β , önceki V _α'nın birleşimidir .

Zermelo, κ'nin bir kardinal olduğu V _κ biçimindeki modellerle çalıştı . Modelinin sınıfları alt kümeleri arasında V _k ve modelin ∈-ilişkisi standart ∈-ilişkidir. Modelin setleri sınıfları X , öyle ki X, ∈ V _κ . Zermelo, κ kardinallerini V _κ'nın karşılayacağı şekilde tanımladı :

Teorem 1. Bir X sınıfı , ancak ve ancak | X | < k.

Teorem 2. | V _k | = κ.

Her sınıf V _κ'nin bir alt kümesi olduğundan , Teorem 2, her X sınıfının  ≤ κ kardinalitesine sahip olduğunu ima eder . Bunu Teorem 1 ile birleştirmek şunu kanıtlar: her uygun sınıfın κ kardinalitesi vardır. Bu nedenle, her uygun sınıf, V _κ ile bire bir yazışmaya konulabilir . Bu yazışma V _κ'nin bir alt kümesidir , dolayısıyla modelin bir sınıfıdır. Bu nedenle, boyut sınırlaması aksiyomu V _κ modeli için geçerlidir .

V _κ'nin iyi _sıralı olduğunu belirten teorem doğrudan ispatlanabilir . κ, κ ve | V _k | = κ, κ ve V _κ arasında bire bir _{eşleşme var} . Bu yazışma iyi bir V _κ sıralaması üretir . Von Neumann'ın ispatı dolaylıdır . Tüm ordinallerin sınıfının uygun bir sınıf olduğunu çelişki yoluyla kanıtlamak için Burali-Forti paradoksunu kullanır . Bu nedenle, boyut sınırlaması aksiyomu, tüm sıraların sınıfını tüm kümelerin sınıfına eşleyen bir fonksiyon olduğunu ima eder. Bu fonksiyon, iyi bir V _κ sıralaması üretir .

Model V _ω

Teorem 1 ve 2'nin bazı V _κ için geçerli olduğunu göstermek için , önce bir küme V _α'ya aitse, o zaman o kümenin sonraki tüm V _β'ya ait olduğunu veya eşdeğer olarak: α ≤ β için V _α  ⊆  V _β olduğunu kanıtlıyoruz . Bu, β üzerinde transfinite indüksiyon ile kanıtlanmıştır :

1. β = 0: V ₀  ⊆  V ₀ .
2. β+1 için: Endüktif hipotezle, V _α  ⊆  V _β . Dolayısıyla, V _α  ⊆  V _β  ⊆  V _β  ∪  P ( V _β ) =  V _β+1 .
3. β limiti için: Eğer α < β ise, o zaman V _α  ⊆ ∪ _{ξ < β}  V _ξ  =  V _β . α = β ise, o zaman V _α  ⊆  V _β .

Kümeler, β+1 adımında P ( V _β ) güç seti aracılığıyla kümülatif hiyerarşiye girer . Aşağıdaki tanımlar gerekli olacaktır:

Eğer X bir dizi, seviye ( x ) en az bir sıra β öyle ki x  ∈  V _{β + 1} .

Sup sup A ile gösterilen sıra sayıları A bir dizi, en az bir sıra β şekilde α ≤ β bütün a için ∈ A.

Zermelo'nun en küçük modeli V _ω . Matematiksel indüksiyon kanıtlamaktadır V _{, n} olduğu sonlu tüm n  <ω:

1. | V ₀ | = 0.
2. | V _{n +1} | = | V _n  ∪  P ( V _n )| ≤ | V _n | + 2  ^{| V _n |} Beri sonlu olan V _n endüktif hipotezi tarafından sonludur.

Teoremin Kanıtı 1: Bir X kümesi , bazı n  < ω için V _ω ile P ( V _n ) girer , bu nedenle X  ⊆  V _n . Yana V _N sonlu, X, sonlu. Tersine : Eğer bir X sınıfı sonlu ise, N  = sup {sıra( x ):  x  ∈  X } olsun. Tüm x  ∈  X için rank( x ) ≤  N olduğundan, X  ⊆  V _{N +1 'e} sahibiz , yani X  ∈  V _{N +2}  ⊆  V _ω . Bu nedenle, X  ∈  V _ω .

Teoremin Kanıtı 2: V _ω , artan boyutta sayılabilir sonsuz sayıda sonlu kümenin birleşimidir . Bu nedenle, von Neumann kardinal ataması ile ω'ye eşit olan kardinaliteye sahiptir . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

V _ω kümeleri ve sınıfları , sonsuzluk aksiyomu dışında NBG'nin tüm aksiyomlarını karşılar .

κ'nin kesinlikle erişilemez bir kardinal olduğu V _κ modelleri

V _ω için Teorem 1 ve 2'yi kanıtlamak için sonluluğun iki özelliği kullanıldı :

1. λ sonlu bir kardinal ise, o zaman 2 ^λ sonludur.
2. Eğer bir ordinals kümesidir öyle ki | bir | sonludur ve α tüm α ∈ A için sonludur  , o zaman sup  A sonludur.

Sonsuzluk aksiyomunu karşılayan modelleri bulmak için, "sonlu" ifadesini "< κ" ile değiştirerek, kesinlikle erişilemeyen kardinalleri tanımlayan özellikleri üretin . Bir kardinal κ, eğer κ > ω ise kesinlikle erişilemez ve:

1. Eğer λ, λ < κ olacak şekilde bir kardinal ise, o zaman 2 ^λ  < κ.
2. Eğer bir ordinals kümesidir öyle ki | bir | < κ ve α < κ tüm α ∈  A için , ardından Sup  A  < κ.

Bu özellikler, κ'ye aşağıdan ulaşılamayacağını iddia eder. İlk özellik, κ'ye güç kümeleri tarafından ulaşılamayacağını söylüyor; ikincisi, κ'ye yer değiştirme aksiyomu ile ulaşılamayacağını söylüyor. ω'yi elde etmek için sonsuzluk aksiyomunun gerekli olması gibi, kesinlikle erişilemeyen kardinaller elde etmek için bir aksiyoma ihtiyaç vardır. Zermelo, güçlü bir şekilde erişilemeyen kardinallerin sınırsız bir dizisinin varlığını öne sürdü.

κ kesinlikle erişilemez bir kardinal ise, o zaman transfinit tümevarım | V _α | < κ tüm α < κ için:

1. α = 0: | V ₀ | = 0.
2. α+1 için: | V _α+1 | = | V _α  ∪  P ( V _α )| ≤ | V _α | + 2  ^{| V _α |}  = 2  ^{| V _α |}  < k. Son eşitsizlik endüktif hipotezi kullanır ve κ kesinlikle erişilemezdir.
3. α limiti için: | V _α | = |∪ _{ξ < α}  V _ξ | ≤ destek {| V _ξ | : ξ < α} < κ. Son eşitsizlik endüktif hipotezi kullanır ve κ kesinlikle erişilemezdir.

Teoremi 1 ispatı: bir dizi X girer V _K ile P ( V _a bazı α <κ için bu yüzden) X  ⊆  V _a . beri | V _α | < κ, elde ederiz | X | < k. Tersine: Bir X sınıfında | X | < κ, β = sup {sıra( x ):  x  ∈  X } olsun. κ kesinlikle erişilemez olduğundan, | X | < κ ve rank( x ) < κ tüm x  ∈  X için β = sup {rank( x ):  x  ∈  X } < κ anlamına gelir. Tüm x  ∈  X için rank( x ) ≤ β olduğundan, X  ⊆  V _{β+1 'e} sahibiz , yani X  ∈  V _β+2  ⊆  V _κ . Bu nedenle, X  ∈  V _κ .

Teorem 2'nin Kanıtı: | V _k | = |∪ _{α < κ}  V _α | ≤ destek {| V _α | : a < κ}. β bu üst nokta olsun. Supremumdaki her sıra κ'den küçük olduğundan, β ≤ κ'ye sahibiz. β < κ varsayalım. O zaman β < λ < κ olacak şekilde bir kardinal λ vardır; örneğin, λ = 2 ^|β| . λ ⊆ V _λ ve | V _λ | en üstte ise λ ≤ | V _λ | ≤ β. Bu, β < λ ile çelişir. Bu nedenle, | V _k | = β = κ.

V _κ kümeleri ve sınıfları , NBG'nin tüm aksiyomlarını karşılar.

Boyut doktrini sınırlaması

Boyut doktrininin sınırlandırılması , küme teorisinin aksiyomlarını doğrulamak için kullanılan bir buluşsal ilkedir. Tam (çelişkili) anlama aksiyom şemasını kısıtlayarak, belirlenmiş teorik paradokslardan kaçınır:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists x\,\forall u\,(u\in x\iff \varphi (u,w_{1},\ldots ,w_) {n}))}$

"kullandıklarından 'çok daha büyük' ​​kümeler vermeyen durumlara."

"Daha büyük" terimi daha sonra en aksiyomların "ana boyutu, daha büyük" haklı görülebilir ise: ayırma beliti bir alt kümesini üretir x daha büyük olmayan bir x . Değiştirilmesi aksiyomu bir görüntü grubu üretir f ( x fazla olmayan büyük) x . Birleşim aksiyomu, boyutu birleşimdeki en büyük kümenin boyutu ile birleşimdeki küme sayısının çarpımından daha büyük olmayan bir birleşim üretir. Seçim aksiyomu, boyutu verilen boş olmayan kümeler kümesinin boyutundan daha büyük olmayan bir seçim kümesi üretir.

Boyut doktrininin sınırlandırılması, sonsuzluk aksiyomunu haklı çıkarmaz:

${\displaystyle \var y\,[\emptyset \in y\,\land \,\forall x(x\in y\x\cup \{x\}\in y)],}$

boş kümeyi kullanan ve boş kümeden elde edilen sıralı ardıl işlemi yineleyerek elde edilen kümeler . Bu kümeler sonlu olduğundan, bu aksiyomu sağlayan herhangi bir küme, örneğin ω, bu kümelerden çok daha büyüktür. Fraenkel ve Lévy , varlıkları sonsuzluk ve ayrılık aksiyomları tarafından ima edilen boş küme ve sonsuz doğal sayılar kümesini , türeten kümelerin başlangıç ​​noktası olarak kabul ederler.

Von Neumann'ın boyut sınırlamasına yaklaşımı, boyutun sınırlandırılması aksiyomunu kullanır. Aksiyomun § Etkileri bölümünde belirtildiği gibi , von Neumann'ın aksiyomu ayırma, değiştirme, birleşme ve seçim aksiyomlarını ima eder. Fraenkel ve Lévy gibi, von Neumann da sonsuzluk aksiyomunu diğer aksiyomlarından kanıtlanamadığı için sistemine eklemek zorunda kaldı. Von Neumann'ın boyut sınırlaması yaklaşımı ile Fraenkel ve Lévy'nin yaklaşımı arasındaki farklar şunlardır:

• Von Neumann'ın aksiyomu, bir aksiyom sistemine boyut sınırlaması koyar ve çoğu set varoluş aksiyomunun kanıtlanmasını mümkün kılar. Boyut doktrininin sınırlandırılması, aksiyomları, bir kanıttan ziyade anlaşmazlığa daha açık olan gayri resmi argümanlar kullanarak haklı çıkarır.
• Von Neumann, diğer aksiyomlarından kanıtlanamadığı için kuvvet kümesi aksiyomunu kabul etti. Fraenkel ve Lévy, boyut doktrininin sınırlandırılmasının kuvvet kümesi aksiyomunu haklı çıkardığını belirtir.

Boyut doktrininin sınırlandırılmasının güç seti aksiyomunu haklı gösterip göstermediği konusunda anlaşmazlık var. Michael Hallett, Fraenkel ve Lévy tarafından verilen argümanları analiz etti. Argümanlarından bazıları boyutu, ana boyuttan başka ölçütlere göre ölçer; örneğin, Fraenkel "kapsamlılık" ve "genişletilebilirlik" kavramlarını sunar. Hallett, argümanlarında kusur olarak gördüğü şeylere dikkat çekiyor.

Hallett, daha sonra küme teorisindeki sonuçların, sonsuz bir kümenin boyutu ile güç kümesinin boyutu arasında hiçbir bağlantı olmadığını ima ettiğini öne sürer. O güç kümesi gerektirir, çünkü bu büyüklük doktrininin sınırlaması güç seti aksiyomu haklı aciz olduğu anlamına geliyor x değil "çok fazla büyük" daha x . Boyutun ana boyutla ölçüldüğü durum için Hallett, Paul Cohen'in çalışmasından bahseder . ZFC ve 'nin bir modeliyle başlayarak , Cohen , ω'nin güç kümesinin kardinalitesinin, ' nin eş sonluluğu ω değilse olduğu bir model oluşturdu ; aksi takdirde, kardinalitesi . ω kuvvet kümesinin kardinalitesinin sınırı olmadığı için, ω'nin kardinal boyutu ile P (ω) ' nin kardinal boyutu arasında bir bağlantı yoktur . ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$

Hallett ayrıca, bir koleksiyonun "sınırsız kavrama" veya "sınırsız kapsam" olması durumunda "çok büyük" olduğunu düşünen, boyutun "kapsamlılık" ile ölçüldüğü durumu tartışır. Sonsuz bir küme için, evrenin sınırsız boyutundan geçmeden tüm alt kümelerine sahip olduğumuzdan emin olamayacağımıza dikkat çekiyor. O da tırnak John L. Bell ve Moshe Machover'in :" ... kuvvet kümesi P ( u ) a verilen [sonsuz] set u büyüklüğüne sadece orantılıdır u aynı zamanda tüm evrenin 'zenginliği' olarak ..." bu gözlemler yaptıktan sonra Hallett devletler: 'bir basitçe olduğunu şüpheli sevk edilir hiçbir bağlantı sonsuz büyüklüğüne (kapsayıcılığı) arasındaki a ve büyüklüğüne P ( a )'.

Hallett, büyüklük doktrininin sınırlandırılmasını, küme teorisinin aksiyomlarının çoğunu haklı çıkarmak için değerli görür. Argümanları yalnızca, sonsuzluk ve kuvvet kümesi aksiyomlarını haklı çıkaramayacağını gösterir. O, "von Neumann'ın [kuvvet kümelerinin küçüklüğüne ilişkin] açık varsayımının, Zermelo'nun, Fraenkel'in ve Lévy'nin güç kümelerinin küçüklüğüne ilişkin belirsizce gizlenmiş örtük varsayımına göre tercih edilebilir göründüğü" sonucuna varıyor .

Tarih

Von Neumann, kümeleri tanımlamanın yeni bir yöntemi olarak boyut sınırlaması aksiyomunu geliştirdi. ZFC , kümeleri küme oluşturma aksiyomları aracılığıyla tanımlar. Bununla birlikte, Abraham Fraenkel'in işaret ettiği gibi : " Z [ZFC] aksiyomlarında teorinin temeli olarak seçilen süreçlerin oldukça keyfi karakteri, mantıksal argümanlardan ziyade küme teorisinin tarihsel gelişimi ile doğrulanır. "

ZFC aksiyomlarının tarihsel gelişimi, 1908'de Zermelo'nun paradoksları ortadan kaldırmak ve iyi sıralama teoreminin kanıtını desteklemek için aksiyomları seçmesiyle başladı . 1922'de Abraham Fraenkel ve Thoralf Skolem , Zermelo'nun aksiyomlarının { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} kümesinin varlığını kanıtlayamayacağına dikkat çekti , burada Z ₀ doğal sayılar kümesi ve Z _{n +1} ise güç grubu , Z _{, n} . Ayrıca, bu kümenin varlığını garanti eden değiştirme aksiyomunu da tanıttılar. Bununla birlikte, aksiyomları gerektiği gibi eklemek, ne tüm makul kümelerin varlığını garanti eder ne de kullanımı güvenli kümeler ile çelişkilere yol açan koleksiyonlar arasındaki farkı netleştirir.

1923'te Zermelo'ya yazdığı bir mektupta von Neumann, "çok büyük" olan ve çelişkilere yol açabilecek kümeleri tanımlayan küme teorisi yaklaşımının ana hatlarını çizdi. Von Neumann bu kümeleri şu ölçütü kullanarak tanımladı: "Bir küme, ancak ve ancak her şeyin kümesine eşdeğerse 'çok büyük'tür ." Daha sonra bu kümelerin nasıl kullanılabileceğini kısıtladı: "... paradokslardan kaçınmak için 'çok büyük' ​​olan [kümelerin] eleman olarak kabul edilemez olduğu ilan edildi ." Bu kısıtlamayı kendi kriteriyle birleştirerek, von Neumann, sınıfların dilinde şöyle ifade edilen boyut sınırlaması aksiyomunun ilk versiyonunu elde etti: Bir sınıf, ancak ve ancak V ile eşitse uygun bir sınıftır . 1925 yılında, von Neumann, "ile birlikte equinumerous olan değiştirerek onun aksiyomu modifiye V  " "o üzerine eşlenebilir için V  boyutunun sınırlı belitini üretir." Bu değişiklik, von Neumann'ın değiştirme aksiyomunun basit bir kanıtını vermesini sağladı. Von Neumann'ın aksiyomu, kümeleri V ile eşleştirilemeyen sınıflar olarak tanımlar . Von Neumann, bu aksiyomla bile küme teorisinin kümeleri tam olarak karakterize etmediğini fark etti.

Gödel, von Neumann'ın aksiyomunu "büyük ilgi çekici" buldu:

"Özellikle onun [von Neumann'ın] bir özelliğin bir kümeyi tanımlamak için yerine getirmesi gereken gerekli ve yeterli koşulunun çok ilginç olduğuna inanıyorum, çünkü aksiyomatik küme teorisinin paradokslarla ilişkisini açıklığa kavuşturuyor. Bu koşulun gerçekten Şeylerin özüne inmesi, daha önce diğer varoluşsal ilkelerden oldukça farklı olan seçim aksiyomunu ima etmesinden anlaşılmaktadır. bana göre, sadece çok zarif değil, aynı zamanda mantıksal açıdan da çok ilginç.Ayrıca, yalnızca bu yönde daha ileri giderek, yani yapılandırmacılığın tersi yönünde , soyut küme teorisinin temel sorunlarının çözüleceğine inanıyorum. "

Notlar

Referanslar

bibliyografya

• Bell, John L.; Machover, Moshé (2007), Matematiksel Mantıkta Bir Kurs , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2844-5.
• Bernays, Paul (1937), "Aksiyomatik Küme Teorisi Sistemi - Kısım I", The Journal of Symbolic Logic , 2 (1): 65–77, doi : 10.2307/2268862 , JSTOR  2268862.
• Bernays, Paul (1941), "Aksiyomatik Küme Teorisi Sistemi - Bölüm II", The Journal of Symbolic Logic , 6 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267281 , JSTOR  2267281.
• Bernays, Paul (1991), Aksiyomatik Kümeler Teorisi , Dover Publications, ISBN 0-486-66637-9.
• Cohen, Paul (1966), Küme Teorisi ve Süreklilik Hipotezi , WA Benjamin, ISBN 978-0-486-46921-8.
• Easton, William B. (1964), Düzenli Kardinallerin Yetkileri (doktora tezi), Princeton Üniversitesi.
• Ferreirós, José (2007), Düşünce Labirenti: Küme Teorisinin Tarihi ve Matematiksel Düşüncedeki Rolü (2. gözden geçirilmiş ed.), Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Fraenkel, Abraham (1922), "Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre" , Mathematische Annalen , 86 (3-4): 230–237, doi : 10.1007/bf01457986 , S2CID  122212740.
• Fraenkel, İbrahim; Bar-Hillel, Yehoşua; Levy, Azriel (1973), Küme Teorisinin Temelleri (2. gözden geçirilmiş baskı), Basel, İsviçre: Elsevier, ISBN 0-7204-2270-1.
• Gödel, Kurt (1939), "Consistency Proof for the Generalized Continuum Hypothesis" (PDF) , Proceedings of the National Academy of the United States of the America , 25 (4): 220–224, doi : 10.1073/pnas.25.4 220 Ama , PMC  1.077.751 , PMID  16.588.293.
• Gödel, Kurt (1940), Süreklilik Hipotezinin Tutarlılığı , Princeton University Press.
• Hallett, Michael (1984), Cantorian Küme Teorisi ve Boyut Sınırlaması , Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853179-6.
• Kanamori, Akihiro (2003), "Stanislaw Ulam" (PDF) , Solomon Feferman ve John W. Dawson, Jr. (ed.), Kurt Gödel Collected Works, Cilt V: Yazışmalar HZ , Clarendon Press, s. 280–300 , ISBN'si 0-19-850075-0.
• Kelley, John L. (1955), Genel Topoloji , Van Nostrand, ISBN 978-0-387-90125-1.
• Kunen, Kenneth (1980), Küme Teorisi: Bağımsızlık Kanıtlarına Giriş , Kuzey Hollanda, ISBN 0-444-86839-9.
• Levy, Azriel (1968), "On Neumann's Axiom System for Set Theory", American Mathematical Monthly , 75 (7): 762–763, doi : 10.2307/2315201 , JSTOR  2315201.
• Mirimanoff, Dmitry (1917), "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme temel de la theorie des toplulukları", L'Enseignement Mathématique , 19 : 37-52.
• Moore, Gregory H. (1982), Zermelo'nun Seçim Aksiyomu: Kökenleri, Gelişimi ve Etkisi , Springer, ISBN 0-387-90670-3.
• Sierpinski, Waclaw; Tarski, Alfred (1930), "Sur une propriété caractéristique des nomres inaccessibles" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292–300, doi : 10.4064/fm-15-1-292-300 , ISSN  0016-2736.
• Skolem, Thoralf (1922), "Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre", Matematikerkongressen i Helsingfors den 4-7 Temmuz, 1922 , s. 217–232.
  • İngilizce çeviri: van Heijenoort, Jean (1967b), " Axiomatized set teorisi üzerine bazı açıklamalar", From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, s. 290–301, ISBN 978-0-674-32449-7.
• von Neumann, John (1925), "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 154 : 219–240.
  • İngilizce çeviri: van Heijenoort, Jean (1967c), "Bir küme teorisinin aksiyomlaştırılması", Frege'den Gödel'e : Matematiksel Mantıkta Bir Kaynak Kitap, 1879-1931 , Harvard University Press, s. 393–413, ISBN 978-0-674-32449-7.
• von Neumann, John (1928), "Axiomatisierung der Mengenlehre" , Mathematische Zeitschrift , 27 : 669–752, doi : 10.1007/bf01171122 , S2CID  123492324.
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007/bf01449999 , S2CID  120085563.
  • İngilizce çeviri: van Heijenoort, Jean (1967a), "Investigations in the temelleri of set teorisi", From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, s. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.
• Zermelo, Ernst (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi : 10.4064/fm-16-1-29-47.
  • İngilizce çeviri: Ewald, William B. (1996), "Sınır sayıları ve kümelerin etki alanları: küme teorisinin temellerinde yeni araştırmalar", Immanuel Kant'tan David Hilbert'e: Matematik Temellerinde Bir Kaynak Kitap , Oxford University Press , s. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.