Borel seti - Borel set

Gelen matematik bir Borel kümesi bir herhangi bir dizi topolojik alan oluşturulabilir açık kümeler (mesafede, eşdeğer ya da kapalı kümeler işlemleri yoluyla) sayılabilir birliği , sayılabilir kesişme ve göreli tamamlayıcısı . Borel setleri, Émile Borel'in adını almıştır .

Bir topolojik uzay için X , tüm Borel kümeleri toplama X bir oluşturur σ-cebir olarak bilinen Borel cebir veya Borel σ-cebir . X üzerindeki Borel cebiri, tüm açık kümeleri (veya eşdeğer olarak tüm kapalı kümeleri) içeren en küçük σ-cebiridir.

Borel kümeleri ölçü teorisinde önemlidir , çünkü bir uzayın açık kümelerinde veya bir uzayın kapalı kümelerinde tanımlanan herhangi bir ölçü, o uzayın tüm Borel kümelerinde de tanımlanmalıdır. Borel kümelerinde tanımlanan herhangi bir ölçüye Borel ölçüsü denir . Borel kümeleri ve ilişkili Borel hiyerarşisi de tanımlayıcı küme teorisinde temel bir rol oynar .

Bazı bağlamlarda, Borel kümeleri , açık kümeler yerine topolojik uzayın kompakt kümeleri tarafından üretilecek şekilde tanımlanır . İki tanım, tüm Hausdorff σ-kompakt uzayları da dahil olmak üzere birçok iyi huylu uzay için eşdeğerdir , ancak daha patolojik uzaylarda farklı olabilir .

Borel cebirini oluşturma

X'in bir metrik uzay olması durumunda , Borel cebiri birinci anlamda üretken olarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir .

Koleksiyonu için T ait alt kümelerin X (herhangi bir alt-grup için, bir güç grubu P ( x arasında) X ), izin

• ${\ Displaystyle T_{\sigma }}$T'nin tüm elemanlarının sayılabilir birleşimleri olsun
• ${\ Displaystyle T_{\delta }}$T elemanlarının tüm sayılabilir kesişimleri olsun
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.}$

Şimdi göre tanımlayan ötesi endüksiyon bir sekans G ^m , m, bir bir sıra sayısı aşağıdaki şekilde:

• Tanımın temel durumu için , X'in açık alt kümelerinin koleksiyonu olsun .${\görüntüleme stili G^{0}}$
• Eğer i bir limit sıra sayısı değilse , o zaman i'nin hemen önünde bir sıra sayısı i − 1 olsun.
  $${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$$

  
• Eğer ben bir sınır sıra, dizi
  $${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$$

  

İstem Borel cebri olmasıdır G ^{co ₁} ω, ₁ olan ilk sayılamaz sıra sayısı . Yani, Borel cebiri , işlemi yineleyerek açık kümeler sınıfından üretilebilir .

$${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }.}$$

Bu iddiayı kanıtlamak için, bir metrik uzaydaki herhangi bir açık kümenin, artan bir kapalı küme dizisinin birleşimi olduğuna dikkat edin. Özellikle, kümelerin tamamlayıcısı, herhangi bir limit ordinal m için G ^m'yi kendi içine eşler ; ayrıca m sayılamayan bir limit ordinal ise, G ^m sayılabilir birleşimler altında kapalıdır.

Not Her Borel grubu için bu B , bazı sayılabilir sıra vardır α _B öyle ki B üzerinde işlem yineleme ile elde edilebilir α _B . Bununla birlikte, B tüm Borel kümeleri üzerinde değiştiğinden, α _B tüm sayılabilir sıra sayıları üzerinde değişecektir ve dolayısıyla tüm Borel kümelerinin elde edildiği ilk sıra sayısı ω ₁ , ilk sayılamayan sıra sayısıdır.

Örnek

Özellikle olasılık teorisinde önemli bir örnek, gerçek sayılar kümesindeki Borel cebiridir . Bu hangi cebir Borel ölçü tanımlanır. Bir olasılık uzayında tanımlanmış gerçek bir rastgele değişken verildiğinde , olasılık dağılımı tanım gereği aynı zamanda Borel cebirinde bir ölçüdür.

Gerçekler üzerindeki Borel cebiri, R üzerindeki tüm aralıkları içeren en küçük σ-cebridir .

Sınır ötesi tümevarımla yapılanmada, her adımda, küme sayısının en fazla, sürekliliğin kardinalitesi olduğu gösterilebilir . Böylece, Borel kümelerinin toplam sayısı şundan küçük veya ona eşittir:

$${\displaystyle \aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.}$$

Aslında, Borel kümeleri koleksiyonunun kardinalitesi, sürekliliğinkine eşittir ( var olan, kesinlikle daha büyük ve eşit olan, Lebesgue ile ölçülebilir kümelerin sayısına kıyasla ). ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$

Standart Borel uzayları ve Kuratowski teoremleri

Let X'in bir topolojik uzay olsun. Borel alanı ile ilişkili X çifti (olup X , B ), B Borel setleri σ-cebiridir X .

George Mackey, bir Borel uzayını biraz farklı bir şekilde tanımladı ve "Borel kümeleri olarak adlandırılan seçkin bir σ-alanı alt kümeleriyle birlikte bir küme" olduğunu yazdı. Ancak modern kullanım, seçkin alt cebiri ölçülebilir kümeler ve bu tür uzayları ölçülebilir uzaylar olarak adlandırmaktır . Bu ayrımın nedeni, Borel kümelerinin (topolojik uzayın) açık kümeleri tarafından üretilen σ-cebiri olması , oysa Mackey'nin tanımının keyfi bir σ-cebiriyle donatılmış bir kümeyi ifade etmesidir. Altta yatan uzayda herhangi bir topoloji seçimi için Borel uzayları olmayan ölçülebilir uzaylar vardır.

Ölçülebilir alanlarda bir formu kategori içinde morfizimler olan ölçülebilir fonksiyonlar ölçülebilir boşluklar arasında. Bir fonksiyon olan ölçülebilir bu ise geri çeker tüm ölçülebilir setleri için, yani ölçülebilir setleri, B içinde Y , grubu ölçülebilir X . ${\displaystyle f:X\sağ ok Y}$${\görüntüleme stili f^{-1}(B)}$

teorem . Let X, bir olmak Polonya alan bir orada bir topolojik uzay gibi, yani, metrik d ile X topolojisine tanımlayan X ve yapar X tam bir ayrılabilir metrik alanı. O zaman bir Borel uzayı olarak X , aşağıdakilerden birine izomorfiktir .

1. R ,
2. Z ,
3. sonlu bir uzay.

(Bu sonuç, Maharam'ın teoremini anımsatır .)

Borel uzayları olarak kabul edilen gerçek doğru R , R'nin sayılabilir bir kümeyle birleşimi ve R ⁿ izomorfiktir.

Bir standart Borel uzay bir ilişkili Borel alandır Polonyalı alanı . Standart bir Borel uzayı, kardinalitesi ile izomorfizme kadar karakterize edilir ve herhangi bir sayılamayan standart Borel uzayı, sürekliliğin kardinalitesine sahiptir.

Polonya uzaylarının alt kümeleri için, Borel kümeleri, Polonya uzaylarında tanımlanan sürekli injektif haritaların aralıkları olan kümeler olarak karakterize edilebilir. Bununla birlikte, sürekli bir enjektif olmayan haritanın aralığının Borel olmayabileceğini unutmayın. Analitik kümeye bakın .

Standart bir Borel uzayındaki her olasılık ölçüsü , onu standart bir olasılık uzayına dönüştürür .

Borel olmayan setler

Lusin nedeniyle Borel olmayan gerçeklerin bir alt kümesinin bir örneği aşağıda açıklanmıştır. Bunun aksine, varlığı kanıtlanabilse de ölçülemeyen bir küme örneği gösterilemez .

Her irrasyonel sayının sonsuz bir sürekli kesir ile benzersiz bir temsili vardır.

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac { 1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

nerede bazı olduğu tamsayı ve diğer tüm sayılar olan pozitif tamsayılar. Izin dizilerine uygun mantıksız sayıların kümesi sonsuz vardır: Aşağıdaki özelliği ile alt-dizisinin her bir elemanı, bir olduğu şekilde bölen sonraki elemanın. Bu set Borel değil. Aslında analitiktir ve analitik kümeler sınıfında eksiksizdir. Daha fazla ayrıntı için betimleyici küme teorisine ve Kechris'in kitabına bakın , özellikle 209. sayfadaki Alıştırma (27.2), sayfa 169'daki Tanım (22.9) ve sayfa 14'teki Alıştırma (3.4)(ii). ${\ Displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{k}}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$ ${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$${\görüntüleme stili A}$

Bu süre o, nota önemlidir ZF inşa edilebilir, yalnız ZF olmayan Borel olduğu kanıtlanmış edilemez. Aslında, sayılabilir kümelerin sayılabilir bir birleşimi olan ZF ile tutarlıdır , böylece herhangi bir alt kümesi bir Borel kümesidir. ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Başka olmayan Borel grubu, bir ters görüntüsü olan bir bölgesinin sonsuz parite fonksiyonu . Ancak, bu (seçim aksiyomu aracılığıyla) varlığın bir kanıtıdır, açık bir örnek değildir. ${\ Displaystyle f^{-1}[0]}$ ${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$

Alternatif eşdeğer olmayan tanımlar

Paul Halmos'a göre , yerel olarak kompakt bir Hausdorff topolojik uzayının bir alt kümesi, tüm kompakt kümeleri içeren en küçük σ-halkasına aitse Borel kümesi olarak adlandırılır .

Norberg ve Vervaat topolojik alan Borel cebir yeniden tanımlanması olarak açık alt grupları ve kompakt tarafından üretilen cebiri doymuş alt- . Bu tanım, Hausdorff'un olmadığı durumlardaki uygulamalar için çok uygundur . Eğer, alışılmış bir tanım denk olan ikinci sayılabilir ya da her kompakt doymuş bir alt kümesi kapalıysa (özellikle eğer durum olan Hausdorff olan). ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Ayrıca bakınız

• Baire seti
• Silindirik σ-cebir
• Polonya uzay
• Tanımlayıcı küme teorisi
• Borel hiyerarşisi

Notlar

Referanslar

• William Arveson , An Invitation to C* -cebirleri , Springer-Verlag, 1981. ( Polonya topolojisinin mükemmel bir açıklaması için Bölüm 3'e bakın )
• Richard Dudley , Gerçek Analiz ve Olasılık . Wadsworth, Brooks ve Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Ölçü teorisi . D. van Nostrand Co. Özellikle bkz. 51 "Borel takımları ve Baire takımları".
• Halsey Royden , Gerçek Analiz , Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris , Classical Descriptive Set Theory , Springer-Verlag, 1995 (Matematikte Lisansüstü Metinler, cilt 156)

Dış bağlantılar

• "Borel seti" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Biçimsel tanım içinde Borel Kümeler Mizar sistemine ve teoremler listesi Arşivlenen en 2020-06-01 Wayback Machine resmen bu konuda ispatlanmıştır.
• Weisstein, Eric W. "Borel Seti" . Matematik Dünyası .