İnşa edilebilir evren - Constructible universe

Gelen matematik bölgesi grubu teori , inşa edilebilir evrenin (veya Gödel'in inşa edilebilir evrenin ile gösterilen), L , belirli bir sınıfı arasında setleri basit grupları bakımından tamamen tanımlanabilir. L , yapılandırılabilir hiyerarşinin birleşimidir L _α  . Kurt Gödel tarafından 1938 tarihli "Seçim Aksiyomu ve Genelleştirilmiş Süreklilik-Hipotezinin Tutarlılığı" başlıklı makalesinde tanıtıldı . Bunda, inşa edilebilir evrenin ZF küme teorisinin (yani Zermelo-Fraenkel küme teorisinin) bir iç modeli olduğunu kanıtladı.ile seçim belitinin hariç) ve ayrıca seçim aksiyomu ve genelleştirilmiş süreklilik hipotezi constructible evrende doğrudur. Bu, ZF'nin kendisi tutarlıysa , her iki önermenin de küme teorisinin temel aksiyomlarıyla tutarlı olduğunu gösterir . Diğer birçok teorem yalnızca önermelerden birinin veya her ikisinin doğru olduğu sistemlerde geçerli olduğundan, tutarlılıkları önemli bir sonuçtur.

Ne L olan

L yapımını andıran "aşama" de inşa ediliyor olarak düşünülebilir von Neumann evrenin , V . Aşamalar sıra sayılarına göre indekslenir . Von Neumann evreninin olarak, en ardıl aşaması, tek bir alan V _{a + 1} grubu için tüm önceki safhanın, alt kümeleri V _a . Buna karşılık, Gödel'in inşa edilebilir evreni L'de , bir önceki aşamanın yalnızca şu alt kümeleri kullanılır:

• Bir tarafından tanımlanabilen formül içinde resmi dili küme kuramı,
• ile parametrelerin önceki aşamada ve dışında,
• ile Nicelik önceki aşamaya yoluyla aralığı yorumlanır.

Kişi kendini yalnızca önceden oluşturulmuş olanlarla tanımlanan kümelerle sınırlayarak, ortaya çıkan kümelerin, çevreleyen küme teorisi modelinin özelliklerinden bağımsız olarak ve bu tür herhangi bir modelde yer alacak şekilde oluşturulmasını sağlar.

Tanımlamak

L, aşağıdaki gibi sonlu özyineleme ile tanımlanır :

• ${\displaystyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}:=\operatöradı {Def} (L_{\alpha }).}$
• Eğer a, sınır sıra , daha sonra burada α < λ aracı α önce gelir λ .${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$
• ${\displaystyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.}$Burada Ord , tüm ordinallerin sınıfını gösterir .

Eğer z bir elemanıdır L _a , o zaman z = { y | y ∈ L _α ve y ∈ z } ∈ Def ( L _α ) = L _α+1 . Bu nedenle L _a bir alt kümesidir L _{α + 1} bir alt kümesi, güç grubu bir L _a . Sonuç olarak, bu iç içe geçişli kümelerden oluşan bir kuledir . Ancak L'nin kendisi uygun bir sınıftır .

L' nin elemanlarına "yapılandırılabilir" kümeler denir; ve L'nin kendisi "inşa edilebilir evren"dir. " İnşa edilebilirlik aksiyomu ", diğer adıyla " V = L ", her ( V kümesinin ) oluşturulabilir olduğunu söyler , yani L'de .

L _α kümeleri hakkında ek bilgiler

L _α için eşdeğer bir tanım :

Sonlu sıra için n , kümeler L _{, n} ve V _{, n} (ister aynı V eşittir L böylece ya da değil), ve L _ω = V _ω : kendi elemanları tam olarak kalıtımsal olarak sonlu kümeler . Bu noktanın ötesinde eşitlik geçerli değildir. V'nin L' ye eşit olduğu ZFC modellerinde bile , L _{ω +1} V _{ω +1'in} uygun bir alt kümesidir ve bundan sonra L _{α +1} , tüm α > ω için L _α'nın güç kümesinin uygun bir alt kümesidir . Diğer taraftan, V = L anlamına yapar V _α eşit L _a ise α = co _α örneğin, α erişilemez. Daha genel olarak, V = L , tüm sonsuz kardinaller α için H _α = L _α anlamına gelir .

Eğer α sonsuz bir sıra ise, o zaman L _α ve α arasında bir önerme vardır ve bu önerme oluşturulabilirdir. Dolayısıyla bu kümeler , onları içeren herhangi bir küme teorisi modelinde eşittir .

Yukarıda tanımlandığı gibi, Def( X ), yalnızca X ve öğelerini parametre olarak kullanan Δ ₀ formülleriyle ( Levy hiyerarşisine göre , yani yalnızca sınırlı niceleyicileri içeren küme teorisi formülleri) tanımlanan X'in alt kümeleri kümesidir .

Gödel'e bağlı olarak başka bir tanım, her L _{α +1'i} , Gödel işlemlerine benzer şekilde , L _α'nın güç kümesinin dokuz açık fonksiyonun altında kapanması ile kesişimi olarak karakterize eder . Bu tanım, tanımlanabilirliğe atıfta bulunmaz. ${\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}}$

Tüm aritmetik alt grupları w ve ilgili ilişkiler w ait L _{ω +1} (aritmetik tanımı içinde bir verir, çünkü L _{ω + 1} ). Tersine, L _{ω +1'e} ait herhangi bir ω alt kümesi aritmetiktir (çünkü L _ω öğeleri, ∈ tanımlanabilir, yani aritmetik olacak şekilde doğal sayılarla kodlanabilir). Öte yandan, L _{Q + 2} daha önce belirli olmayan aritmetik alt kümelerini içeren w doğru aritmetik ifadeleri (kodlama doğal sayılar) bu tür grubu olarak, (bundan tanımlanabilir L _{ω +1} içinde bulunduğu, böylece L _{ω +2} ).

Tüm hyperarithmetical alt kümeleri w ve üzerinde ilişkiler w aittir (burada açılımı Kilise-Kleene ordinal ), ve tersine herhangi bir alt kümesi co aittir hyperarithmetical olduğunu. ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK}}}}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK}}}$${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK}}}}$

L , ZFC'nin standart bir iç modelidir

L standart bir modeldir, yani geçişli bir sınıftır ve gerçek eleman ilişkisini kullanır, bu nedenle sağlam temellidir . L yani tüm sıra numaralarını içeren, bir iç modeldir V ve içeri ötesinde hiçbir "ekstra" setleri vardır V , ancak uygun bir alt sınıf olabilir V . L , ZFC'nin bir modelidir ; bu, aşağıdaki aksiyomları karşıladığı anlamına gelir :

• Düzenlilik aksiyomu : Boş olmayan her x kümesi , x ve y'nin ayrık kümeler olduğu bazı y öğelerini içerir .

( L ,∈), ( V ,∈)'nin bir alt yapısıdır ki bu iyi kurulmuş, dolayısıyla L iyi kurulmuş. Özellikle, y ∈ x ∈ L ise , o zaman L , y ∈ L' nin geçişliliği ile . Aynı y'yi V'deki gibi kullanırsak , o zaman hala x'ten ayrıktır çünkü aynı eleman ilişkisini kullanırız ve yeni kümeler eklenmez.

• Genişleme aksiyomu : Aynı elemanlara sahiplerse iki küme aynıdır.

Eğer x ve y olan L ve aynı elemanlara sahip L o zaman, L 'nin geçişlilik, bunlar (aynı elemanlara sahip V ). Yani eşittirler ( V'de ve dolayısıyla L'de ).

• Boş küme aksiyomu : {} bir kümedir.

{} = L ₀ = { y | y ∈ L ₀ ve y = y } ∈ L ₁ . Yani {} ∈ L . Eleman ilişkisi aynı olduğundan ve yeni eleman eklenmediğinden, bu boş L kümesidir .

• Eşleştirme aksiyomu : Eğer x , y küme ise { x , y } bir kümedir.

Eğer X ∈ L ve Y ∈ L , o zaman, bazı sıra vardır α bu şekilde X ∈ L _α ve y ∈ L _α . Sonra { x , y } = { s | s ∈ L _α ve ( s = x veya s = y )} ∈ L _{α +1} . Böylece { x , y } ∈ L ve L için V ile aynı anlama sahiptir .

• Birlik aksiyomu : Herhangi bir x kümesi için , öğeleri tam olarak x'in öğelerinin öğeleri olan bir y kümesi vardır .

Eğer x ∈ L _α , daha sonra kendi unsurları olan L _a ve elementler de vardır L _a . Yani y , L _α'nın bir alt kümesidir . y = { s | S ∈ L _α ve vardır z ∈ X , öyle ki S ∈ z } ∈ L _{α + 1} . Böylece y ∈ L .

• Sonsuz aksiyomu : bir dizi duyulmaktadır x {} içinde olduğu şekilde , x ve her Y olduğu , x , yani birleşmedir .${\ Displaystyle y\cup \{y\}}$

Kaynaktan ötesi indüksiyonu , her bir sıra olsun α ∈ L _{α + 1} . Özellikle ω ∈ L _{ω +1} ve dolayısıyla ω ∈ L .

• Ayırma aksiyomu : Herhangi bir S kümesi ve herhangi bir P ( x , z ₁ ,..., z _n ) önermesi verildiğinde , { x | x ∈ S ve P ( x , z ₁ ,..., z _n )} bir kümedir.

Arasında subformulas üzerinde indüksiyon tarafından P , bir an olduğunu gösterebilir α böyle L _α içerir S ve Z ₁ , ..., z _{, n} ve ( p de geçerlidir L _a , ancak ve ancak, eğer p de geçerlidir L (bu " yansıma ilkesi ") olarak adlandırılır ). Yani { x | x ∈ S ve P ( x , z ₁ ,..., z _n ) L } = { x | x ∈ L _α ve x ∈ S ve P ( x , z ₁ ,..., z _n ) L _α } ∈ L _{α +1 içinde geçerlidir} . Böylece alt küme L'dedir .

• Değiştirme aksiyomu : Herhangi bir S kümesi ve herhangi bir eşleme verildiğinde (resmen P ( x , y ) önermesi olarak tanımlanır , burada P ( x , y ) ve P( x , z ) y = z anlamına gelir ), { y | vardır x ∈ S , öyle ki p ( x , y )} kümesidir.

Let S ( x , y ) göreceleştirdiği formül olarak P için L , yani tüm nicelik P kısıtlanır L . Q , P'den çok daha karmaşık bir formüldür , ancak yine de sonlu bir formüldür ve P , L üzerinde bir eşleme olduğundan , Q , V üzerinde bir eşleme olmalıdır ; böylece biz değiştirilmesini uygulayabilirsiniz V için Q . Yani { y | y ∈ L ve orada x ∈ S var, öyle ki P ( x , y ) L'de de var } = { y | vardır x ∈ S , öyle ki S ( x , y )} bir dizi V ve bir alt sınıfı , L . Yine V'de yer değiştirme aksiyomunu kullanarak, bu kümenin L _α ∈ L _{α +1'in} bir alt kümesi olması için bir α olması gerektiğini gösterebiliriz . Sonra bir ayrılık aksiyomu kullanabilir L bunun bir elemanı olduğunu gösteren tamamlamak için L .

• Kuvvet kümesi aksiyomu : Herhangi bir x kümesi için bir y kümesi vardır , öyle ki y'nin elemanları tam olarak x'in alt kümeleridir .

Genelde, bir kümenin bazı alt kümeleri L olmayacak L . Bir kümenin bütün güç seti Yani L genellikle olmayacak L . Bizim burada ihtiyacımız olan güç kümesinin kesişme göstermektir L olduğu içinde L . Kavşağın bir L _α alt kümesi olacak şekilde bir α olduğunu göstermek için V'de değiştirmeyi kullanın . O zaman kavşak { z | z ∈ L _α ve z , x } ∈ L _{α +1'in} bir alt kümesidir . Böylece gerekli küme L'dedir .

• Seçim aksiyomu : Birbirinden ayrık boş olmayan kümelerden oluşan bir x kümesi verildiğinde , x'in her bir üyesinden tam olarak bir öğe içeren bir y kümesi ( x için bir seçim kümesi ) vardır .

L' nin tanımlanabilir bir iyi sıralamasının olduğu gösterilebilir ve bu tanım L'nin kendisinde de aynı şekilde çalışır . Bir seçer böylece her bir üyesinin en azından eleman x oluşturulması için y de birlik ve ayırma aksiyomlarını kullanılarak L .

Kanıtı olduğunu Bildirimi L ZFC bir modeldir sadece gerektirir V ZF bir model, yani biz do not seçim aksiyomu içinde tutan farz V .

L mutlak ve minimumdur

Eğer W aynı sıra sayılarını paylaşan ZF herhangi standart bir modeldir V , daha sonra L tanımlanan W ile aynıdır L tanımlanan V . Özellikle, L _a , herhangi bir sıra a için W ve V'de aynıdır . Ve Def ( L _α ) içindeki aynı formüller ve parametreler , L _{α + 1'de} aynı yapılandırılabilir kümeleri üretir .

Ayrıca, L , V'nin bir alt sınıfı olduğundan ve benzer şekilde, L , W'nin bir alt sınıfı olduğundan , L , standart bir ZF modeli olan tüm sıra sayıları içeren en küçük sınıftır. Gerçekten de, L , bu tür tüm sınıfların kesişimidir.

Orada ise grubu W olarak V a, standart model ZF ve sıra κ meydana sıra sayıları kümesidir W , daha sonra L _κ olan L arasında W . Standart bir ZF modeli olan bir küme varsa, bu tür en küçük küme böyle bir L _κ . Bu kümeye ZFC'nin minimal modeli denir . Aşağı doğru Löwenheim-Skolem teoremi kullanılarak , minimal modelin (eğer varsa) sayılabilir bir küme olduğu gösterilebilir.

Elbette, herhangi bir tutarlı teorinin bir modeli olmalıdır, bu nedenle minimal küme teorisi modeli içinde bile ZF modelleri olan kümeler vardır (ZF'nin tutarlı olduğu varsayılırsa). Ancak, bu set modeller standart değildir. Özellikle normal eleman ilişkisini kullanmazlar ve sağlam temelleri yoktur.

Her iki Çünkü L arasında L ve V arasında L gerçek L ve hem L arasında L _k ve V arasında L _κ gerçek L _κ , bunu almak V = L de doğrudur L ve herhangi L _k o ZF'nin bir modelidir. Bununla birlikte, V = L , ZF'nin başka hiçbir standart modelinde geçerli değildir.

L ve büyük kardinaller

Ord ⊂ yana L ⊆ V , bir fonksiyon ya da başka bir yapının yokluğunda bağlıdır sıra sayıları özellikleri (yani Π ₁ ^ZF formüller) aşağı giderken korunur V için L . Bu nedenle , kardinallerin ilk sıra sayıları L' de ilk olarak kalır . Düzenli sıralar L' de düzenli kalır . Zayıf sınır kardinaller güçlü sınır kardinallerin haline L çünkü genelleştirilmiş süreklilik hipotezi de tutan L . Zayıf erişilemeyen kardinaller kesinlikle erişilemez hale gelir. Zayıf Mahlo kardinalleri güçlü bir şekilde Mahlo olur. Ve daha genel olarak, 0 ^#' dan daha zayıf herhangi bir büyük ana özellik (büyük ana özelliklerin listesine bakın ) L içinde tutulacaktır .

Ancak, V'de doğru olsa bile , L' de 0 ^# false'tır . Böylece, varlığı 0 ^# anlamına gelen tüm büyük kardinaller, bu büyük kardinal özelliklere sahip olmaktan çıkar, ancak sahip oldukları 0 # ' dan daha zayıf özellikleri korurlar . Örneğin, ölçülebilir kardinaller ölçülebilir olmaktan çıkar, ancak L' de Mahlo olarak kalır .

0 ise ^# içinde tutan V , daha sonra orada kapalı sınırsız sınıf olan ordinals ait indiscernible içinde L . Bunların bazıları V'de ilk sıra sayıları bile olmasa da , L'de 0 ^# ' dan daha zayıf olan tüm büyük kardinal özelliklere sahiptirler . Ayrıca, sınıfından bir kesin artan sınıf işlevi indiscernibles kendi başına bir ile benzersiz bir şekilde uzatılabilir temel yerleştirme bölgesinin L içine L . Bu, L'ye tekrar eden segmentlerin güzel bir yapısını verir .

L iyi sipariş edilebilir

İyi sıralamanın çeşitli yolları vardır L . Bunlardan bazıları , ilk olarak Ronald Bjorn Jensen tarafından 1972'de yayınlanan "İnşa edilebilir hiyerarşinin ince yapısı" başlıklı makalesinde açıklanan L' nin "ince yapısı"nı içerir . İnce yapıyı açıklamak yerine, sadece yukarıda verilen tanımı kullanarak L' nin nasıl iyi sıralanabileceğinin bir taslağını vereceğiz .

x ve y'nin L' de iki farklı küme olduğunu varsayalım ve x < y veya x > y olup olmadığını belirlemek istiyoruz . Eğer X ilk görünür L _{a + 1} ve y ilk görünür L _{β +1} ve β farklıdır a , o zaman izin x < y ancak ve ancak α < β . Bundan böyle, β = α olduğunu varsayalım .

L _{α +1} = Def ( L _α ) aşaması , x ve y kümelerini tanımlamak için L _α'dan gelen parametrelerle formüller kullanır . Parametreler (şu an için) iskonto edilirse, formüllere doğal sayılarla standart bir Gödel numaralandırması verilebilir . Eğer Φ tanımlamak için kullanılabilecek en küçük Gödel'in numarası ile formül x ve Ψ tanımlamak için kullanılabilecek en küçük Gödel'in numarası ile formül y ve Ψ farklıdır cp , daha sonra izin x < y ise ve sadece Gödel numaralandırmasında Φ < Ψ ise. Bundan böyle, Ψ = Φ olduğunu varsayalım .

Φ öğesinin L _α öğesinden n parametre kullandığını varsayalım . Diyelim ki z ₁ ,..., z _n , x'i tanımlamak için Φ ile kullanılabilen parametreler dizisidir ve w ₁ ,..., w _n y için aynı şeyi yapar . O zaman x < y olsun, ancak ve ancak ya z _n < w _n veya ( z _n = w _n ve z _{n − 1} < w _{n − 1} ) veya (z _n =w _n ve z _{n − 1} = w _{n − 1 ise} ve z _{n − 2} < w _{n − 2} ) vb. Buna ters sözlükbilimsel sıralama denir ; kümelerden birini tanımlayan birden fazla parametre dizisi varsa, bu sıralamaya göre en az olanı seçeriz. Her parametrenin olası değerlerinin L' den L _a'ya sıralamasının kısıtlamasına göre sıralandığı anlaşılmaktadır , bu nedenle bu tanım α üzerinde transfinit yinelemeyi içerir .

Tek parametre değerlerinin iyi sıralanması, sonlu ötesi tümevarımın endüktif hipotezi tarafından sağlanır. n - parametre kümesinin değerleri ürün sıralamasına göre iyi sıralanmıştır. Parametreli formüller, iyi sıralamaların sıralı toplamına (Gödel sayılarına göre) göre iyi sıralanmıştır. Ve L , L _{α +1} üzerindeki sıralamaların sıralı toplamı ( α ile indekslenmiş) tarafından iyi sıralanmıştır .

Bu iyi sıralamanın, L'nin kendi içinde , parametresiz, sadece x ve y serbest değişkenleri olan bir küme teorisi formülü ile tanımlanabileceğine dikkat edin . Ve bu formül, L , V veya W'de (aynı sıra sayılarına sahip başka bir standart ZF modeli) değerlendirilip değerlendirilmediğine bakılmaksızın aynı doğruluk değerini verir ve x veya y içinde değilse formülün yanlış olduğunu varsayacağız . L .

Seçim aksiyomunun, her kümeyi iyi sıralama yeteneğine eşdeğer olduğu iyi bilinmektedir. Uygun sınıf V'yi iyi sıralayabilmek (burada L ile yaptığımız gibi ), normal seçim aksiyomundan daha güçlü olan küresel seçim aksiyomuna eşdeğerdir , çünkü aynı zamanda boş olmayan kümelerin uygun sınıflarını da kapsar.

L yansıma prensibine sahiptir

Kanıtlanması ayırma beliti , yerine aksiyomu ve seçim aksiyomunun beklemeye L bir kullanımını (yukarıda gösterilen en az gibi) gerektirir yansıma prensibi için L . Burada böyle bir ilkeyi açıklıyoruz.

İle indüksiyonu ile n < ω , içinde ZF kullanabilir V herhangi bir sıra için kanıtlamak için a , orada bir sıra β > α gibi herhangi bir cümle için bu P ( z ₁ , ..., z _k ) ile z ₁ ,. .., z _k içinde L _P ve daha az içeren , n (bir eleman için sabit bir simge sayma semboller L _p o olsun bir sembol olarak) P ( z ₁ , ..., z _k ) içerisinde tutar L _P eğer sadece L içinde tutarsa .

Genelleştirilmiş süreklilik hipotezi L'de geçerlidir

S'nin herhangi bir yapılandırılabilir alt kümesi olsun ve T olsun . Daha sonra bazı olan β ile , yani , bir formül için cp ve bazı çekilen . Aşağı tarafından Löwenheim-Skolem teoremi ve Mostowski çökmesi bazı geçişli grubu olmalıdır K ihtiva eden ve bazı ve aynı birinci dereceden teorisi sahip ile ikame ; ve bu K ile aynı kardinale sahip olacaktır . Yana doğru olan , aynı zamanda doğru olan K , yani bazıları için y aynı kardinal sahip olan a . Ve çünkü ve aynı teoriye sahip. Yani T aslında içinde . ${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i) })\}}$${\displaystyle z_{i}}$${\ Displaystyle L_{\beta }}$${\displaystyle L_{\alfa }}$${\displaystyle w_{i}}$${\ Displaystyle L_{\beta }}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle L_{\alfa }}$${\görüntüleme stili V=L}$${\ Displaystyle L_{\beta }}$${\displaystyle K=L_{\gama }}$${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S \kama \Phi (x,w_{i})\}}$${\ Displaystyle L_{\beta }}$${\displaystyle L_{\gama }}$${\displaystyle L_{\gama +1}}$

Dolayısıyla, bir sonsuz S kümesinin tüm yapılandırılabilir alt kümeleri, (en fazla) S'nin rankı ile aynı κ ile aynı sıralara sahiptir ; eğer aşağıdaki δ için ilk sıra olan κ ⁺ , o zaman "güç grubu" olarak hizmet S içindeki L . Böylece bu "güç seti" . Bu da S'nin "güç kümesi"nin en fazla || kardinal olduğu anlamına gelir. δ ||. S'nin kendisinin κ kardinaline sahip olduğunu varsayarsak , "güç kümesi" tam olarak κ ⁺ kardinaline sahip olmalıdır . Ama bu tam olarak L'ye görelileştirilmiş genelleştirilmiş süreklilik hipotezidir . ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }}$${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}}$

Oluşturulabilir kümeler sıra sayılarından tanımlanabilir

X = L _α olduğu fikrini ifade eden bir küme teorisi formülü vardır . Yalnızca X ve α için serbest değişkenlere sahiptir . Bunu kullanarak her inşa edilebilir kümenin tanımını genişletebiliriz. Eğer S ∈ L _{a + 1} , daha sonra s = { y | y ∈ L _α ve Φ ( y , z ₁ ,..., z _n ) bazı formüller Φ için ( L _α ,∈)} içinde ve L _α içinde bazı z ₁ ,..., z _{n tutar} . Bu söyleyerek eşdeğerdir: tüm y , y ∈ s ancak ve eğer [vardır X , öyle ki X, = L _α ve y ∈ X ve Ψ ( X , Y , Z ₁ , ..., z _{, n} )] burada Ψ ( X ,...), Φ (...) içindeki her niceleyicinin X ile sınırlandırılmasının sonucudur . Bazı β < α için her z _k ∈ L _{β +1} olduğuna dikkat edin . Formüller birleştirin z 'formül ile s s üzerinde varoluş nicelik uygulamak z ' nin dış ve bir inşa edilebilir grubunu tanımlar bir formül alır s kullanan tek sıra sayıları a gibi ifadeler görünür X = L _a parametreleri.

Örnek: {5, ω } kümesi oluşturulabilir. Şu formülü karşılayan benzersiz küme s'dir :

nerede kısa: ${\ Displaystyle Ord(a)}$

Aslında bu karmaşık formül bile ilk paragrafta verilen talimatların vereceğinden çok basitleştirilmiştir. Ama konu kalıntıları, yalnızca istenen constructible seti için de geçerlidir küme kuramı bir formül bulunabilir ler ve sadece ordinals için parametreleri içerir.

göreli yapılandırılabilirlik

Bazen L gibi dar olan, ancak yapılandırılamayan bir kümeyi içeren veya ondan etkilenen bir küme teorisi modeli bulmak arzu edilir . Bu, L ( A ) ve L [ A ] ile gösterilen, iki çeşidi bulunan göreli yapılandırılabilirlik kavramına yol açar .

Sınıf L ( A olmayan bir inşa edilebilir grubu için) A grubu teorinin standart modelleri ve içeren tüm sınıfları kesişimidir A ve sıra sayısı.

L ( A ) aşağıdaki gibi sonlu özyineleme ile tanımlanır :

• L ₀ ( A ) = A'yı eleman olarak içeren en küçük geçişli küme , yani { A }' nın geçişli kapanışı .
• L _{α +1} ( A ) = Def ( L _α ( A ))
• Eğer λ bir sınır sıralı sonra, olup .${\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)\!}$
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)\!}$.

Eğer L ( A ) A'nın geçişli kapağın iyi sıralamalarını içerir, bu bir iyi sipariş uzatılabilir L ( A ). Aksi takdirde, seçim aksiyomu L ( A )' de başarısız olacaktır .

Yaygın bir örnek, modern tanımlayıcı küme teorisinde yaygın olarak kullanılan tüm gerçek sayıları içeren en küçük modeldir . ${\ Displaystyle L(\mathbb {R} )}$

Sınıf L [ A ] yapımı etkilenir setleri sınıfıdır A , A , bir (muhtemelen olmayan inşa edilebilir) grubu ya da uygun bir sınıfı olabilir. Bu sınıfın tanımı Çözünürlük kullanan _A ( x Çözünürlük (aynıdır), X ) hariç yerine formüllerin gerçeği değerlendirmek cp modelinde (içerisinde X , ∈), bir kullanım modelinde ( X , ∈, A ) burada A tekli bir yüklemdir. Amaçlanan yorumlanması A ( y ) 'dir y ∈ bir . Daha sonra tanımı L [ A ] arasında tam olarak bu L sadece Def Çözünürlük ile ikame _A .

L [ A ] her zaman tercih edilen aksiyomun bir modelidir. Olsa bile bir kümesidir, bir zorunlu kendisi bir üyesi değildir L [ A eğer her zaman da,] bir sıra sayıları kümesidir.

L ( A ) veya L [ A ] içindeki kümeler genellikle gerçekte oluşturulamaz ve bu modellerin özellikleri L' nin özelliklerinden oldukça farklı olabilir .

Ayrıca bakınız

• yapılandırılabilirlik aksiyomu
• L'de doğru ifadeler
• yansıma prensibi
• aksiyomatik küme teorisi
• geçişli küme
• sol(sağ)
• sıra tanımlı

Notlar

Referanslar

• Barwise, Jon (1975). Kabul Edilebilir Kümeler ve Yapılar . Berlin: Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-07451-1.
• Devlin, Keith J. (1984). Constructibility . Berlin: Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-13258-9.
• Felgner, Ulrich (1971). ZF Kümesi Teorisi Modelleri . Matematik Ders Notları. Springer-Verlag. ISBN'si 3-540-05591-6.
• Gödel, Kurt (1938). "Seçim Aksiyomu ve Genelleştirilmiş Süreklilik-Hipotezinin Tutarlılığı" . Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri . Ulusal Bilimler Akademisi. 24 (12): 556-557. Bibcode : 1938PNAS...24..556G . doi : 10.1073/pnas.24.12.556 . JSTOR  87239 . PMC  1077160 . PMID  16577857 .
• Gödel, Kurt (1940). Süreklilik Hipotezinin Tutarlılığı . Matematik Çalışmaları Annals. 3 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN'si 978-0-691-07927-1. MR  0002514 .
• Jech, Thomas (2002). Kur Teorisi . Matematikte Springer Monografları (3. binyıl ed.). Springer. ISBN'si 3-540-44085-2.