Mahlo kardinal - Mahlo cardinal

In matematik , bir Mahlo kardinal belli bir türüdür büyük kardinal sayı. Mahlo kardinalleri ilk olarak Paul Mahlo  ( 1911 , 1912 , 1913 ) tarafından tanımlanmıştır . Tüm büyük kardinallerde olduğu gibi, bu Mahlo kardinal çeşitlerinin hiçbirinin var olduğu ZFC tarafından kanıtlanamaz (ZFC'nin tutarlı olduğu varsayılırsa ).

Bir kardinal sayı denir kuvvetle Mahlo eğer olduğunu kuvvetle ulaşılmaz ve seti olan sabit k içinde.

Bir ana adlandırılan zayıf Mahlo ise zayıf ulaşılmaz kardinal grubu daha zayıf ulaşılmaz ve sabit olan .

"Mahlo kardinal" terimi şimdi genellikle "kuvvetli Mahlo kardinal" anlamına gelir, ancak başlangıçta Mahlo tarafından kabul edilen kardinaller zayıf Mahlo kardinalleriydi.

Bir Mahlo kardinal için yeterli asgari koşul

  • κ bir limit ordinal ise ve κ'den küçük düzenli ordinaller kümesi κ'de durağan ise, κ zayıf Mahlo'dur.

Bunu ispatlamadaki temel zorluk, κ'nin regüler olduğunu göstermektir. Bunun düzenli olmadığını varsayacağız ve bize şu şekilde bir μ veren bir sopa seti oluşturacağız:

μ = cf(μ) < cf(κ) < μ < κ ki bu bir çelişkidir.

κ düzenli değilse, o zaman cf(κ) < κ. cf(κ)+1 ile başlayan ve limiti κ olan kesinlikle artan ve sürekli bir cf(κ)-dizisi seçebiliriz. Bu dizinin sınırları κ cinsinden kulüp olacaktır. O halde bu limitler arasında bir düzenli μ olmalıdır. Yani μ, cf(κ)-dizisinin bir ilk altdizisinin limitidir. Dolayısıyla, eş-sonluluğu, κ'nin eş-sonluluğundan daha küçük ve aynı zamanda ondan büyüktür; ki bu bir çelişkidir. Dolayısıyla κ'nin düzenli olmadığı varsayımı yanlış olmalıdır, yani κ düzenlidir.

{2,3,4,...} ω'de kulüp olduğundan, ancak hiçbir düzenli sıra içermediğinden, aşağıda gerekli özelliğe sahip hiçbir durağan küme mevcut olamaz ; yani κ sayılamaz. Ve bu, normal kardinallerin düzenli bir sınırıdır; bu yüzden zayıf erişilemez. Daha sonra, durağan kümenin zayıf erişilemezlerden oluştuğunun varsayılabileceğini göstermek için bir sopa kümesi olarak κ'nın altındaki sayılamayan limit kardinaller kümesi kullanılır.

  • κ zayıf Mahlo ise ve aynı zamanda güçlü bir limit ise, κ Mahlo'dur.

κ zayıf erişilemez ve güçlü bir sınırdır, bu nedenle kesinlikle erişilemez.

κ'nın altındaki sayılamayan güçlü limit kardinaller kümesinin κ'de kulüp olduğunu gösteriyoruz. μ 0 eşiğin büyük olanı ve ω 1 olsun . Her bir sonlu n için, μ izin n + 1 = 2 ^ ı n güçlü bir sınır kardinal için daha az k daha fazladır. O halde onların limiti güçlü bir limit kardinaldir ve düzenliliği bakımından κ'dan küçüktür. Sayılamayan kuvvetli limitli kardinallerin limitleri de sayılamayan kuvvetli limitli kardinallerdir. Yani bunların kümesi κ'de kulüptür. κ'den daha küçük, güçlü bir şekilde erişilemeyen kardinallerin sabit bir kümesini elde etmek için, bu sopa setini κ'den küçük zayıf erişilemeyen kardinaller kümesiyle kesiştirin.

Örnek: Mahlo kardinalleri κ'nin κ erişilemez (aşırı erişilemez) olduğunu gösterme

"Aşırı erişilemez" terimi belirsizdir. Bu bölümde, bir ana κ, κ erişilemezse (daha yaygın olarak kullanılan 1-erişilemez anlamının aksine) hiper erişilemez olarak adlandırılır.

Diyelim ki κ Mahlo. κ'nın herhangi bir α ≤ κ için α-erişilemez olduğunu göstermek için α üzerinde transfinit tümevarımla ilerleniriz. κ Mahlo olduğundan, κ erişilemez; ve böylece aynı şey olan 0-erişilemez.

Eğer κ α-erişilemez ise, κ'ya keyfi olarak yakın β-erişilemezler (β < α için) vardır. Bazı eşiklerden daha büyük fakat κ'den küçük bu tür β-erişilemeyenlerin eşzamanlı limitleri kümesini düşünün. κ'de sınırsızdır (her seferinde daha büyük bir kardinal seçerek β < α ω kez β erişilemezler arasında döndüğünü hayal edin, sonra düzenlilik açısından κ'den küçük olan limiti alın (α ≥ κ ise başarısız olan budur)). Kapalıdır, yani κ'de kulüptür. Böylece, κ'nin Mahlo-ness'i ile erişilemez olanı içerir. Erişilemeyen, aslında bir α-erişilemeyendir. Yani κ, α+1-erişilemez.

λ ≤ κ bir limit ordinal ise ve κ, tüm α < λ için α-erişilemez ise, o zaman her β < λ, bazı α < λ için α'dan daha küçüktür. Yani bu dava önemsiz. Özellikle κ, κ-erişilemez ve dolayısıyla hiper-erişilemez .

κ'nin bir hiper-erişilemez ve dolayısıyla 1-hiper-erişilemez limiti olduğunu göstermek için, her α < μ için α-erişilemez olan köşegen kardinaller μ < κ kümesinin κ'de kulüp olduğunu göstermemiz gerekir. Eşiğin üzerinde erişilemez bir 0 seçin, buna α 0 deyin . Sonra bir α 0 -erişilemeyen seçin, α 1 olarak adlandırın . Bunu tekrarlamaya devam edin ve sabit bir noktaya ulaşana kadar limitler alın, buna μ deyin. O zaman μ gerekli özelliğe sahiptir (tüm α < μ için eşzamanlı α erişilemez sınırıdır) ve düzenlilik açısından κ'den küçüktür. Bu tür kardinallerin limitleri de aynı özelliğe sahiptir, dolayısıyla bunların kümesi κ'de kulüptür. κ'nin Mahlo-ness'i ile, bu kümede erişilemez ve hiper erişilemez. Yani κ 1-hiper erişilemez. κ'den küçük sabit hiper erişilemezler kümesini elde etmek için bu aynı kulüp kümesini κ'den küçük sabit kümeyle kesiştirebiliriz.

κ'nin α-hiper-erişilemez olduğunun kanıtının geri kalanı, α-erişilemez olduğunun kanıtını taklit eder. Yani κ hiper hiper erişilemez, vb.

α-Mahlo, hiper-Mahlo ve büyük ölçüde Mahlo kardinalleri

α-Mahlo terimi belirsizdir ve farklı yazarlar eşdeğer olmayan tanımlar verir. Bir tanım, eğer κ güçlü bir şekilde erişilemezse ve her sıra β<α için, κ'nin altındaki β-Mahlo kardinaller kümesi κ'de durağan ise, bir κ kardinalinin bazı sıralı α için α-Mahlo olarak adlandırılmasıdır. Bununla birlikte, "κ kesinlikle erişilemez" koşulu bazen "κ düzenlidir" veya "κ zayıf erişilemez" veya "κ Mahlo'dur" gibi diğer koşullarla değiştirilir. "hyper-Mahlo", "α-hyper-Mahlo", "hyper-hyper-Mahlo", "zayıf α-Mahlo", "zayıf hiper-Mahlo", "zayıf α-hyper-Mahlo" ve benzeri tanımlayabiliriz. açık, erişilemez tanımlarına benzer şekilde, örneğin bir kardinal κ, κ-Mahlo ise hiper-Mahlo olarak adlandırılır.

Bir kardinal κ büyük ölçüde Mahlo veya κ + -Mahlo'dur, ancak ve ancak erişilemezse ve Mahlo işlemi altında kapalı olan κ'nin güç kümesinde normal (yani önemsiz ve köşegen kesişimler altında kapalı ) κ-tam filtre varsa, S ordinalleri kümesini {α S : α'nın sayılamayan ortak sonluluğu vardır ve S∩α α'da durağandır}

Evreni bir iç modelle değiştirirsek, erişilemez olma, Mahlo, zayıf Mahlo, α-Mahlo, büyük ölçüde Mahlo vb. özellikler korunur .

Her yansıtıcı kardinal , büyük ölçüde Mahlo'dan kesinlikle daha fazla tutarlılık gücüne sahiptir, ancak erişilemeyen yansıtıcı kardinaller genel olarak Mahlo değildir - bkz. https://mathoverflow.net/q/212597

Mahlo operasyonu

Eğer X, sıra sayıları bir sınıfıdır, onları biz sıra sayıları yeni bir sınıfını meydana getirebilir M ( X sıra sayıları oluşan) bu şekilde α∩ sayılamaz cofinality bir a x isimli sabit bölgesi α. Bu M işlemine Mahlo işlemi denir . Mahlo kardinallerini tanımlamak için kullanılabilir: örneğin, X normal kardinallerin sınıfıysa, M ( X ) zayıf Mahlo kardinallerin sınıfıdır. α'nın sayılamayan ortak sonluluğa sahip olması koşulu, α'nın kapalı sınırsız alt kümelerinin kesişim altında kapalı olmasını ve böylece bir filtre oluşturmasını sağlar; pratikte, X'in öğeleri çoğu zaman zaten sayılamayan ortak sonluluğa sahiptir, bu durumda bu koşul gereksizdir. Bazı yazarlar , genellikle otomatik olarak karşılandığından pratikte genellikle çok az fark yaratan α'nın X'te olduğu koşulunu ekler .

Sabit bir düzenli sayılamayan kardinal κ için Mahlo işlemi, durağan olmayan ideal κ modulo'nun tüm alt kümelerinin Boole cebiri üzerinde bir işlem başlatır.

Mahlo işlemi, aşağıdaki gibi sonsuz bir şekilde yinelenebilir:

  • M 0 ( X ) = X
  • M α+1 ( X ) = M ( M α ( X ))
  • α bir limit ordinal ise, M α ( X ) β<α için M β ( X )' in kesişimidir

Bu yinelenen Mahlo işlemleri, kesinlikle erişilemeyen kardinaller sınıfından başlayarak α-Mahlo kardinallerin sınıflarını üretir.

Bu süreci tanımlayarak köşegenleştirmek de mümkündür.

  • M Δ ( X ), β<α için M β ( X ) içinde olan α sıra sayıları kümesidir .

Ve elbette bu köşegenleştirme süreci de yinelenebilir. Köşegenleştirilmiş Mahlo işlemi hiper-Mahlo kardinalleri üretir, vb.

Mahlo kardinaller ve yansıma ilkeleri

Aksiyom F, sıra sayıları üzerindeki her normal fonksiyonun bir düzgün sabit noktası olduğu ifadesidir. (Bu, tüm normal fonksiyonlar üzerinde nicelik verdiği için birinci dereceden bir aksiyom değildir, bu nedenle ikinci dereceden bir aksiyom veya bir aksiyom şeması olarak kabul edilebilir.) Üzerindeki her normal fonksiyonun bir düzenlisi varsa, bir kardinal Mahlo olarak adlandırılır. sabit nokta, yani F aksiyomu bir anlamda tüm ordinallerin sınıfının Mahlo olduğunu söylüyor. Ve aksiyomu F bir ikinci dereceden bir şekilde tutan, yalnızca, eğer bir ana κ Mahlo olan V k . Aksiyom F, sırayla, parametreleri olan herhangi bir formül φ için, V α'nın φ'yi yansıttığı şekilde keyfi olarak büyük erişilemez ordinal α'nın bulunduğu ifadesine eşdeğerdir (başka bir deyişle φ, V α'da ancak ve ancak tüm evrende geçerliyse geçerlidir) ( Drake 1974 , bölüm 4).

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Drake, Frank R. (1974). Küme Teorisi: Büyük Kardinallere Giriş . Mantık Çalışmaları ve Matematiğin Temelleri. 76 . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2. Zbl  0294.02034 .
  • Kanamori, Akihiro (2003). Daha Yüksek Sonsuz: Başlangıçlarından Küme Teorisinde Büyük Kardinaller . Matematikte Springer Monografları (2. baskı). Springer-Verlag . ISBN'si 3-540-00384-3. Zbl  1022.03033 .
  • Mahlo, Paul (1911), "Über lineer transfinite Mengen", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 63 : 187–225, JFM  42.0090.02
  • Mahlo, Paul (1912), "Zur Theorie und Anwendung der ρ 0 -Zahlen", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 64 : 108–112, JFM  43.0113.01
  • Mahlo, Paul (1913), "Zur Theorie und Anwendung der ρ 0 -Zahlen II", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 65 : 268–282, JFM  44.0092.02