Sıfır keskin - Zero sharp

Küme teorisinin matematiksel disiplininde , 0 ^# ( sıfır keskin , ayrıca 0 # ), Gödel inşa edilebilir evrenindeki ayırt edilemezler ve düzen-ayırt edilemezler hakkındaki gerçek formüller kümesidir . Genellikle tamsayıların bir alt kümesi olarak ( Gödel numaralandırması kullanılarak ) veya kalıtsal olarak sonlu kümelerin bir alt kümesi olarak veya bir gerçek sayı olarak kodlanır . Varlığı içinde kanıtlanabilir değil ZFC , standart forma aksiyomatik küme kuramı , ama uygun bir mesafede izler geniş kardinal aksiyom. İlk olarak Silver'ın 1966 tezinde bir formül seti olarak tanıtıldı , daha sonra Silver olarak yayınlandı (1971) , burada Σ ile gösterildi ve Solovay tarafından yeniden keşfedildi (1967 , s. 52), onu doğallığın bir alt kümesi olarak kabul etti. sayılar ve O ^# gösterimi tanıtıldı (büyük O harfiyle; bu daha sonra '0' rakamına dönüştü).

Kabaca konuşursak, eğer 0 ^# varsa, o zaman kümelerin V evreni , inşa edilebilir kümelerin evreninden L çok daha büyüktür , halbuki o yoksa, tüm kümelerin evrenine inşa edilebilir kümeler tarafından yakından yaklaşılır.

Tanım

Sıfır keskin, Silver ve Solovay tarafından aşağıdaki gibi tanımlandı . Her pozitif tam sayı için ekstra sabit semboller c ₁ , c ₂ , ... olan küme teorisinin dilini düşünün . O zaman, 0 ^# , c _i sayılamayan kardinal ℵ _i olarak yorumlanarak , yapılandırılabilir evren hakkındaki gerçek cümlelerin Gödel sayılarının kümesi olarak tanımlanır . (Burada ℵ _i ℵ anlamına _i tam evrenin değil constructible evren içinde.)

Bu tanımla ilgili bir incelik vardır: Tarski'nin tanımlanamazlık teoremine göre, genel olarak küme teorisinin bir formülünün gerçeğini küme teorisi dilinde tanımlamak mümkün değildir. Bunu çözmek için Silver ve Solovay, Ramsey kardinal gibi uygun bir büyük kardinalin varlığını varsaydılar ve bu ekstra varsayımla, inşa edilebilir evren hakkındaki ifadelerin doğruluğunu tanımlamanın mümkün olduğunu gösterdi. Daha genel olarak, 0 ^# çalışmalarının tanımı, bazı L _α için sayılamayan bir ayırt edilemezler kümesi olması koşuluyla ve "0 ^# var" ifadesi, bunu söylemenin kısaltması olarak kullanılır.

0 ^# tanımının özelliklerinde önemli bir fark yaratmayan birkaç küçük varyasyonu vardır . Gödel numaralandırmasının birçok farklı seçeneği vardır ve 0 ^# bu seçime bağlıdır. Doğal sayıların bir alt kümesi olarak düşünülmek yerine, 0 ^{# '} yı bir dilin formüllerinin bir alt kümesi olarak veya kalıtsal olarak sonlu kümelerin bir alt kümesi olarak veya bir gerçek sayı olarak kodlamak da mümkündür .

Varoluşu ima eden ifadeler

0 ^# var olduğunu ima eden bir Ramsey kardinalinin varlığı durumu zayıflatılabilir. Ω ₁ - Erdős kardinallerinin varlığı 0 ^# varlığını ifade eder . Bu, mümkün olan en iyi olmaya yakındır, çünkü 0 ^{# '} nin varlığı , inşa edilebilir evrende tüm sayılabilir α için bir α-Erdős kardinali olduğu anlamına gelir, bu nedenle bu tür kardinaller 0 ^#' ın varlığını kanıtlamak için kullanılamaz .

Chang'ın varsayımı , 0 ^# varlığını ima eder .

Varoluşa eşdeğer ifadeler

Kunen, 0 ^{# 'ın} ancak ve ancak Gödel inşası L evreninin kendi içine önemsiz olmayan bir temel gömme varsa var olduğunu gösterdi .

Donald A. Martin ve Leo Harrington , 0 ^# varlığının , ışık yüzlü analitik oyunların belirleyiciliğine eşdeğer olduğunu gösterdiler . Aslında, evrensel bir lightface analitik oyunu için strateji , 0 ^{# ile} aynı Turing derecesine sahiptir .

İzler Jensen kapsayan teoremi 0 varlığı bu ^# w eşdeğerdir _ω bir olmak normal ana inşa edilebilir evrenin içinde L .

Silver, inşa edilebilir evrende sayılamaz bir ayırt edilemezler kümesinin varlığının 0 ^# varlığına eşdeğer olduğunu gösterdi .

Varoluşun ve yokluğun sonuçları

Bunların varlığı, her ima sayılamaz ana grubu teorisi evrenin içinde V bir fark edilemez L ve tatmin tüm büyük ana gerçekleştirilmektedir belitleri L (örneğin olarak tamamen tarif edilmez ). Bu izler 0 varlığı ^# çelişir constructibility beliti : V = L .

0 ^# varsa, yapılandırılamaz bir örnektir Δ ¹
₃ tamsayılar kümesi. Bu bir anlamda yapılandırılamaz bir küme için en basit olasılıktır, çünkü hepsi Σ ¹
₂ ve Π ¹
₂ tamsayı kümeleri oluşturulabilir.

Öte yandan, 0 ^# yoksa, inşa edilebilir evren L çekirdek modeldir - yani, ele alınan evrenin büyük kardinal yapısına yaklaşan kanonik iç modeldir. Bu durumda, Jensen'in örtücü lemması :

Her sayılamaz grubu için x sıra sayıları bir inşa edilebilir olduğu Y , öyle ki x ⊂ y ve y aynı olan önem düzeyi olarak x .

Bu derin sonuç Ronald Jensen'den kaynaklanıyor . Zorlamayı kullanarak , x'in sayılamaz olduğu koşulunun kaldırılamayacağını görmek kolaydır . Örneğin , bir ortak son niteliğini koruyan ve sıralı hale getiren Namba zorlamasını düşünün . Izin bir olmak tanıyan sekans cofinal üzerinde ve jenerik üzerinde L . Daha sonra herhangi bir yer L arasında L -size daha küçük (de sayılamaz olan V , çünkü korunur) kapsayabilir , çünkü a, düzenli ana . ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {L}}$${\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {L}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$

Diğer kesici aletler

Eğer x herhangi bir küme ise, o zaman x ^# , L yerine L [ x ] kullanılması dışında 0 ^{# 'a} benzer şekilde tanımlanır . İnşa edilebilir evrende göreli inşa edilebilirlik ile ilgili bölüme bakın .

Ayrıca bakınız

• 0 ^† , inşa edilebilir evrenin ölçülebilir bir kardinal ile daha büyük bir iç modelle değiştirildiği, 0 ^{# '} a benzer bir küme .

Referanslar

• Drake, FR (1974). Küme Teorisi: Büyük Kardinallere Giriş (Mantıkta Çalışmalar ve Matematiğin Temelleri; V.76) . Elsevier Science Ltd. ISBN   0-444-10535-2 .
• Harrington, Leo (1978), "Analytic determinacy and 0 ^# ", The Journal of Symbolic Logic , 43 (4): 685-693, doi : 10.2307 / 2273508 , ISSN   0022-4812 , JSTOR   2273508 , MR   0518675
• Jech, Thomas (2003). Set Teorisi . Springer Monographs in Mathematics (Üçüncü Milenyum baskısı). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN   978-3-540-44085-7 . Zbl   1007.03002 .
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Büyük Kardinaller Başlangıçlarından Set Teorisinde (2. baskı). Springer. ISBN   3-540-00384-3 .
• Martin, Donald A. (1970), "Ölçülebilir kardinaller ve analitik oyunlar" , Polska Akademia Nauk. Fundamenta Mathematicae , 66 : 287–291, ISSN   0016-2736 , MR   0258637
• Silver, Jack H. (1971) [1966], "Küme teorisinde model teorisinin bazı uygulamaları", Annals of Pure and Applied Logic , 3 (1): 45–110, doi : 10.1016 / 0003-4843 (71) 90010 -6 , ISSN   0168-0072 , MR   0409188
• Solovay, Robert M. (1967), "Yapılandırılamaz bir" ¹
  ₃ tamsayılar kümesi ", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri , 127 : 50–75, doi : 10.2307 / 1994631 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1994631 , MR   0211873