von Neumann kardinal ataması - von Neumann cardinal assignment

Von Neumann kardinal atama bir olan kardinal atama kullanır sıra numaralarını . Bir için iyi orderable grubu , U , onun tanımlayan ana sayısı küçük sıra sayısı olduğu equinumerous için U bir sıra numarası von Neumann tanımı kullanılarak,. Daha kesin:

ON, sıra sayılarının sınıfıdır . Bu sıra aynı zamanda kardinalin ilk sıralı olarak da adlandırılır .

Böyle bir ordinalin var olduğu ve benzersiz olduğu, U'nun iyi düzenlenebilir olması ve değiştirme aksiyomu kullanılarak sıra sınıflarının iyi sıralanması ile garanti edilir . Tüm seçim aksiyomuyla , her set iyi sıralanabilir, bu nedenle her setin bir kardinali vardır; kardinalleri sıra numaralarından miras alınan sıralamayı kullanarak sıralarız. Bu, ≤ c yoluyla sipariş verme ile kolayca örtüştüğü bulunur . Bu, kardinal sayıların iyi bir sıralamasıdır.

Bir kardinalin ilk sıralı

Her ordinalin, sırayı unutarak elde edilen ilişkili bir kardinali vardır . Sıra türü olarak bu sıralı olan herhangi bir iyi sıralı set , aynı önceliğe sahiptir. Kardinalliği olarak belirli bir kardinali olan en küçük sıra, o kardinalin ilk ordinali olarak adlandırılır. Her sonlu sıra ( doğal sayı ) başlangıçtır, ancak sonsuz sıra sayılarının çoğu başlangıç ​​değildir. Seçim aksiyomu, her kümenin iyi sıralanabileceği, yani her kardinalin bir başlangıç ​​sırasına sahip olduğu ifadesine eşdeğerdir. Bu durumda, ilk sıralı ile kardinal numarasını tespit etmek gelenekseldir ve biz ilk sıra demek olduğunu bir kardinal.

İnci sonsuz ilk sıra yazılır . Kardinalitesi yazılır ( -th alef numarası ). Örneğin, kardinalitesi IS da kardinalitesi, olan , ve (hepsi sayılabilir sıra sayısı). Bu yüzden , notasyonun kardinaller yazmak ve sıra sayıları yazmak için kullanılması dışında, ile özdeşleşiyoruz . Bu önemlidir, çünkü kardinaller üzerindeki aritmetik, sıra sayılarındaki aritmetikten farklıdır , örneğin  =  oysa  >  . Aynı zamanda, en küçük sayılamaz (var olduğunu görmek için kümesini dikkate sıra denklik sınıfları ; her bir iyi sipariş tanımlar sayılabilir sıra, doğal sayılar iyi sıralamaların bu dizi sırası türü), olduğu olan önem düzeyi küçük sıra daha büyük olduğu , ve bu yüzden, ve sınırıdır doğal sayılar için (bu sınır, tüm sonraki ilk ana gerçekten de çok kardinal herhangi sınırı, bir kardinal ).

Sonsuz ilk sıra sayıları limit sıra sayılarıdır. , Sıra aritmetik kullanarak eder ≤ ve 1 α <co p eder α  · co p = co p ve 2 ≤ α <co p eder α co p = co p . Kullanma Veblen hiyerarşisi , p ≠ 0 ve α <co p anlamına ve y olan co p = co p . Aslında bunun çok ötesine geçilebilir. Bir sıra olarak, sonsuz bir ilk sıra, son derece güçlü bir limit türüdür.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • YN Moschovakis Küme Teorisi Üzerine Notlar (1994 Springer) s. 198