von Neumann kardinal ataması - von Neumann cardinal assignment
Von Neumann kardinal atama bir olan kardinal atama kullanır sıra numaralarını . Bir için iyi orderable grubu , U , onun tanımlayan ana sayısı küçük sıra sayısı olduğu equinumerous için U bir sıra numarası von Neumann tanımı kullanılarak,. Daha kesin:
ON, sıra sayılarının sınıfıdır . Bu sıra aynı zamanda kardinalin ilk sıralı olarak da adlandırılır .
Böyle bir ordinalin var olduğu ve benzersiz olduğu, U'nun iyi düzenlenebilir olması ve değiştirme aksiyomu kullanılarak sıra sınıflarının iyi sıralanması ile garanti edilir . Tüm seçim aksiyomuyla , her set iyi sıralanabilir, bu nedenle her setin bir kardinali vardır; kardinalleri sıra numaralarından miras alınan sıralamayı kullanarak sıralarız. Bu, ≤ c yoluyla sipariş verme ile kolayca örtüştüğü bulunur . Bu, kardinal sayıların iyi bir sıralamasıdır.
Bir kardinalin ilk sıralı
Her ordinalin, sırayı unutarak elde edilen ilişkili bir kardinali vardır . Sıra türü olarak bu sıralı olan herhangi bir iyi sıralı set , aynı önceliğe sahiptir. Kardinalliği olarak belirli bir kardinali olan en küçük sıra, o kardinalin ilk ordinali olarak adlandırılır. Her sonlu sıra ( doğal sayı ) başlangıçtır, ancak sonsuz sıra sayılarının çoğu başlangıç değildir. Seçim aksiyomu, her kümenin iyi sıralanabileceği, yani her kardinalin bir başlangıç sırasına sahip olduğu ifadesine eşdeğerdir. Bu durumda, ilk sıralı ile kardinal numarasını tespit etmek gelenekseldir ve biz ilk sıra demek olduğunu bir kardinal.
İnci sonsuz ilk sıra yazılır . Kardinalitesi yazılır ( -th alef numarası ). Örneğin, kardinalitesi IS da kardinalitesi, olan , ve (hepsi sayılabilir sıra sayısı). Bu yüzden , notasyonun kardinaller yazmak ve sıra sayıları yazmak için kullanılması dışında, ile özdeşleşiyoruz . Bu önemlidir, çünkü kardinaller üzerindeki aritmetik, sıra sayılarındaki aritmetikten farklıdır , örneğin = oysa > . Aynı zamanda, en küçük sayılamaz (var olduğunu görmek için kümesini dikkate sıra denklik sınıfları ; her bir iyi sipariş tanımlar sayılabilir sıra, doğal sayılar iyi sıralamaların bu dizi sırası türü), olduğu olan önem düzeyi küçük sıra daha büyük olduğu , ve bu yüzden, ve sınırıdır doğal sayılar için (bu sınır, tüm sonraki ilk ana gerçekten de çok kardinal herhangi sınırı, bir kardinal ).
Sonsuz ilk sıra sayıları limit sıra sayılarıdır. , Sıra aritmetik kullanarak eder ≤ ve 1 α <co p eder α · co p = co p ve 2 ≤ α <co p eder α co p = co p . Kullanma Veblen hiyerarşisi , p ≠ 0 ve α <co p anlamına ve y olan co p = co p . Aslında bunun çok ötesine geçilebilir. Bir sıra olarak, sonsuz bir ilk sıra, son derece güçlü bir limit türüdür.
Ayrıca bakınız
Referanslar
- YN Moschovakis Küme Teorisi Üzerine Notlar (1994 Springer) s. 198