Scott-Potter küme teorisi - Scott–Potter set theory

Bunun için bir yol matematik temellerine nispeten yeni sayılır, Scott-Potter küme teorisi iç içe topluluğudur aksiyomatik seti teorileri tarafından belirlenen filozof tarafından daha önceki çalışmaları üzerine inşa Michael Potter, matematikçi Dana Scott ve filozof George Boolos .

Potter (1990, 2004), Scott'ın (1974) yaklaşımını netleştirdi ve basitleştirdi ve sonuçta ortaya çıkan aksiyomatik küme teorisinin , bu tür bir teoriden bekleneni, yani kardinal ve sıra sayılarını , Peano aritmetiğini ve diğer olağan sayı sistemlerini nasıl yapabileceğini gösterdi. , ve ilişkiler teorisi .

ZU vb.

ön elemeler

Bu bölüm ve sonraki, Potter'ın (2004) Bölüm I'ini yakından takip etmektedir. Arka plan mantıktır birinci dereceden mantık ile kimlik . Ontoloji içerir urelements yanı sıra setleri o setleri dayanmayan ilk sıra teorileri ile tanımlanan varlıklarından oluşan kümeler olamayacağını temizlemek yapar. Diğer matematiksel yapılar kümeler olarak tanımlanabileceğinden, öğeler zorunlu değildir ve öğeler kümesinin boş olmasına izin verilir.

Potter'ın küme teorisine özgü bazı terminoloji:

  • ι kesin bir tanımlama operatörüdür ve bir değişkeni bağlar. (Potter'ın notasyonunda iota sembolü ters çevrilir.)
  • U yüklemi tüm öğeler (koleksiyon olmayanlar) için geçerlidir.
  • ιxΦ (x) var IFF ( ∃! x ) Φ (x). (Potter, formülleri temsil etmek için Φ ve diğer büyük Yunan harflerini kullanır.)
  • {x : Φ(x)}, ιy(U(y) değil ve ( notx )(x ∈ y ⇔ Φ(x))) için bir kısaltmadır .
  • a , { x  : x ∈ a } varsa bir koleksiyondur . (Tüm kümeler koleksiyondur, ancak tüm koleksiyonlar küme değildir.)
  • Birikimi arasında bir , acc ( a ), dizi { x  : x bir urelement veya ∃ b ∈ bir ( x ∈ b ya da X ⊂ b )}.
  • Eğer ∀ v ∈ V ( v = acc( V ∩ v )) ise, V bir geçmiştir .
  • Bir seviye öyküsü birikimidir.
  • Bir başlangıç ​​düzeyinin üye olarak başka bir düzeyi yoktur.
  • Bir sınır seviyesi ilk seviyesi, ne de başka herhangi bir seviyesinden seviyesi ne olan bir seviyedir.
  • Bir küme , belirli bir düzeyin alt koleksiyonudur.
  • Doğum günü seti a , belirtilen V ( a ), en düşük seviyede olduğu V , öyle ki bir ⊂ V .

aksiyomlar

Aşağıdaki üç aksiyom ZU teorisini tanımlar .

Yaratılış : ∀ V ∃ V' ( V ∈ V' ).

Not : En yüksek seviye yoktur, dolayısıyla sonsuz sayıda seviye vardır. Bu aksiyom , seviyelerin ontolojisini kurar .

Ayırma : Bir aksiyom şeması . Seviye V üzerinde değişen (sınırlı) değişkenlere sahip herhangi bir birinci mertebeden formül Φ( x ) için , { x ∈ V  : Φ( x )} koleksiyonu da bir kümedir. (Bkz . Ayırma aksiyom şeması .)

Not : Yaratılış tarafından belirlenen seviyeler göz önüne alındığında , bu şema kümelerin varlığını ve bunların nasıl oluşturulacağını belirler. Bize bir seviyenin bir küme olduğunu ve seviyelerin birinci dereceden mantıkla tanımlanabilen tüm alt kümelerinin de kümeler olduğunu söyler . Bu şema, arka plan mantığının bir uzantısı olarak görülebilir.

Infinity : En az bir limit seviyesi vardır. (Bkz . sonsuzluğun aksiyomu .)

Açıklama : Ayırma'nın izin verdiği kümeler arasında en az biri sonsuzdur . Bu aksiyom öncelikle matematikseldir , çünkü diğer insan bağlamlarında gerçek sonsuzluğa ihtiyaç yoktur , insan duyusal düzeni zorunlu olarak sonludur . Matematiksel amaçlar için, "Bir endüktif küme vardır" aksiyomu yeterli olacaktır.

Daha fazla varlık alanı

Aksiyomların doğada, ise aşağıdaki ifadeleri, değil aksiyomlarının ZU . Bunun yerine, belirtilen bir koşulu sağlayan kümelerin varlığını iddia ederler. Bu itibarla, bunlar "varoluş öncülleridir", yani şu anlama gelirler. Let X altında anlamında olabildikleri herhangi bir açıklama. Kanıtı X gerektiren herhangi bir teorem daha sonra koşullu olarak " X tutarsa, o zaman..." şeklinde formüle edilir.

  • ZfU = df ZU + Sıra Sayıları ;
  • ZFU = df Ayırma + Yansıma .

Sıra Sayıları : Her (sonsuz) sıra α için, karşılık gelen bir V α düzeyi vardır .

Açıklama : Sözle , "Her sonsuz sıraya karşılık gelen bir seviye vardır." Sıra sayıları, sıra sayılarının geleneksel Von Neumann tanımını mümkün kılar .

τ( x ) birinci dereceden bir terim olsun .

Değiştirme : Bir aksiyom şeması . Herhangi bir koleksiyon için a , ∀ x ∈ a [τ( x ) bir kümedir] → {τ( x ) : x ∈ a } bir kümedir.

Not : Bu terim τ (Eğer X ) a, fonksiyon (çağrı f ( x , ve eğer varsa)) alan ve f bir dizi, o zaman aralığı arasında f aynı zamanda bir set.

Yansıma : Φ herhangi bir sayıda serbest değişkenin bulunduğu birinci dereceden bir formülü göstersin . Φ ( V ) Φ'yi, niceliksel değişkenler V düzeyi ile sınırlandırılmış olarak, niceliklendirilmiş bu serbest değişkenlerle göstersin .

O halde ∃ V [Φ→Φ ( V ) ] bir aksiyomdur.

Açıklama : Bu şema , niceliksel değişkenler tüm düzeylerde değiştiğinde tüm özelliklerin Φ geçerli olduğu ve bu değişkenler yalnızca V üzerinde değiştiğinde de geçerli olduğu "kısmi" bir evrenin, yani V düzeyinin varlığını ileri sürer . Yansıma , Yaratılış , Sonsuzluk , Sıra Sayıları ve Değiştirmeyi teoremlere dönüştürür (Potter 2004: §13.3).

Let bir ve bir dışı anlamında olabildikleri dizileri boş kümeler her birinin endeksli n .

Sayılabilir Choice : Herhangi dizisi Verilen A , bir diziyi vardır bir şekilde:

∀ n ∈ω[ bir n ∈ Bir n ].

Açıklama . Sayılabilir Seçim , herhangi bir kümenin sonlu veya sonsuz olması gerektiğini kanıtlamayı sağlar.

Let B ve C anlamında olabildikleri setleri ve izin n endeks üyeleri B , her ifade edilmiş B n .

Seçim : B'nin üyeleriayrık boş olmayan kümeler olsun. Sonra:

∃ C ∀ n [ C ∩ B n bir tek tondur ].

Tartışma

Von Neumann evren uygular sonraki daha yüksek seviyeye oluşturan setleri üye olmaktan belirli bir seviyede setleri ile "seviyeleri," bir dizi içine setlerinin evreni katmanlaşarak "kümesinin yinelemeli anlayışı". Bu nedenle, seviyeler iç içe ve iyi sıralanmış bir dizi oluşturur ve küme üyeliği geçişli olsaydı bir hiyerarşi oluştururdu . Elde edilen yinelemeli kavramı iyi bilinen, iyi motive şekilde uzak durmaktadır paradokslardan arasında Russell , Burali-Forti ve Cantor . Bu paradoksların tümü , saf küme teorisinin izin verdiği anlama ilkesinin sınırsız kullanımından kaynaklanmaktadır . "Tüm kümelerin sınıfı" veya "tüm sıra sayıların sınıfı" gibi koleksiyonlar, hiyerarşinin tüm düzeylerinden kümeleri içerir. Yinelemeli kavram göz önüne alındığında, bu tür koleksiyonlar hiyerarşinin belirli herhangi bir düzeyinde kümeler oluşturamaz ve bu nedenle hiç küme olamaz. Yinelemeli kavram, tarihsel kökenlerinin tam olarak anlaşılmamasına rağmen, zaman içinde giderek daha fazla kabul görmüştür.

Boolos'un (1989) yinelemeli kavramın aksiyomatik tedavisi, kümeleri ve seviyeleri içeren iki sıralı birinci dereceden bir teori olan küme teorisi S'dir .

Scott'ın teorisi

Scott (1974), "yinelemeli küme kavramından" bahsetmedi, bunun yerine teorisini basit tipler teorisinin doğal bir sonucu olarak önerdi . Yine de, Scott'ın teorisi, yinelemeli anlayışın ve ilişkili yinelemeli hiyerarşinin bir aksiyomizasyonu olarak görülebilir.

Scott, adını vermeyi reddettiği bir aksiyomla başladı: x ∈ y atom formülü , y'nin bir küme olduğunu ima eder . Sembollerde:

∀ x , y ∃ bir [ x ∈ y → y = bir ].

Onun beliti Genişletilebilirlik ve aksiyomu şema içinde Anlama ( Ayrılması ) onların sıkı benzer olan ZF meslektaşları ve böylece düzeyleri söz etmeyin. Daha sonra seviyelerden bahseden iki aksiyomu çağırdı:

  • Birikim . Belirli bir düzey, önceki tüm düzeylerin tüm üyelerini ve alt kümelerini "biriktirir". Yukarıdaki birikim tanımına bakın .
  • Kısıtlama . Tüm koleksiyonlar bir seviyeye aittir.

Kısıtlama ayrıca en az bir düzeyin varlığını ima eder ve tüm kümelerin sağlam temellere sahip olmasını sağlar.

Scott'ın son aksiyomdur, Yansıma şema , aynı adı taşıyan yukarıdaki varlığı öncül aynıdır ve aynı şekilde ZF görevini yükleniyor Sonsuzluk ve Değiştirilmesi . Scott'ın sistemi, ZF ile aynı güce sahip.

Potter'ın teorisi

Potter (1990, 2004) bu girişte daha önce açıklanan kendine özgü terminolojiyi tanıttı ve Scott'ın Reflection hariç tüm aksiyomlarını attı veya değiştirdi ; sonuç ZU'dur . ZU , ZF gibi, sonlu olarak aksiyomlaştırılamaz. ZU , şu yönleriyle ZFC'den farklıdır :

  • Herhangi bir genişleme aksiyomu içermez , çünkü olağan genişleme ilkesi, koleksiyon tanımından ve kolay bir lemmadan gelir.
  • İtiraf nonwellfounded koleksiyonları. Ancak Potter (2004) asla bu tür koleksiyonlara başvurmaz ve tüm setler (bir düzeyde bulunan koleksiyonlar) sağlam temellere sahiptir. ZU'ya tüm koleksiyonların kümeler olduğunu belirten bir aksiyom eklenirse Potter'daki hiçbir teorem bozulmaz .
  • Hiçbir eşdeğerleri içerir Seçim veya beliti şemasını değiştirmesi .

Dolayısıyla ZU , 1908'in Zermelo küme teorisine , yani ZFC eksi Seçim, Değiştirme ve Temel'e daha yakındır . Ancak bu teoriden daha güçlüdür, çünkü kardinaller ve ordinaller , Seçim'in olmamasına rağmen Scott'ın hilesi ve seviyelerin varlığı kullanılarak tanımlanabilir ve Zermelo küme teorisinde böyle bir tanım mümkün değildir. Böylece ZU'da bir denklik sınıfı:

Benzer şekilde, doğal sayılar yinelemeli hiyerarşi içinde belirli bir küme olarak değil, "saf" bir Dedekind cebirinin modelleri olarak tanımlanır . "Dedekind cebiri", Potter'ın tekli bir ekleme işlemi altında kapalı bir kümenin adıdır , ardıl , etki alanı aralığında olmayan sıfır benzersiz bir öğe içerir . Dedekind cebirlerinin teorisi kategorik olduğundan (tüm modeller izomorfiktir ), bu tür herhangi bir cebir doğal sayıları temsil edebilir.

Potter (2004) bir ekin tamamını uygun sınıflara ayırsa da, Scott-Potter küme teorisinin, ZFC'nin uygun sınıfları kabul eden iyi bilinen rakiplerine, yani NBG ve Morse-Kelley küme teorisine göre gücü ve esasları henüz tam olarak anlaşılmamıştır. keşfedildi.

Scott-Potter küme teorisi andıran nfu (Jensen 1967) ikincisi bir süre önce olması ile geliştirilen aksiyomatik küme teorisine hem itiraf urelements değildir ve setleri sağlam temelli . Ancak NFU'nun öğeleri, ZU'nunkilerden farklı olarak önemli bir rol oynar; onlar ve üzerinde çıkan kısıtlamalar Genişletilebilirlik nfu en olası bir prova yapmak tutarlılık için göreli Peano aritmetik . Ama hiçbir şey için NFU göreli gücü hakkında bilinen Oluşturma + Separation , NFU + Infinity ZU için akrabası ve NFU + ait Infinity + Sayılabilir Choice akrabası ZU ile + Sayılabilen Seçim .

Son yıllarda küme teorisi üzerine yazılan neredeyse tüm yazıların aksine, Potter (2004) mereolojik kaynaşmalardan bahseder . Onun koleksiyonları da "sanal setleri" ile eş anlamlı Willard Quine ve Richard Milton Martin ücretsiz kullanımından kaynaklanan varlıklar: anlama ilkesine kabul asla söylem evreni .

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • George Boolos , 1971, "Yinelemeli küme kavramı," Felsefe Dergisi 68 : 215-31. Boolos 1999'da yeniden basılmıştır. Mantık, Mantık ve Mantık . Harvard Üniv. Basın: 13-29.
  • --------, 1989, "Tekrar Tekrar," Felsefi Konular 42 : 5-21. Boolos 1999'da yeniden basılmıştır. Mantık, Mantık ve Mantık . Harvard Üniv. Basın: 88-104.
  • Potter, Michael, 1990. Setler: Bir Giriş . Oxford Üniv. Basın.
  • ------, 2004. Küme Teorisi ve Felsefesi . Oxford Üniv. Basın.
  • Dana Scott , 1974, Jech, Thomas, J., ed., Axiomatic Set Theory II , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 13. American Mathematical Society: 207–14'te "Axiomatizing küme teorisi" .

Dış bağlantılar

Potter'ın (1990) gözden geçirilmesi:

  • McGee, Vann, " [1] " "Sembolik Mantık Dergisi 1993":1077-1078

Potter'ın İncelemeleri (2004):

  • Bays, Timothy, 2005, " İnceleme ," Notre Dame Felsefi İncelemeler .
  • Uzquiano, Gabriel, 2005, " İnceleme ," Philosophia Mathematica 13 : 308-46.