Lippmann-Schwinger denklemi - Lippmann–Schwinger equation

Bir kısmı serisi üzerinde
Kuantum mekaniği
${\displaystyle i\hbar {\frac {\kısmi }{\kısmi t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Schrödinger denklemi
Giriş Sözlük Tarih ders kitapları
Arka fon Klasik mekanik Eski kuantum teorisi Sütyen notasyonu Hamiltoniyen Girişim
temel bilgiler doğan kural Compton dalga boyu tutarlılık uyumsuzluk tamamlayıcılık Enerji seviyesi dolaşıklık Hamiltoniyen Belirsizlik ilkesi Zemin durumu olasılık genliği Olasılık dağılımı Girişim Ölçüm Zayıf ölçüm yerel olmama gözlemlenebilir Şebeke Kuantum kuantum dalgalanması Kuantum sayısı kuantum gürültüsü kuantum hali kuantum sistemi kuantum ışınlanma kübit Çevirmek süperpozisyon Kuantum vakum durumu Simetri (Kendiliğinden) simetri kırılması vakum durumu dalga yayılımı Dalga fonksiyonu Dalga fonksiyonu çöküşü Dalga-parçacık ikiliği madde dalgası Dikdörtgen potansiyel bariyer odak alanı
Etkileri Zeeman etkisi Stark etkisi Aharonov-Bohm etkisi Landau niceleme Kuantum Salonu etkisi Kuantum Zeno etkisi kuantum tünelleme fotoelektrik etki Casimir etkisi
deneyler Bell'in eşitsizliği Davisson-Germer çift ​​yarık Elitzur-Vaidman Franck-Hertz Leggett-Garg eşitsizliği Mach-Zehnder popper Kuantum silgisi  ( gecikmeli seçim ) Schrödinger'in kedisi Stern-Gerlach Wheeler'ın gecikmeli seçimi
formülasyonlar genel bakış Dinamik resimler ( Heisenberg ; Etkileşim ; Schrödinger ) Matris Faz boşluğu Toplam geçmişler (yol integrali)
denklemler dirac Hellmann-Feynman Klein-Gordon Lippmann-Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Fonksiyonel entegrasyon
yorumlar genel bakış Bayes Tutarlı geçmişler Kopenhag de Broglie-Bohm topluluk Gizli değişken çok dünyalar Amaç çöküşü kuantum mantığı ilişkisel işlemsel
Gelişmiş konular Özdurum termalleştirme hipotezi kuantum tavlama kuantum kaosu Kuantum hesaplama kuantum geometrisi yoğunluk matrisi kuantum alan teorisi kesirli kuantum mekaniği kuantum yerçekimi Kuantum bilgi bilimi Kuantum makine öğrenimi Pertürbasyon teorisi (kuantum mekaniği) Göreli kuantum mekaniği saçılma teorisi Süperakışkan vakum teorisi Kendiliğinden parametrik aşağı dönüşüm Kuantum istatistiksel mekaniği
Bilim insanları Aharonov çan Blackett Bloch Bohm Bohr doğmuş Bose de Broglie candlin Compton dirac Davisson debye Ehrenfest Einstein Everett Fok fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Ürdün Kramerler Pauli Kuzu Landau gül Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Reid Rydberg Schrödinger Simmons sommerfeld von Neumann Weyl Viyana Wigner Zeeman Zeilinger Tanrıça Uhlenbeck Yang
Kategoriler ► Kuantum mekaniği
v t e

Lippmann-Schwinger denklemi (adını Bernard Lippman'dan ve Julian Schwinger ya da daha kesin bir ifadeyle, -) en çok kullanılan parçacık çarpışmaları tanımlamak için denklem biridir saçılması  - olarak kuantum mekaniği . Moleküllerin, atomların, nötronların, fotonların veya diğer parçacıkların saçılmasında kullanılabilir ve esas olarak atomik, moleküler ve optik fizikte , nükleer fizikte ve parçacık fiziğinde , ayrıca jeofizikteki sismik saçılma problemlerinde de önemlidir . Saçılımı (saçılma potansiyeli) üreten etkileşim ile saçılan dalga fonksiyonunu ilişkilendirir ve bu nedenle ilgili deneysel parametrelerin ( saçılma genliği ve kesitleri ) hesaplanmasına izin verir .

Saçılma da dahil olmak üzere herhangi bir kuantum fenomenini tanımlayan en temel denklem Schrödinger denklemidir . Fiziksel problemlerde, bu diferansiyel denklem , çalışılan belirli fiziksel sistem için ek bir başlangıç ​​ve/veya sınır koşulları kümesinin girişiyle çözülmelidir . Lippmann-Schwinger denklemi, Schrödinger denklemine ve saçılma problemleri için tipik sınır koşullarına eşdeğerdir. Sınır koşullarını yerleştirmek için Lippmann-Schwinger denklemi bir integral denklem olarak yazılmalıdır . Saçılma problemleri için, Lippmann-Schwinger denklemi genellikle orijinal Schrödinger denkleminden daha uygundur.

Lippmann-Schwinger denkleminin genel formu (gerçekte, aşağıda biri işaret ve diğeri işaret için olmak üzere iki denklem gösterilmektedir ): ${\görüntüleme stili +\,}$${\görüntüleme stili -\,}$

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\ pm )}\rangle.\,}$

Potansiyel enerji , iki çarpışan sistem arasındaki etkileşimi tanımlar. Hamilton iki sistem birbirinden uzak sonsuz ve etkileşim yok ki durumu anlatır. Onun özfonksiyonlar vardır ve özdeğer enerjileri vardır . Son olarak, denklemi çözmek için gereken integrallerin hesaplanması için gerekli olan matematiksel bir tekniktir. Saçılan dalgaların yalnızca giden dalgalardan oluşmasını sağlayan nedenselliğin bir sonucudur. Bu, sınırlayıcı absorpsiyon ilkesiyle kesinleştirilmiştir . ${\görüntüleme stili V\,}$ ${\görüntüleme stili H_{0}\,}$${\displaystyle |\phi \rangle \,}$${\ekran stili E\,}$${\displaystyle i\epsilon \,}$

kullanım

Lippmann-Schwinger denklemi, iki cisim saçılımını içeren çok sayıda durumda faydalıdır. Üç veya daha fazla çarpışan cisim için matematiksel sınırlamalar nedeniyle iyi çalışmaz; Bunun yerine Faddeev denklemleri kullanılabilir. Bununla birlikte, çeşitli durumlarda çok cisim problemini bir dizi iki cisim problemine indirgeyebilecek yaklaşımlar vardır . Örneğin, elektronlar ve moleküller arasındaki bir çarpışmada onlarca veya yüzlerce parçacık söz konusu olabilir. Ancak fenomen, tüm molekülü oluşturan parçacık potansiyellerini bir psödopotansiyel ile birlikte tanımlayarak iki cisim problemine indirgenebilir . Bu durumlarda Lippmann-Schwinger denklemleri kullanılabilir. Tabii ki, bu yaklaşımların temel motivasyonları aynı zamanda hesaplamaları çok daha düşük hesaplama çabalarıyla yapabilme imkanıdır.

türetme

Hamiltoniyenin şu şekilde yazılabileceğini varsayacağız.

${\displaystyle H=H_{0}+V}$

burada H ₀ serbest Hamiltonyendir (veya daha genel olarak, özvektörleri bilinen bir Hamiltonyen). Örneğin, göreli olmayan kuantum mekaniğinde H ₀ olabilir

${\displaystyle H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}}$.

Sezgisel olarak V , sistemin etkileşim enerjisidir. Bir orada olsun özdurumu arasında H ₀ :

${\displaystyle H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle }$.

Şimdi etkileşimi karışıma eklersek , Schrödinger denklemi şu şekildedir: ${\görüntüleme stili V}$

${\displaystyle \sol(H_{0}+V\sağ)|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$.

Şimdi Hamiltoniyenin enerji özdeğerlerinin Hamiltoniyen'deki sürekli değişimlerle sürekli değişmesini gerektiren Hellmann-Feynman teoremini düşünün . Bu nedenle, olarak diliyoruz . Bu denklemin naif bir çözümü ${\displaystyle |\psi \rangle \to |\phi \rangle }$${\displaystyle V\to 0}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle }$.

burada gösterim 1 / A belirtmektedir ters bir A . Ancak E - H ₀ olan tekil çünkü E bir özdeğeridir H ₀ . Aşağıda açıklandığı gibi, bu tekillik payda biraz karmaşık hale getirilerek, kendinize biraz kıpırdama alanı sağlamak için iki farklı şekilde ortadan kaldırılır [1] :

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\ öğleden sonra )}\rangle}$.

Tam bir serbest parçacık durumu setinin eklenmesiyle,

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +\int d\beta {\frac {|\phi _{\beta }\rangle }{E-E_{\beta } \pm i\epsilon }}\langle \phi _{\beta }|V|\psi ^{(\pm )}\rangle ,\quad H_{0}|\phi _{\beta }\rangle =E_{ \beta }|\phi _{\beta }\rangle }$,

Schrödinger denklemi bir integral denkleme dönüştürülür. "İçeri" (+) ve "dışarı" (-) durumlarının da, uzak geçmişte ve uzak gelecekte sırasıyla serbest parçacık durumları görünümüne sahip, ancak tam Hamiltoniyenin özfonksiyonları olan bazlar oluşturduğu varsayılır . Böylece onlara bir indeks vererek denklem şu hale gelir:

${\displaystyle |\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle =|\phi _{\alpha }\rangle +\int d\beta {\frac {T_{\beta \alpha }^{ (\pm )}|\phi _{\beta }\rangle }{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }},\quad T_{\beta \alpha }^{(\pm )}=\langle \phi _{\beta }|V|\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle }$.

Çözüm yöntemleri

Matematiksel bakış açısından, koordinat gösterimindeki Lippmann-Schwinger denklemi , Fredholm tipi bir integral denklemdir . Bu çözülebilir ayrıklaştırılmasının . Uygun sınır koşulları ile diferansiyel zamandan bağımsız Schrödinger denklemine eşdeğer olduğu için diferansiyel denklemler için sayısal yöntemlerle de çözülebilir. Küresel simetrik potansiyel durumunda, genellikle kısmi dalga analizi ile çözülür . Yüksek enerjiler ve/veya zayıf potansiyeller için Born serisi aracılığıyla pertürbatif olarak da çözülebilir . Atomik, nükleer veya moleküler çarpışmaların tanımlanmasında olduğu gibi, çok cisim fiziği durumunda da uygun olan yöntem , Wigner ve Eisenbud'un R-matrisi yöntemidir. Başka bir yöntem sınıfı, Horáček ve Sasakawa'nın sürekli kesirleri yöntemi gibi, potansiyelin veya Green operatörünün ayrılabilir genişlemesine dayanır . Yöntem çok önemli bir sınıfı, varyasyon ilkelere dayanmaktadır örneğin Schwinger-Lanczos yöntemi ve varyasyon prensibi birleştiren Schwinger ile Lanczos algoritması . ${\görüntüleme stili V}$

Giriş ve çıkış durumları olarak yorumlama

S -Matris paradigma

Olarak S-matrisi formülasyonu parçacık fiziği öncülük, John Archibald Wheeler diğerleri arasında, tüm fiziksel işlemler, aşağıdaki paradigma göre modellenmiştir.

Biri, uzak geçmişte etkileşime girmeyen çok parçacıklı bir durumla başlar. Etkileşim olmaması, tüm kuvvetlerin kapatıldığı anlamına gelmez, bu durumda örneğin protonlar dağılır, bunun yerine bağlı durumların aynı enerji seviyesi spektrumuna sahip olduğu etkileşimsiz bir Hamiltonian H ₀ vardır. gerçek Hamiltonian H olarak . Bu ilk durum, içinde durum olarak adlandırılır . Sezgisel olarak, birbirleriyle etkileşimleri göz ardı edilecek kadar iyi ayrılmış temel parçacıklardan veya bağlı durumlardan oluşur.

Buradaki fikir, herhangi bir fiziksel süreç üzerinde çalışılmaya çalışılırsa , bu iyi ayrılmış bağlı durumların saçılma süreci olarak modellenebilir . Bu süreç, tam Hamiltonian H ile tanımlanır , ancak bir kez bittiğinde, tüm yeni temel parçacıklar ve yeni bağlı durumlar tekrar ayrılır ve biri, dışarı durumu olarak adlandırılan etkileşimsiz yeni bir durum bulur . S matrisi, görelilik altında Hamiltonyen'den daha simetriktir, çünkü tanımlamak için bir zaman dilimi seçimi gerektirmez.

Bu paradigma, 70 yıllık parçacık çarpıştırıcı deneylerinde gözlemlediğimiz tüm süreçlerin olasılıklarını dikkate değer bir doğrulukla hesaplamayı sağlar. Ancak birçok ilginç fiziksel fenomen, bu paradigmaya açıkça uymuyor. Örneğin, biri bir nötron yıldızının içindeki dinamikleri düşünmek isterse, bazen sonunda neye bozunacağından daha fazlasını bilmek ister. Başka bir deyişle, asimptotik gelecekte olmayan ölçümlerle ilgilenilebilir. Bazen asimptotik bir geçmiş veya gelecek bile mevcut değildir. Örneğin Big Bang'den önce bir geçmiş olmaması çok olasıdır .

1960'larda, S-matris paradigması birçok fizikçi tarafından temel bir doğa yasasına yükseltildi. Olarak , S-matris teori , bu bir ölçebilir herhangi bir miktarı aynı işlemi için S-matris içinde bulunması gerektiğini ifade edilmiştir. Bu fikir, S-matris tekniklerinin kütle kabuğuyla sınırlı Feynman diyagramlarına verebileceği fiziksel yorumdan ilham aldı ve ikili rezonans modellerinin inşasına yol açtı . Ancak çok tartışmalıydı, çünkü yerel alanlara ve Hamiltoniyenlere dayanan kuantum alan teorisinin geçerliliğini reddetti .

Lippmann-Schwinger ile bağlantı

Sezgisel olarak, tam Hamiltonian H'nin hafif deforme olmuş özfonksiyonları , giriş ve çıkış durumlarıdır. Benzeyen devletleri noninteracting edilmektedir içinde ve dışında sonsuz geçmiş ve sonsuz gelecekte devletler. ${\görüntüleme stili\psi ^{(\pm )}}$${\görüntüleme stili\phi }$

Dalga paketleri oluşturma

Bu sezgisel resim tam olarak doğru değildir, çünkü Hamiltoniyenin bir özfonksiyonudur ve bu nedenle farklı zamanlarda sadece bir faza göre farklılık gösterir. Bu nedenle, özellikle fiziksel durum gelişmez ve bu nedenle etkileşimsiz hale gelemez. Bu sorun, kolay montaj şekilde üstesinden gelinmiş olunmaktadır ve bir dağıtım ile wavepackets içine enerjilerin karakteristik ölçeğinde . Belirsizlik prensibi şimdi asimptotik devletlerin etkileşimleri bir zaman ölçeği için meydana sağlar ve özellikle etkileşimler bu aralığın dışında kapatabilir bu artık düşünülemez. Aşağıdaki argüman, durumun gerçekten böyle olduğunu göstermektedir. ${\görüntüleme stili\psi ^{(\pm )}}$${\görüntüleme stili\psi ^{(\pm )}}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili g(E)}$${\görüntüleme stili E}$${\ Displaystyle \ Delta E}$${\görüntüleme stili \hbar /\Delta E}$

Lippmann-Schwinger denklemlerini tanımlara yerleştirme

${\displaystyle \psi _{g}^{(\pm )}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\psi ^{(\pm )}}$

ve

${\displaystyle \phi _{g}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\phi }$

dalga paketleri arasında, belirli bir zamanda, ve dalga paketleri arasındaki farkın, E enerjisi üzerinde bir integral ile verildiğini görüyoruz . ${\görüntüleme stili \psi _{g}(t)}$${\displaystyle \phi _{g}(t)}$

Bir kontur integrali

Bu integral, dalga fonksiyonunu karmaşık E düzlemi üzerinde tanımlayarak ve dalga fonksiyonlarının kaybolduğu bir yarım daire kullanarak E çevresini kapatarak değerlendirilebilir . Kapalı kontur üzerindeki integral daha sonra çeşitli kutuplardaki kalıntıların toplamı olarak Cauchy integral teoremi kullanılarak değerlendirilebilir . Şimdi , zamandaki yaklaşım kalıntılarının ve dolayısıyla karşılık gelen dalga paketlerinin zamansal sonsuzlukta eşit olduğunu tartışacağız. ${\görüntüleme stili\psi ^{(\pm )}}$${\görüntüleme stili\phi }$${\displaystyle t\sağ ok \mp \infty }$

Aslında, çok olumlu kez t bir faktör Schrödinger resmi alt yarım uçağa kontur kapatmak için devlet güçlerinin bir. Lippmann-Schwinger denklemindeki kutup , etkileşimin zaman belirsizliğini yansıtırken, dalga paketleri ağırlık fonksiyonundaki kutup, etkileşimin süresini yansıtır. Bu kutup çeşitlerinin her ikisi de sonlu hayali enerjilerde meydana gelir ve bu nedenle çok büyük zamanlarda bastırılır. Paydadaki enerji farkının kutbu, durumunda üst yarı düzlemdedir ve bu nedenle integral konturu içinde yer almaz ve integrale katkıda bulunmaz . Geri kalan dalga paketine eşittir . Böylece, çok geç saatlerde tanımlama asimptotik noninteracting olarak dışarı devlet. ${\ Displaystyle e^{-iEt}}$${\görüntüleme stili (\phi ,V\psi ^{\pm })}$${\görüntüleme stili \psi ^{-}}$${\görüntüleme stili \psi ^{-}}$${\görüntüleme stili\phi }$${\displaystyle \psi ^{-}=\phi }$${\görüntüleme stili \psi ^{-}}$

Benzer şekilde , çok olumsuz zamanlarda tekabül eden dalga paketi entegre edilebilir . Bu durumda konturun üst yarı düzlem üzerinde kapatılması gerekir, bu nedenle alt yarı düzlemde bulunan 'nin enerji kutbunu kaçırır . Bir o bulur ve wavepackets belirlenmesi, asimptotik geçmişte eşittir asimptotik noninteracting olarak içinde devlet. ${\görüntüleme stili \psi ^{+}}$${\görüntüleme stili \psi ^{+}}$${\görüntüleme stili \psi ^{+}}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili \psi ^{+}}$

Lippmann-Schwinger'ın karmaşık paydası

'lerin asimptotik durumlar olarak tanımlanması , Lippmann-Schwinger denklemlerinin paydasındaki 'nin gerekçesidir . ${\görüntüleme stili\psi }$${\displaystyle \pm \epsilon }$

S matrisi için bir formül

S -Matris tanımlanır İç ürün olarak

${\displaystyle S_{ab}=(\psi _{a}^{-},\psi _{b}^{+})}$

arasında bir inci ve b inci Heisenberg resim asimptotik devletler. Bir ilgili bir formül elde edebilir S potansiyeli -Matris V yukarıda kontur entegre stratejisi kullanılarak, ama bu kez rollerini geçiş ve . Sonuç olarak, kontur artık enerji direğini alıyor. Bu , iki ' yi değiştirmek için S-matrisi kullanılıyorsa, 'lerle ilgili olabilir. Denklemin her iki tarafındaki 'lerin katsayılarını tanımlayarak, S ile potansiyel arasında istenen formül bulunur.${\görüntüleme stili \psi ^{+}}$${\görüntüleme stili \psi ^{-}}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle S_{ab}=\delta (ab)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\psi _{b}^{+}) .}$

Gelen Born yaklaşımı , birinci dereceden tekabül pertürbasyon teorisi , bir bu son yerine karşılık gelen özfonksiyon ile serbest Hamilton ve H ₀ , sonuçta ${\görüntüleme stili \psi ^{+}}$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle S_{ab}=\delta (ab)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\phi _{b})\,}$

bu, S matrisini tamamen V ve serbest Hamiltonyen özfonksiyonları cinsinden ifade eder .

Bu formüller, işlemin reaksiyon hızını hesaplamak için kullanılabilir , bu da şuna eşittir:${\ Displaystyle b\rightarrow a}$${\displaystyle |S_{ab}-\delta _{ab}|^{2}.\,}$

homojenizasyon

Green fonksiyonunun kullanımıyla, Lippmann-Schwinger denkleminin homojenizasyon teorisinde (örneğin mekanik, iletkenlik, geçirgenlik) karşılıkları vardır.

Ayrıca bakınız

• Bethe-Salpeter denklemi

Referanslar

bibliyografya

• Joachain, CJ (1983). Kuantum çarpışma teorisi . Kuzey Hollanda . ISBN'si 978-0-7204-0294-0.
• Sakurai, JJ (1994). Modern Kuantum Mekaniği . Addison Wesley . ISBN'si 978-0-201-53929-5.
• Weinberg, S. (2002) [1995]. Vakıflar . Alanların Kuantum Teorisi. 1 . Cambridge: Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-521-5001-7.

Orijinal yayınlar

• Lippmann, BA ; Schwinger, J. (1950). "Saçılma İşlemleri için Varyasyon İlkeleri. I". Fizik Rev. Lett . 79 (3): 469–480. Bibcode : 1950PhRv...79..469L . doi : 10.1103/PhysRev.79.469 .
• Wheeler, JA (1937). "Rezonans Grup Yapısı Yöntemiyle Işık Çekirdeklerinin Matematiksel Tanımı Üzerine". Fizik Rev . 52 (11): 1107-1122. Bibcode : 1937PhRv...52.1107W . doi : 10.1103/PhysRev.52.1107 .