Fonksiyonel entegrasyon - Functional integration

Fonksiyonel bütünleşme sonuçları topluluğudur matematik ve fizikte alan bir bir integrali artık bir boşluk bölgesi , ancak fonksiyonların uzayı . Fonksiyonel integraller ortaya çıkan olasılık çalışmalarında, kısmi diferansiyel denklemler ve içinde yol integrali yaklaşıma göre kuantum mekaniği parçacıkların ve alanların.

Bir in sıradan integrali entegre edilecek bir işlev (integrali) ve fonksiyon (entegrasyon alanı) entegre üzerinde alan bir bölge vardır. Entegrasyon işlemi entegrasyon alanının her bir nokta için integrali değerlerinin toplanması oluşur. Bu prosedür, katı yapma entegrasyon alanı daha küçük bölgelere ayrılmıştır kısıtlayıcı bir prosedür gerekir. Her bir küçük bir bölge için, integral değeri çok değişmemiş olabilir, bu nedenle tek bir değer ile ikame edilebilir. Entegrasyon fonksiyonel tamlık olarak fonksiyonları bir alandır. Her işlev için, integrali alınan yukarı eklemek için bir değer döndürür. Bu prosedür titiz yapma güncel araştırma konuları olmaya devam zorluklar doğurur.

Fonksiyonel bütünleşme tarafından geliştirilen Percy John Daniell 1919 ve bir makalesinde Norbert Wiener üzerine 1921 onun makalelerinde doruğa çalışmaların bir dizi Brown hareketi . Bunlar (şimdi bilinen sıkı bir yöntem geliştirdi Wiener ölçü bir partikülün rasgele yolu için bir olasılık atamak için). Richard Feynman , başka fonksiyonel ayrılmaz geliştirilen ayrılmaz yol sistemlerinin kuantum özelliklerini hesaplamak için yararlıdır. Entegre Feynman yolunda, bir parçacık için benzersiz bir yörünge klasik kavramı, klasik yolları sonsuz toplamı ile ikame edilir, her biri klasik özelliklerine göre farklı ağırlıklı.

Fonksiyonel bütünleşme teorik fizikte nicemleme teknikleri merkezindedir. Fonksiyonel integrallerin cebirsel özellikleri özelliklerini hesaplamak için kullanılan bir dizi oluşturmak için kullanılır kuantum elektrodinamik ve standart model parçacık fiziği.

Fonksiyonel Bütünleşme

Standart Riemann entegrasyonu bir işlev toplar ise f ( x değerlerinin sürekli aralığında) x , işlevsel bir bütünleşme bir toplar fonksiyonel G [ f bir sürekli aralığında "bir fonksiyonu fonksiyonu" (ya da boşluk olarak düşünülebilir], ) fonksiyonların f . Çoğu fonksiyonel integral tam değerlendirilemez fakat kullanılarak değerlendirilmesi gereken pertürbasyon yöntemleri . Fonksiyonel integral resmi tanımıdır

${\ Displaystyle \ int G [f] [Df] \ eşdeğer \ int \ sınırlar _ {\ - infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int \ sınırlar _ {\ - infty} ^ {\ infty} G [f] \ ü _ {x} df (x)}.$

Bununla birlikte, çoğu durumda işlev f ( x ), sonsuz bir dizi bakımından yazılabilir ortogonal fonksiyonları gibi , ve daha sonra tanımlama olur ${\ Displaystyle f (x) = f_ {n} H_ {n} (x)},$

${\ Displaystyle \ int G [f] [Df] \ eşdeğer \ int \ sınırlar _ {\ - infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int \ sınırlar _ {\ - infty} ^ {\ infty} G (f_ { 1}, f_ {2} \ ldots) \ ü _ {n} df_ {n}}$

burada biraz daha anlaşılabilir bir durumdur. Birleşik bir sermaye ile fonksiyonel bir yekpare olduğu gösterilmektedir D . [: Bazen köşeli parantez içinde yazılır Df ] veya D [ f ] belirtmek için ön bir fonksiyonudur.

Örnekler

En fonksiyonel integral aslında sonsuz fakat bölüm iki Fonksiyonel integrallerin sonlu olabilir. Tam olarak genellikle aşağıdaki ile başlayan çözülebilir fonksiyonel integral Gauss integrali :

${\ Displaystyle {\ frac {\ int e ^ {ı \ int - {\ frac {1} {2}} f (x) \ cdot K (x, y) \ cdot F (y) \, dx \, dy + \ int J (x) \ cdot f (x) \, dx} [Df]} {\ int e ^ {ı \ int - {\ frac {1} {2}} f (x) \ cdot K (x, y) \ cdot F (y) \, dx \, dy} [Df]}} = e ^ {i {\ frac {1} {2}} \ int J (x) \ cdot K ^ {1 -} ( x, y) \ cdot J (y) \, dx \, dy}}.$

İşlevsel ile ilgili olarak bu ayrıştırarak J ( x ) ve daha sonra ayar J 0 olarak bir polinom ile çarpılarak bir üstel olur f . Örneğin, ayar için , biz bulmak: ${\ Displaystyle K (x, y) = \ Kutu \ ö (xy)}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ int f (a) H, (b), e ^ {int f \ (x) \ Kutu f (x) \ dx ^ {4}} [Df]} {\ int e ^ ab | | 1} (a, b) = {\ frac {1} {- [Df]}} = K ^ {{ı (x) \ Kutu f (x) \ dx ^ {4} int f \} ^ {2}}}}$

burada bir , B ve X, 4-boyutlu bir vektör. Bu kuantum elektrodinamik bir foton yayılımı formül gelir. Yararlı başka bir tamamlayıcı işlevsel delta fonksiyonu :

${\ Displaystyle \ int e ^ {i \ int f (x) g (x) \, dx} [Df] = \ ö [g] = eşya \ _ {x} \ ö {\ büyük (} g (x) {\büyük )},}$

hangi kısıtlamaları belirtmek için yararlıdır. Fonksiyonel integraller da üzerinde yapılabilir Grassmann değerli fonksiyonlar , ilgili hesaplamalar için kuantum elektrodinamik faydalıdır, Fermiyonları . ${\ Displaystyle \ psi (x)},$${\ Displaystyle \ psi (x) \ psi (y) = - \ psi (y) \ psi (x)},$

çizgisel integrallerin yaklaşımlar

Entegrasyon alanı yollarının (oluşur fonksiyonel integral ν = 1) çok çeşitli şekillerde tanımlanabilir. Tanımlar, iki farklı sınıflara ayrılır: türetilen yapılar Wiener teorisine bir temel tamamlayıcı verim ölçü entegre Feynman yolu olmayan aşağıdaki yapılarda ise,. Hatta bu iki geniş olan, integral işlevlerin farklı sınıfları için farklı bir şekilde tanımlanır, diğer bir deyişle, aynı değildir.

Wiener ayrılmaz

Gelen Wiener entegre , bir olasılık bir sınıfına atanmış Brown hareketi yolları. Sınıf yolları oluşur w , belirli bir zamanda bir alan küçük bir bölgeye geçmesi bilinmektedir. Alan farklı bölümleri içinden geçişi birbirinden bağımsız olduğu varsayılır, ve Brown yolun herhangi iki nokta arasındaki mesafe olduğu varsayılır Gauss-dağıtılmış bir ile varyans zaman bağlıdır t ve difüzyon sabiti ile D :

${\ Displaystyle Pr \ {\ ((s + t), t \ {\ büyük ağırlık} |} \ w, (s), s {\ büyük) büyük} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi Dt}}} \ exp \ bıraktı. (- {\ frac {\ | w (s + t) -w (ler) \ | ^ {2}} {2Dt}} \ sağ)}$

yollarının sınıfı için olasılık aşağıdaki olmak sonra bir bölgede başlayan olasılıkları çarpılması ve bulunabilir. Wiener ölçüsü birçok küçük bölgelerin sınırını dikkate alarak geliştirilebilir.

• Itō ve Stratonovich taşı

Feynman ayrılmaz

• Paça formülü ya da Lie ürün formülü .
• Wick devir Kac fikir.
• Kullanarak X-nokta-nokta-kare veya i S [x] + X-nokta-kare.
• Cartier DeWitt-Morette entegratörleri ziyade tedbirler dayanır

Lévy ayrılmaz

• Fraksiyonel kuantum mekaniği
• Fraksiyonel Schrödinger denklemi
• Lévy süreci
• Fraksiyonel istatistiksel mekanik

Ayrıca bakınız

• Feynman yol integrali
• Bölme fonksiyonu (kuantum alan teori)
• Eyer noktası yaklaşım

Referanslar

daha fazla okuma

• Jean Zinn-Justin (2009), scholarpedia 4 (2): 8674 .
• Kleinert, Hagen , Kuantum Mekaniği, İstatistik, Polimer Fiziği ve Finansal Piyasalar Path İntegral , 4. basım, Dünya Bilimsel (Singapur, 2004); Karton ISBN  981-238-107-4 (ayrıca online: PDF-dosyaları )
• Laskin'iz Nick (2000). "Fraksiyonel kuantum mekaniği". Fiziksel İnceleme E . 62 (3): 3135. arXiv : 0.811,1769 . Bibcode : 2000PhRvE..62.3135L . doi : 10,1103 / PhysRevE.62.3135 .
• Laskin'iz Nick (2002). "Fraksiyonel Schrödinger denklemi". Fiziksel İnceleme E . 66 (5). arXiv : kuant-ph / 0.206.098 . Bibcode : 2002PhRvE..66e6108L . doi : 10,1103 / PhysRevE.66.056108 .
• OG Smolyanov, ET Shavgulidze. Sürekli integraller . Moskova, (Rusça) Moskova Devlet Üniversitesi Yayınları, 1990.. http://lib.mexmat.ru/books/5132
• Victor Popov , Kuantum Alan Teorisi ve İstatistiksel Fizik, 1983 Springer Fonksiyonel İntegral