S -matris - S-matrix

Olarak fizik , S -Matris veya saçılma matrisi başlangıç durumunu ve gören bir fiziksel sistemin son durumu ile ilgilidir saçılma işlemi . Bu kullanılan kuantum mekaniği , teori saçılma ve kuantum alan teorisini (QFT).

Daha resmi olarak, QFT bağlamında, S- matrisi , fiziksel durumların Hilbert uzayındaki asimptotik olarak serbest parçacık durumlarının (iç -durumlar ve dış-durumlar ) kümelerini birleştiren üniter matris olarak tanımlanır . Çok parçacıklı bir durumun, Lorentz dönüşümleri altında bir tensör çarpımı olarak veya fizik dilinde tek parçacık durumlarının doğrudan çarpımı olarak aşağıdaki denklem (1) ile belirtildiği gibi dönüşmesi halinde serbest (etkileşime girmemiş) olduğu söylenir . Asimptotik olarak özgür , o zaman devletin bu görünüme ya uzak geçmişte ya da uzak gelecekte sahip olduğu anlamına gelir.

İken S -Matris herhangi bir arka plan (için tanımlanabilir uzay-zaman asimptotik çözülebilir ve hiçbir vardır) olay ufuklar , bu durumunda basit bir forma sahiptir Minkowski uzay . Bu özel durumda, Hilbert uzayı indirgenemez bir alandır üniter temsiller arasında homojen olmayan Lorentz grubu ( Poincare grubu ); S -Matris olan evrim operatörü arasında (uzak geçmişte) ve (uzak gelecek). Yalnızca sıfır enerji yoğunluğu (veya sonsuz parçacık ayırma mesafesi) sınırında tanımlanır. ${\görüntüleme stili t=-\infty }$${\görüntüleme stili t=+\infty }$

Tasvirine bir kuantum alan teorisi sahip ise, olduğu gösterilebilir kütle boşluğu , devlet asimptotik geçmişte ve asimptotik gelecekte her iki tarafından tarif edilmiştir Fock boşluklar .

Tarih

S -Matris ilk tarafından tanıtıldı John Archibald Wheeler "Resonating Grup Yapısının Yöntemiyle Işık Çekirdeklerinin Matematiksel Açıklaması Üzerine" 1937 kağıtta. Bu yazıda Wheeler, bir saçılma matrisi tanıttı - "[entegral denklemlerin] keyfi bir özel çözümünün asimptotik davranışını standart bir formdaki çözümlerinkiyle" birleştiren, ancak tam olarak geliştirmedi.

1940'larda Werner Heisenberg bağımsız olarak S- matris fikrini geliştirdi ve doğruladı. O zamanlar kuantum alan teorisinde mevcut olan sorunlu sapmalar nedeniyle , Heisenberg, teori geliştikçe gelecekteki değişikliklerden etkilenmeyecek olan teorinin temel özelliklerini izole etmek için motive edildi . Bunu yaparken, üniter bir "karakteristik" S - matrisini tanıtmaya yönlendirildi .

Ancak bugün, kesin S- matris sonuçları , konformal alan teorisinin , entegre edilebilir sistemlerin ve kuantum alan teorisinin ve sicim teorisinin diğer birkaç alanının taçlandıran bir başarısıdır . S- matrisleri, alan-teorik bir işlemin yerine geçmez, bunun yerine, bunun nihai sonuçlarını tamamlar.

Motivasyon

Yüksek enerjili parçacık fiziğinde , saçılma deneylerinde farklı sonuçlar için olasılığın hesaplanmasıyla ilgilenilir . Bu deneyler üç aşamaya ayrılabilir:

1. Gelen parçacıkların bir koleksiyonunu (genellikle yüksek enerjili iki parçacık) çarpışın.
2. Gelen parçacıkların etkileşime girmesine izin vermek. Bu etkileşimler, mevcut parçacıkların tiplerini değiştirebilir (örneğin, bir elektron ve bir pozitron yok olursa, iki foton üretebilirler ).
3. Çıkan parçacıkların ölçülmesi.

Gelen parçacıkların ( etkileşimleri yoluyla ) giden parçacıklara dönüştürülme sürecine saçılma denir . Parçacık fiziği için, bu süreçlerin fiziksel bir teorisi, gelen farklı parçacıklar farklı enerjilerle çarpıştığında farklı giden parçacıkların olasılığını hesaplayabilmelidir.

S kuantum alan teorisinde -Matris tam başarır. Bu durumlarda küçük enerji yoğunluğu yaklaşımının geçerli olduğu varsayılır.

Kullanmak

S -Matris yakın geçiş ile ilgilidir olasılık genliği kuantum mekaniği ve kesitlerde değişik etkileşimleri; elemanlar (bireysel sayısal kayıt) S şekilde bilinmektedir -Matris saçılma genlikleri . Karmaşık enerji düzlemindeki S- matrisinin kutupları , bağlı durumlar , sanal durumlar veya rezonanslarla tanımlanır . Karmaşık enerji düzlemindeki S- matrisinin dal kesimleri , saçılma kanalının açılmasıyla ilişkilidir .

Olarak Hamilton kuantum alan teorisi yaklaşım, S -Matris bir şekilde hesaplanabilir zaman sıralı üstel entegre Hamiltoniyen'inin etkileşme ; Feynman'ın yol integralleri kullanılarak da ifade edilebilir . Her iki durumda da, S- matrisinin pertürbatif hesaplaması, Feynman diyagramlarına yol açar .

Olarak saçılma teorisi , S -Matris bir bir operatör eşleme serbest parçacık içinde durumları serbest parçacığa dışı durumları ( saçılma kanalları olarak) Heisenberg resminde . Bu çok kullanışlıdır çünkü çoğu zaman etkileşimi (en azından en ilginç olanları değil) tam olarak tanımlayamıyoruz.

Tek boyutlu kuantum mekaniğinde

S - matrisinin 2 boyutlu olduğu basit bir prototip , örnekleme amacıyla ilk olarak ele alınmıştır. İçinde, keskin enerjili E olan parçacıklar , 1 boyutlu kuantum mekaniğinin kurallarına göre lokalize bir V potansiyelinden saçılır. Halihazırda bu basit model, daha genel durumların bazı özelliklerini gösterir, ancak kullanımı daha kolaydır.

Her bir E enerjisi , V'ye bağlı olan bir S = S ( E ) matrisi verir . Böylece, toplam S -matrisi, mecazi anlamda, belirli bir V için köşegen boyunca 2 × 2 -blokları dışında her elemanı sıfır olan bir "sürekli matris" olarak uygun bir temelde görselleştirilebilir .

Tanım

E enerjisine sahip bir kuantum parçacıkları demetine maruz bırakılmış, lokalize bir boyutlu potansiyel bariyer V ( x ) düşünün . Bu parçacıklar potansiyel bariyer üzerinde soldan sağa doğru gelir.

Potansiyel engelin dışında Schrödinger denkleminin çözümleri, tarafından verilen düzlem dalgalardır .

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$

potansiyel bariyerin solundaki bölge için ve

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}}$

bölge için potansiyel bariyer hakkı, nerede

${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$

bir dalga vektörü . Genel bakışımızda zaman bağımlılığı gerekli değildir ve bu nedenle atlanmıştır. A katsayılı terim gelen dalgayı, C katsayılı terim ise giden dalgayı temsil eder. B , yansıtıcı dalgayı temsil eder. Gelen dalgayı pozitif yönde hareket ettirdiğimiz için (soldan gelen) D sıfırdır ve atlanabilir.

"Saçılma genliği", yani giden dalgaların gelen dalgalarla geçiş örtüşmesi, S- matrisini tanımlayan doğrusal bir ilişkidir ,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\başlangıç{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}} {\başlangıç{pmatrix}A\\D\son{pmatrix}}.}$

Yukarıdaki bağıntı şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$

nerede

${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}={\başlangıç{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{\rm {in}}={\başlangıç{pmatrix} A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}$

S'nin elemanları , potansiyel engel V ( x )' in saçılma özelliklerini tamamen karakterize eder .

üniter mülk

Üniter özelliği G -Matris direkt olarak korunması ile ilgilidir olasılık akımı içinde kuantum mekaniği .

Olasılık akımı J ait dalga fonksiyon ψ (x) olarak tanımlanır

${\displaystyle J={\frac {\hbar }}\sol(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \ psi ^{*}}{\kısmi x}}\sağ)}$.

Bariyerin solundaki akım yoğunluğu

${\displaystyle J_{\rm {L}}={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\sağ)}$,

bariyerin sağındaki akım yoğunluğu ise

${\displaystyle J_{\rm {R}}={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\sağ)}$.

Olasılık akım yoğunluğunun korunumu için, J _L = J _R . Bu, S- matrisinin üniter bir matris olduğu anlamına gelir .

Kanıt
${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&J_{\rm {L}}=J_{\rm {R}}\\&|A|^{2}-|B|^{2}=|C|^{ 2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _ {\rm {out}}^{\hançer }\Psi _{\rm {out}}=\Psi _{\rm {in}}^{\hançer }\Psi _{\rm {in}}\\ &\Psi _{\rm {in}}^{\hançer }S^{\hançer }S\Psi _{\rm {in}}=\Psi _{\rm {in}}^{\hançer }\ Psi _{\rm {in}}\\&S^{\hançer }S=I\\\end{hizalı}}}$

Zaman-ters simetri

V ( x ) potansiyeli gerçekse, sistem zaman-ters simetriye sahiptir . Bu koşul altında, eğer ψ(x) Schrödinger denkleminin bir çözümü ise, o zaman ψ*(x) de bir çözümdür.

Zamanı tersine çeviren çözüm şu şekilde verilir:

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}$

potansiyel bariyerin solundaki bölge için ve

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}$

potansiyel bariyerin sağındaki bölge için, burada B * , C * katsayılı terimler gelen dalgayı ve A * , D * katsayılı terimler giden dalgayı temsil eder.

Yine S - matrisi ile ilişkilidirler ,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\başlangıç{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{ 22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$

yani,

${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*}.}$

Şimdi, ilişkiler

${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*},\quad \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$

birlikte bir koşul verir

${\ Displaystyle S^{*}S=I}$

Bu koşul, üniterlik ilişkisi ile bağlantılı olarak, zamanın tersine çevrilmesi simetrisinin bir sonucu olarak S- matrisinin simetrik olduğunu ima eder ,

${\görüntüleme stili S^{T}=S.}$

İletim katsayısı ve yansıma katsayısı

İletim katsayısı potansiyel bariyer soldan olduğu zaman D = 0 ,

${\displaystyle T_{\rm {L}}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}$

Yansıma katsayısı potansiyel bariyer soldan olduğu zaman D = 0 ,

${\displaystyle R_{\rm {L}}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}$

Benzer şekilde, potansiyel bariyerin sağından gelen iletim katsayısı, A = 0 olduğunda ,

${\displaystyle T_{\rm {R}}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}$

Potansiyel bariyerin sağından yansıma katsayısı, A = 0 olduğunda ,

${\displaystyle R_{\rm {R}}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}$

İletim ve yansıma katsayıları arasındaki ilişkiler

${\displaystyle T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1}$

ve

${\displaystyle T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.}$

Bu özdeşlik, S- matrisinin üniterlik özelliğinin bir sonucudur .

Tek boyutta optik teorem

V ( x ) = 0 serbest parçacık durumunda , S - matrisi şu şekildedir:

${\displaystyle S={\başlangıç{pmatrix}0&1\\1&0\son{pmatrix}}.}$

Her V ( X ) sıfırdan farklıdır, yine de, bir çıkış vardır S yukarıdaki formdan -Matris için,

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2it^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.}$

Bu ayrılma, enerjinin iki karmaşık fonksiyonu olan r ve t ile parametreleştirilir . Üniterlikten, bu iki işlev arasında da bir ilişki vardır,

${\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatöradı {Im} (t).}$

Bu özdeşliğin üç boyutlu analogu optik teorem olarak bilinir .

Kuantum alan teorisindeki tanım

Etkileşim resmi

S- matrisini tanımlamanın basit bir yolu , etkileşim resmini dikkate almakla başlar . Hamiltonyen H'nin H ₀ serbest parçasına ve V , H = H ₀ + V etkileşimine bölünmesine izin verin . Bu resimde operatörler serbest alan operatörleri gibi davranırlar ve durum vektörleri V etkileşimine göre dinamiklere sahiptir . İzin vermek

${\displaystyle \sol|\Psi (t)\sağ\rangle }$

serbest bir başlangıç ​​durumundan evrimleşmiş bir durumu belirtmek

${\displaystyle \sol|\Phi _{\rm {i}}\sağ\rangle .}$

S -Matris elemanı daha sonra son durumuna Bu durumda izdüşümü olarak tanımlanır

${\displaystyle \sol\langle \Phi _{\rm {f}}\sağ|.}$

Böylece

${\displaystyle S_{\rm {fi}}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}|\Psi (t)\sağ\rangle \equiv \left\langle \Phi _{\rm {f}}\sağ|S\left|\Phi _{\rm {i}}\sağ\rangle ,}$

burada S , S operatörüdür . Bu tanımın en büyük avantajı , etkileşim resminde bir durumu evrimleştiren zaman-evrim operatörü U'nun resmi olarak bilinmesidir,

${\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},}$

burada T , zaman sıralı ürünü gösterir . Bu operatörde ifade edilen,

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$

olan

${\displaystyle S=U(\infty ,-\infty )}$

U hakkındaki bilgileri kullanarak genişletmek bir Dyson serisi verir ,

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_ {1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\sağ],}$

veya, V bir Hamilton yoğunluğu olarak gelirse,

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_ {1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots { \matematik {H}}(t_{n})\sağ].}$

Zaman evrimi operatörünün özel bir türü olan S , üniterdir. Bulunan herhangi bir başlangıç ​​durumu ve herhangi bir son durum için

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty } ^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\matematik {H}}(t_{ 1})\cdots {\matematik {H}}(t_{n})\sağ]\sağ|\Phi _{\rm {i}}\sağ\rangle .}$

Bu yaklaşım, potansiyel sorunların halının altına süpürülmesi açısından biraz naiftir. Bu kasıtlı. Yaklaşım pratikte işe yarıyor ve bazı teknik konulara diğer bölümlerde değiniliyor.

İçeri ve dışarı eyaletler

Burada, yukarıdaki etkileşim resmi yaklaşımında göz ardı edilen potansiyel sorunları ele almak için biraz daha titiz bir yaklaşım benimsenmiştir. Nihai sonuç, elbette, daha hızlı rotayı kullanırken elde edilenle aynıdır. Bunun için içeri ve dışarı durum kavramlarına ihtiyaç vardır. Bunlar, vakumdan ve serbest parçacık durumlarından olmak üzere iki şekilde geliştirilecektir. Söylemeye gerek yok, iki yaklaşım eşdeğerdir, ancak meseleleri farklı açılardan aydınlatırlar.

vakumdan

Eğer bir ^† ( k ) a, üretim operatörü kendi hermisyen eşlenik bir bir imha operatörü ve vakum yok,

${\displaystyle a(k)\sol|*,0\sağ\rangle =0.}$

Gelen Dirac gösterimde tanımlamak

${\görüntüleme stili |*,0\menzil }$

bir vakum kuantum durumu olarak , yani gerçek parçacıkların olmadığı bir durum. Yıldız işareti, tüm boşlukların mutlaka eşit olmadığını ve kesinlikle Hilbert uzayı sıfır durumu 0'a eşit olmadığını belirtir . Tüm vakum durumları , resmi olarak Poincaré değişmezi , ötelemeler, döndürmeler ve yükseltmeler altında değişmezlik olarak kabul edilir ,

${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =|*,0\rangle ,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =|*,0\rangle ,}$

burada p ^μ olan çevirinin jeneratör zaman ve mekan içinde ve M ^μν üreteci, Lorentz dönüşümleri . Bu nedenle, vakumun tanımı referans çerçevesinden bağımsızdır. Tanımlanacak giriş ve çıkış durumları ile ilişkili giriş ve çıkış operatörleri (aka alanlar ) Φ _i ve Φ _o . Notasyonun olası en az karışıklığıyla örneklendirmek için burada dikkat, en basit duruma, skaler bir teoriye odaklanmıştır . Giriş ve çıkış alanları tatmin edici

${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,}$

serbest Klein-Gordon denklemi . Bu alanların, serbest alanlarla aynı eşit zamanlı komütasyon ilişkilerine (ETCR) sahip olduğu varsayılır,

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0} =y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\ rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0\end{hizalı}},}$

burada π _{i , j} Φ _{i , j '} ye kanonik olarak eşlenik alandır . İlişkili ve alanları üzerinden için olan oluşturma ve yok etme operatörleri iki grup, bir ^† _ı ( k ) ve bir ^† _f ( k ) içinde hareket ederek, aynı Hilbert alan iki ilgili, farklı takımlar ( Fock boşluklar , ilk alan I , son boşluk f ). Bu operatörler olağan komütasyon kurallarını karşılar,

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\hançer }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\hançer }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i, o}}^{\hançer }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{hizalanmış}}}$

Oluşturma operatörlerinin ilgili vakum ve durumlar üzerindeki etkisi, giriş ve çıkış durumlarında sonlu sayıda parçacık ile şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\hançer }(k_{1})\ cdots a_{\rm {i}}^{\hançer }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{ n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\hançer }(p_{1})\cdots a_{f}^{\hançer }(p_{n})\left|f,0 \sağ\rangle ,\end{hizalı}}}$

Normalleşme sorunlarının göz ardı edildiği yerler. Genel bir n- parçacık durumunun nasıl normalleştirildiğine ilişkin ayrıntılı bir açıklama için sonraki bölüme bakın . İlk ve son boşluklar şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatöradı {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle = a_{\rm {i}}^{\hançer }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\hançer }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0 \sağ\rangle \},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatöradı {span} \{\left|f,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\hançer }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\hançer }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\sağ\rangle \}.}$

Asimptotik durumların iyi tanımlanmış Poincaré dönüşüm özelliklerine sahip olduğu varsayılır, yani tek parçacık durumlarının doğrudan bir ürünü olarak dönüştükleri varsayılır. Bu, etkileşimli olmayan bir alanın özelliğidir. Bundan asimptotik durumların hepsinin momentum operatörünün P ^μ özdurumları olduğu sonucu çıkar ,

${\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m} ^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1} \ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{ n}\sağ\menzil .}$

Özellikle, tam Hamiltoniyenin özdurumlarıdır,

${\displaystyle H=P^{0}.}$

Vakumun genellikle sabit ve benzersiz olduğu varsayılır,

${\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$

Etkileşimin adyabatik olarak açık ve kapalı olduğu varsayılır.

Heisenberg resmi

Heisenberg Resmi bundan böyle kullanılır. Bu resimde, durumlar zamandan bağımsızdır. Bir Heisenberg durum vektörü böylece bir parçacıklar sisteminin tüm uzay-zaman geçmişini temsil eder. Giriş ve çıkış durumlarının etiketlenmesi asimptotik görünümü ifade eder. Bir durum Ψ _{a bölgesi} olarak bu karakterizedir t → -∞ partikül içeriği Bununla birlikte temsil edilen a . Benzer şekilde, bir Ψ _{β , out} durumu _, t →+∞ için β ile temsil edilen parçacık içeriğine sahip olacaktır . Giriş ve çıkış durumlarının ve etkileşen durumların aynı Hilbert uzayında yaşadığı varsayımı kullanılarak ve normalleştirilmiş giriş ve çıkış durumlarının tam olduğu varsayılarak (asimptotik tamlık varsayımı), ilk durumlar nihai bir temelde genişletilebilir. durumları (veya tam tersi). Açık ifade daha sonra daha fazla gösterim ve terminoloji tanıtıldıktan sonra verilir. Genişleme katsayıları tam olarak aşağıda tanımlanacak olan S- matris elemanlarıdır.

Heisenberg resminde durum vektörleri zaman içinde sabit iken, temsil ettikleri fiziksel durumlar değildir . Bir sistemin t = 0 anında Ψ durumunda olduğu bulunursa, o zaman t = τ zamanında U ( τ )Ψ = e ^{− iHτ} Ψ durumunda bulunur . Bu (zorunlu olarak) aynı Heisenberg durum vektörü değildir, ancak eşdeğer bir durum vektörüdür, yani ölçüm üzerine sıfır olmayan katsayılı genişlemeden son durumlardan biri olarak bulunacaktır. İzin vermek τ bir gözlenen görür değişir Ψ (değil ölçülen) gerçekten de Schrödinger resmi durum vektörü. Ölçümü yeterince çok kez tekrarlayarak ve ortalamayı alarak, aynı durum vektörünün gerçekten de t = τ zamanında t = 0 zamanında olduğu gibi bulunduğu söylenebilir . Bu, bir iç durumun dışarıdaki durumlara doğru genişlemesini yansıtır.

Serbest parçacık durumlarından

Bu bakış açısı için, arketipsel saçılma deneyinin nasıl yapıldığı dikkate alınmalıdır. İlk parçacıklar, birbirlerinden o kadar uzak oldukları ve etkileşmeyecekleri iyi tanımlanmış durumlarda hazırlanır. Bir şekilde etkileşime girerler ve son parçacıklar birbirlerinden o kadar uzakta olduklarında kaydedilirler ki etkileşimi sona erer. Buradaki fikir, Heisenberg resminde uzak geçmişte serbest parçacık durumlarının görünümüne sahip olan durumları aramaktır. Bu eyaletlerde olacak. Benzer şekilde, bir çıkış durumu, uzak gelecekte bir serbest parçacık durumu görünümüne sahip bir durum olacaktır.

Bu bölüm için genel referanstan alınan notasyon, Weinberg (2002) kullanılacaktır. Etkileşime girmeyen genel bir çok parçacıklı durum şu şekilde verilir:

${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots},}$

nerede

• p momentumdur,
• σ spin z bileşenidir veya kütlesiz durumda helisitedir ,
• n parçacık türüdür.

Bu durumlar normalize edilir.

${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots}, \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1} }\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _ {n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permütasyonlar}}.}$

Permütasyonlar şu şekilde çalışır; Eğer s ∈ S _k isimli bir permütasyon arasında K (a nesneler k -Parçacık durumu) bu şekilde

${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$

sonra sıfır olmayan bir terim ortaya çıkar. s , tek sayıda fermiyon transpozisyonu içermediği sürece artıdır , bu durumda eksidir. Gösterim genellikle kısaltılır ve bir Yunan harfinin devleti tanımlayan tüm koleksiyonu temsil etmesi sağlanır. Kısaltılmış biçimde normalizasyon olur

${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$

Serbest parçacık durumları üzerinden entegrasyon yapılırken, bu gösterimde yazar

${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^ {3}p_{2}\cdots,}$

burada toplam yalnızca, hiçbir iki terimin parçacık tipi endekslerinin bir permütasyonu ile eşit olmayacağı şekilde terimleri içerir. Aranan durum kümelerinin tamamlanmış olması gerekiyordu . Bu şu şekilde ifade edilir

${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \sağ),}$

hangi olarak ifade edilebilir

${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$

burada her sabit α için sağ taraf α durumuna bir projeksiyon operatörüdür . Homojen olmayan bir Lorentz dönüşümü (Λ, a ) altında , alan kurala göre dönüşür

${\displaystyle U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2}\cdots }=e^{ -ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots )}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_ {1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\sum _{\ sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}(W(\Lambda ,p_{1 }))D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}(W(\Lambda ,p_{2}))\cdots \Psi _{\Lambda p_{ 1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots},}$

( 1 )

burada W, (Λ, s ) olan Wigner dönme ve D ^{( j )} bir (2 j + 1) boyutlu temsili SO (3) . Koyarak X = 1, bir = ( t alınmak , 0, 0, 0) için de U olan exp ( iHτ ) içinde, (1) , hemen izler

${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$

bu nedenle aranan giriş ve çıkış durumları, karışık parçacık enerji terimlerinin yokluğundan dolayı zorunlu olarak etkileşmeyen tam Hamiltoniyen'in özdurumlarıdır. Yukarıdaki bölümdeki tartışma, in Ψ ⁺ durumlarının ve Ψ ⁻ çıkış durumlarının şu şekilde olması gerektiğini önermektedir.

${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha \ e^{-iE_{\alpha } \tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$

büyük pozitif ve negatif τ için , serbest parçacık durumlarının g ile temsil edilen karşılık gelen paketinin görünümüne sahiptir , g düzgün varsayılır ve momentumda uygun şekilde lokalize edilir. Dalga paketleri gereklidir, aksi takdirde zaman değişimi sadece serbest parçacıkları gösteren bir faz faktörü verir ki bu durum böyle olamaz. Sağ taraf, giriş ve çıkış durumlarının yukarıdaki Hamiltoniyenin özdurumları olduğunu izler. Bu gerekliliği formüle etmek için, tam Hamiltonyen H'nin iki terime bölünebileceğini varsayalım , bir serbest parçacık Hamiltonian H ₀ ve bir V , H = H ₀ + V etkileşimi , öyle ki H _0'ın özdurumları Φ _γ ile aynı görünüme sahiptir. normalizasyon ve Lorentz dönüşüm özelliklerine göre giriş ve çıkış durumları,

${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$

${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$

Giriş ve çıkış durumları, tam Hamiltoniyenin öz durumları olarak tanımlanır,

${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm},}$

doyurucu

${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d \alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$

için t alınmak → -∞ ya t alınmak → + ∞ sırasıyla. Tanımlamak

${\displaystyle \Omega (\tau )\eşdeğer e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$

sonra

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$

Bu son ifade yalnızca dalga paketleri kullanılarak çalışacaktır. Bu tanımlardan, giriş ve çıkış durumlarının serbest parçacık durumlarıyla aynı şekilde normalize edildiği sonucu çıkar.

${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$

ve üç küme birim olarak eşdeğerdir. Şimdi özdeğer denklemini yeniden yazın,

${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm } +V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$

burada ±iε terimleri LHS'deki operatörü ters çevrilebilir yapmak için eklenmiştir. V → 0 için giriş ve çıkış durumları serbest parçacık durumlarına indirgendiğinden ,

${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$

elde etmek için RHS'de

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _ {\alfa }^{\pm }.}$

Ardından, serbest parçacık durumlarının tamlığını kullanın,

${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{ \beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$

nihayet elde etmek

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{ \beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$

Burada H ₀ , serbest parçacık durumlarındaki öz değeri ile değiştirilmiştir. Bu Lippmann-Schwinger denklemidir .

Dış eyaletler olarak ifade edilen eyaletlerde

Başlangıç ​​durumları, nihai durumlar bazında genişletilebilir (veya tam tersi). Tamlık bağıntısını kullanarak,

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\ beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{- }\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2 }\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f } ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}( p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$

nerede | C _m | ² , etkileşimin dönüşme olasılığıdır

${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$

içine

${\displaystyle \left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}}$.

Kuantum mekaniğinin olağan kurallarına göre,

${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_ {1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$

ve biri yazabilir

${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _ {m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{ m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~. }$

Genişleme katsayıları tam olarak aşağıda tanımlanacak olan S- matris elemanlarıdır.

S -Matris

S -Matris artık ile tanımlanır

${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle \mathrm {f} ,\beta | \mathrm {i} ,\alpha \rangle ,\qquad |\mathrm {f} ,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {f}},\quad |\mathrm {i} ,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {i}}.}$

Burada α ve β , partikül içeriğini temsil eden ancak bireysel etiketleri bastıran kısayollardır. Associated S yoktur -Matris S-operatör S ile tanımlanan

${\displaystyle \langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },}$

burada Φ _γ serbest parçacık durumlarıdır. Bu tanım, etkileşim resminde kullanılan doğrudan yaklaşımla uyumludur. Ayrıca, üniter eşdeğerlik nedeniyle,

${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta } ^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}$

Fiziksel bir gereklilik olarak S , üniter bir operatör olmalıdır . Bu, kuantum alan teorisinde olasılığın korunumunun bir ifadesidir. Fakat

${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta } ^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .}$

O zaman tamlığa göre,

${\displaystyle S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle,}$

yani S , iç-durumlardan dış durumlara üniter dönüşümdür. Lorentz değişmezliği, S- matrisinde bir diğer önemli gereksinimdir . S-operatörü , ilk giriş durumlarının son çıkış durumlarına kuantum kanonik dönüşümünü temsil eder . Ayrıca, S yaprakları vakum durumu değişmez ve dönüşümler de hiç ile uzay alanları üzerinden -space alanları

${\displaystyle S\sol|0\sağ\rangle =\sol|0\sağ\rangle }$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {f} }=S\phi _{\mathrm {i} }S^{-1}~.}$

Yaratma ve yok etme operatörleri açısından bu,

${\displaystyle a_{\rm {f}}(p)=Sa_{\rm {i}}(p)S^{-1},a_{\rm {f}}^{\hançer }(p)= Sa_{\rm {i}}^{\hançer }(p)S^{-1},}$

buradan

${\displaystyle {\begin{aligned}S|\mathrm {i} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{\rm {i}}^{\hançer }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\hançer }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\hançer }(k_{n})|0\ menzil =Sa_{\rm {i}}^{\hançer }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\hançer }(k_{2})S^{- 1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\hançer }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\&=a_{\rm {o}}^{\hançer }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\hançer }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\hançer }(k_{n})S|0 \rangle =a_{\rm {o}}^{\hançer }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\hançer }(k_{2})\cdots a_{\rm {o} }^{\hançer }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}} }$

Benzer bir ifade, S bir out durumunda sola doğru çalıştığında da geçerlidir . Bu, S matrisinin şu şekilde ifade edilebileceği anlamına gelir:

${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \mathrm {o} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {i} ,\beta |S|\mathrm {i } ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {o} ,\beta |S|\mathrm {o} ,\alpha \rangle .}$

Eğer S doğru bir etkileşimi tarif, bu özellikleri de doğru olması gerekir:

• Eğer sistem momentum öz durumunda tek bir parçacıktan oluşuyorsa | k ⟩ , ardından S | k ⟩= | k ⟩ . Bu, özel bir durum olarak yukarıdaki hesaplamadan kaynaklanmaktadır.
• S çıkış durumu, aynı toplam sahip tek burada -Matris elemanı sıfırdan farklı olabilir ivme giriş durumu olarak. Bu, S- matrisinin gerekli Lorentz değişmezliğinden kaynaklanmaktadır .

Evrim operatörü U

Zamana bağlı bir yaratma ve yok etme operatörünü aşağıdaki gibi tanımlayın,

${\displaystyle a^{\hançer }\left(k,t\sağ)=U^{-1}(t)a_{\rm {i}}^{\hançer }\left(k\sağ)U\ sol(t\sağ)}$

${\displaystyle a\left(k,t\sağ)=U^{-1}(t)a_{\rm {i}}\left(k\sağ)U\left(t\sağ)~,}$

yani, alanlar için,

${\displaystyle \phi _{\rm {f}}=U^{-1}(\infty )\phi _{\rm {i}}U(\infty )=S^{-1}\phi _{ \rm {i}}S~,}$

nerede

${\displaystyle S=e^{i\alpha }\,U(\infty )}$ .

tarafından verilen bir faz farkına izin veriyoruz.

${\displaystyle e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,}$

çünkü S için ,

${\displaystyle S\sol|0\sağ\rangle =\sol|0\sağ\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\sol\langle 0|0\sağ\rangle =1 ~.}$

U için açık ifadeyi değiştirerek , bir

${\displaystyle S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_ {\rm {int}}(\tau )}}~,}$

hamiltoniyenin etkileşim kısmı nerede ve zaman sıralaması. ${\displaystyle H_{\rm {int}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {T}}}$

İnceleme ile, bu formülün açıkça kovaryant olmadığı görülebilir.

Dyson serisi

S matrisi için en yaygın kullanılan ifade Dyson serisidir. Bu, S matris operatörünü seri olarak ifade eder :

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1 }d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H} }_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}$

nerede:

• ${\görüntüleme stili T[\cdots ]}$zaman sıralamasını belirtir ,
• ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)}$teorideki etkileşimleri tanımlayan etkileşim Hamiltonian yoğunluğunu belirtir .

Değil- S -Matris

Siyah deliğe parçacıklardan dönüşüm yana Hawking radyasyonu bir tarif edilememiştir S -Matris, Hawking bir "değil- önerilen S -Matris" diye dolar işareti kullanılan olan, ve bu yüzden, aynı zamanda adı "dolar matrisi ".

Ayrıca bakınız

• Feynman diyagramı
• LSZ azaltma formülü
• Wick teoremi
• Haag teoremi
• Etkileşim resmi

Uyarılar

Notlar

Referanslar

• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Kuantum Mekaniği: Relativist Olmayan Teori . Cilt 3 (3. baskı). Bergama Basın . ISBN'si 978-0-08-020940-1. |volume=fazladan metin var ( yardım ) §125
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, cilt I , Cambridge University Press , ISBN 0-521-5001-7
• Merzbacher, Eugen (1961), Kuantum Mekaniği , Wiley & Sons, Bölüm 13, §3; Bölüm 19, §6, ISBN 0-471-59670-1
• Sakurai, JJ ; Napolitano, J (2011) [1964]. Modern Kuantum Mekaniği (2. baskı). Addison Wesley . Bölüm 6. ISBN 978-0-8053-8291-4.
• Barut, Asım Orhan (1967). Temel parçacıkların etkileşimleri için Saçılma Matrisi Teorisi . Macmillan.
• Albert Mesih (1999). Kuantum Mekaniği . Dover Yayınları. ISBN'si 0-486-40924-4.
• Tony Philips (Kasım 2001). "Sonlu Boyutlu Feynman Diyagramları" . Matematikte Yenilikler . Amerikan Matematik Derneği . 2007-10-23 alındı .
• Stephen Gasiorowicz (1974). Kuantum Fiziği . Wiley & Sons. ISBN'si 0-471-29281-8.
• Greiner, W. ; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization , Springer Publishing , ISBN 3-540-59179-6
• Mussardo, G. (1992). "Kritik olmayan istatistiksel modeller: Faktörleştirilmiş saçılma teorileri ve önyükleme programı". Fizik Raporları . 218 (5–6): 215–379. Bibcode : 1992PhR...218..215M . doi : 10.1016/0370-1573(92)90047-4 .
• Zamolodchikov, AB (1979). "Belirli göreli kuantum alan teorisi modellerinin kesin çözümleri olarak iki boyutta Faktörleştirilmiş S-matrisleri". Fizik Annals . 120 (2): 253. Bibcode : 1979AnPhy.120..253Z . doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 .