Eski kuantum teorisi - Old quantum theory

hakkında bir dizi makalenin bir parçası
Kuantum mekaniği
${\displaystyle i\hbar {\frac {\kısmi }{\kısmi t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Schrödinger denklemi
Tanıtım Sözlük Tarih
Arka plan Klasik mekanik Eski kuantum teorisi Sütyen notasyonu Hamiltoniyen Girişim
temel bilgiler tamamlayıcılık uyumsuzluk dolaşıklık Enerji seviyesi Ölçüm yerel olmama Kuantum sayısı Durum süperpozisyon Simetri tünel açma Belirsizlik Dalga fonksiyonu Yıkılmak
deneyler Bell'in eşitsizliği Davisson-Germer çift ​​yarık Elitzur-Vaidman Franck-Hertz Leggett-Garg eşitsizliği Mach-Zehnder popper kuantum silgi Gecikmeli seçim Schrödinger'in kedisi Stern-Gerlach Wheeler'ın gecikmeli seçimi
formülasyonlar genel bakış Heisenberg Etkileşim Matris Faz boşluğu Schrödinger Geçmişlerin toplamı (yol integrali)
denklemler dirac Klein-Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
yorumlar genel bakış Bayes Tutarlı geçmişler Kopenhag de Broglie-Bohm topluluk Gizli değişken Yerel çok dünyalar Amaç çöküşü kuantum mantığı ilişkisel işlemsel
Gelişmiş konular Göreli kuantum mekaniği kuantum alan teorisi Kuantum bilgi bilimi Kuantum hesaplama kuantum kaosu yoğunluk matrisi saçılma teorisi Kuantum istatistiksel mekaniği Kuantum makine öğrenimi
Bilim insanları Aharonov zil Blackett Bloch Bohm Bohr Doğmak Bose de Broglie candlin Compton dirac Davisson debye Ehrenfest Einstein Everett Fok fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Ürdün Kramerler Pauli Kuzu Landau gül Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger sommerfeld von Neumann Weyl Viyana Wigner Zeeman Zeilinger
v T e

Eski kuantum teorisi , modern öncesine yıllar 1900-1925 sonuçların bir koleksiyon kuantum mekaniği . Teori hiçbir zaman tam veya kendi içinde tutarlı değildi, aksine klasik mekaniğe yapılan bir dizi buluşsal düzeltmeydi . Teori şimdi modern kuantum mekaniğine yarı-klasik yaklaşım olarak anlaşılmaktadır .

Eski kuantum teorisinin ana aracı, klasik bir sistemin belirli durumlarını izin verilen durumlar olarak seçmek için bir prosedür olan Bohr-Sommerfeld niceleme koşuluydu: bu durumda sistem yalnızca izin verilen durumlardan birinde var olabilir, başka hiçbir durumda değil.

Tarih

Eski kuantum teorisi, Max Planck'ın 1900'deki çalışmasıyla, siyah bir cisimde ışığın yayılması ve emilmesi üzerine , Planck yasasını keşfetmesiyle, kendi kuantum eylemini tanıtan çalışmasıyla başlatıldı ve Albert Einstein'ın özgül ısılar üzerindeki çalışmasından sonra başladı. 1907'de katı maddelerin keşfi onu Walther Nernst'in dikkatine sundu . Einstein, ardından Debye , kuantum ilkelerini atomların hareketine uygulayarak özgül ısı anomalisini açıkladı.

1910'da Arthur Erich Haas , 1910'daki makalesinde JJ Thompson'ın atom modelini geliştirdi; bu, hidrojen atomunun elektronik orbitallerin nicelleştirilmesini içeren bir tedavisini ana hatlarıyla açıkladı ve böylece Bohr modelini (1913) üç yıl önceden tahmin etti .

John William Nicholson, açısal momentumu h/2pi olarak niceleyen bir atom modeli yaratan ilk kişi olarak belirtilmektedir. Niels Bohr , 1913 tarihli Bohr atom modeli makalesinde ondan alıntı yaptı .

1913 yılında, Niels Bohr, daha sonra tarif esasları gösterilen yazışma prensip ve formüle etmek için kullanılan bir model içinde hidrojen atomu açıklandığı çizgi tayfı . Sonraki birkaç yıl içinde Arnold Sommerfeld , Lorentz ve Einstein tarafından tanıtılan kuantum sayılarının adyabatik değişmezliği ilkesini kullanarak kuantum kuralını keyfi integrallenebilir sistemlere genişletti . Sommerfeld , eski kuantum çağında uzay niceleme (Richtungsquantelung) olarak adlandırılan açısal momentumun z-bileşenini nicemleyerek çok önemli bir katkı yaptı . Bu, elektronun yörüngelerinin daireler yerine elipsler olmasına izin verdi ve kuantum dejenerasyonu kavramını ortaya çıkardı . Teori , elektron dönüşü sorunu dışında , Zeeman etkisini doğru bir şekilde açıklayabilirdi . Sommerfeld'in modeli, modern kuantum mekanik resme Bohr'unkinden çok daha yakındı.

1910'lar boyunca ve 1920'lere kadar, eski kuantum teorisi kullanılarak karışık sonuçlarla birçok soruna saldırıldı. Moleküler rotasyon ve titreşim spektrumları anlaşıldı ve elektronun dönüşü keşfedildi, bu da yarı tamsayılı kuantum sayılarının karıştırılmasına yol açtı. Max Planck sıfır noktası enerjisini tanıttı ve Arnold Sommerfeld göreli hidrojen atomunu yarı-klasik olarak kuantize etti. Hendrik Kramers , Stark etkisini açıkladı . Bose ve Einstein, fotonlar için doğru kuantum istatistiklerini verdiler.

Kramers, kuantum durumları arasındaki geçiş olasılıklarını hareketin Fourier bileşenleri açısından hesaplamak için bir reçete verdi; bu fikirler, Werner Heisenberg ile işbirliği içinde atomik geçiş olasılıklarının yarı-klasik matris benzeri bir tanımına genişletildi . Heisenberg, tüm kuantum teorisini bu geçiş matrislerinin bir versiyonu açısından yeniden formüle etmeye devam etti ve matris mekaniği yarattı .

1924'te Louis de Broglie , kısa bir süre sonra Albert Einstein tarafından madde dalgaları için yarı klasik bir denkleme genişletilen maddenin dalga teorisini tanıttı. 1926'da Erwin Schrödinger , eski kuantum teorisinin tüm başarılarını belirsizlikler ve tutarsızlıklar olmadan yeniden üreten tamamen kuantum mekanik bir dalga denklemi buldu. Schrödinger'in dalga mekaniği, Schrödinger ve diğerleri, iki yöntemin aynı deneysel sonuçları öngördüğünü kanıtlayana kadar matris mekaniğinden ayrı olarak gelişti. Paul Dirac daha sonra 1926'da her iki yöntemin de dönüşüm teorisi adı verilen daha genel bir yöntemden elde edilebileceğini kanıtladı .

1950'lerde Joseph Keller , şimdi Einstein-Brillouin-Keller yöntemi olarak bilinen Einstein'ın 1917 yorumunu kullanarak Bohr-Sommerfeld kuantizasyonunu güncelledi . 1971 yılında, Martin Gutzwiller bu yöntem yalnızca integrallenebilen sistemler için çalıştığını dikkate aldı ve türetilmiş bir kaotik sistemlerin kuantize yarı-klasik yolunu gelen çizgisel integrallerin .

Temel prensipler

Eski kuantum teorisinin temel fikri, bir atomik sistemdeki hareketin nicelleştirilmiş veya ayrık olduğudur. Sistem , her harekete izin verilmemesi, yalnızca nicemleme koşuluna uyan hareketlere izin verilmesi dışında klasik mekaniğe uyar :

${\displaystyle \oint _{H(p,q)=E}p_{i}\,dq_{i}=n_{i}h}$

burada sistemin momentumları ve bunlara karşılık gelen koordinatlardır. Kuantum sayıları olan tamsayılar ve (tarafından tarif edildiği gibi entegre bir sürekli enerjiye de hareketin bir süre boyunca alınır Hamiltoniyen'e ). İntegral, eylem adı verilen ve (indirgenmemiş) Planck sabitinin birimlerinde nicelenen bir nicelik olan faz uzayındaki bir alandır . Bu nedenle, Planck sabiti genellikle eylem kuantumu olarak adlandırılırdı . ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$

Eski kuantum koşulunun anlamlı olması için, klasik hareket ayrılabilir olmalıdır, yani hareketin periyodik olduğu ayrı koordinatlar vardır . Farklı hareketlerin periyotları aynı olmak zorunda değildir, orantısız bile olabilirler, ancak hareketin çok periyodik bir şekilde ayrıştığı bir dizi koordinat olmalıdır. ${\displaystyle q_{i}}$

Eski kuantum durumu için motivasyon yazışma prensibi nicemlenmiş olan miktarlarda olmalıdır fiziksel inceleme tamamlanmaktadır adyabatik değişmezler . Harmonik osilatör için Planck'ın nicemleme kuralı göz önüne alındığında, her iki koşul da genel bir sistemde bir katkı sabitine kadar nicelenecek doğru klasik niceliği belirler.

Bu niceleme koşulu genellikle William Wilson ve Arnold Sommerfeld tarafından bağımsız olarak önerilen Wilson-Sommerfeld kuralı olarak bilinir .

Örnekler

Harmonik osilatörün termal özellikleri

Eski kuantum teorisindeki en basit sistem , Hamiltonyeni olan harmonik osilatördür :

${\displaystyle H={p^{2} \2 milyonun üzerinde}+{m\omega ^{2}q^{2} \2 milyonun üzerinde}.}$

Eski kuantum teorisi, termodinamiğin Boltzmann olasılık dağılımı ile birleştirildiğinde, bir kuantum osilatörün depolanan enerjisi ve özgül ısısı için doğru ifadeyi veren harmonik osilatörün enerji seviyelerinin kuantizasyonu için bir reçete verir. normal sıcaklıklarda. Katıların özgül ısısı için bir model olarak uygulanan bu, 19. yüzyıl bilim adamlarını rahatsız eden kuantum öncesi termodinamikteki bir tutarsızlığı çözdü. Şimdi bunu tarif edelim.

H seviye kümeleri yörüngelerdir ve kuantum koşulu, faz uzayında bir yörünge tarafından çevrelenen alanın bir tam sayı olmasıdır. Enerjinin Planck kuralına göre kuantize edildiği sonucu çıkar:

${\displaystyle E=n\hbar \omega ,\,}$

daha önce iyi bilinen ve eski kuantum koşulunu formüle etmek için kullanılan bir sonuç. Bu sonuç , kuantum mekaniğinin yardımıyla bulunan sonuçlardan farklıdır . Bu sabit, eski kuantum teorisinin türetilmesinde ihmal edilir ve değeri, onunla belirlenemez. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega }$

Bir nicelleştirilmiş osilatörün termal özellikleri, bir Boltzmann ağırlığı ile meşgul oldukları varsayılarak, ayrık durumların her birindeki enerjinin ortalaması alınarak bulunabilir :

${\displaystyle U={\sum _{n}\hbar \omega ne^{-\beta n\hbar \omega } \over \sum _{n}e^{-\beta n\hbar \omega }}= {\hbar \omega e^{-\beta \hbar \omega } \over 1-e^{-\beta \hbar \omega }},\;\;\;{\rm {nerede}}\;\; \beta ={\frac {1}{kT}},}$

kT , Boltzmann sabiti çarpı mutlak sıcaklıktır ; bu, daha doğal enerji birimlerinde ölçülen sıcaklıktır. Miktar , termodinamikte sıcaklıktan daha temeldir, çünkü enerjiyle ilişkili termodinamik potansiyeldir . ${\görüntüleme stili \beta }$

Bu ifadeden, çok düşük sıcaklıklar için büyük değerler için Harmonik osilatördeki ortalama U enerjisinin çok hızlı bir şekilde, katlanarak hızlı bir şekilde sıfıra yaklaştığını görmek kolaydır . Bunun nedeni, kT'nin , T sıcaklığındaki rastgele hareketin tipik enerjisi olmasıdır ve bu, 'den küçük olduğunda , osilatöre bir kuantum enerji bile vermeye yeterli enerji yoktur. Böylece osilatör temel durumunda kalır ve neredeyse hiç enerji depolamaz. ${\görüntüleme stili \beta }$${\ Displaystyle \ hbar \ omega }$

Bu, çok soğuk sıcaklıklarda, betaya göre enerjideki değişimin veya buna eşdeğer olarak sıcaklığa göre enerjideki değişimin de üstel olarak küçük olduğu anlamına gelir. Enerjinin sıcaklığa göre değişimi özgül ısıdır , bu nedenle özgül ısı düşük sıcaklıklarda üssel olarak küçüktür ve sıfıra gider.

${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /kT)}$

'nin küçük değerlerinde , yüksek sıcaklıklarda, ortalama enerji U , 'ye eşittir . Bu , klasik termodinamiğin eş bölme teoremini yeniden üretir : T sıcaklığındaki her harmonik osilatör, ortalama olarak kT enerjisine sahiptir . Bu, bir osilatörün özgül ısısının klasik mekanikte sabit olduğu ve k'ye eşit olduğu anlamına gelir  . Yaylarla bağlı bir atom topluluğu için, makul bir katı modeli, toplam özgül ısı, toplam osilatör sayısı çarpı k'ye eşittir  . Her atom için üç boyutta bağımsız salınımların üç olası yönüne karşılık gelen toplam üç osilatör vardır. Dolayısıyla klasik bir katının özgül ısısı her zaman atom başına 3 k veya kimya birimlerinde atom mol başına 3 R'dir . ${\görüntüleme stili \beta }$${\displaystyle 1/\beta =kT}$

Oda sıcaklığındaki tek atomlu katılar, atom başına yaklaşık olarak aynı özgül ısıya 3 k sahiptir, ancak düşük sıcaklıklarda yoktur. Öz ısı daha düşük sıcaklıklarda daha küçüktür ve mutlak sıfırda sıfıra gider. Bu, tüm malzeme sistemleri için geçerlidir ve bu gözlem, termodinamiğin üçüncü yasası olarak adlandırılır . Klasik mekanik üçüncü yasayı açıklayamaz çünkü klasik mekanikte özgül ısı sıcaklıktan bağımsızdır.

Klasik mekanik ile soğuk malzemelerin özgül ısısı arasındaki bu çelişki , 19. yüzyılda James Clerk Maxwell tarafından not edildi ve maddenin atom teorisini savunanlar için derin bir bilmece olarak kaldı. Einstein bu sorunu 1906'da atomik hareketin nicelleştirildiğini öne sürerek çözdü. Bu, kuantum teorisinin mekanik sistemlere ilk uygulamasıydı. Kısa bir süre sonra, Peter Debye , çeşitli frekanslarda nicelleştirilmiş osilatörler cinsinden katı özgül ısıların nicel bir teorisini verdi (bkz. Einstein katı ve Debye modeli ).

Tek boyutlu potansiyel: U = 0

Tek boyutlu problemlerin çözümü kolaydır. Herhangi bir E enerjisinde , p momentumunun değeri , korunum denkleminden bulunur:

${\displaystyle {\sqrt {2m(EU(q))}}={\sqrt {2mE}}=p={\text{const.}}}$

momentumun kaybolduğu klasik dönüş noktaları arasındaki tüm q değerleri üzerine entegre edilmiştir . Kuantum koşulunun olduğu yerde, uzunluk L olan bir kutudaki bir parçacık için integral en kolayıdır :

${\displaystyle 2\int _{0}^{L}p\,dq=nh}$

hangi izin verilen momentumu verir:

${\displaystyle p={nh \2L üzerinde}}$

ve enerji seviyeleri

${\displaystyle E_{n}={p^{2} \2 milyonun üzerinde}={n^{2}h^{2} \8mL'nin üzerinde^{2}}}$

Tek boyutlu potansiyel: U = Fx

Eski kuantum teorisiyle çözülmesi kolay bir diğer durum, pozitif yarı çizgi üzerindeki doğrusal bir potansiyeldir, sabit sınırlayıcı kuvvet F, bir parçacığı geçilmez bir duvara bağlar. Bu durum, tam kuantum mekaniksel işlemde çok daha zordur ve diğer örneklerden farklı olarak, buradaki yarı-klasik yanıt kesin değil, yaklaşıktır, büyük kuantum sayılarında daha doğru hale gelir.

${\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {E}{F}}{\sqrt {2m(E-Fx)}}\ dx=nh}$

yani kuantum koşulu

${\displaystyle {4 \3'ün üzerinde}{\sqrt {2m}}{E^{3/2} \F'nin üzerinde}=nh}$

enerji seviyelerini belirleyen,

${\displaystyle E_{n}=\left({3nhF \over 4{\sqrt {2m}}}\sağ)^{2/3}}$

Özel durumda F=mg, parçacık dünyanın yerçekimi potansiyeli tarafından sınırlandırılır ve buradaki "duvar" dünyanın yüzeyidir.

Tek boyutlu potansiyel: U = ½ kx ²

Bu durumun çözülmesi de kolaydır ve buradaki yarı-klasik cevap, temel durum enerjisi içinde kuantum olanla aynı fikirdedir. Kuantizasyon koşulu integrali

${\displaystyle 2\int _{-{\sqrt {\frac {2E}{k}}}}^{\sqrt {\frac {2E}{k}}}{\sqrt {2m\left(E-{ \frac {1}{2}}kx^{2}\sağ)}}\ dx=nh}$

çözüm ile

${\displaystyle E=n{\frac {h}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}=n\hbar \omega }$

salınım açısal frekansı için , daha önce olduğu gibi. ${\ Displaystyle \ omega }$

döndürücü

Bir başka basit sistem de döndürücüdür. Bir döndürücü, R uzunluğunda kütlesiz bir rijit çubuğun ucundaki M kütlesinden oluşur ve iki boyutta Lagrange'a sahiptir:

${\displaystyle L={MR^{2} \over2}{\dot {\theta }}^{2}}$

belirler açısal momentumun J konjugat , kutup açısı , . Eski kuantum koşulu, J'nin periyotla çarpımının Planck sabitinin bir tam sayı katı olmasını gerektirir : ${\görüntüleme stili \teta}$${\displaystyle J=MR^{2}{\dot {\theta }}}$${\görüntüleme stili \teta}$

${\ Displaystyle 2\pi J=nh\,}$

açısal momentumun tamsayı katı olması . Gelen Bohr modeli , bu sınırlama dairesel yörüngeler uygulanan enerji düzeylerini belirlemek için yeterliydi. ${\görüntüleme stili \hbar }$

Üç boyutta, rijit bir döndürücü iki açıyla tanımlanabilir - ve burada keyfi olarak seçilen bir z eksenine göre eğim , x - y düzlemine projeksiyondaki döndürücü açısıdır . Kinetik enerji yine Lagrange'a tek katkıdır: ${\görüntüleme stili \teta}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili \teta}$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle L={MR^{2} \2'nin üzerinde}{\dot {\theta }}^{2}+{MR^{2} \over 2}(\sin(\theta ){\dot {\ fi }})^{2}\,}$

Ve eşlenik momentumlar ve . için hareket denklemi önemsizdir: bir sabittir: ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}}$${\displaystyle p_{\phi }=\sin(\theta )^{2}{\dot {\phi }}}$${\görüntüleme stili\phi }$${\ Displaystyle p_{\phi }}$

${\displaystyle p_{\phi }=l_{\phi }\,}$

bu açısal momentumun z bileşenidir. Sabit ayrılmaz Kuantum durumu talepleri olarak 0 ila değişir bir tamsayı katı olan h : ${\displaystyle l_{\phi }}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili 2\pi }$

${\displaystyle l_{\phi }=m\hbar \,}$

Ve m , manyetik kuantum sayısı olarak adlandırılır , çünkü açısal momentumun z bileşeni, döndürücünün ucundaki parçacığın yüklü olduğu durumda , döndürücünün z yönü boyunca manyetik momentidir .

Üç boyutlu döndürücü bir eksen etrafında döndüğü için, toplam açısal momentum, iki boyutlu döndürücü ile aynı şekilde sınırlandırılmalıdır. İki kuantum koşulu, toplam açısal momentumu ve açısal momentumun z bileşenini l , m tamsayıları olacak şekilde sınırlar . Bu koşul, modern kuantum mekaniğinde yeniden üretilir, ancak eski kuantum teorisi çağında bir paradoksa yol açtı: keyfi olarak seçilen z eksenine göre açısal momentumun yönü nasıl nicelenebilir? Bu uzayda bir yön seçiyor gibi görünüyor.

Bu fenomen, bir eksen etrafındaki açısal momentumun nicelenmesine , rotasyonel değişmezlik ile uyumsuz göründüğü için uzay nicemlemesi adı verildi . Modern kuantum mekaniğinde, açısal momentum aynı şekilde nicelenir, ancak herhangi bir yönelimdeki belirli açısal momentumun ayrık durumları, diğer yönelimlerdeki durumların kuantum süperpozisyonlarıdır , böylece nicemleme işlemi tercih edilen bir ekseni seçmez. Bu nedenle, "uzay kuantizasyonu" adı gözden düştü ve aynı fenomen şimdi açısal momentumun kuantizasyonu olarak adlandırılıyor.

Hidrojen atomu

Hidrojen atomunun açısal kısmı sadece döndürücüdür ve l ve m kuantum sayılarını verir . Geriye kalan tek değişken, çözülebilen bir periyodik tek boyutlu potansiyel hareketi gerçekleştiren radyal koordinattır.

Toplam açısal momentumun sabit bir değeri L için, klasik bir Kepler probleminin Hamiltoniyeni (kütle birimi ve enerji birimi, iki sabiti absorbe etmek için yeniden tanımlanmıştır):

${\displaystyle H={p_{r}^{2} \2 üzerinde}+{l^{2} \2r üzerinde^{2}}-{1 \r} üzerinde.}$

Enerjiyi (negatif) sabit olarak sabitleyerek ve radyal momentumu çözerek , kuantum koşul integrali şu şekildedir: ${\görüntüleme stili p_{r}}$

${\displaystyle \oint {\sqrt {2E-{l^{2} \üstü r^{2}}+{2 \r}}}}\ dr=kh}$

kalıntı yöntemiyle çözülebilen ve ile kombinasyon halinde enerjiyi belirleyen yeni bir kuantum numarası veren . Enerji: ${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili l}$

${\displaystyle E=-{1 \over 2(k+l)^{2}}}$

ve sadece n asal kuantum sayısı olan k ve l' nin toplamına bağlıdır . Yana k pozitiftir, izin verilen değerler l verilmiş herhangi n daha büyüktür n . Enerjiler, uç değerlerde bir miktar belirsizlikle, doğru kuantum mekaniksel çokluklar dışında, Bohr modelindekileri yeniden üretir.

Yarı-klasik hidrojen atomuna Sommerfeld modeli denir ve yörüngeleri, ayrı eğimlerde çeşitli boyutlarda elipslerdir. Sommerfeld modeli, bir eksen boyunca ölçülen bir atomun manyetik momentinin yalnızca ayrık değerler alacağını öngördü; bu, dönme değişmezliğiyle çelişiyor gibi görünen ancak Stern-Gerlach deneyi tarafından doğrulanan bir sonuç . Bu Bohr-Sommerfeld teorisi , kuantum mekaniğinin gelişiminde önemli bir adımdır. Aynı zamanda, atomik enerji seviyelerinin bir manyetik alan (Zeeman etkisi olarak adlandırılır) tarafından bölünmesi olasılığını da açıklar . Walther Kossel , Bohr ve Sommerfeld ile atomun Bohr-Sommerfeld modeli üzerinde çalıştı ve ilk kabukta iki, ikinci kabukta sekiz elektron tanıttı.

göreli yörünge

Arnold Sommerfeld , atomik enerji seviyelerinin göreli çözümünü elde etti. Bu türetmeye, elektrik potansiyelindeki enerjinin göreli denklemiyle başlayacağız.

${\displaystyle W={m_{\mathrm {0} }c^{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2) }}}}}}-1\sağ)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}}$

Değiştirmeden sonra alırız ${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u}$

İvme için , ve bunların oranı hareket denkleminin (bakınız Binet denklemi ) ${\displaystyle p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}}$${\displaystyle p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}}$${\displaystyle {\frac {p_{\mathrm {r} }}{p_{\mathrm {\varphi } }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}) }{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm { \varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0 } }^{2}u+K}$

çözüm ile

${\displaystyle u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{\mathrm {0} }\varphi }$

Devir başına periapsisin açısal kayması şu şekilde verilir:

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}-1\sağ)\yaklaşık 4\pi ^ {3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{2}h^{2}}}}$

Kuantum koşulları ile

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h}$

ve

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\ varphi }}\sağ)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h}$

enerjiler elde edeceğiz

${\displaystyle {\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left) (n_{\mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\sağ)^{2}}} \sağ)^{-1/2}-1}$

burada bir ince yapı sabiti . Bu çözüm ( kuantum sayıları için ikameler kullanılarak ) Dirac denkleminin çözümüne eşdeğerdir . Bununla birlikte, her iki çözüm de Kuzu kaymalarını tahmin etmekte başarısız oluyor . ${\görüntüleme stili \alfa }$

De Broglie dalgaları

1905'te Einstein, bir kutudaki nicelenmiş elektromanyetik alan osilatörlerinin entropisinin, kısa dalga boyu için, aynı kutudaki nokta parçacıkların bir gazının entropisine eşit olduğunu kaydetti. Nokta parçacıkların sayısı, kuantumların sayısına eşittir. Einstein, kuantaların, yerelleştirilebilir nesneler (bkz. sayfa 139/140), ışık parçacıkları gibi ele alınabileceği sonucuna vardı. Bugün onlara diyoruz fotonları (tarafından icat bir isim Gilbert N. Lewis gönderdiği mektupta Doğa .)

Einstein'ın teorik argümanı, termodinamiğe , durumların sayısını saymaya dayanıyordu ve bu nedenle tamamen ikna edici değildi. Bununla birlikte, ışığın hem dalga hem de parçacık özelliklerine sahip olduğu sonucuna vardı , daha doğrusu nicelenmiş enerjiye sahip frekanslı bir elektromanyetik duran dalga : ${\ Displaystyle \ omega }$

${\displaystyle E=n\hbar \omega \,}$

her biri bir enerjiye sahip n fotondan oluştuğu düşünülmelidir . Einstein, fotonların dalgayla nasıl ilişkili olduğunu tanımlayamadı. ${\ Displaystyle \ hbar \ omega }$

Fotonların enerjisi olduğu kadar momentumu da vardır ve momentum , elektromanyetik dalganın dalga sayısı nerede olmalıdır . Bu, görelilik tarafından gereklidir, çünkü momentum ve enerji , frekans ve dalga sayısı gibi bir dört-vektör oluşturur . ${\görüntüleme stili \hbar k}$${\görüntüleme stili k}$

1924'te bir doktora adayı olarak Louis de Broglie , kuantum durumunun yeni bir yorumunu önerdi. Tüm maddelerin, elektronların ve fotonların, ilişkilere uyan dalgalar tarafından tanımlandığını öne sürdü.

${\displaystyle p=\hbar k}$

veya bunun yerine dalga boyu cinsinden ifade edildiğinde , ${\ Displaystyle \ lambda }$

${\displaystyle p={h \over \lambda }}$

Daha sonra kuantum koşulunun şuna dikkat çekti:

${\displaystyle \int p\,dx=\hbar \int k\,dx=2\pi \hbar n}$

klasik yörünge boyunca ilerlerken dalganın faz değişimini sayar ve tamsayı katı olmasını gerektirir . Dalga boyları olarak ifade edildiğinde, klasik bir yörüngedeki dalga boylarının sayısı bir tam sayı olmalıdır. Bu, yapıcı girişimin koşuludur ve nicelenmiş yörüngelerin nedenini açıklar—madde dalgaları yalnızca ayrık frekanslarda, ayrık enerjilerde duran dalgalar oluşturur . ${\görüntüleme stili 2\pi }$

Örneğin, bir kutuya hapsedilmiş bir parçacık için, duran bir dalga, duvarlar arasındaki mesafenin iki katı arasında bir tam sayı dalga boyuna uymalıdır. Koşul olur:

${\displaystyle n\lambda =2L\,}$

böylece nicelenmiş momentum:

${\displaystyle p={\frac {nh}{2L}}}$

eski kuantum enerji seviyelerini yeniden üretmek.

Bu gelişme, mekanik bir sistemdeki dalgalar için faz fonksiyonunun , 19. yüzyılda William Rowan Hamilton'un bile kullandığı bir denklem olan Hamilton-Jacobi denkleminin çözümü ile tanımlanması gerektiğini belirten Einstein tarafından daha matematiksel bir form verildi. bir tür dalga mekaniğinin kısa dalga boyu sınırı olduğuna inanılıyor. Schrödinger daha sonra faz için Hamilton-Jacobi denklemiyle eşleşen uygun dalga denklemini buldu, bu onun adını taşıyan ünlü denklemdir . ${\görüntüleme stili \teta (J,x)}$

Kramer geçiş matrisi

Eski kuantum teorisi, yalnızca periyodik olan hareket açısı değişkenlerine ayrılabilen özel mekanik sistemler için formüle edildi. Radyasyonun emisyonu ve emilimi ile ilgilenmedi. Yine de Hendrik Kramers , emisyon ve absorpsiyonun nasıl hesaplanması gerektiğini açıklamak için buluşsal yöntemler bulabildi.

Kramers, bir kuantum sisteminin yörüngelerinin Fourier analizini, yörünge frekansının katlarında harmoniklere ayrıştırılmasını önerdi:

${\displaystyle X_{n}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty}e^{ik\omega t}X_{n;k}}$

n indeksi yörüngenin kuantum sayılarını tanımlar , Sommerfeld modelinde n – l – m olur. Frekans , yörüngenin açısal frekansı iken k , Fourier modu için bir indekstir. Bohr önerdiğini k -inci geçiş klasik hareket tekabül harmonik seviyesinden n seviyeye n - k . ${\ Displaystyle \ omega }$${\displaystyle 2\pi /T_{n}}$

Kramers, durumlar arasındaki geçişin, yörünge frekanslarının katlarındaki frekanslarda meydana gelen klasik radyasyon emisyonuna benzer olduğunu öne sürdü. Radyasyonun yayılma hızı, klasik mekanikte olduğu gibi , ile orantılıdır . Fourier bileşenleri seviyeler arasındaki enerji aralıklarıyla tam olarak eşleşen frekanslara sahip olmadığı için açıklama yaklaşıktı. ${\displaystyle |X_{k}|^{2}}$

Bu fikir, matris mekaniğinin gelişmesine yol açtı.

sınırlamalar

Eski kuantum teorisinin bazı sınırlamaları vardı:

• Eski kuantum teorisi, spektral çizgilerin yoğunluğunu hesaplamak için hiçbir yol sağlamaz.
• Anormal Zeeman etkisini (yani elektronun spininin ihmal edilemeyeceği) açıklamakta başarısız olur.
• "Kaotik" sistemleri, yani yörüngeleri ne kapalı ne de periyodik olan ve analitik formu olmayan dinamik sistemleri nicemleştiremez. Bu, ünlü yerçekimi üç cisim problemine benzer şekilde klasik olarak kaotik olan 2 elektronlu bir atom kadar basit sistemler için bir problem sunar .

Ancak birden fazla elektronlu (örneğin Helyum) atomları ve Zeeman etkisini tanımlamak için kullanılabilir. Daha sonra eski kuantum teorisinin aslında kanonik kuantum mekaniğine yarı-klasik yaklaşım olduğu öne sürüldü, ancak sınırlamaları hala araştırılıyor.

Referanslar

daha fazla okuma

• Thewlis, J., ed. (1962). Ansiklopedik Fizik Sözlüğü .
• Pais, İbrahim (1982). "Max Born'un Kuantum Mekaniğinin İstatistiksel Yorumu" (PDF) . Bilim . 218 (4578): 1193–8. Bibcode : 1982Sci...218.1193P . doi : 10.1126/science.218.4578.1193 . PMID  17802457 .Amerika Optik Topluluğu'nun 21 Ekim 1982 tarihli yıllık toplantısına hitaben (Tucson AZ). 2013-09-08 alındı.
• Planck, Maks (1922). Kuantum teorisinin kökeni ve gelişimi . Çeviren: Silberstein, L.; Clarke, HT Oxford: Clarendon Press.