Spin (fizik) - Spin (physics)

Spin , temel parçacıklar ve dolayısıyla bileşik parçacıklar ( hadronlar ) ve atom çekirdeği tarafından taşınan açısal momentumun içsel bir biçimidir .

Spin, kuantum mekaniğindeki iki tür açısal momentumdan biridir, diğeri ise yörünge açısal momentumdur . Yörünge açısal momentum işlemcisi klasik açısal momentum kuantum mekanik karşılığıdır yörünge devrimi ve açı farklılık olarak, dalga fonksiyonunun periyodik yapısı olduğunda görünür. Fotonlar için spin, ışığın polarizasyonunun kuantum-mekanik karşılığıdır ; elektronlar için spinin klasik karşılığı yoktur.

Elektron spin açısal momentumunun varlığı, gümüş atomlarının yörünge açısal momentumu olmamasına rağmen iki olası ayrı açısal momentuma sahip olduğu gözlemlenen Stern-Gerlach deneyi gibi deneylerden çıkarılır . Elektron spininin varlığı, teorik olarak spin-istatistik teoreminden ve Pauli dışlama ilkesinden de çıkarılabilir - ve tam tersi, elektronun özel dönüşü göz önüne alındığında, Pauli dışlama ilkesi türetilebilir.

Spin, matematiksel olarak fotonlar gibi bazı parçacıklar için bir vektör ve elektronlar gibi diğer parçacıklar için spinörler ve bispinörler olarak tanımlanır. Spinörler ve bispinörler vektörlere benzer şekilde davranırlar : belirli büyüklükleri ve dönüşler altında değişimleri vardır; ancak, alışılmamış bir "yön" kullanırlar. Belirli bir türden tüm temel parçacıklar, yönü değişebilse de, aynı büyüklükte dönme açısal momentuma sahiptir. Bunlar, parçacığa bir spin kuantum sayısı atanarak belirtilir .

SI birim spin klasik açısal momentum ile aynıdır (örneğin , N · m · s veya Js ya kg • m 2 -s -1 ). Pratikte, spin açısal momentumu, açısal momentum ile aynı boyutlara sahip olan indirgenmiş Planck sabiti ħ ile bölünerek boyutsuz bir spin kuantum sayısı olarak verilir , ancak bu bu değerin tam hesaplaması değildir. Çok sık olarak, "spin kuantum sayısı" basitçe "spin" olarak adlandırılır. Bunun bir kuantum sayısı olduğu gerçeği örtüktür.

Tarih

1924'te Wolfgang Pauli , iki değerli klasik olmayan "gizli rotasyon" nedeniyle mevcut elektron durumlarının sayısının iki katına çıkarılmasını öneren ilk kişiydi. 1925 yılında George Uhlenbeck ve Samuel Goudsmit de Leiden Üniversitesi ruhu içinde, kendi ekseni etrafında bir parçacık iplikçiliğinin basit fiziksel yorumunu önerdi eski kuantum teorisinin ait Bohr ve Sommerfeld . Ralph Kronig , birkaç ay önce Kopenhag'da Hendrik Kramers ile tartışırken Uhlenbeck-Goudsmit modelini öngördü , ancak yayınlamadı. Matematiksel teori, 1927'de Pauli tarafından derinlemesine çalışıldı. Paul Dirac , göreli kuantum mekaniğini 1928'de türettiğinde , elektron dönüşü bunun önemli bir parçasıydı.

Kuantum sayısı

Adından da anlaşılacağı gibi, spin başlangıçta bir parçacığın bir eksen etrafında dönmesi olarak düşünülmüştü. Temel parçacıkların gerçekten dönüp dönmediği sorusu belirsiz olsa da ( nokta gibi göründükleri için ), bu resim, spin, nicelenmiş açısal momentumun yaptığı aynı matematiksel yasalara uyduğu sürece doğrudur ; özellikle spin, parçacığın fazının açı ile değiştiğini ima eder. Öte yandan, spin, onu yörüngesel açısal momentumdan ayıran bazı özel özelliklere sahiptir:

Geleneksel tanımı , dönüş kuantum sayısı olan s = n/2, burada n negatif olmayan herhangi bir tam sayı olabilir . Dolayısıyla s'nin izin verilen değerleri 0'dır,1/2, 1, 3/2, 2, vb. Bir temel parçacık için s değeri yalnızca parçacığın tipine bağlıdır ve bilinen herhangi bir şekilde değiştirilemez ( aşağıda açıklanan dönüş yönünün aksine ). Herhangi bir fiziksel sistemin dönüş açısal momentumu S kuantize edilir . S için izin verilen değerler

burada h olan Planck sabiti ve = H/indirgenmiş Planck sabitidir. Buna karşılık, yörünge açısal momentumu sadece s tamsayı değerlerini alabilir ; yani, n'nin çift ​​sayılı değerleri .

Fermiyonlar ve bozonlar

Yarı tamsayı dönüşlü parçacıklar, örneğin 1/2, 3/2, 5/2, fermiyonlar olarak bilinirken , 0, 1, 2 gibi tamsayı dönüşlü parçacıklar bozonlar olarak bilinir . İki parçacık ailesi farklı kurallara uyar ve çevremizdeki dünyada genel olarak farklı rollere sahiptir. İki aile arasındaki temel ayrım, fermiyonların Pauli dışlama ilkesine uymasıdır : yani, aynı kuantum sayılarına (yani, kabaca aynı konuma, hıza ve dönüş yönüne sahip olan) aynı anda iki özdeş fermiyon olamaz. Fermiyonlar, Fermi-Dirac istatistiklerinin kurallarına uyar . Buna karşılık, bozonlar Bose-Einstein istatistiklerinin kurallarına uyarlar ve böyle bir kısıtlamaları yoktur, bu nedenle aynı durumlarda "bir araya toplanabilirler". Ayrıca, kompozit parçacıklar, bileşen parçacıklarından farklı spinlere sahip olabilir. Örneğin , temel durumdaki bir helyum-4 atomunun spini 0'dır ve onu oluşturan kuarklar ve elektronların tümü fermiyon olmasına rağmen bir bozon gibi davranır .

Bunun bazı derin sonuçları vardır:

Diğer spinlere sahip temel fermiyonlar (3/2, 5/2, vb) varlığı bilinmemektedir.
Diğer spinlere (0, 2, 3, vb.) sahip olan temel bozonların, önemli teorik tedavi görmüş olmalarına ve kendi ana akım teorileri içinde iyi bir şekilde yerleşmiş olmalarına rağmen, tarihsel olarak var oldukları bilinmiyordu. Özellikle, teorisyenler spin 2 ile gravitonu (bazı kuantum yerçekimi teorileri tarafından var olduğu tahmin edilen ) ve spin 0 ile Higgs bozonunu ( elektrozayıf simetri kırılmasını açıklayan ) önerdiler. 2013'ten beri, spin 0'a sahip Higgs bozonunun kanıtlanmış olduğu kabul edildi. mevcut. Doğada var olduğu bilinen ilk skaler temel parçacıktır (spin 0).
  • Atom çekirdeklerinin ya yarı tamsayı ya da tamsayı olabilen nükleer spinleri vardır, böylece çekirdekler ya fermiyonlar ya da bozonlar olabilir.

Spin-istatistik teoremi

Spin-istatistik teoremi iki gruba parçacıkları ayırır: bozonları ve fermiyonlar , burada uyun bozonlar Bose-Einstein istatistikleri uyun ve fermiyonlar Fermi Dirac istatistikleri (ve bu nedenle Pauli ilkesine ). Spesifik olarak, teori, tamsayı dönüşü olan parçacıkların bozon olduğunu, diğer tüm parçacıkların ise yarı tamsayı dönüşlerine sahip olduğunu ve fermiyon olduğunu belirtir. Örnek olarak, elektronların yarı tamsayı dönüşü vardır ve Pauli dışlama ilkesine uyan fermiyonlardır, fotonların tamsayı dönüşü vardır ve yoktur. Teorem hem kuantum mekaniğine hem de özel görelilik teorisine dayanır ve spin ile istatistik arasındaki bu bağlantı "özel görelilik teorisinin en önemli uygulamalarından biri" olarak anılır.

Klasik rotasyonla ilişkisi

Temel parçacıklar nokta benzeri olduğundan, kendi kendine dönme onlar için iyi tanımlanmamıştır. Ancak spin, S spinine paralel eksen etrafında θ açısının dönmesi için parçacığın fazının as açısına bağlı olduğunu ima eder . Bu kuantum mekanik yorumlanması eşdeğerdir ivme pozisyonda faz bağlı olarak, ve orbital açısal momentumun açısal pozisyonda faz bağımlılığı gibi.

Foton dönüşü, ışık polarizasyonunun kuantum-mekanik tanımıdır , burada spin +1 ve spin -1, dairesel polarizasyonun iki zıt yönünü temsil eder . Bu nedenle, tanımlanmış bir dairesel polarizasyona sahip ışık, tümü +1 veya tümü -1 olan aynı dönüşe sahip fotonlardan oluşur. Spin, diğer vektör bozonları için de polarizasyonu temsil eder.

Fermiyonlar için resim daha az nettir. Açısal hız ile eşit Ehrenfest teoremi türevi için Hamiltoniyen'e onun için konjuge ivme toplamıdır, açısal momentumun J = L + S . Bu nedenle, Hamiltonian H , spin S'ye bağlıysa , dH / dS sıfır değildir ve spin açısal hıza ve dolayısıyla gerçek rotasyona, yani zamanla faz-açı ilişkisinde bir değişikliğe neden olur. Bir elektron için, ancak, bu serbest elektron için geçerli olup olmadığı, belirsiz S 2 sabittir ve nedenle Hamilton bir terimi olup olmadığını yorumlama meselesidir. Bununla birlikte, spin Dirac denkleminde görünür ve bu nedenle elektronun bir Dirac alanı olarak ele alınan göreli Hamiltoniyeni , spin S'de bir bağımlılık içerdiği şeklinde yorumlanabilir . Bu yoruma göre, serbest elektronlar da kendi kendine döner, bu dönme olarak anlaşılan Zitterbewegung etkisi.

Manyetik anlar

Nötron manyetik momenti ile ilişkili siyah ok ve manyetik alan çizgileri olarak nötronun dönüşünü gösteren şematik diyagram . Nötronun negatif bir manyetik momenti vardır. Bu diyagramda nötronun dönüşü yukarı doğru iken, dipolün merkezindeki manyetik alan çizgileri aşağı doğrudur.

Klasik elektrodinamikte dönen elektrik yüklü bir cisim gibi, spinli parçacıklar bir manyetik dipol momente sahip olabilir . Bu manyetik momentler deneysel olarak çeşitli şekillerde gözlemlenebilir, örneğin bir Stern-Gerlach deneyinde homojen olmayan manyetik alanlar tarafından parçacıkların sapması veya parçacıkların kendileri tarafından oluşturulan manyetik alanların ölçülmesiyle.

İçkin olarak manyetik momenti μ a Spin1/2q yükü , kütlesi m ve açısal momentumu S olan parçacık ,

burada boyutsuz nicelik g s , spin g- faktörü olarak adlandırılır . Yalnızca yörünge dönüşleri için 1 olacaktır (kütle ve yükün eşit yarıçaplı küreleri işgal ettiği varsayılarak).

Yüklü bir temel parçacık olan elektron, sıfır olmayan bir manyetik momente sahiptir . Kuantum elektrodinamiği teorisinin zaferlerinden biri, deneysel olarak değere sahip olduğu belirlenen elektron g- faktörünün doğru tahminidir.−2.002 319 304 362 56 (35) , parantez içindeki rakamlar bir standart sapmada son iki rakamdaki ölçüm belirsizliğini gösterir . 2 değeri , elektronun spinini elektromanyetik özellikleriyle birleştiren temel bir denklem olan Dirac denkleminden ve0.002 319 304 ... elektronun kendi alanı da dahil olmak üzere çevredeki elektromanyetik alanla etkileşiminden kaynaklanır .

Bileşik parçacıklar ayrıca dönüşleriyle ilişkili manyetik momentlere de sahiptir. Özellikle nötron , elektriksel olarak nötr olmasına rağmen sıfır olmayan bir manyetik momente sahiptir. Bu gerçek, nötronun temel bir parçacık olmadığının erken bir göstergesiydi. Aslında, elektrik yüklü parçacıklar olan kuarklardan oluşur . Nötron manyetik momenti bireysel kuark spin ve yörünge hareket gelir.

Nötrinolar hem temel hem de elektriksel olarak nötrdür. Sıfır olmayan nötrino kütlelerini hesaba katan minimal genişletilmiş Standart Model , aşağıdaki nötrino manyetik momentlerini tahmin eder:

burada μ ν nötrinonun manyetik momentleri vardır m ν nötrinonun kütleleridir, ve μ B olan Bohr magneton . Bununla birlikte, elektrozayıf ölçeğin üzerindeki yeni fizik, önemli ölçüde daha yüksek nötrino manyetik momentlerine yol açabilir. Modelden bağımsız bir şekilde, yaklaşık 10 −14  μ B'den daha büyük nötrino manyetik momentlerinin "doğal olmayan" olduğu gösterilebilir, çünkü bunlar aynı zamanda nötrino kütlesine büyük ışınımsal katkılara da yol açacaktır. Nötrino kütlelerinin en fazla yaklaşık 1 eV olduğu bilindiğinden, büyük ışınımsal düzeltmelerin birbirini büyük ölçüde iptal etmesi ve nötrino kütlesini küçük bırakması için "ince ayar yapılması" gerekir. Nötrino manyetik momentlerinin ölçümü aktif bir araştırma alanıdır. Deneysel sonuçlar, nötrino manyetik momentini Elektronun manyetik momentinin 1,2 × 10 −10 katı.

Öte yandan, foton veya Z bozonu gibi spinli ancak elektrik yükü olmayan temel parçacıkların manyetik momenti yoktur.

Curie sıcaklığı ve hizalama kaybı

Sıradan malzemelerde, tek tek atomların manyetik dipol momentleri, birbirini iptal eden manyetik alanlar üretir, çünkü her dipol rastgele bir yöne işaret eder ve genel ortalama sıfıra çok yakındır. Bununla birlikte, Curie sıcaklıklarının altındaki ferromanyetik malzemeler , atomik dipol momentlerinin yerel olarak hizalandığı manyetik alanlar sergiler ve bu alandan makroskopik, sıfır olmayan bir manyetik alan üretir. Bunlar hepimizin aşina olduğu sıradan "mıknatıslar".

Olarak paramanyetik malzeme, bir kendiliğinden hizalama tek atomlu manyetik dipol momentleri dışarıdan uygulanan manyetik alan. Gelen diyamanyetik malzemeler, diğer yandan tek tek atomlu manyetik dipol momentleri kendiliğinden bunu yapmak için enerji gerektiren bile, herhangi bir dıştan uygulanan manyetik alana zıt hizalayın.

Bu tür " spin modellerinin " davranışının incelenmesi, yoğun madde fiziğinde gelişen bir araştırma alanıdır . Örneğin, Ising modeli yukarı ve aşağı olmak üzere yalnızca iki olası duruma sahip olan dönüşleri (dipoller) tanımlarken, Heisenberg modelinde dönüş vektörünün herhangi bir yöne işaret etmesine izin verilir. Bu modeller, faz geçişleri teorisinde ilginç sonuçlara yol açan birçok ilginç özelliğe sahiptir .

Yön

Spin projeksiyonu kuantum sayısı ve çokluğu

Klasik mekanikte, bir parçacığın açısal momentumu yalnızca bir büyüklüğe (cismin ne kadar hızlı döndüğüne) değil, aynı zamanda bir yöne de ( parçacığın dönme ekseninde yukarı veya aşağı ) sahiptir. Kuantum-mekanik dönüş, yön hakkında da bilgi içerir, ancak daha incelikli bir biçimde. Bu kuantum mekaniği devletler bileşeni , bir Spin açısal momentumunun s herhangi bir yönde ölçüldüğü parçacık sadece değerler alabilir

burada S ı boyunca spin bileşenidir i -inci ekseni (ya da X , Y ya da Z ), s ı boyunca sıkma projeksiyon kuantum sayısı i -inci ekseni ve s tartışılan temel dönüş kuantum sayısı (bir önceki bölüm). Geleneksel olarak seçilen yön z  eksenidir:

burada S z , z  ekseni boyunca döndürme bileşenidir , s z , z  ekseni boyunca döndürme projeksiyonu kuantum sayısıdır .

s z'nin 2 s + 1 olası değeri olduğu görülebilir . Sayı " 2 s + 1 " bir çokluğu sıkma sistemi. Örneğin, bir spin için yalnızca iki olası değer vardır.1/2parçacık: s z = +1/2ve s z = -1/2. Bunlar , spin bileşeninin sırasıyla + z veya − z yönlerine işaret ettiği kuantum durumlarına karşılık gelir ve genellikle "spin up" ve "spin down" olarak adlandırılır. bir dönüş için-3/2parçacık, bir delta baryon gibi, olası değerler +3/2, +1/2, -1/2, -3/2.

Vektör

Uzayda tek bir nokta, birbirine karışmadan sürekli dönebilir. 360 derecelik bir dönüşten sonra spiralin saat yönünde ve saat yönünün tersine yönler arasında döndüğüne dikkat edin. Bu tam 720 ° iplik sonra orijinal yapılandırmasına geri döner .

Belirli bir kuantum durumu için , bileşenleri her eksen boyunca spin bileşenlerinin beklenen değerleri olan bir spin vektörü düşünülebilir , yani . Bu vektör, daha sonra , dönme ekseninin klasik kavramına karşılık gelen , dönüşün işaret ettiği "yönü" tanımlayacaktır . Spin vektörünün gerçek kuantum-mekanik hesaplamalarda pek kullanışlı olmadığı ortaya çıktı, çünkü doğrudan ölçülemez: s x , s y ve s z , aralarındaki kuantum belirsizlik ilişkisi nedeniyle eşzamanlı kesin değerlere sahip olamazlar . Bununla birlikte, bir Stern-Gerlach aygıtının kullanılması gibi, aynı saf kuantum durumuna yerleştirilmiş istatistiksel olarak büyük parçacık koleksiyonları için , spin vektörünün iyi tanımlanmış bir deneysel anlamı vardır: Sıradan uzaydaki yönü belirtir. koleksiyondaki her parçacığın saptanması için olası maksimum olasılığı (%100) elde etmek için sonraki bir dedektörün yönlendirilmesi gerekir. döndürmek için-1/2 parçacıklar, bu olasılık, dönüş vektörü ile dedektör arasındaki açı arttıkça, 180°'lik bir açıya kadar - yani, dönüş vektörüne zıt yönde yönlendirilmiş dedektörler için - parçacıkların koleksiyondan tespit edilmesi beklentisi arttıkça düzgün bir şekilde düşer. minimum %0'a ulaşır.

Niteliksel bir kavram olarak, döndürme vektörü genellikle kullanışlıdır çünkü klasik olarak resmedilmesi kolaydır. Örneğin, kuantum-mekanik dönüş, klasik jiroskopik etkilere benzer fenomenler sergileyebilir . Örneğin, bir elektron bir manyetik alana yerleştirerek bir tür " tork " uygulayabilir (alan, elektronun içsel manyetik dipol momentine etki eder - aşağıdaki bölüme bakın). Sonuç, spin vektörünün tıpkı klasik bir jiroskop gibi presesyona maruz kalmasıdır . Bu fenomen elektron spin rezonansı (ESR) olarak bilinir . Atom çekirdeğindeki protonların eşdeğer davranışı, nükleer manyetik rezonans (NMR) spektroskopisinde ve görüntülemede kullanılır.

Matematiksel olarak, kuantum-mekanik spin durumları, spinörler olarak bilinen vektör benzeri nesneler tarafından tanımlanır . Koordinat rotasyonları altında spinörlerin ve vektörlerin davranışları arasında ince farklar vardır . Örneğin, bir spin-1/2360° parçacık onu aynı kuantum durumuna değil, zıt kuantum fazına sahip duruma getirir ; bu, prensipte girişim deneyleriyle saptanabilir . Parçacığı tam orijinal durumuna döndürmek için 720°'lik bir dönüş gerekir. ( Plaka hilesi ve Möbius şeridi , kuantum olmayan analojiler verir.) Bir spin-sıfır parçacığı, tork uygulandıktan sonra bile yalnızca tek bir kuantum durumuna sahip olabilir. Bir spin-2 parçacığını 180° döndürmek onu aynı kuantum durumuna geri getirebilir ve bir spin-4 parçacığı onu aynı kuantum durumuna geri getirmek için 90° döndürülmelidir. Spin-2 parçacığı, 180° döndürüldükten sonra bile aynı görünen düz bir çubuğa benzeyebilir ve bir spin-0 parçacığı, hangi açıdan döndürülürse dönülsün aynı görünen küre olarak hayal edilebilir.

matematiksel formülasyon

Şebeke

Spin , yörünge açısal momentumununkine benzer komütasyon ilişkilerine uyar :

burada ε jkl , Levi-Civita sembolüdür . Bu (olduğu gibi aşağıdaki açısal momentum bu) özvektörler arasında ve (olarak ifade Ket, toplam S bazında ) olan

Bu özvektörlere etki eden spin yükseltme ve alçaltma operatörleri ,

nerede .

Ancak yörünge açısal momentumun aksine, özvektörler küresel harmonikler değildir . θ ve φ fonksiyonları değildirler . Ayrıca s ve m s'nin yarı tamsayı değerlerini hariç tutmak için hiçbir neden yoktur .

Tüm kuantum-mekanik parçacıklar içsel bir dönüşe sahiptir (bu değer sıfıra eşit olabilir). Herhangi bir eksen üzerindeki spinin izdüşümü , indirgenmiş Planck sabiti birimlerinde nicelenir , öyle ki parçacığın durum fonksiyonu, diyelim ki değil , ancak burada sadece aşağıdaki ayrık kümenin değerlerini alabilir:

Bozonlar (tamsayı dönüşü) ve fermiyonlar (yarım tamsayı dönüşü) ayırt edilir . Etkileşim süreçlerinde korunan toplam açısal momentum, yörünge açısal momentumunun ve spinin toplamıdır.

Pauli matrisleri

Kuantum mekanik operatörler Spin ile ilişkili1/2 gözlenebilirlerin vardır

Kartezyen bileşenlerde nerede

Özel spin durumu için-1/2parçacıklar, σ x , σ y ve σ z , üç Pauli matrisidir :

Pauli dışlama ilkesi

N tane özdeş parçacıktan oluşan sistemler için bu, Pauli dışlama ilkesiyle ilgilidir ; bu ilke , dalga fonksiyonunun , N tane parçacıktan herhangi ikisinin yer değiştirmesi üzerine şu şekilde değişmesi gerektiğini belirtir:

Böylece bozonlar için ön faktör (-1) 2 s +1'e, fermiyonlar için -1'e düşecektir . Kuantum mekaniğinde tüm parçacıklar ya bozon ya da fermiyondur. Bazı spekülatif göreli kuantum alan teorilerinde , bozonik ve fermiyonik bileşenlerin lineer kombinasyonlarının ortaya çıktığı " süpersimetrik " parçacıklar da mevcuttur. İki boyutta, ön faktör (−1) 2 s , anyon'daki gibi herhangi bir karmaşık sayı 1 ile değiştirilebilir .

N- parçacık durum fonksiyonları için yukarıdaki permütasyon varsayımı , günlük yaşamda, örneğin kimyasal elementlerin periyodik tablosunda en önemli sonuçlara sahiptir .

Rotasyonlar

Yukarıda açıklandığı gibi, kuantum mekaniği, herhangi bir yön boyunca ölçülen açısal momentum bileşenlerinin yalnızca birkaç ayrık değer alabileceğini belirtir. Bu nedenle, parçacığın dönüşünün en uygun kuantum-mekanik tanımı, belirli bir eksende kendi içsel açısal momentumunun belirli bir izdüşüm değerini bulmanın genliklerine karşılık gelen bir dizi karmaşık sayıdır. Örneğin, bir spin-1/2parçacık, iki numara gerekir bir ± 1/2 kadar eşit açısal momentumun çıkıntısı ile bulmak genliklerinin vererek +H/2ve -H/2, ihtiyacı karşılayan

Spin ile genel bir parçacık için s , ihtiyacımız 2 s + 1 gibi parametreler. Bu sayılar eksen seçimine bağlı olduğundan, bu eksen döndürüldüğünde önemsiz olmayan bir şekilde birbirlerine dönüşürler. Dönüşüm yasasının lineer olması gerektiği açıktır, bu nedenle onu her bir dönüşle bir matris ilişkilendirerek temsil edebiliriz ve A ve B dönüşlerine karşılık gelen iki dönüşüm matrisinin ürünü, dönüşü temsil eden matrise (faza kadar) eşit olmalıdır. AB. Ayrıca, rotasyonlar kuantum-mekanik iç çarpımı korur ve dönüşüm matrislerimiz de böyle olmalıdır:

Matematiksel olarak, bu matrisler, üniter vermek yansıtmalı temsil ait dönme grubu (3), . Bu tür temsillerin her biri, SU(2) olan SO(3)'ün örtücü grubunun bir temsiline karşılık gelir . SU(2)'nin her boyut için bir n -boyutlu indirgenemez temsili vardır, ancak bu temsil tek n için n -boyutlu gerçek ve hatta n için n -boyutlu karmaşıktır (dolayısıyla gerçek boyut 2 n ). Normal vektörlü düzlemde θ açısıyla bir dönüş için ,

burada ve S , spin operatörlerinin vektörüdür .

(Bir kanıt görmek için sağdaki "göster"e, gizlemek için "gizle"ye tıklayın.)

S x ve S y'nin θ açısı ile birbirlerine döndürüldüklerini göstermek istediğimiz koordinat sisteminde . İle başlayarak S x . ħ = 1 olan birimleri kullanarak :

Spin operatörü komütasyon ilişkilerini kullanarak, komütatörlerin dizideki tek terimler için i S y ve tüm çift terimler için S x olarak değerlendirdiğini görüyoruz . Böylece:

beklenildiği gibi. Yalnızca spin operatörü komütasyon ilişkilerine güvendiğimiz için, bu kanıtın herhangi bir boyut için (yani, herhangi bir ana spin kuantum sayısı s için ) geçerli olduğuna dikkat edin .


3 boyutlu uzayda genel bir döndürme, Euler açıları kullanılarak bu tür operatörlerin birleştirilmesiyle oluşturulabilir :

Bu operatör grubunun indirgenemez bir temsili Wigner D matrisi ile sağlanır :

nerede

olan Wigner'ın küçük D-matris . İçin Not γ = 2π ve α = β = 0 ; yani, z  ekseni etrafında tam bir dönüş , Wigner D-matris elemanları

Genel bir sıkma durumu kesin olan durumların bir üst üste olarak yazılabilir akılda tutarak m , biz eğer bkz s bir tamsayıdır, değerleri m , tam sayı, ve kimlik operatöre bu matris denk gelmektedir. Bununla birlikte, s bir yarı tamsayıysa, m değerlerinin tümü de yarı tam sayılardır, tüm m için (-1) 2 m = -1 verir ve bu nedenle 2 π döndürüldüğünde durum bir eksi işareti alır. Bu gerçek, spin-istatistik teoreminin ispatının çok önemli bir unsurudur .

Lorentz dönüşümleri

Genel Lorentz dönüşümleri altında spin davranışını belirlemek için aynı yaklaşımı deneyebiliriz , ancak hemen büyük bir engel keşfederiz. (3), Lorentz grup dönüşümleri aksine , SO (3,1) olan kompakt olmayan bir sadık bir, birimsel, sonlu boyutlu resmini de sahip değildir ve bu nedenle.

Spin durumunda-1/2parçacıklar, hem sonlu boyutlu bir temsili hem de bu temsil tarafından korunan bir skaler ürünü içeren bir yapı bulmak mümkündür. Her parçacıkla 4 bileşenli bir Dirac spinor ψ ilişkilendiririz. Bu spinörler, yasaya göre Lorentz dönüşümleri altında dönüşürler.

burada , y v ^ olan gama matrisler ve co μν dönüşümü parametrizasyonunu antisimetrik 4 x 4 matrisidir. skaler çarpım gösterilebilir.

Korundu. Bununla birlikte, pozitif-belirli değildir, bu nedenle temsil üniter değildir.

x , y veya z eksenleri boyunca spin ölçümü

( Hermitian ) Pauli spin matrislerinin her biri1/2parçacıkların +1 ve -1 olmak üzere iki öz değeri vardır . Karşılık gelen normalize özvektörler olan

(Sabit ile çarpılan herhangi bir özvektör hala bir özvektör olduğundan, genel işaret hakkında belirsizlik vardır. Bu makalede, bir işaret belirsizliği varsa ilk öğeyi hayali ve negatif yapmak için kural seçilmiştir. SymPy gibi yazılımlar ; Sakurai ve Griffiths gibi birçok fizik ders kitabı onu gerçek ve olumlu hale getirmeyi tercih ederken.)

Tarafından kuantum mekaniği önermeleriyle , bir deney elektron döndürme ölçmek için tasarlanmış x , y , ya da Z  (eksen yalnızca karşılık gelen sıkma operatörünün bir özdeğeri verebilmesidir S x , G y veya S z bu eksen, yani üzerine)H/2veya -H/2. Kuantum durumu (Spin göre) bir parçacığın, bir iki-bileşenli ile temsil edilebilir spinor :

Bu parçacığın dönüşü belirli bir eksene göre ölçüldüğünde (bu örnekte, x  ekseni), dönüşünün şu şekilde ölçülme olasılığı:H/2sadece . Buna uygun olarak, dönüşünün şu şekilde ölçülme olasılığı -H/2sadece . Ölçümün ardından, parçacığın spin durumu karşılık gelen öz duruma çöker . Sonuç olarak, eğer parçacığın belirli bir eksen boyunca dönüşü, belirli bir özdeğere sahip olacak şekilde ölçülürse, diğer eksenler boyunca hiçbir dönüş ölçümü yapılmaması koşuluyla , tüm ölçümler aynı özdeğeri (çünkü , vb.) verecektir .

İsteğe bağlı bir eksen boyunca dönüş ölçümü

İsteğe bağlı bir eksen yönü boyunca dönüşü ölçecek operatör, Pauli dönüş matrislerinden kolaylıkla elde edilebilir. Let U (= u x , u y , u Z ) keyfi birim vektör. O zaman bu yönde döndürme operatörü basitçe

S u operatörü ± özdeğerlere sahiptirH/2, tıpkı normal spin matrisleri gibi. Rastgele bir yönde dönüş için operatörü bulma yöntemi, daha yüksek dönüş durumlarına genelleştirir, üç x -, y -, z ekseni yönleri için üç operatörün bir vektörü ile yönün nokta çarpımı alınır .

Spin için normalleştirilmiş bir spinor-1/2içinde ( u x , u y , u z ) Spin aşağı, dışındaki tüm spin durumları için çalışır yönü (o verecektir nerede0/0) NS

Yukarıdaki spinor, σ u matrisinin köşegenleştirilmesi ve özdeğerlere karşılık gelen özdurumların bulunmasıyla olağan yolla elde edilir . Kuantum mekaniğinde vektörler, bir normalleştirme faktörü ile çarpıldığında "normalize" olarak adlandırılır ve bu, vektörün birlik uzunluğuna sahip olmasıyla sonuçlanır.

Spin ölçümlerinin uyumluluğu

Pauli matrisleri değişmediği için , farklı eksenler boyunca spin ölçümleri uyumsuzdur. Bu, örneğin, x  ekseni boyunca dönüşü biliyorsak ve daha sonra y  ekseni boyunca dönüşü ölçersek, önceki x  ekseni dönüşü bilgimizi geçersiz kıldığımız anlamına gelir. Bu, Pauli matrislerinin özvektörlerinin (yani özdurumların) özelliğinden görülebilir.

Ne zaman fizikçiler boyunca bir parçacığın bir spin ölçen X  örneğin olarak eksen,H/2, parçacığın spin durumu öz duruma çöker . Daha sonra parçacığın y  ekseni boyunca dönüşünü daha sonra ölçtüğümüzde, dönüş durumu şimdi her biri olasılıkla ya da şeklinde çökecektir.1/2. Diyelim ki, örneğimizde ölçtüğümüz -H/2. Şimdi parçacığın x  ekseni boyunca dönüşünü tekrar ölçmek için döndüğümüzde, ölçeceğimiz olasılıklarH/2veya -H/2 her biri 1/2(yani onlar ve sırasıyla). Bu, x  ekseni boyunca dönüşün orijinal ölçümünün artık geçerli olmadığı anlamına gelir , çünkü x  ekseni boyunca dönüş şimdi her iki özdeğere eşit olasılıkla sahip olacak şekilde ölçülecektir.

Daha yüksek dönüşler

spin-1/2operatör S =H/2σ , SU(2)' nin temel temsilini oluşturur. Bu temsilin Kronecker ürünlerini tekrar tekraralarak, tüm daha yüksek indirgenemez temsiller oluşturulabilir. Yani,üç uzaysal boyutta daha yüksek spinli sistemler içinelde edilen spin operatörleri ,bu spin operatörü ve merdiven operatörleri kullanılarakkeyfi olarak büyük s için hesaplanabilir. Örneğin, iki eğirmenin Kronecker çarpımını almak1/23-boyutlu bir spin-1 ( üçlü durumlar ) ve bir 1-boyutlu bir spin-0 temsili ( singlet durumu ) olarak ayrılabilen dört boyutlu bir temsil verir .

Elde edilen indirgenemez temsiller, z-temelinde aşağıdaki spin matrislerini ve özdeğerleri verir:

  1. Spin 1 için onlar
  2. döndürmek için 3/2 onlar
  3. döndürmek için 5/2 onlar
  4. Keyfi spin için bu matrislerin genelleme ler DİR

    burada indeksler tamsayılardır, öyle ki

Ayrıca yararlı olan kuantum mekaniği çok cisim sistemleri, genel Pauli grubu G , n , tüm oluşur olarak tanımlanır , n kat tensör Pauli matrislerin ürünleri.

Pauli matrisleri cinsinden Euler formülünün analog formülü

daha yüksek dönüşler için izlenebilir, ancak daha az basittir.

parite

Çekirdekler veya parçacıklar için spin kuantum sayısı s tablolarında, spini genellikle bir "+" veya "-" izler. Bu, çift parite için "+" (uzaysal ters çevirme ile değişmeyen dalga fonksiyonu) ve tek parite için "-" (uzamsal ters çevirme ile olumsuzlanan dalga fonksiyonu) ile pariteyi ifade eder. Örneğin, izotop listesinin sütun nükleer spinini ve paritesini içerdiği bizmut izotoplarına bakın . Tek kararlı izotop olan Bi-209 için, 9/2– girişi, nükleer dönüşün 9/2 olduğu ve paritenin tek olduğu anlamına gelir.

Uygulamalar

Spin'in önemli teorik çıkarımları ve pratik uygulamaları vardır. İyi kurulmuş doğrudan spin uygulamaları şunları içerir:

Elektron dönüşü , örneğin bilgisayar hafızalarındaki uygulamalarla manyetizmada önemli bir rol oynar . Nükleer spinin radyo frekansı dalgaları ( nükleer manyetik rezonans ) ile manipülasyonu, kimyasal spektroskopi ve tıbbi görüntülemede önemlidir.

Spin-yörünge eşleşmesi , atomik saatlerde ve saniyenin modern tanımında kullanılan atomik spektrumların ince yapısına yol açar . Elektronun g- faktörünün hassas ölçümleri , kuantum elektrodinamiğinin geliştirilmesinde ve doğrulanmasında önemli bir rol oynamıştır . Foton sıkma ile ilişkili polarizasyon ışık (bir foton kutuplaşma ).

Spinin ortaya çıkan bir uygulaması, spin transistörlerinde ikili bir bilgi taşıyıcısıdır . 1990'da önerilen orijinal konsept, Datta-Das spin transistörü olarak bilinir . Spin transistörlerine dayalı elektroniklere spintronics denir . Spin manipülasyonu seyreltik manyetik iletken malzeme , metal katkılı olarak, ZnO ya da TiO 2 veren bir özgürlük ileri derece ve daha verimli elektronik parçasının imalatını kolaylaştırmak için potansiyele sahiptir.

Periyodik kimya tablosundan başlayarak , spinin ve ilişkili Pauli dışlama ilkesinin birçok dolaylı uygulaması ve tezahürü vardır .

Tarih

Wolfgang Pauli ders veriyor

Spin ilk olarak alkali metallerin emisyon spektrumu bağlamında keşfedildi . 1924'te Wolfgang Pauli , en dış kabuktaki elektronla ilişkili "klasik olarak tanımlanamayan iki değerlilik" adını verdiği şeyi tanıttı . Bu , aynı kuantum sisteminde iki elektronun aynı kuantum durumuna sahip olamayacağını belirten Pauli dışlama ilkesini formüle etmesine izin verdi .

Pauli'nin "serbestlik derecesi"nin fiziksel yorumu başlangıçta bilinmiyordu. Landé'nin yardımcılarından biri olan Ralph Kronig , 1925'in başlarında elektronun kendi kendine dönmesiyle üretildiğini öne sürdü. Pauli bu fikri duyduğunda , gerekli açısal momentumu üretecek kadar hızlı dönmesi için elektronun varsayımsal yüzeyinin ışık hızından daha hızlı hareket etmesi gerektiğini belirterek, onu sert bir şekilde eleştirdi . Bu görelilik teorisini ihlal ederdi . Büyük ölçüde Pauli'nin eleştirisi nedeniyle, Kronig fikrini yayınlamamaya karar verdi.

1925 sonbaharında , Leiden Üniversitesi'ndeki Hollandalı fizikçiler George Uhlenbeck ve Samuel Goudsmit'e aynı düşünce geldi . Paul Ehrenfest'in tavsiyesi altında sonuçlarını yayınladılar. Özellikle Llewellyn Thomas , deneysel sonuçlar ile Uhlenbeck ve Goudsmit'in hesaplamaları (ve Kronig'in yayınlanmamış sonuçları) arasındaki iki faktörlü bir uyuşmazlığı çözmeyi başardıktan sonra olumlu bir yanıtla karşılaştı . Bu tutarsızlık, konumuna ek olarak elektronun teğet çerçevesinin oryantasyonundan kaynaklanıyordu.

Matematiksel olarak konuşursak, bir lif demeti açıklaması gereklidir. Teğet demeti sonuç, özellikle katkı ve göreceli olduğu; yani c sonsuza giderse yok olur . Teğet-uzay oryantasyonu dikkate alınmadan, ancak zıt işaretli olarak elde edilen değerin yarısıdır. Böylece birleşik etki, ikincisinden iki faktör kadar farklıdır ( Thomas presesyon , Ludwik Silberstein tarafından 1914'te bilinir ).

İlk itirazlarına rağmen Pauli, 1927'de Schrödinger ve Heisenberg tarafından icat edilen modern kuantum mekaniği teorisini kullanarak spin teorisini resmileştirdi . Spin operatörlerinin bir temsili olarak Pauli matrislerinin kullanımına öncülük etti ve iki bileşenli bir spinor dalga fonksiyonunu tanıttı . Uhlenbeck ve Goudsmit, spini klasik rotasyondan kaynaklanan bir şey olarak ele alırken, Pauli spinin klasik olmayan ve içsel bir özellik olduğunu vurguladı.

Pauli'nin spin teorisi göreceli değildi. Ancak, 1928'de Paul Dirac , göreli elektronu tanımlayan Dirac denklemini yayınladı . Dirac denkleminde, elektron dalga fonksiyonu için dört bileşenli bir spinor (" Dirac spinor " olarak bilinir ) kullanıldı. Göreceli spin, ilk olarak 1914'te Samuel Jackson Barnett tarafından gözlemlenen (geçmişe bakıldığında) gyromanyetik anomaliyi açıkladı (bkz. Einstein-de Haas etkisi ). 1940'ta Pauli , fermiyonların yarım tamsayılı ve bozonların tamsayılı spinlere sahip olduğunu belirten spin-istatistik teoremini kanıtladı .

Geriye dönüp bakıldığında, elektron spininin ilk doğrudan deneysel kanıtı 1922'deki Stern-Gerlach deneyiydi. Ancak bu deneyin doğru açıklaması ancak 1927'de verildi.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

  • Sin-Itiro Tomonaga, Spin'in Öyküsü, 1997

Dış bağlantılar