Değişkenlerde hata modelleri - Errors-in-variables models

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\hat {K}}(n_{1},n_{2}+1)}{{\hat {K}}(n_{1} +1,n_{2})}},\quad n_{1},n_{2}>0,}$

burada ( n ₁ , n ₂ ) K ( n ₁ +1, n ₂ ) — (

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}) })(y_{t}-{\bar {y}})^{2}}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}- {\bar {x}})^{2}(y_{t}-{\bar {y}})}}\ .}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X{\big )}^{-1}X'Z(Z'Z )^{-1}Z'y.}$

${\displaystyle x_{t}^{*}=\pi _{0}'z_{t}+\sigma _{0}\zeta _{t},}$

burada π ₀ ve σ ₀ (bilinmeyen) sabit matrislerdir ve ζ _t ⊥ z _t . π ₀ katsayısı ,

${\displaystyle f_{\zeta }(v;\,\gamma )=\phi (v)\,\textstyle \sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v^{j }}$

burada φ olan standart normal dağılım.

Simüle edilen anlar, önem örnekleme algoritması kullanılarak hesaplanabilir : önce standart normal dağılımdan birkaç rastgele değişken { v _ts ~ ϕ , s = 1,…, S , t = 1,…, T } üretiriz, sonra anları hesaplarız de t olarak inci gözlem

${\displaystyle m_{t}(\theta )=A(z_{t}){\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}H(x_{t},y_{ t},z_{t},v_{ts};\theta )\sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v_{ts}^{j},}$

burada θ = ( β , σ , γ ), A z araç değişkenlerinin sadece bir fonksiyonudur ve H iki bileşenli bir moment vektörüdür

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&H_{1}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=y_{t}-g({\hat {\ pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta ),\\&H_{2}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta ) =z_{t}y_{t}-({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts})g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta )\end{hizalı}}}$

${\displaystyle \operatöradı {E} [\,y_{t}|x_{t}\,]=\int g(x_{t}^{*},\beta )f_{x^{*}|x} (x_{t}^{*}|x_{t})dx_{t}^{*},}$

koşullu yoğunluk fonksiyonunu ƒ _x*|x bilseydik, integrali hesaplamak mümkün olurdu . Bu fonksiyon bilinebilir veya tahmin edilebilirse, problem, örneğin NLLS yöntemi kullanılarak tahmin edilebilen standart doğrusal olmayan regresyona dönüşür .
Sadelik açısından, varsayarsak η ₁ , r ₂ aynı dağıtılır, bu koşullu yoğunluğu aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

${\displaystyle {\hat {f}}_{x^{*}|x}(x^{*}|x)={\frac {{\hat {f}}_{x^{*}}( x^{*})}{{\hat {f}}_{x}(x)}}\prod _{j=1}^{k}{\hat {f}}_{\eta _{j }}{\big (}x_{j}-x_{j}^{*}{\big )},}$

burada x _j , bir vektörün j -inci bileşenini belirtir .
Bu formüldeki tüm yoğunluklar, ampirik karakteristik fonksiyonların ters çevrilmesi kullanılarak tahmin edilebilir . Özellikle,

${\displaystyle {\başlangıç{hizalanmış}&{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(v)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x_{j}} (v,0)}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)}},\quad {\text{nerede }}{\hat {\varphi }}_ {x_{j}}(v_{1},v_{2})={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}e^{iv_{1}x_{1tj }+iv_{2}x_{2tj}},\\{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)=\exp \int _{0}^{v}{ \frac {\partial {\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})/\partial v_{1}}{{\hat {\varphi }}_{x_{j }}(0,v_{2})}}dv_{2},\\&{\hat {\varphi }}_{x}(u)={\frac {1}{2T}}\sum _{ t=1}^{T}{\Big (}e^{iu'x_{1t}}+e^{iu'x_{2t}}{\Big )},\quad {\hat {\varphi }} _{x^{*}}(u)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x}(u)}{\prod _{j=1}^{k}{\hat {\ varphi }}_{\eta _{j}}(u_{j})}}.\end{hizalı}}}$

Bu karakteristik fonksiyonu tersine çevirmek için, sayısal kararlılığı sağlamak için gerekli olan bir kırpma parametresi C ile ters Fourier dönüşümü uygulanmalıdır . Örneğin:

${\displaystyle {\hat {f}}_{x}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{k}}}\int _{-C}^{C}\cdots \ int _{-C}^{C}e^{-iu'x}{\hat {\varphi }}_{x}(u)du.}$

${\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\beta _{j}g_{j}(x_{t}^{*})+\ toplam _{j=1}^{\ell }\beta _{k+j}w_{jt}+\varepsilon _{t},\\x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{durumlar}}}$

burada w _t hatasız ölçülen değişkenleri temsil eder. Buradaki x* regresörü skalerdir (yöntem x* vektörü durumuna da genişletilebilir ).
Ölçüm hataları olmasaydı, bu tahmin edici ile standart bir doğrusal model olurdu.

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}{\hat {\operatöradı {E} }}[\,\xi _{t}\xi _{t}'\,]{\big )}^{-1}{\hat {\operatöradı {E} }}[\,\xi _{t}y_{t}\,],}$

nerede

${\displaystyle \xi _{t}'=(g_{1}(x_{t}^{*}),\cdots ,g_{k}(x_{t}^{*}),w_{1,t },\cdots ,w_{l,t}).}$

Bu formüldeki tüm beklenen değerlerin aynı ters evrişim hilesi kullanılarak tahmin edilebilir olduğu ortaya çıktı. Özellikle, genel bir gözlemlenebilir w _t (1, w _{1 t} , …, w _{ℓ t} veya y _{t olabilir} ) ve bazı h işlevi (herhangi bir g _j veya g _i g _{j 'yi} temsil edebilir ) için elimizde

${\displaystyle \operatöradı {E} [\,w_{t}h(x_{t}^{*})\,]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty } ^{\infty }\varphi _{h}(-u)\psi _{w}(u)du,}$

burada φ _h olan Fourier dönüşümü ve h ( x * ), ancak aynı sistem kullanılarak karakteristik fonksiyonları ,

${\displaystyle \varphi _{h}(u)=\int e^{iux}h(x)dx}$,

ve

${\displaystyle \psi _{w}(u)=\operatöradı {E} [\,w_{t}e^{iux^{*}}\,]={\frac {\operatöradı {E} [w_{ t}e^{iux_{1t}}]}{\operatöradı {E} [e^{iux_{1t}}]}}\exp \int _{0}^{u}i{\frac {\operatöradı { E} [x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\operatöradı {E} [e^{ivx_{1t}}]}}dv}$

${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\beta }}}$

${\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {{\hat {\operatör adı {E} }}[\,y_{t}K_{h}(x_{t}^{*}- x)\,]}{{\hat {\operatör adı {E} }}[\,K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}},}$