kümülat - Cumulant

Gelen olasılık teorisi ve istatistik , kumulantları κ _n a olasılık dağılımı için bir alternatif sağlar miktarlarda kümesidir anları dağılımının. Momentler, momentleri aynı olan herhangi iki olasılık dağılımının da aynı kümülantlara sahip olacağı anlamında kümülantları belirler ve benzer şekilde kümülantlar da momentleri belirler.

Birinci kümülant ortalamadır , ikinci kümülant varyanstır ve üçüncü kümülant üçüncü merkezi momentle aynıdır . Ancak dördüncü ve daha yüksek dereceli birikimler, merkezi momentlere eşit değildir. Bazı durumlarda, problemlerin kümülant cinsinden teorik tedavisi, moment kullananlardan daha basittir. İki ya da daha çok rastgele değişkenler Özellikle de, istatistiksel olarak bağımsız , N ^inci mertebeden kümülant bunların toplamı bunların toplamı eşittir n ^inci mertebeden kümülantların. Ayrıca normal bir dağılımın üçüncü ve daha yüksek dereceli birikimleri sıfırdır ve bu özelliğe sahip tek dağılımdır.

Sadece anları, gelince müşterek anlar rastgele değişkenlerin koleksiyonları için kullanılır, tanımlamak mümkündür ortak cumulant'larının .

Tanım

Rastgele değişkenin kümülant X kullanılarak tanımlanır kümülant üreten işlevi K ( t ) olup, doğal logaritma bir anı üreten fonksiyonu :

${\displaystyle K(t)=\log \operatöradı {E} \sol[e^{tX}\sağ].}$

Kümülantlar κ _n , birikim oluşturma fonksiyonunun bir güç serisi açılımından elde edilir:

${\displaystyle K(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\kappa _{1}{ \frac {t}{1!}}+\kappa _{2}{\frac {t^{2}}{2!}}+\kappa _{3}{\frac {t^{3}}{ 3!}}+\cdots =\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}$

Bu genişleme a, Maclaurın serileri , yani , n -inci kümülant Yukarıdaki genişleme farklılaştırarak elde edilebilir , n kere ve sıfırda sonucu değerlendirmek:

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0).}$

Moment üreten fonksiyon yoksa, kümülantlar, kümülantlar ve daha sonra tartışılacak olan momentler arasındaki ilişki açısından tanımlanabilir.

Kümülant üreten fonksiyonun alternatif tanımı

Bazı yazarlar kümülatif üreten fonksiyonu , bazen ikinci karakteristik fonksiyon olarak da adlandırılan karakteristik fonksiyonun doğal logaritması olarak tanımlamayı tercih ederler.

${\displaystyle H(t)=\log \operatöradı {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac { (it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots }$

Bir avantajı, H ( t ) bir anlamda fonksiyonu -in K ( t ) tamamen hayali değerlendirildi argüman-olan E [ e ^ITX ] de, tüm gerçek değerler için tanımlandığı t bile e [ e ^tX ] iyi tanımlanmamıştır t'nin tüm gerçek değerleri için , örneğin X'in büyük bir büyüklüğe sahip olduğu "çok fazla" olasılık olduğunda ortaya çıkabilir . Fonksiyonu olmasına rağmen , H ( t ) de tanımlanacaktır, bu olacak yine mimik K ( t ) kendi uzunluğu açısından Maclaurın seri bağımsız değişken sırayla doğrusal bir (hatta, nadiren veya) daha ileriye uzanmayabilir,  t , ve özellikle iyi tanımlanmış birikimlerin sayısı değişmeyecektir. Bununla birlikte, H ( t ) uzun bir Maclaurin serisine sahip olmadığında bile, doğrudan analizde ve özellikle rasgele değişkenlerin eklenmesinde kullanılabilir. Hem Cauchy dağılımı (Lorentzian olarak da adlandırılır) hem de daha genel olarak, kararlı dağılımlar (Lévy dağılımı ile ilgili), üretici fonksiyonların güç serisi açılımlarının yalnızca sonlu sayıda iyi tanımlanmış terime sahip olduğu dağılımların örnekleridir.

İstatistiklerdeki kullanımlar

Kümülantlarla çalışmak, momentleri kullanmaya göre bir avantaja sahip olabilir, çünkü istatistiksel olarak bağımsız rastgele değişkenler X ve Y için ,

${\displaystyle {\begin{hizalı}K_{X+Y}(t)&=\log \operatöradı {E} \left[e^{t(X+Y)}\sağ]\\[5pt]&= \log \left(\operatöradı {E} \sol[e^{tX}\sağ]\operatöradı {E} \sol[e^{tY}\sağ]\sağ)\\[5pt]&=\log \ operatöradı {E} \sol[e^{tX}\sağ]+\log \operatöradı {E} \sol[e^{tY}\sağ]\\[5pt]&=K_{X}(t)+K_ {Y}(t),\son{hizalanmış}}}$

böylece bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının her bir toplamı, eklerin karşılık gelen birikimlerinin toplamı olur . Yani, ekler istatistiksel olarak bağımsız olduğunda, toplamın ortalaması ortalamaların toplamıdır, toplamın varyansı varyansların toplamıdır, toplamın üçüncü kümülatı (üçüncü merkezi moment olur) üçüncü kümülantların toplamıdır ve her kümülat sırası için böyle devam eder.

κ _n kümülatı verilen bir dağılım, bir Edgeworth serisi aracılığıyla yaklaşık olarak hesaplanabilir .

Bazı ayrık olasılık dağılımlarının birikimleri

• Sabit rastgele değişkenler X = μ . Kümülant üreten fonksiyon K ( t ) = μt'dir . İlk kümülant κ ₁ = K  '(0) = μ ve diğer kümülantlar sıfır, κ ₂ = κ ₃ = κ ₄ = ... = 0 .
• Bernoulli dağılımı , (olasılık ile bir çalışmada başarı sayısı p başarı). Kümülant üreten fonksiyon K ( t ) = log(1 −  p  +  p e ^t ) şeklindedir . İlk birikimler κ ₁ = K  '(0) = p ve κ ₂ = K′′ (0) = p ·(1 −  p ) 'dir . Kümülantlar bir özyineleme formülünü karşılar

${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}$

• Geometrik dağılımlar , (olasılık ile bir başarı önce arızaların sayısı p , her bir denemede başarı). Kümülant üreten fonksiyon K ( t ) = log( p / (1 + ( p  − 1)e ^t )) şeklindedir . İlk birikimler κ ₁ = K′ (0) = p ^-1 − 1 ve κ ₂ = K′′ (0) = κ ₁ p ^−1'dir . İkame p = ( μ + 1) ^-1 verir K ( t ) = -log (1 + μ (1-e ^t )) ve κ ₁ = μ .
• Poisson dağılımları . Kümülant üreten fonksiyon K ( t ) = μ (e ^t  − 1) şeklindedir . Tüm birikimler şu parametreye eşittir: κ ₁ = κ ₂ = κ ₃ = ... = μ .
• Binom dağılımları , (içinde başarı sayısı , n bağımsız olasılığı ile yapılan denemelerde , p , her bir denemede başarı). Özel durum n = 1 bir Bernoulli dağılımıdır. Her birikim, karşılık gelen Bernoulli dağılımının karşılık gelen toplamının sadece n katıdır. Kümülant üreten fonksiyon K ( t ) = n  log(1 −  p  +  p e ^t ) şeklindedir . İlk birikimler κ ₁ = K′ (0) = np ve κ ₂ = K′′ (0) = κ ₁ (1 - p ) şeklindedir . İkame p = μ · n ^-1 verir K  '( t ((μ) = ^-1 - n ^-1 ) · E ^{- t} + n ^-1 ) ^-1 ve κ ₁ = μ . Sınırlayıcı durum n ^-1 = 0 bir Poisson dağılımıdır.
• Negatif binom dağılımları , (daha önce arızaların sayısı r olasılığı ile başarıları p , her bir denemede başarı). Özel durum r = 1 geometrik bir dağılımdır. Her birikim, karşılık gelen geometrik dağılımın karşılık gelen toplamının sadece r katıdır. Kümülant üreten fonksiyonun türevi K  '( t ) =  r ·((1 −  p ) ⁻¹ ·e ^{− t} −1) ^−1'dir . İlk birikimler κ ₁  =  K  '(0) =  r ·( p ^-1 -1) ve κ ₂  =  K  ' '(0) = κ ₁ · p ^-1 . İkame p  = (μ · r ^-1 1) ^-1 verir K ' ( t ) = (( μ ^-1 + r ^-1 ) E ^{- t} - r ^-1 ) ^-1 ve κ ₁ = μ . Bu formülleri binom dağılımlarınınkilerle karşılaştırmak, 'negatif binom dağılımı' adını açıklar. Sınırlayıcı durumda r ^-1 = 0 Poisson dağılımıdır.

Varyans-ortalama oranının tanıtılması

${\displaystyle \varepsilon =\mu ^{-1}\sigma ^{2}=\kappa _{1}^{-1}\kappa _{2},}$

yukarıdaki olasılık dağılımları, birikim üreten fonksiyonun türevi için birleşik bir formül elde eder:

${\displaystyle K'(t)=\mu \cdot (1+\varepsilon \cdot (e^{-t}-1))^{-1}.}$

İkinci türev ise

${\displaystyle K''(t)=g'(t)\cdot (1+e^{t}\cdot (\varepsilon ^{-1}-1))^{-1}}$

birinci kümülatı κ ₁ = K′ (0) = μ ve ikinci kümülatı κ ₂ = K′′ (0) = με olduğunu doğrulamak . Sabit rastgele değişkenler X = μ sahip ε = 0 . Binom dağılımları ε = 1 − p'ye sahiptir, böylece 0 < ε < 1 olur . Poisson dağılımları ε = 1'dir . Negatif binom dağılımları ε = p ^{−1'e sahiptir,} böylece ε > 1 olur . Konik bölümlerin eksantrikliğe göre sınıflandırılmasına benzetmeye dikkat edin : daireler ε = 0 , elipsler 0 < ε < 1 , paraboller ε = 1 , hiperboller ε > 1 .

Bazı sürekli olasılık dağılımlarının birikimleri

• Beklenen değeri μ ve varyansı σ ² olan normal dağılım için , kümülant üreten fonksiyon K ( t ) = μt + σ ² t ² /2'dir . Birikim üretme fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri K  '( t ) =  μ  +  σ ² · t ve K "( t ) =  σ ^2'dir . Kümülantlar κ ₁  =  μ , κ ₂  =  σ ² ve κ _3'tür.  =  κ ₄  = ... = 0. σ ²  = 0 özel durumu , X  =  μ sabit bir rastgele değişkendir .
• Arasında kümülant düzgün dağılımı aralığına [-1, 0] olarak κ _n = B _{, n} / n , B _{, n} olup , n ^inci Bernoulli sayısı .
• Arasında kümülant üstel dağılımı parametresi λ olan κ _n = λ ^{- N}  ( N  - 1)! .

Kümülant üreten fonksiyonun bazı özellikleri

Kümülant üreten fonksiyon K ( t ) varsa, sonsuz türevlenebilir ve dışbükeydir ve orijinden geçer. Monoton olarak açık aralığında İlk türev aralıkları infimum için Supremum bunun haricinde tanımlandığı gibidir, her yerde olasılık dağılımının desteğin ve ikinci türevi kesinlikle pozitiftir dejenere dağılımı tek nokta kütlesinin. Kümülant oluşturma işlevi, yalnızca ve yalnızca dağılımın kuyrukları üstel bir azalma ile majörleştirilirse , yani, ( bkz. Büyük O notasyonu ) mevcuttur.

${\displaystyle {\begin{hizalı}&\vardır c>0,\,\,F(x)=O(e^{-cx}),x\to -\infty ;{\text{ ve}}\ \[4pt]&\vardır d>0,\,\,1-F(x)=O(e^{-dx}),x\to +\infty ;\end{hizalı}}}$

burada bir kümülatif dağılım fonksiyonu . Kümülant üreten fonksiyonu olacaktır dikey asimptotuna de (ler) infimum gibi bir c böyle bir infimum varsa, ve en Supremum gibi bir d böyle bir sup varsa, aksi takdirde her gerçek sayılar için tanımlanacaktır. ${\görüntüleme stili F}$

Eğer destek , bir rastgele değişkenin X sonlu üst ya da alt sınır, daha sonra kümülant üreten fonksiyonuna sahip y  =  K ( t ) eğer varsa, yaklaşımlar asimptotuna eğimi arasında Supremum ve / veya infimum eşittir (lar) destek,

${\displaystyle {\begin{hizalı}y&=(t+1)\inf \operatöradı {supp} X-\mu (X),{\text{ ve}}\\[5pt]y&=(t-1) \sup \operatöradı {supp} X+\mu (X),\end{hizalı}}}$

sırasıyla, her yerde bu çizgilerin her ikisinin de üzerinde uzanıyor. ( entegraller

${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}\left[t\inf \operatör adı {supp} X-K'(t)\sağ]\,dt,\qquad \int _{\infty }^ {0}\left[t\inf \operatöradı {supp} X-K'(t)\sağ]\,dt}$

verim y -intercepts olduğundan, bu gibi Asimptotun  K (0)) 0 değerini =

Dağılımın kayması için c , bir dejenere noktası kütlesi için c , KGF düz bir çizgi olup , ve daha genel olarak, ancak ve ancak X ve Y'nin bağımsız olarak ve KGF'ler bulunmaktadır; ( bağımsızlık ve ikinci anların varlığı bağımsızlığı ima etmeye yeterlidir .) ${\displaystyle K_{X+c}(t)=K_{X}(t)+ct.}$${\displaystyle K_{c}(t)=ct}$${\displaystyle K_{X+Y}=K_{X}+K_{Y}}$

Doğal üstel aile bir dağılım kaydırılması ya da çeviri ile gerçekleştirilebilir K ( t ), ve dikey olarak bu nedenle her zaman başlangıç noktasından geçtiği ayarlayarak: Eğer f pdf KGF ile ve onun doğal üstel aile, o zaman ve${\displaystyle K(t)=\log M(t),}$${\görüntüleme stili f|\teta}$${\displaystyle f(x\mid \theta )={\frac {1}{M(\theta )}}e^{\theta x}f(x),}$${\displaystyle K(t\orta \teta )=K(t+\teta )-K(\teta ).}$

Eğer K ( t ), bir aralığı için sonlu t ₁  <Re ( t ) <  t ₂ daha sonra ise t ₁  <0 <  t ₂ daha sonra K ( t ), analitik ve için sonsuz olarak ayırt edilebilirdir t ₁  <Re ( t ) <  t ₂ . Ayrıca t real ve t ₁  <  t  <  t _{2 için} K ( t ) kesinlikle dışbükeydir ve K '( t ) kesinlikle artmaktadır.

Kümülantların bazı özellikleri

Değişmezlik ve denklik

Birinci kümülant, kaydırmalı eşdeğerdir ; diğerlerinin tümü kayma değişmezdir . Biz tarafından gösterdiği takdirde, bu araçlar k _{, n} ( x ) n- rastgele değişken olasılık dağılımının inci kümülant X , daha sonra herhangi bir sabit için c :

• ${\displaystyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c~{\text{ ve}}}$
• ${\displaystyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X)~{\text{ for }}~n\geq 2.}$

Başka bir deyişle, rastgele bir değişkeni kaydırmak ( c eklemek ) ilk kümülatı (ortalama) değiştirir ve diğerlerini etkilemez.

homojenlik

N -inci kümülant derece homojen olduğu , n , örneğin, eğer C daha sonra herhangi bir sabittir,

${\displaystyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X).}$

toplanabilirlik

Eğer X ve Y'nin olan bağımsız daha sonra rastgele değişkenler κ _N ( X  +  Y ) =  κ _n ( x ) +  κ _n ( Y ) .

olumsuz bir sonuç

Normal dağılımın kümülantları için sonuçlar göz önüne alındığında, bazı m  > 3 için κ _m  =  κ _{m +1}  = ⋯ = 0 olan dağılım ailelerini , daha düşük mertebeden kümülantlarla (derece 3 ila m) bulmak umulabilir.  − 1 ) sıfırdan farklı olmak. Böyle bir dağıtım yok. Buradaki temel sonuç, birikim üreten fonksiyonun 2'den büyük dereceli sonlu dereceli bir polinom olamayacağıdır.

Kümülantlar ve anlar

Moment kavramı ile elde edilir:

${\displaystyle M(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left (\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\sağ)=\exp(K(t)).}$

Yani kümülatif üreten fonksiyon, moment üreten fonksiyonun logaritmasıdır.

${\displaystyle K(t)=\log M(t).}$

İlk kümülant beklenen değerdir ; ikinci ve üçüncü kümülantlar sırasıyla ikinci ve üçüncü merkezi momentlerdir (ikinci merkezi moment varyanstır ); fakat daha yüksek kümülantlar ne momentler ne de merkezi momentlerdir, daha çok momentlerin daha karmaşık polinom fonksiyonlarıdır.

Anlar değerlendirerek kümülantların açısından geri kazanılabilir n türevi inci de , ${\görüntüleme stili \exp(K(t))}$${\görüntüleme stili t=0}$

${\displaystyle \mu '_{n}=M^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\exp(K(t))}{\mathrm {d} t^{n}}}\sağ|_{t=0}.}$

Aynı şekilde, kümülantlar, at , ${\görüntüleme stili \log M(t)}$${\görüntüleme stili t=0}$

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\sol.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\log M(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\sağ|_{t=0}.}$

İçin açık bir ifade N ilk açısından inci an , n kümülantların ve tersi, kullanılarak elde edilebilir Faà di Bruno formülü bileşke fonksiyonun daha türevleri. Genel olarak, sahip olduğumuz

${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-k+1} )}$

${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{ 1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}),}$

nerede eksik (veya kısmi) Bell polinomları . ${\ Displaystyle B_{n,k}}$

Benzer şekilde, ortalama ile verilirse , merkezi moment üretme fonksiyonu ile verilir. ${\görüntüleme stili \mu }$

${\displaystyle C(t)=\operatöradı {E} [e^{t(x-\mu )}]=e^{-\mu t}M(t)=\exp(K(t)-\mu T),}$

ve n, merkezi an inci kümülantların terimler olarak elde edilir

${\displaystyle \mu _{n}=C^{(n)}(0)=\sol.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}} }\exp(K(t)-\mu t)\right|_{t=0}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0,\kappa _{2} ,\ldots ,\kappa _{n-k+1}).}$

Ayrıca, n  > 1 için, merkezi momentler açısından n -inci kümülatı şu şekildedir:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\kappa _{n}&=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d } t^{n}}}(\log C(t)+\mu t)\right|_{t=0}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(- 1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(0,\mu _{2},\ldots ,\mu _{n-k+1}).\end{hizalı} }}$

N -inci an μ ' _n is an , n ilk inci derece polinom n kümülantların. İlk birkaç ifade şunlardır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\ kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{ 1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2} ^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\ kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2 }+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\ [5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15 \kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20 \kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1 }^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\end{hizalı}}}$

"Asal" anlar ayıran u ' _n dan momentler μ _n . Merkezi momentleri kümülantların fonksiyonları olarak ifade etmek için , κ _1'in bir faktör olarak göründüğü tüm terimleri bu polinomlardan çıkarmanız yeterlidir :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0\\[4pt]\mu _{2}&=\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{3}&= \kappa _{3}\\[4pt]\mu _{4}&=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\\[4pt]\mu _{5}&= \kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{6}&=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _ {2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\end{hizalanmış}}}$

Benzer şekilde, n- inci kümülant κ _n is an , n ilk inci derece polinom n merkezi olmayan anlar. İlk birkaç ifade şunlardır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}={}&\mu '_{1}\\[4pt]\kappa _{2}={}&\mu '_{2}-{ \mu '_{1}}^{2}\\[4pt]\kappa _{3}={}&\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1} +2{\mu '_{1}}^{3}\\[4pt]\kappa _{4}={}&\mu '_{4}-4\mu '_{3}\mu '_ {1}-3{\mu '_{2}}^{2}+12\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{2}-6{\mu '_{1} }^{4}\\[4pt]\kappa _{5}={}&\mu '_{5}-5\mu '_{4}\mu '_{1}-10\mu '_{ 3}\mu '_{2}+20\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{2}+30{\mu '_{2}}^{2}\mu '_ {1}-60\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{3}+24{\mu '_{1}}^{5}\\[4pt]\kappa _{6 }={}&\mu '_{6}-6\mu '_{5}\mu '_{1}-15\mu '_{4}\mu '_{2}+30\mu '_ {4}{\mu '_{1}}^{2}-10{\mu '_{3}}^{2}+120\mu '_{3}\mu '_{2}\mu ' _{1}\\&{}-120\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{3}+30{\mu '_{2}}^{3}-270{\ mu '_{2}}^{2}{\mu '_{1}}^{2}+360\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{4}-120{\ mu '_{1}}^{6}\end{hizalı}}}$

n > 1 için κ _n birikimlerini merkezi momentlerin fonksiyonları olarak ifade etmek için , μ' _1'in bir faktör olarak göründüğü tüm terimleri bu polinomlardan çıkarın :

${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3{\mu _{2}}^{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}\mu _{2}-10{\mu _{3}}^{2}+30{\mu _ {2}}^{3}\,.}$

n > 2 için κ _n kümülantlarını standartlaştırılmış merkezi momentlerin fonksiyonları olarak ifade etmek için , polinomlarda ayrıca μ' ₂ =1 olarak ayarlayın :

${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3\,}$

${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}-10{\mu _{3}}^{2}+30\,.}$

Kümülant tarafından anları ile ilişkili olabilir ayırt ilişki günlük M ( t =) K ( t ) göre t veren M ' ( t ) = K' ( t ) M ( t ) , uygun herhangi bir üs içeren veya logaritmalar. μ′ ₀ = 1 kullanılarak sol ve sağ taraflarda t ^{n −1} katsayısının eşitlenmesi ve yeniden düzenlenmesi, n ≥ 1 için aşağıdaki özyineleme formülünü verir :

${\displaystyle \kappa _{n}=\mu '_{n}-\sum _{m=1}^{n-1}{n-1 \m-1'i seçin}\kappa _{m}\mu _{nm}'.}$

Kümülantlar ve küme bölümleri

Bu polinomların dikkate değer bir birleşimsel yorumu vardır: katsayılar , kümelerin belirli bölümlerini sayar . Bu polinomların genel bir formu,

${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{\pi \,\in \,\Pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa _{|B|}}$

nerede

• π , n boyutundaki bir kümenin tüm bölümlerinin listesinden geçer ;
• " B ∈ π ", B'nin kümenin bölündüğü "bloklardan" biri olduğu anlamına gelir ; ve
• | B | B kümesinin boyutudur .

Böylece her bir monomial sabit çarpı kümülantların çarpımıdır ve burada endekslerin toplamı n'dir (örneğin, κ ₃ κ ₂ ² κ ₁ teriminde , endekslerin toplamı 3 + 2 + 2 + 1 = 8'dir; bu, 8. momenti ilk sekiz kümülanın bir fonksiyonu olarak ifade eden polinomda görünür). n tamsayısının bir bölümü her terime karşılık gelir. Her terimdeki katsayı , kümenin üyeleri ayırt edilemez hale geldiğinde n tamsayısının bu bölümüne düşen n üyeli bir kümenin bölümlerinin sayısıdır .

Kümülantlar ve kombinatorikler

Kümülantlar ve kombinatorikler arasındaki daha fazla bağlantı , değişmez teori , simetrik fonksiyonlar ve binom dizilerine bağlantıların umbral hesap yoluyla incelendiği Gian-Carlo Rota'nın çalışmasında bulunabilir .

Ortak kümülantlar

Ortak kümülant çok rastgele değişkenlerin x ₁ , ...,  x _{, n} , benzer kümülant üreten fonksiyonu ile tanımlanır

${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\log E(\mathrm {e} ^{\sum _{j=1}^{n}t_{j }X_{j}}).}$

Bunun bir sonucu

${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }(|\pi |-1)!(-1)^{|\pi |-1}\ prod _{B\in \pi }E\sol(\prod _{i\in B}X_{i}\sağ)}$

burada π { 1, ..., n  } tüm bölümlerinin listesinden   geçer , B π bölümünün tüm bloklarının listesinden geçer  ve | π | bölümdeki parça sayısıdır. Örneğin,

${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatöradı {E} (XYZ)-\operatöradı {E} (XY)\operatöradı {E} (Z)-\operatöradı {E} (XZ)\operatöradı { E} (Y)-\operatöradı {E} (YZ)\operatöradı {E} (X)+2\operatöradı {E} (X)\operatöradı {E} (Y)\operatöradı {E} (Z).\ ,}$

Bu rasgele değişkenlerden herhangi biri aynıysa, örneğin X  =  Y ise , aynı formüller geçerlidir, ör.

${\displaystyle \kappa (X,X,Z)=\operatöradı {E} (X^{2}Z)-2\operatöradı {E} (XZ)\operatöradı {E} (X)-\operatöradı {E} (X^{2})\operatöradı {E} (Z)+2\operatöradı {E} (X)^{2}\operatöradı {E} (Z),\,}$

bu tür tekrarlanan değişkenler için daha özlü formüller olmasına rağmen. Sıfır ortalamalı rastgele vektörler için,

${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatör adı {E} (XYZ).\,}$

${\displaystyle \kappa (X,Y,Z,W)=\operatöradı {E} (XYZW)-\operatöradı {E} (XY)\operatöradı {E} (ZW)-\operatöradı {E} (XZ)\ operatöradı {E} (YW)-\operatöradı {E} (XW)\operatöradı {E} (YZ).\,}$

Yalnızca bir rastgele değişkenin ortak kümülatı, beklenen değeridir ve iki rastgele değişkeninki, kovaryanslarıdır . Rastgele değişkenlerden bazıları diğerlerinden bağımsızsa, iki (veya daha fazla) bağımsız rastgele değişken içeren herhangi bir kümülatif sıfırdır. Tüm Eğer n rasgele değişkenler aynı, o zaman ortak kümülant n 'inci sıradan kümülantı.

Momentlerin kümülant cinsinden ifade edilmesinin kombinatoryal anlamının anlaşılması, kümülantların momentler cinsinden ifade edilmesinden daha kolaydır:

${\displaystyle \operatöradı {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa (X_{i}:i\in B) ).}$

Örneğin:

${\displaystyle \operatöradı {E} (XYZ)=\kappa (X,Y,Z)+\kappa (X,Y)\kappa (Z)+\kappa (X,Z)\kappa (Y)+\kappa (Y,Z)\kappa (X)+\kappa (X)\kappa (Y)\kappa (Z).\,}$

Ortak kümülantların bir diğer önemli özelliği de çoklu doğrusallıktır:

${\displaystyle \kappa (X+Y,Z_{1},Z_{2},\dots )=\kappa (X,Z_{1},Z_{2},\ldots )+\kappa (Y,Z_{ 1},Z_{2},\ldots ).\,}$

İkinci kümülanın varyans olması gibi, sadece iki rastgele değişkenin ortak kümülatı da kovaryanstır . tanıdık kimlik

${\displaystyle \operatöradı {var} (X+Y)=\operatöradı {var} (X)+2\operatöradı {cov} (X,Y)+\operatöradı {var} (Y)\,}$

kümülantlara genelleştirir:

${\displaystyle \kappa _{n}(X+Y)=\sum _{j=0}^{n}{n \seç j}\kappa (\,\underbrace {X,\dots ,X} _{ j},\underbrace {Y,\dots ,Y} _{nj}\,).\,}$

Koşullu birikimler ve toplam birikim yasası

Toplam beklenti yasası ve toplam varyansın kanunu koşullu kümülantların doğal genelleme. Kümülantlardan ziyade (merkezi) momentlerin dilinde ifade edilen n = 3 durumu diyor ki

${\displaystyle \mu _{3}(X)=\operatöradı {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatöradı {E} (X\mid Y) ))+3\operatöradı {cov} (\operatöradı {E} (X\mid Y),\operatöradı {var} (X\mid Y)).}$

Genel olarak,

${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }\kappa (\kappa (X_{\pi _{1}}\mid Y),\dots , \kappa (X_{\pi _{b}}\orta Y))}$

nerede

• toplam, { 1, ..., n  } dizin kümesinin  tüm bölümlerinin  π üzerindedir ve
• π ₁ , ...,  π _b bölümü arasında "bloklar" tümü tt ; κ ( X _{π m} ) ifadesi , indisleri bölümün o bloğunda olan rasgele değişkenlerin ortak kümülatı olduğunu gösterir.

İstatistiksel fizik ile ilişkisi

Olarak istatistiksel fizik çok geniş miktarlarda belirli bir sistemin hacmi veya orantılı olarak miktarlarda olduğu - - rastgele değişkenlerin kümülantların ile ilgilidir. Derin bağlantı, büyük bir sistemde, enerji veya parçacıkların sayısı gibi kapsamlı bir niceliğin, neredeyse bağımsız bir dizi bölgeyle ilişkili enerjinin (örneğin) toplamı olarak düşünülebilmesidir. Bu neredeyse bağımsız rastgele değişkenlerin birikimlerinin (neredeyse) artacağı gerçeği, büyük miktarların birikimlerle ilişkili olmasının beklenmesini makul kılmaktadır.

T sıcaklığında bir termal banyo ile dengede olan bir sistem , bir dağılımdan çizilen rastgele bir değişken olarak kabul edilebilecek dalgalı bir iç enerjiye E sahiptir . Sistemin bölme işlevi , ${\görüntüleme stili E\sim p(E)}$

${\displaystyle Z(\beta )=\langle \exp(-\beta E)\rangle ,\,}$

burada β = 1/( kT ) ve k , Boltzmann sabitidir ve enerji ile karışıklığı önlemek için beklenti değeri yerine notasyon kullanılmıştır , E . Dolayısıyla, E enerjisi için birinci ve ikinci birikim , ortalama enerji ve ısı kapasitesini verir. ${\displaystyle \langle A\rangle }$${\displaystyle \operatöradı {E} [A]}$

${\displaystyle \langle E\rangle _{c}={\frac {\partial \log Z}{\partial (-\beta )}}=\langle E\rangle }$

${\displaystyle \langle E^{2}\rangle _{c}={\frac {\partial \langle E\rangle _{c}}{\partial (-\beta )}}=kT^{2}{ \frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}=kT^{2}C}$

Helmholtz serbest enerjisi açısından ifade

${\displaystyle F(\beta )=-\beta ^{-1}\log Z(\beta )\,}$

ayrıca termodinamik miktarları enerji için kümülant üretme işleviyle birleştirir. İç enerjisi , entropisi ve özgül ısı kapasitesi gibi serbest enerjinin türevleri olan termodinamik özelliklerin tümü, bu birikimler cinsinden kolayca ifade edilebilir. Diğer serbest enerji, manyetik alan veya kimyasal potansiyel gibi diğer değişkenlerin bir fonksiyonu olabilir , örn. ${\görüntüleme stili \mu }$

${\displaystyle \Omega =-\beta ^{-1}\log(\langle \exp(-\beta E-\beta \mu N)\rangle ),\,}$

burada N , parçacıkların sayısı ve büyük potansiyeldir. Yine serbest enerjinin tanımı ile kümülant üreten fonksiyon arasındaki yakın ilişki, bu serbest enerjinin çeşitli türevlerinin E ve N'nin birleşik kümülantları cinsinden yazılabileceğini ima eder . ${\görüntüleme stili\Omega }$

Tarih

Kümülantların tarihi Anders Hald tarafından tartışılmaktadır .

Kümülantlar ilk olarak 1889'da Thorvald N. Thiele tarafından tanıtıldı ve onlara yarı değişmezler adını verdi . İlk olarak Ronald Fisher ve John Wishart tarafından 1932 tarihli bir makalede kümülant olarak adlandırıldılar . Fisher'a, Thiele'nin daha önce yayınlanmış alıntılarının Fisher'ın dikkatine sunulduğunu kaydeden Neyman tarafından Thiele'nin çalışması hatırlatıldı. Stephen Stigler , kümülant adının Fisher'a Harold Hotelling'den bir mektupta önerildiğini söyledi . 1929'da yayınlanan bir makalede, Fisher bunlara kümülatif moment fonksiyonları adını vermişti . İstatistiksel fizikte bölme işlevi, 1901'de Josiah Willard Gibbs tarafından tanıtıldı . Serbest enerjiye genellikle Gibbs serbest enerjisi denir. Olarak istatistiksel mekanik , kümülant olarak da bilinen Ursell fonksiyonları 1927 bir yayın ile ilgili.

Genelleştirilmiş ayarlarda kümülantlar

Resmi birikimler

Daha genel olarak, { m _n  : n = 1, 2, 3, ... } dizisinin birikimleri, mutlaka herhangi bir olasılık dağılımının momentleri değil, tanım gereği,

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1) }^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\sağ),}$

burada n = 1, 2, 3, ... için κ _n değerleri formel olarak bulunur, yani herhangi bir serinin yakınsak olup olmadığı sorusuna aldırmadan sadece cebir tarafından. Kişi resmi olarak çalıştığında "kümülant sorunu"nun tüm zorlukları yoktur. En basit örnek, bir olasılık dağılımının ikinci kümülatı her zaman negatif olmamalıdır ve yalnızca tüm yüksek kümülantlar sıfırsa sıfırdır. Resmi birikimler bu tür kısıtlamalara tabi değildir.

zil numaraları

Gelen kombinatorik , n -inci Bell sayısının büyüklüğü bir dizi bölümleri sayısıdır n . Bell sayıları dizisinin tüm birikimleri 1'e eşittir . Bell sayıları, beklenen değeri 1 olan Poisson dağılımının anlarıdır .

Binom tipinde bir polinom dizisinin kümülantları

Herhangi bir dizi için, {k _{, n}  : n = 1, 2, 3, ...} arasında Skalerlerin bir de alan karakteristik sıfır kabul resmi cumulant'larının olan karşılık gelen bir dizi {μ 'vardır: N = 1, 2, 3, ... } yukarıdaki polinomlar tarafından verilen formal momentler. Bu polinomlar için aşağıdaki şekilde bir polinom dizisi oluşturun . polinomun dışında

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2 }\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}\end{hizalı}}}$

bunlarda yeni bir polinom artı bir ek değişken x yapın :

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{6}(x)={}&\kappa _{6}\,x+(6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4 }\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2})\,x^{2}+(15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+15\kappa _{2}^{3})\,x^{3}\\&{}+(45\kappa _{2} ^{2}\kappa _{1}^{2})\,x^{4}+(15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4})\,x^{5}+ (\kappa _{1}^{6})\,x^{6},\end{hizalı}}}$

ve sonra deseni genelleştirin. Model, yukarıda belirtilen bölümlerdeki blok sayısının x üzerindeki üsler olmasıdır . Kümülantlarda her katsayı bir polinomdur; bunlar Eric Temple Bell'in adını taşıyan Bell polinomlarıdır .

Bu polinom dizisi binom tipindedir . Aslında, binom tipinde başka diziler mevcut değildir; binom tipindeki her polinom dizisi, tamamen formal kümülant dizisi tarafından belirlenir.

ücretsiz kümülatifler

Yukarıdaki moment-kümülatif formülde

${\displaystyle E(X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa (X_{i}:i\in B) )}$

ortak birikimler için, { 1, ..., n } kümesinin tüm bölümlerinin toplamı toplanır . Bunun yerine, yalnızca çapraz olmayan bölümler üzerinden toplamlar yapılırsa , bu formüller momentler cinsinden çözülerek , yukarıda ele alınan geleneksel kümülantlar yerine serbest kümülantlar elde edilir. Bu serbest birikimler, Roland Speicher tarafından tanıtıldı ve serbest olasılık teorisinde merkezi bir rol oynuyor . Bu teorik olarak oldukça dikkate daha bağımsız bir rastgele değişken cinsinden tanımlanmaktadır, cebirlerin tensör ürün rastgele değişkenlerin, onun yerine dikkate serbest bağımsız cinsinden tanımlanır rastgele değişkenlerin ücretsiz ürün Cebirlerin. ${\görüntüleme stili \kappa }$

Normal dağılımın 2'den yüksek dereceli sıradan birikimleri sıfırdır. Serbest ve 2'den derecesi, bir kümülant Wigner'ın yarım daire dağıtım sıfırdır. Bu, Wigner dağılımının serbest olasılık teorisindeki rolünün, geleneksel olasılık teorisindeki normal dağılımınkine benzer olduğu bir husustur.

Ayrıca bakınız

• Risk altındaki entropik değer
• Bir çoklu kümeden kümülat üreten fonksiyon
• Cornish-Fisher genişletmesi
• Edgeworth genişlemesi
• polikay
• k-istatistik , bir kümülata ilişkin minimum varyanslı yansız tahmin edici
• ursel işlevi
• Toplam pozisyon yayılmış kümülantların bir uygulama olarak tensör elektronik analiz etmek için dalga fonksiyon olarak kuantum kimyası .

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Kümülant" . Matematik Dünyası .
• matematik kelimelerinin bazılarının bilinen en eski kullanımları üzerine kümülatif