kovaryans - Covariance

İki rastgele değişken X ve Y'nin kovaryansının işareti

Gelen Olasılık teorisi ve istatistik , kovaryans iki ortak değişkenlik bir ölçüsüdür rastgele değişken . Bir değişkenin daha büyük değerleri esas olarak diğer değişkenin daha büyük değerlerine karşılık geliyorsa ve aynı şey daha küçük değerler için de geçerliyse (yani değişkenler benzer davranış gösterme eğilimindeyse), kovaryans pozitiftir. Tersi durumda, bir değişkenin daha büyük değerleri diğerinin daha küçük değerlerine karşılık geldiğinde (yani, değişkenler zıt davranış gösterme eğilimindeyse), kovaryans negatiftir. Kovaryansın işareti bu nedenle değişkenler arasındaki doğrusal ilişkideki eğilimi gösterir . Kovaryansın büyüklüğünü yorumlamak kolay değildir çünkü normalize edilmez ve bu nedenle değişkenlerin büyüklüklerine bağlıdır. Kovaryans normalleştirilmiş sürümü , korelasyon katsayısı , ancak, onun büyüklük doğrusal ilişkinin tarafından gösterilmektedir.

(1) ortak olasılık dağılımının bir özelliği olarak görülebilen bir popülasyon parametresi olan iki rastgele değişkenin kovaryansı ve (2) tanımlayıcı olarak hizmet etmenin yanı sıra örnek kovaryansı arasında bir ayrım yapılmalıdır. örneğinin yanı sıra , popülasyon parametresinin tahmini değeri olarak da hizmet eder .

Tanım

Ortak olarak dağıtılmış iki gerçek değerli rastgele değişken ve sonlu saniye momentleri için kovaryans, bireysel beklenen değerlerinden sapmalarının çarpımının beklenen değeri (veya ortalaması) olarak tanımlanır:

 

 

 

 

( Denk.1 )

burada olduğu beklenen değer arasında , aynı zamanda, ortalama olarak bilinen . Kovaryans da bazen belirtilir veya varyansa benzer şekilde . Beklentilerin doğrusallık özelliğini kullanarak, bu, ürünlerinin beklenen değeri eksi beklenen değerlerinin çarpımı olarak basitleştirilebilir:

ancak bu denklem feci şekilde iptal edilmeye müsaittir ( aşağıdaki sayısal hesaplama bölümüne bakınız).

Ölçü birimleri kovaryans aittir zamanlardaki o . Buna karşılık, kovaryansa bağlı olan korelasyon katsayıları , doğrusal bağımlılığın boyutsuz bir ölçüsüdür. (Aslında, korelasyon katsayıları kovaryansın normalleştirilmiş bir versiyonu olarak anlaşılabilir.)

Karmaşık rastgele değişkenler için tanım

İki karmaşık rastgele değişken arasındaki kovaryans şu şekilde tanımlanır:

Tanımdaki ikinci faktörün karmaşık çekimine dikkat edin.

İlgili bir sözde kovaryans da tanımlanabilir.

Ayrık rastgele değişkenler

(Gerçek) rastgele değişken çifti ise değerler alabilir için eşit olasılıkları, ardından kovaryans eşdeğer imkanlar açısından yazılabilir ve şekilde

Aynı zamanda, doğrudan araçlara atıfta bulunmadan, eşdeğer olarak ifade edilebilir.

Varsa Daha genel olarak, olası gerçekleşmeleri yani, ancak muhtemelen eşit olmayan olasılıkları için , daha sonra kovaryans olan

Örnek

Kovaryans örneğinin geometrik yorumu. Her küboid, noktasının ( x , y , f  ( x , y )) ve X ve Y araçlarının (macenta noktası) sınırlayıcı kutusudur . Kovaryans, kırmızı küboidlerin eksi mavi küboidlerin hacimlerinin toplamıdır.

Varsayalım ki ve aşağıdaki özelliklere sahip birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu altı merkez hücre ayrı eklem olasılıkları verir ki burada, altı varsayımsal gerçekleşmeleri :

x
5 6 7
y 8 0 0,4 0.1 0,5
9 0,3 0 0,2 0,5
0,3 0,4 0,3 1

üç değer (5, 6 ve 7) alırken iki (8 ve 9) değer alabilir. Onların araçları ve . Sonra,

Özellikler

kendisiyle kovaryans

Varyans (bir değişken her zaman, diğer aynı değeri alır olduğunu) iki değişken özdeş olduğu kovaryans özel bir durumdur:

Doğrusal kombinasyonların kovaryansı

Eğer , , ve rastgele değişkenler gerçek değerlidir ve sabitleri gerçek değerlenir, ardından aşağıdaki gerçekler kovaryans tanımının bir sonucudur:

Bir dizi için, gerçek değerli ve sabitler rastgele değişkenlerin , elimizdeki

Hoeffding'in kovaryans kimliği

İki rastgele değişken arasındaki kovaryansı hesaplamak için yararlı bir özdeşlik , Hoeffding'in kovaryans özdeşliğidir:

burada rasgele vektörün ortak kümülatif dağılım fonksiyonu ve vardır majinal .

İlişkisizlik ve bağımsızlık

Kovaryansı sıfır olan rastgele değişkenlere korelasyonsuz denir . Benzer şekilde, ana köşegenin dışındaki her girişte kovaryans matrisi sıfır olan rastgele vektörlerin bileşenlerine de korelasyonsuz denir.

Eğer ve olan bağımsız rasgele değişkenler , sonra kendi kovaryans sıfırdır. Bunu takip eder, çünkü bağımsızlık altında,

Ancak bunun tersi genel olarak doğru değildir. Örneğin, let içinde eşit olarak dağıtılsın ve let . Açıkça ve bağımsız değiller, ancak

Bu durumda, arasındaki ilişki ve korelasyon ve kovaryans iki rasgele değişken arasındaki doğrusal bağımlılığı ölçümlerinin ise, doğrusal olmayan olduğunu. Bu örnek, iki rastgele değişkenin ilişkisiz olması durumunda, bunun genel olarak bağımsız oldukları anlamına gelmediğini gösterir. İki değişken vardır Ancak, müştereken normalde dağıtılmış (ancak bunlar sadece eğer bireysel olarak normal dağılıma sahip ), uncorrelatedness yapar bağımsızlığını ima.

İç ürünlerle ilişki

Kovaryansın özelliklerinin çoğu, bir iç çarpımın özelliklerine benzer özellikleri sağladığı gözlemlenerek zarif bir şekilde çıkarılabilir :

  1. iki-doğrusal : sabitleri için ve rastgele değişkenler ,
  2. simetrik:
  3. pozitif yarı tanımlı : tüm rasgele değişkenler için ve bunun neredeyse kesin olarak sabit olduğunu ima eder .

Aslında bu özellikler, kovaryansın, sonlu saniye momentli rasgele değişkenlerin alt uzayını alarak ve bir sabitle farklılık gösteren herhangi ikisini tanımlayarak elde edilen bölüm vektör uzayı üzerinde bir iç çarpımı tanımladığını ima eder . (Bu özdeşleştirme, yukarıdaki pozitif yarı kesinliği pozitif belirliliğe dönüştürür.) Bu bölüm vektör uzayı, sonlu saniye momenti ve ortalama sıfır ile rastgele değişkenlerin alt uzayına eş biçimlidir; bu alt uzayda kovaryans tam olarak örnek uzaydaki gerçek değerli fonksiyonların L 2 iç çarpımıdır.

Sonuç olarak, sonlu varyansa sahip rastgele değişkenler için eşitsizlik

Cauchy-Schwarz eşitsizliği yoluyla tutar .

Kanıt: If , o zaman önemsiz tutar. Aksi takdirde, rastgele değişkene izin verin

o zaman bizde

Örnek kovaryansının hesaplanması

Aksi halde gözlemlenmeyen bir popülasyondan alınan, her birinin gözlemlerine dayalı olarak değişkenler arasındaki örnek kovaryanslar , girdilerle birlikte matris tarafından verilir.

değişken ve değişken arasındaki kovaryansın bir tahminidir .

Örnek ortalaması ve örnek kovaryans matrisidir tarafsız tahminleri ve ortalama ve kovaryans matrisinin bir rasgele vektörün , olan bir vektör j inci elemanı rasgele değişkenlerden biridir. Örnek kovaryans matrisinin paydada bulunmasının nedeni , esasen popülasyon ortalamasının bilinmemesi ve bunun yerine örnek ortalamanın kullanılmasıdır . Popülasyon ortalaması biliniyorsa, benzer yansız tahmin şu şekilde verilir:

.

genellemeler

Gerçek rastgele vektörlerin otomatik kovaryans matrisi

Bir vektör için bir sonlu ikinci anları ile birlikte dağıtılmış rastgele değişken olarak, otomatik kovaryans matrisi (aynı zamanda varyans kovaryans matrisi ya da sadece kovaryans matrisinin ) (aynı zamanda ile gösterilmiş ya da ) gibi tanımlanmıştır

Izin bir olmak rasgele vektör kovaryans matrisi ile Σ ve izin bir hareket bir matris solda. AX matris-vektör çarpımının kovaryans matrisi :

Bu, beklentinin doğrusallığının doğrudan bir sonucudur ve bir vektöre beyazlatma dönüşümü gibi doğrusal bir dönüşüm uygularken kullanışlıdır .

Gerçek rastgele vektörlerin çapraz kovaryans matrisi

Gerçek rastgele vektörler ve için , çapraz kovaryans matrisi şuna eşittir:

 

 

 

 

( Denklem 2 )

burada bir devrik vektörü (ya da matris) .

Bu matrisin inci elemanı kovaryans eşittir arasında i -inci skalar bileşeni ve j arasında inci skalar bileşeni . Özel olarak, bir devrik arasında .

sayısal hesaplama

Ne zaman denklemi, eğilimli katastrofik iptali durumunda ve veri öncesi merkezli edilmemiştir zaman bilgisayar programlarında kaçınılmalıdır tam olarak ve dolayısıyla hesaplanan değildir. Bu durumda sayısal olarak kararlı algoritmalar tercih edilmelidir.

Yorumlar

Kovaryans bazen iki rastgele değişken arasındaki "doğrusal bağımlılığın" ölçüsü olarak adlandırılır. Bu, lineer cebir bağlamındakiyle aynı anlama gelmez (bkz. lineer bağımlılık ). Kovaryans normalleştirildiğinde, değişkenler arasındaki ilişkiyi tanımlayan olası en iyi doğrusal fonksiyon için uyumun iyiliğini veren Pearson korelasyon katsayısı elde edilir . Bu anlamda kovaryans, doğrusal bir bağımlılık göstergesidir.

Uygulamalar

Genetik ve moleküler biyolojide

Kovaryans biyolojide önemli bir ölçüdür . Bazı DNA dizileri türler arasında diğerlerinden daha fazla korunur ve bu nedenle proteinlerin veya RNA yapılarının ikincil ve üçüncül yapılarını incelemek için diziler yakından ilişkili türlerde karşılaştırılır. Kodlamayan RNA'da ( mikroRNA gibi ) dizi değişiklikleri bulunursa veya hiç değişiklik bulunmazsa , dizilerin bir RNA döngüsü gibi yaygın yapısal motifler için gerekli olduğu bulunur. Genetikte kovaryans, Genetik İlişki Matrisi'nin (GRM) (aka akrabalık matrisi) hesaplanması için bir temel sağlar ve bilinen hiçbir yakın akrabası olmayan numuneden popülasyon yapısı hakkında çıkarım yapılmasının yanı sıra karmaşık özelliklerin kalıtsallığının tahminine ilişkin çıkarım sağlar.

Evrim ve doğal seleksiyon teorisinde , Fiyat denklemi , bir genetik özelliğin zaman içinde frekansta nasıl değiştiğini açıklar . Denklem , evrim ve doğal seçilimin matematiksel bir tanımını vermek için bir özellik ve uygunluk arasında bir kovaryans kullanır . Gen aktarımının ve doğal seçilimin bir popülasyonun her yeni nesli içindeki genlerin oranı üzerindeki etkilerini anlamanın bir yolunu sağlar. Fiyat denklemi, WD Hamilton'ın akraba seçimi üzerindeki çalışmasını yeniden türetmek için George R. Price tarafından türetilmiştir . Fiyat denkleminin örnekleri, çeşitli evrimsel durumlar için oluşturulmuştur.

finansal ekonomide

Kovaryanslar finansal ekonomide , özellikle modern portföy teorisinde ve sermaye varlık fiyatlandırma modelinde kilit bir rol oynamaktadır . Çeşitli varlıkların getirileri arasındaki kovaryanslar, belirli varsayımlar altında, yatırımcıların çeşitlendirme bağlamında ( normatif bir analizde ) veya ( olumlu bir analizde ) tutmayı seçecekleri tahmin edilen farklı varlıkların nispi miktarlarını belirlemek için kullanılır .

Meteorolojik ve oşinografik veri asimilasyonunda

Kovaryans matrisi, veri asimilasyonu olarak bilinen bir prosedür olan, hava durumu tahmin modellerini çalıştırmak için gereken başlangıç ​​koşullarını tahmin etmede önemlidir . 'Tahmin hata kovaryans matrisi' tipik olarak bir ortalama durum (bir klimatolojik veya topluluk ortalaması) etrafındaki pertürbasyonlar arasında oluşturulur. 'Gözlem hatası kovaryans matrisi', birleştirilmiş gözlemsel hataların (köşegen üzerinde) büyüklüğünü ve ölçümler arasındaki (köşegen dışında) ilişkili hataları temsil etmek için oluşturulmuştur. Bu, Kalman filtrelemesine ve zamanla değişen sistemler için daha genel durum tahminine yaygın uygulamasının bir örneğidir .

mikrometeorolojide

Girdap kovaryans tekniği ortalama ve gaz konsantrasyonundaki ani sapmadan dikey rüzgar hızındaki ani sapma arasında kovaryans dikey türbülanslı akıları hesaplanması için temel olan bir anahtar parazit ölçüm tekniğidir.

sinyal işlemede

Kovaryans matrisi, bir sinyalin spektral değişkenliğini yakalamak için kullanılır.

İstatistik ve görüntü işlemede

Kovaryans matrisi, veri ön işlemede özellik boyutluluğunu azaltmak için temel bileşen analizinde kullanılır .

Ayrıca bakınız

Referanslar