Ortalama ve yanıtı tahmin - Mean and predicted response

Bir serinin parçası İstatistik
Regresyon analizi
Modeller
Doğrusal regresyon Basit regresyon polinom regresyon Genel doğrusal model
Genelleştirilmiş lineer model ayrık seçim Lojistik regresyon Çok terimli logit Karışık logit istatistik ihtimal birimi Multinominal probit sıralı logit sıralı probit Poisson
Çok aşamalı modele Sabit etkiler Rastgele etkileri Karışık modeli
Doğrusal olmayan regresyon Parametrik olmayan Semiparametrik güçlü quantile izotonik Ana bileşenleri Az açı Yerel dilimli
Hataları-in-değişkenler
tahmin
En küçük kareler Doğrusal Doğrusal olmayan
Sıradan Ağırlıklı Genelleştirilmiş
Kısmi Genel Toplam Negatif olmayan Ridge regresyon regularized
Az mutlak sapmalar tekrarlı yeniden ağırlıklandırmalı Bayes Bayes değişkenli
Arka fon
Regresyon model doğrulama Ortalama ve yanıtı tahmin Hatalar ve artıklar Formda olmanın güzelliği rezidüel Studentized Gauss-Markov teoremi
İstatistikler portalı
v t e

Olarak lineer regresyon , yanıtı ortalama ve yanıtı tahmin regresyon parametrelerinden hesaplanan bağımlı değişken, bağımsız değişkenler belirli bir değeri değerleridir. Bu iki yanıtların değerleri aynıdır, ancak hesaplanan varyanslar farklıdır.

Arka fon

Düz çizgi montaj olarak, model

${\ Displaystyle Y_ {I} = \ a + p X_ {I} \ + \ varepsilon _ {I} \}$

burada bir yanıt değişkeni , bir açıklayıcı değişken , ε _i rastgele hata, ve ve parametrelerdir. Yani, tahmin edilen ve belirli bir açıklayıcı değeri için tepki değeri, X _d , ile verilmektedir ${\ Displaystyle Y_ {i}}$${\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle \ a}$${\ Displaystyle \ p}$

${\ Displaystyle {\ şapka {y}} _ {d} = {\ hat {\ a}} + {\ hat {\ p}} x_ {D},}$

Gerçek yanıt olacağını ise

${\ Displaystyle Y_ {D} = \ a + p X_ {d} \ + \ varepsilon _ {d} \}$

Değerleri ve varyanslar için ifadeler ve verilmiştir lineer regresyon . ${\ Displaystyle {\ şapka {\ a}}}$${\ Displaystyle {\ şapka {\ p}}}$

yanıtını ortalama

Bu bağlamda verileri (olarak tanımlanır yana x , y , her gözlem için) çiftleri ortalama tepkinin belirli bir değerde , x , ki x _d , ortalamanın bir tahminidir y nüfus değerleri X değeri x _d , yani . Ortalama tepkinin varyans verilir ${\ Displaystyle {\ şapka {E}} (y ​​\ orta x_ {d}) \ eşdeğer {\ şapka {y}} _ {d} \!}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ sol ({\ şapka {\ a}} + {\ hat {\ p}} x_ {d} \ sağ) = \ operatorname {Var} \ sol ({\ şapka {\ a }} \ sağ) + \ sol (\ operatorname {Var} {\ şapka {\ p}} \ sağ) x_ {d} ^ {2} + 2x_ {d} \ operatorname {Cov} \ sol ({\ şapka { \ a}}, {\ şapka {\ p}} \ sağ).}$

Bu ifade basitleştiirlebilir

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ = \ sigma ^ {2} \ sol ({\ frac {1 (sağ \} x_ {d {\ hat {\ a}} + {\ hat {\ p}}) sol } {m}} + {\ frac {\ sol (x_ {d} - {\ çubuğu {x}} \ sağ) ^ {2}} {\ toplamı (x_ {i} - {\ çubuğu {x}}) ^ {2}}} \ sağ)}$

burada m, veri noktalarının sayısıdır.

Bu basitleştirilmesi göstermek için, bir kimlik yararlanabilir

${\ Displaystyle \ toplamı (x_ {I} - {\ çubuğu {x}}) ^ {2} = \ toplamı x_ {I} ^ {2} - {\ frac {1} {m}} \ sol (\ toplamı x_ {i} \ sağ) ^ {2}}.$

Öngörülen tepki

Tahmin edilen yanıt dağılımı verilmektedir noktasında artıkların tahmin dağılımı x _d . Yani varyans verilir

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ sol (Y_ {D} - \ sol [{\ şapka {\ a}} + {\ hat {\ p}} x_ {d} \ doğru] \ sağ) = \ operatorname { var} (Y_ {D}) + \ operatorname {var} \ sol ({\ şapka {\ a}} + {\ hat {\ p}} x_ {d} \ sağ).}$

Bu ifadenin ikinci kısmı zaten ortalama yanıtı için hesaplandı. Yana (tahmin edilebilir bir sabit fakat bilinmeyen parametresi), tahmin edilen cevap varyansı ile verilmektedir ${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (Y_ {D}) = \ sigma ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ başlar {hizalanmış} \ operatorname {Var} \ sol (Y_ {D} - \ sol [{\ şapka {\ a}} + {\ hat {\ p}} x_ {d} \ doğru] \ sağ) = \ sigma ^ {2} + \ sigma ^ {2} \ sol ({\ frac {1} {m}} + {\ frac {\ sol (x_ {d} - {\ çubuğu {x}} \ sağ) ^ {2}} {\ toplamı (x_ {i} - {\ çubuğu {x}}) ^ {2}}} \ sağ) \\ [4pt] = \ sigma ^ {2} \ sol ( 1 + {\ frac {1} {m}} + {\ frac {(x_ {d} - {\ çubuğu {x}}) ^ {2}} {\ toplamı (x_ {i} - {\ çubuğu {x }}) ^ {2}}} \ sağ). \ ucu {hizalanmış}}}$

Güvenilirlik aralığı

Güven aralıkları olarak hesaplanır . Bu durumda, tahmin edilen cevap için güven aralığı ortalama tepki aralığından daha geniştir. Nüfusunun varyans - Bu sezgisel beklenen ondan bir numune rastgele değişken çünkü zaman değerlerine küçültmek değil ε _i azalmaz, ancak ortalamasının varyansı artmış örnekleme ile küçültmek, çünkü varyans yoktur ve azalma, yani, ortalama yanıt (tahmin edilen cevap değeri) daha yakın olur . ${\ Displaystyle 100 (1 \ a) \%}$${\ Displaystyle Y_ {d} \ am t _ {{\ frac {\ alfa} {2}} mn-1} {\ sqrt {\ operatorname {Var}}}}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle {\ şapka {\ a}}}$${\ Displaystyle {\ şapka {\ p}}}$${\ Displaystyle \ a + \ p x_ {d}}$

Bu Kitle varyansı ve nüfusun örnek ortalaması varyansı arasındaki fark benzer olan: bir popülasyon değişkenliği bir parametredir ve değişmez, ancak örnek varyansı artan örnekleri ile azaltır anlamına gelir.

Genel lineer regresyon

genel lineer model olarak yazılabilir

${\ Displaystyle Y_ {I} = \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} X_ {ij} \ p _ {j} + \ varepsilon _ {I} \}$

Bu nedenle, çünkü ortalama tepkinin varyans için genel bir ifadedir ${\ Displaystyle Y_ {D} = \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} X_ {dj} {\ şapka {\ p}} _ {j}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ sol (\ toplamı _ {j = 1} ^ {n} X_ {dj} {\ şapka {\ p}} _ {j} \ sağ) = \ toplamı _ {= 1 } ^ {n} \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} X_ {di} S_ {ij} X_ {dj}}$

burada G bir kovaryans matrisi ile verilen parametreler arasında,

${\ Displaystyle \ mathbf {S} = \ sigma ^ {2} \ sol (\ mathbf {X ^ {\ mathsf {T}} X} \ sağ) ^ {-. 1}}$

Referanslar

• Draper, NR; Smith, H. (1998). Uygulanan regresyon analizi (3.). John Wiley. ISBN  0-471-17082-8 .