herhangi biri - Anyon

Istatistik mekaniği
Termodinamik Kinetik teori
parçacık istatistikleri Spin-istatistik teoremi özdeş parçacıklar Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac paraistatistik Anyonik istatistikler Örgü istatistikleri
Termodinamik topluluklar NVE Mikrokanonik NVT Kanonik µVT Büyük kanonik NPH İzoentalpik-izobarik NPT İzotermal-izobarik
Modeller debye Einstein Şarkı söylerim saksılar
potansiyeller İçsel enerji entalpi Helmholtz serbest enerji Gibbs serbest enerjisi Büyük potansiyel / Landau serbest enerjisi
Bilim insanları Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman debye fermi Bose
v T e

Olarak fizik , bir anyon türüdür quasiparticle sadece oluşur iki boyutlu sistemler daha az standart iki çeşit daha kısıtlı özelliklere sahip, temel parçacıklar , fermiyonlar ve bozonları . Genel olarak, iki özdeş parçacığın değiş tokuş edilmesi işlemi, global bir faz kaymasına neden olsa da, gözlemlenebilirleri etkileyemez . Anyonlar genellikle değişmeli veya değişmeli olmayan olarak sınıflandırılır . Değişken anyonlar (2020'de iki deneyle tespit edildi), kesirli kuantum Hall etkisinde önemli bir rol oynar . Bu aktif bir araştırma alanı olmasına rağmen, değişmeli olmayan anyonlar kesin olarak tespit edilmemiştir.

Tanıtım

İstatistiksel mekaniği büyük çok cisim sistemler itaat yasaların tarif Maxwell-Boltzmann istatistik . Kuantum istatistikleri , fermiyonlar ve bozonlar olarak adlandırılan iki farklı tür parçacığın farklı davranışları nedeniyle daha karmaşıktır . Aalto Üniversitesi'nden yeni, basit bir tanımdan alıntı :

İçinde yaşadığımız üç boyutlu dünyada sadece iki tür parçacık vardır: birbirini iten "fermiyonlar" ve birbirine yapışmayı seven "bozonlar". Yaygın olarak bilinen bir fermiyon, elektriği taşıyan elektrondur; ve yaygın olarak bilinen bir bozon, ışığı taşıyan fotondur. Ancak iki boyutlu dünyada, fermiyon ya da bozon gibi davranmayan başka bir parçacık türü olan anyon vardır.

İki boyutlu bir dünyada, birbirinin aynısı olan iki kişi, üç boyutlu fizikte gerçekleşemeyecek şekilde yer değiştirdiklerinde dalga fonksiyonlarını değiştirirler:

...iki boyutta, özdeş parçacıkları iki kez değiş tokuş etmek, onları yalnız bırakmakla aynı şey değildir. Parçacıkların iki kez yer değiştirdikten sonraki dalga fonksiyonu orijinalinden farklı olabilir; bu tür olağandışı değişim istatistiklerine sahip parçacıklar, anyonlar olarak bilinir. Buna karşılık, üç boyutta, parçacıkların iki kez değiş tokuş edilmesi dalga işlevlerini değiştiremez, bu da bize yalnızca iki olasılık bırakır: tek bir değiş tokuştan sonra bile dalga işlevi aynı kalan bozonlar ve değiş tokuşları yalnızca dalga işlevlerinin işaretini değiştiren fermiyonlar.

Bu özdeş parçacıkların değiş tokuş edilmesi ya da bir parçacığın diğerinin etrafında dönmesi süreci, matematiksel adıyla " örgü " olarak adlandırılır . İki kişinin "örgülenmesi" olayın tarihsel bir kaydını oluşturur, çünkü değişen dalga fonksiyonları örgülerin sayısını "sayar".

Microsoft , topolojik kuantum hesaplama için potansiyel bir temel olarak herkesle ilgili araştırmalara yatırım yaptı . Birbirlerini çevreleyen ("örgüler") herhangi biri, bilgiyi diğer potansiyel kuantum hesaplama teknolojilerinden daha sağlam bir şekilde kodlayacaktır . Bununla birlikte, kuantum hesaplamaya yapılan yatırımların çoğu, herhangi birini kullanmayan yöntemlere dayanmaktadır.

değişmeli anyonlar

Kuantum mekaniğinde ve bazı klasik stokastik sistemlerde, ayırt edilemez parçacıklar , i parçacığının durumlarını  j parçacığıyla  (sembolik olarak ) değiştirmenin, ölçülebilir şekilde farklı bir çok cisim durumuna yol açmama özelliğine sahiptir. ${\displaystyle \psi _{i}\leftrightarrow \psi _{j}{\text{ for }}i\neq j}$

Kuantum mekanik bir sistemde, örneğin, parçacık 1 durumda ve parçacık 2 durumda olan iki ayırt edilemez parçacıktan oluşan bir sistem , Dirac notasyonunda duruma sahiptir . Şimdi iki parçacığın durumlarını değiştirdiğimizi varsayalım, o zaman sistemin durumu . Bu iki durum ölçülebilir bir farka sahip olmamalıdır, bu nedenle bir faz faktörüne kadar aynı vektör olmalıdırlar : ${\görüntüleme stili\psi _{1}}$${\görüntüleme stili\psi _{2}}$${\displaystyle \sol|\psi _{1}\psi _{2}\sağ\rangle}$${\displaystyle \sol|\psi _{2}\psi _{1}\sağ\rangle }$

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle . }$

Burada, faz faktörüdür. Uzayda üç ya da daha çok boyutlar, faz faktörü ya da . Bu nedenle, temel parçacıklar ya faz faktörü olan fermiyonlar ya da faz faktörü olan bozonlardır . Bu iki türün farklı istatistiksel davranışları vardır . Fermiyonlar Fermi-Dirac istatistiklerine , bozonlar ise Bose-Einstein istatistiklerine uyar . Özellikle faz faktörü, fermiyonların Pauli dışlama ilkesine uymasının nedenidir : Eğer iki fermiyon aynı durumdaysa, ${\displaystyle e^{i\theta}}$${\görüntüleme stili 1}$${\görüntüleme stili -1}$${\görüntüleme stili -1}$${\görüntüleme stili 1}$

${\displaystyle \sol|\psi \psi \sağ\rangle =-\left|\psi \psi \sağ\rangle .}$

Durum vektörü sıfır olmalıdır, yani normalize edilemez, dolayısıyla fiziksel değildir.

İki boyutlu sistemlerin ise, quasi olarak, ilk olarak gösterilmiştir, Fermi Dirac ve Bose-Einstein istatistikleri arasında sürekli olarak değişen itaat istatistik gözlemlenebilir Jon Magne Leinaas ve Ara Myrheim arasında Oslo Üniversitesi halinde 1977 yılında iki parçacık bu şu şekilde ifade edilebilir

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle , }$

sadece veya dışında başka değerler nerede olabilir . Bu stenografi ifadede notasyonda hafif bir suistimal olduğuna dikkat etmek önemlidir , çünkü gerçekte bu dalga fonksiyonu çok değerli olabilir ve genellikle çok değerlidir. Bu ifade aslında şu anlama gelir: Parçacık 1 ve parçacık 2, her birinin diğeri etrafında saat yönünün tersine yarım dönüş yaptığı bir süreçte yer değiştirildiğinde, iki parçacıklı sistem, karmaşık birim-norm ile çarpılması dışında orijinal kuantum dalga işlevine döner. faz faktörü e ^iθ . Tersine, saat yönünde bir yarım devir, dalga fonksiyonunun e ^{− iθ ile} çarpılmasıyla ^sonuçlanır . Böyle bir teori, açık bir şekilde, yalnızca saat yönünün ve saat yönünün tersinin açıkça tanımlanmış yönler olduğu iki boyutta anlamlıdır. ${\displaystyle e^{i\theta}}$${\görüntüleme stili -1}$${\görüntüleme stili 1}$

θ  =  π durumunda Fermi–Dirac istatistiklerini ( e ^iπ = -1 ) ve θ = 0 (veya θ = 2 π ) durumunda Bose–Einstein istatistiklerini ( e ^{2 πi} = 1 ) elde ^ederiz . Arada farklı bir şeyimiz var. Frank Wilczek 1982'de bu tür yarı parçacıkların davranışını araştırdı ve onları tanımlamak için "herhangi biri" terimini kullandı, çünkü parçacıklar yer değiştirdiğinde herhangi bir faza sahip olabilirler. Bozonlardan ve fermiyonlardan farklı olarak, herhangi biri, aynı şekilde iki kez yer değiştirildiğinde (örneğin, herhangi biri 1 ve herhangi biri 2, yer değiştirmek için saat yönünün tersine yarım tur döndürülürse ve sonra saat yönünün tersine yarım tur döndürülürse) tuhaf bir özelliğe sahiptir. orijinal yerlerine geri dönmek için tekrar birbirleri hakkında), dalga fonksiyonu mutlaka aynı değildir, daha ziyade genel olarak bazı karmaşık ^{fazlarla çarpılır} (bu örnekte e ^{2 iθ} ile).

Ayrıca kullanabilir θ = 2 tt s parçacık ile sıkma kuantum sayısı s ile, s olmak tamsayıdır bozonları için yarım tamsayı böylece, fermiyonlar için

${\displaystyle e^{i\theta }=e^{2i\pi s}=(-1)^{2s},}$   veya   ${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =(-1)^{2s}\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle .}$

Bir kenarda, kesirli kuantum Hall etkisi olan herkes, bir uzay boyutunda hareket etmekle sınırlıdır. Tek boyutlu anyonların matematiksel modelleri, yukarıda gösterilen komütasyon ilişkilerinin bir temelini sağlar.

Üç boyutlu bir pozisyon alana, fermiyon ve bozon istatistik operatörleri (sırasıyla 1 ve 1), sadece, 1 boyutlu temsilleridir permütasyon grubu ( S _{, N} ve K dalga fonksiyonlarının alan üzerine etki eden ayırt parçacıkları). Aynı şekilde, iki boyutlu bir yer alan içinde, değişmeli ANYONİK istatistik operatörleri ( e ^iθ ) sadece 1 boyutlu temsilleridir örgü grubu ( B _{, N} ve N dalga fonksiyonlarının alan üzerine etki eden ayırt parçacıkları). Değişken olmayan anyonik istatistikler, örgü grubunun daha yüksek boyutlu temsilleridir. ANYONİK istatistikler ile karıştırılmamalıdır parastatistics dalga fonksiyonları permütasyon grubunun daha yüksek boyutlu temsilleridir parçacıkların istatistikleri tarif.

topolojik eşdeğerlik

Yolların homotopi sınıflarının (ör . örgülerdeki denklik kavramı ) daha incelikli bir kavrayışa ilişkin ipuçları olduğu gerçeği . Bu , uzay-zamandaki bir başlangıç ​​noktasından son noktaya kadar olan tüm yolların uygun bir faz faktörü ile katkıda bulunduğu Feynman yol integralinden doğar . Feynmann yol integrali zaman discretized edildiği zaman kesme olarak adlandırılan bir metot kullanılarak, yayıcısı genişleyen teşvik edilebilir.

Homotopik olmayan yollarda, bir zaman dilimindeki herhangi bir noktadan bir sonraki zaman diliminde başka bir noktaya gidilemez. Bu , yolların homotopik denklik sınıfını farklı ağırlıklandırma faktörlerine sahip olarak düşünebileceğimiz anlamına gelir .

Dolayısıyla, topolojik denklik kavramının Feynman yol integralinin bir çalışmasından geldiği görülebilir .

Homotopik eşdeğerlik kavramının kullanılması "doğru" olduğunu görmenin daha şeffaf bir yolu için bkz. Aharonov-Bohm etkisi .

Deney

Jon Leinaas ve Jan Myrheim tarafından yönetilen Oslo Üniversitesi'nde çalışan bir grup teorik fizikçi 1977'de fermiyonlar ve bozonlar arasındaki geleneksel ayrımın iki boyutta var olan teorik parçacıklar için geçerli olmayacağını hesapladı . Bu tür parçacıkların daha önce beklenmeyen çeşitli özellikler sergilemesi beklenir. 1982'de Frank Wilczek, iki boyutta yarıparçacıkların kesirli istatistiklerini araştıran ve onlara "anyon" adını veren iki makale yayınladı.

Bir yarı iletken cihazın Laughlin quasiparticle interferometre taramalı elektron mikrografı . Dört açık gri bölge, tükenmemiş elektronların Au / Ti kapılarıdır ; mavi eğriler, bu tükenmemiş elektronların eş potansiyellerinin kenar kanallarıdır . Koyu gri eğriler, elektronları tükenmiş kazınmış siperlerdir, mavi noktalar tünel bağlantılarıdır , sarı noktalar Ohmik kontaklardır . Cihazdaki elektronlar 2 boyutlu bir düzlemle sınırlandırılmıştır.

Daniel Tsui ve Horst Störmer , 1982'de kesirli kuantum Hall etkisini keşfettiler. Wilczek tarafından geliştirilen matematik , Harvard Üniversitesi'nden Bertrand Halperin'e bunun çeşitli yönlerini açıklamada faydalı oldu . Frank Wilczek, Dan Arovas ve Robert Schrieffer, 1985 yılında bu sistemlerde var olan parçacıkların aslında anyonlar olduğunu öngören açık bir hesaplamayla bu ifadeyi doğruladılar.

2020'de iki bilim insanı ekibi (biri Paris'te, diğeri Purdue'da) herhangi birinin varlığına dair yeni deneysel kanıtlar açıkladı. Her iki deneyler yer verildi Discover Magazine ' ın 2020 yıllık 'devlet bilimi' sorunu.

Nisan 2020'de, École normale supérieure (Paris) ve Nanobilimler ve Nanoteknolojiler Merkezi'nden (C2N) araştırmacılar, herkes için küçük bir "parçacık çarpıştırıcısının" sonuçlarını bildirdiler. Herhangi biri için teoriye göre tahminlerle eşleşen özellikleri tespit ettiler.

Temmuz 2020'de Purdue Üniversitesi'ndeki bilim adamları, farklı bir kurulum kullanan herhangi birisini tespit etti. Takımın interferometresi, elektronları galyum arsenit ve alüminyum galyum arsenitten yapılmış labirent benzeri kazınmış nanoyapıdan geçirir. "Bizim insanlarımızda örgü ile üretilen faz 2π/3 idi" dedi. "Bu, daha önce doğada görülenden farklı."

değişmeyen anyonlar

1988'de Jürg Fröhlich , parçacık değişiminin monoidal (değişmeyen istatistikler) olmasının spin-istatistik teoremi altında geçerli olduğunu gösterdi . Özellikle bu, sistem bir miktar dejenerasyon sergilediğinde elde edilebilir, böylece sistemin birden fazla farklı durumu aynı parçacık konfigürasyonuna sahip olur. O zaman bir partikül değişimi sadece bir faz değişikliğine katkıda bulunmayabilir, aynı zamanda sistemi aynı partikül konfigürasyonuyla farklı bir duruma da gönderebilir. Parçacık değişimi daha sonra bu dejenere durumların alt uzayında doğrusal bir dönüşüme karşılık gelir. Dejenerasyon olmadığında, bu alt uzay tek boyutludur ve bu nedenle tüm bu tür doğrusal dönüşümler değişir (çünkü bunlar sadece bir faz faktörü ile çarpmalardır). Dejenerasyon olduğunda ve bu alt uzay daha yüksek boyuta sahip olduğunda, bu doğrusal dönüşümlerin değişmesi gerekmez (tıpkı matris çarpımının olmadığı gibi).

Gregory Moore , Nicholas Read ve Xiao-Gang Wen , Abelian olmayan istatistiklerin kesirli kuantum Hall etkisinde (FQHE) gerçekleştirilebileceğine dikkat çekti . İlk başta değişmeli olmayan anyonlar genellikle matematiksel bir merak olarak kabul edilirken, Alexei Kitaev değişmeli olmayan anyonların topolojik bir kuantum bilgisayar inşa etmek için kullanılabileceğini gösterdiğinde fizikçiler keşiflerine doğru ilerlemeye başladılar . 2012 itibariyle, hiçbir deney, ν = 5/2 FQHE durumunun çalışmasında umut verici ipuçları ortaya çıkmasına rağmen, değişmeli olmayan anyonların varlığını kesin olarak göstermedi. Değişken olmayan anyonların deneysel kanıtları, henüz kesinleşmemiş ve şu anda tartışmalı olsa da, Ekim 2013'te sunuldu.

herkesin füzyonu

İki fermiyonun (örneğin her ikisi spin 1/2) birlikte bir bileşik bozon (toplam spin 0 ve 1 süperpozisyonunda olan) olarak görülebilmesi gibi, iki veya daha fazla anyon birlikte bir bileşik anyon oluşturur ( muhtemelen bir bozon veya fermiyon). Bileşik anyonun bileşenlerinin füzyonunun sonucu olduğu söylenir .

Eğer aynı değişmeli anyons bireysel istatistikler, her (olduğunu, bir faz sistemler alır iki ayrı anyons adiyabatik saat yönünün değiştirilmesini sağlar) tüm sigorta birlikte, birlikte istatistik var . Bu, iki bileşik anyonun birbiri etrafında saat yönünün tersine döndürülmesi üzerine , her birinin bir faza katkıda bulunan bireysel anyon çiftleri (biri birinci bileşik anyonda, biri ikinci bileşik anyonda) olduğuna dikkat edilerek görülebilir . Benzer bir analiz, özdeş olmayan değişmeli anyonların kaynaşması için geçerlidir. Bileşik herhangi birinin istatistikleri, bileşenlerinin istatistikleri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. ${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle e^{i\alpha }}$${\displaystyle N^{2}\alpha }$${\ Displaystyle N^{2}}$${\displaystyle e^{i\alpha }}$

Değişken olmayan herkes daha karmaşık füzyon ilişkilerine sahiptir. Kural olarak, değişmeyen anyonlara sahip bir sistemde, istatistik etiketi, bileşenlerinin istatistik etiketleri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmeyen, daha ziyade bir kuantum süperpozisyonu olarak var olan bir bileşik parçacık vardır (bu, iki fermiyonun nasıl bilindiğine tamamen benzerdir). spin 1/2'ye sahip olmak, toplam spin 1 ve 0'ın kuantum süperpozisyonunda birliktedir). Eğer birden fazla herkesin füzyonunun genel istatistikleri biliniyorsa, bu anyonların bazı alt kümelerinin füzyonunda hala belirsizlik vardır ve her olasılık benzersiz bir kuantum durumudur. Bu çoklu durumlar, üzerinde kuantum hesaplamanın yapılabileceği bir Hilbert uzayı sağlar .

topolojik temel

Saat yönünün tersine dönüş

Saat yönünde dönüş

2 + 1 uzay-zamanda iki parçacığın rotasyonla değişimi. Döndürmeler eşdeğerdir, çünkü biri diğerine deforme edilemez (dünya çizgileri düzlemden ayrılmadan, 2d uzayda imkansızdır).

İkiden fazla boyutta, spin-istatistik teoremi , ayırt edilemez parçacıkların herhangi bir çok parçacıklı durumunun Bose-Einstein veya Fermi-Dirac istatistiklerine uyması gerektiğini belirtir . Herhangi biri için d  > 2, Lie gruplarının SO ( d , 1) (genelleştirilmiş Lorentz grubu ve benzeri) Poincare ( d , 1) sahip Z ₂ kendi olarak ilk Homotopy grubu . Çünkü bu siklik grup, Z, ₂ , iki öğeden oluşur, sadece iki olasılık kalır. (Ayrıntılar bundan daha karmaşıktır, ancak can alıcı nokta budur.)

Durum iki boyutta değişir. Burada SO(2,1) ve ayrıca Poincare(2,1)'in ilk homotopi grubu Z'dir (sonsuz döngüsel). Bu, Spin(2,1)'in evrensel kapak olmadığı anlamına gelir : basitçe bağlantılı değildir . Ayrıntılı olarak, orada yansıtmalı temsiller arasında ortogonal grubu kaynaklı olmayan SO (2,1) lineer gösterimlerin SO (2,1) arasında, ya da bir çift kapak , sıkma grubu Spin (2,1). Anyonlar, yüklü bir parçacık tarafından spin polarizasyonunun eşit olarak tamamlayıcı temsilleridir.

Bu kavram aynı zamanda rölativistik olmayan sistemler için de geçerlidir. Buradaki ilgili kısım, uzaysal rotasyon grubunun SO(2) sonsuz bir birinci homotopi grubuna sahip olmasıdır.

Bu gerçek, düğüm teorisinde iyi bilinen örgü gruplarıyla da ilgilidir . Bir ya da iki boyutlu olarak iki parçacık permütasyon grubu artık olduğu gerçeği dikkate alındığında ilişki anlaşılabilir simetrik grup S ₂ (iki eleman) ile değil, örgü grubu B ₂ (elementlerin sonsuz sayıda). Buradaki temel nokta, bir örgünün diğerinin etrafına dolanabilmesidir, bu sonsuz sıklıkta ve saat yönünde olduğu kadar saat yönünün tersine de gerçekleştirilebilen bir işlemdir.

Kuantum hesaplamada kararlılık-eşevresizlik sorununa çok farklı bir yaklaşım, herhangi bir parçacık, iş parçacığı olarak kullanılan ve kararlı mantık kapıları oluşturmak için örgü teorisine dayanan yarı parçacıklarla topolojik bir kuantum bilgisayar oluşturmaktır .

Daha yüksek boyutlu genelleme

Nokta parçacıklar olarak kesirli uyarılmalar, 2+1 uzay-zaman boyutlarında bozonlar, fermiyonlar veya anyonlar olabilir. Nokta parçacıkların 3+1 ve üzeri uzay-zaman boyutlarında sadece bozon veya fermiyon olabileceği bilinmektedir. Bununla birlikte, döngü (veya dizi) veya zar benzeri uyarılar, genişletilmiş nesnelerdir, kesirli istatistiklere sahip olabilir. Mevcut araştırma çalışmaları , 3+1 boyutlu uzay-zamanda topolojik düzenler için döngü ve dizi benzeri uyarıların var olduğunu ve bunların çoklu döngü/dizi-örgü istatistiklerinin 3+1 boyutlu topolojik düzenleri tanımlamak için anahtar imzalar olduğunu göstermektedir. 3+1 boyutlu topolojik düzenlerin çoklu döngü/sicim örgü istatistikleri, 4 uzay-zaman boyutunda belirli topolojik kuantum alan teorilerinin bağlantı değişmezleri tarafından yakalanabilir . Konuşma diline göre açıklanacak olursa, uzun menzilli dolanık sistemlerde uzayan nesneler (döngü, sicim, zar vb.) 3+1 ve daha yüksek uzay-zaman boyutlarında potansiyel olarak anyonik olabilir .

Ayrıca bakınız

• Anyonik Lie cebiri  – bir çift doğrusal operatör ile donatılmış U(1) dereceli vektör uzayı L bölü C
• Akı tüpü  - Uzunluğu boyunca sabit mıknatıs akısına sahip tüp benzeri uzay bölgesi
• Ginzburg-Landau teorisi  – Süperiletkenlik teorisi
• Husimi Q temsili  – Hesaplamalı fizik simülasyon aracı
• Josephson etkisi  – Kuantum fiziksel fenomeni
• Makroskopik kuantum fenomenleri  – Kuantum davranışını gösteren makroskopik süreçler
• Manyetik alan  – Mıknatıslanmanın düzgün bir yöne sahip olduğu bir manyetik malzemenin bölgesi
• Manyetik akı kuantum  – Manyetik akı nicelleştirilmiş birimi
• Meissner etkisi  - Süperiletken duruma geçişi sırasında bir süperiletkenden manyetik alanın çıkarılması
• Plekton  – Teorik parçacık
• Kuantum girdabı  – Bazı fiziksel niceliklerin nicelleştirilmiş akı dolaşımı
• Rastgele matris  – Matris değerli rastgele değişken
• Topolojik kusur  – Kuantum mekaniğinde yapı türü
• Topolojik kuantum hesaplama  – Topolojik yoğun maddeye dayalı varsayımsal hataya dayanıklı kuantum bilgisayar

Referanslar

daha fazla okuma

• Nayak, Çetan; Simon, Steven H.; Stern, Ady; Freedman, Michael; Das Sarma, Sankar (2008). "Abelian olmayan anyonlar ve topolojik kuantum hesaplama". Modern Fizik İncelemeleri . 80 (3): 1083. arXiv : 0707.1889 . Bibcode : 2008RvMP...80.1083N . doi : 10.1103/RevModPhys.80.1083 . S2CID  119628297 .
• Wen, Xiao-Gang (15 Nisan 2002). "Kuantum siparişleri ve simetrik spin sıvıları" (PDF) . Fiziksel İnceleme B . 65 (16): 165113. arXiv : cond-mat/0107071 . Bibcode : 2002PhRvB..65p5113W . doi : 10.1103/PhysRevB.65.165113 . S2CID  119061254 . Arşivlenmiş orijinal (PDF) 9 Haziran 2011'de.
• Stern, Ady (2008). "Anyonlar ve kuantum Hall etkisi - Pedagojik bir inceleme" (PDF) . Fizik Annals . 323 (1): 204–249. arXiv : 0711.4697 . Bibcode : 2008AnPhy.323..204S . doi : 10.1016/j.aop.2007.100.08 . S2CID  15582782 .
• Najjar, Dana (2020). " Herkes için ' Kilometre Taşı' Kanıtı, Üçüncü Bir Parçacık Krallığı" . Quanta Dergisi .