Rastgele matris - Random matrix

Gelen Olasılık teorisi ve matematiksel fizik , bir rasgele matris a, matris -valued rastgele değişken -yani, bir kısmı veya tüm öğeler rasgele değişkenlerdir bir matris. Fiziksel sistemlerin birçok önemli özelliği matematiksel olarak matris problemleri olarak gösterilebilir. Örneğin, bir kafesin termal iletkenliği , kafes içindeki parçacık-parçacık etkileşimlerinin dinamik matrisinden hesaplanabilir.

Uygulamalar

Fizik

Olarak nükleer fizik , rastgele matrisler ile tanıtıldı Eugene Wigner'ı ağır atom çekirdeklerini model. Ağır bir atom çekirdeğinin spektrumundaki çizgiler arasındaki boşlukların, rastgele bir matrisin özdeğerleri arasındaki boşluklara benzemesi gerektiğini ve yalnızca temeldeki evrimin simetri sınıfına bağlı olması gerektiğini öne sürdü . Gelen katı hal fiziği , rasgele matrisler, büyük dağınık nesnenin durumunu Hamiltonyenlerin içinde ortalama alan yaklaşımı.

Olarak kuantum kaos , Bohigas-Giannoni-Schmit (BGS) tahmin iddia klasik muadilleri kaotik bir davranış sergileyen rasgele matris teori ile açıklanmaktadır kuantum sistemleri spektral istatistik o.

Olarak kuantum optik , dönüştürme rastgele yekpare matrislerle tarif edildiği gibi (örneğin, bakınız, klasik hesaplama kuantum avantajını gösteren için çok önemli olan boson örnekleme modeli). Ayrıca, bu tür rastgele üniter dönüşümler, parametrelerini optik devre bileşenlerine (yani ışın bölücüler ve faz kaydırıcılar) eşleyerek doğrudan bir optik devrede uygulanabilir .

Rastgele matris teorisi ayrıca kuantum kromodinamiği , iki boyutta kuantum yerçekimi , mezoskopik fizik , dönüş transfer torku , kesirli kuantum Hall etkisi , Anderson lokalizasyonu , kuantum noktaları ve süperiletkenlerde kiral Dirac operatörüne uygulamalar bulmuştur.

Matematiksel istatistik ve sayısal analiz

Çok değişkenli istatistiklerde , büyük örneklerin istatistiksel analizi için John Wishart tarafından rastgele matrisler tanıtıldı ; bkz . kovaryans matrislerinin tahmini .

Klasik skaler Chernoff , Bernstein ve Hoeffding eşitsizliklerini rastgele Hermit matrislerinin sonlu toplamlarının en büyük özdeğerlerine genişleten önemli sonuçlar gösterilmiştir . Doğal sonuçlar, dikdörtgen matrislerin maksimum tekil değerleri için türetilir.

Olarak sayısal analizi rastgele matrisler çalışma beri kullanılmaktadır , John von Neumann ve Herman Goldstine gibi işlemlerinde hesaplama hataları tanımlamak için matris çarpımı . Daha yeni sonuçlar için ayrıca bkz.

Sayı teorisi

Gelen sayı teorisi , sıfırlarının dağılımı Riemann zeta fonksiyonu (ve diğer L-fonksiyonlar ), bazı rasgele matrislerin eigen dağılımı modellenir. Bağlantı ilk olarak Hugh Montgomery ve Freeman J. Dyson tarafından keşfedildi . Bu bağlandığı Hilbert-Polya varsayım .

teorik sinirbilim

Teorik sinirbilim alanında, beyindeki nöronlar arasındaki sinaptik bağlantı ağını modellemek için rastgele matrisler giderek daha fazla kullanılmaktadır. Rastgele bağlantı matrisli dinamik nöronal ağ modellerinin, sinaptik ağırlıkların varyansı, sonsuz sistem boyutu sınırında kritik bir değeri geçtiğinde, kaosa bir faz geçişi sergiledikleri gösterilmiştir. Biyolojik olarak esinlenilmiş rastgele matris modellerinin spektrumunun istatistiksel özelliklerini, rastgele bağlı sinir ağlarının dinamik davranışıyla ilişkilendirmek yoğun bir araştırma konusudur.

Optimum kontrol

Gelen Optimal kontrol teorisi, evrim n zaman içinde durum değişkenlerinin kendi değerlerine ve değerlerine her zaman değişir k kontrol değişkenleri. Doğrusal evrim ile, durum denkleminde (evrim denklemi) katsayı matrisleri görünür. Bazı problemlerde bu matrislerdeki parametrelerin değerleri kesin olarak bilinmez, bu durumda durum denkleminde rastgele matrisler vardır ve problem stokastik kontrol olarak bilinir . Stokastik matrislerle doğrusal-kuadratik kontrol durumunda önemli bir sonuç , kesinlik denklik ilkesinin geçerli olmamasıdır: çarpan belirsizliğinin yokluğunda (yani, sadece toplamsal belirsizlikle), ikinci dereceden kayıp fonksiyonu ile optimal politika ile çakışır. belirsizlik göz ardı edilirse neye karar verilir, bu durum denkleminde rasgele katsayıların varlığında artık geçerli değildir.

Gauss toplulukları

En çok çalışılan rastgele matris toplulukları Gauss topluluklarıdır.

Gauss üniter grup ile tarif edilir Gauss ölçü yoğunluğu ${\displaystyle {\metin{GUE}}(n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}} }$

Hermit matrislerinin uzayı üzerinde . İşte yoğunluğun integrali bire eşit olacak şekilde seçilen bir normalleştirme sabiti. Terimi, yekpare bir dağıtım yekpare konjugasyon altında değişmeyen olduğu gerçeğine karşılık gelir. Gauss üniter topluluğu, zaman-ters simetrisi olmayan Hamiltonianları modeller . ${\görüntüleme stili n\kez n}$ ${\displaystyle H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}}$${\displaystyle Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}}$

Gauss ortogonal grup yoğunluğu ile Gauss ölçü ile tarif edilir ${\displaystyle {\metin{GOE}}(n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}} }$

n × n gerçek simetrik matrislerin uzayında H  = ( H _ij )ⁿ
_{ben , j =1}. Dağılımı ortogonal konjugasyon altında değişmezdir ve Hamiltonianları zaman-ters simetri ile modeller.

Gauss simplektik grup yoğunluğu ile Gauss ölçü ile tarif edilir ${\displaystyle {\metin{GSE}}(n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GSE}}(n)}}}e^{-n\mathrm {tr} H^{2}}\,}$

n × n Hermitian kuaterniyonik matrislerin uzayı üzerinde , örneğin kuaterniyonlardan oluşan simetrik kare matrisler , H  = ( H _ij )ⁿ
_{ben , j =1}. Dağılımı, simplektik grup tarafından konjugasyon altında değişmezdir ve Hamiltonianları zaman-ters simetrili ancak rotasyonel simetrisiz modeller.

Gauss toplulukları GOE, GUE ve GSE genellikle Dyson indeksleri,  GOE için β = 1,  GUE için β = 2 ve  GSE için β = 4 ile gösterilir. Bu indeks, matris elemanı başına gerçek bileşenlerin sayısını sayar. Burada tanımlandığı şekliyle topluluklar, ortalama ⟨ H _ij ⟩ = 0 olan Gauss dağılımlı matris elemanlarına ve şu şekilde verilen iki noktalı korelasyonlara sahiptir:

${\displaystyle \langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\ delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}}$,

tüm yüksek korelasyonların Isserlis teoremi tarafından takip edildiği .

GUE/GOE/GSE'nin λ ₁ , λ ₂ ,..., λ _n özdeğerleri için ortak olasılık yoğunluğu şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}\prod _{k=1}^{n}e^{-{\frac {\beta n}{4}}\lambda _ {k}^{2}}\prod _{i<j}\left|\lambda _{j}-\lambda _{i}\right|^{\beta }~,\quad (1)}$

burada Z, _{β , n,} açık bir şekilde hesaplanabilir bir normalizasyon sabittir, bkz Selberg integrali . GUE ( β  = 2) durumunda, formül (1) bir belirleyici nokta sürecini tanımlar . Ortak olasılık yoğunluğu çakışan özdeğerler için sıfıra ( inci dereceden) sahip olduğu için özdeğerler birbirini iter . ${\görüntüleme stili \beta }$${\displaystyle \lambda _{j}=\lambda _{i}}$

Sonlu boyutlardaki GOE, GUE ve Wishart matrisleri için en büyük özdeğerin dağılımı için bkz.

Seviye aralıklarının dağılımı

Sıralı özdeğer dizisinden , ortalama boşluk olduğu normalleştirilmiş boşluklar tanımlanır . Aralıkların olasılık dağılımı yaklaşık olarak şu şekilde verilir: ${\displaystyle \lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots }$ ${\displaystyle s=(\lambda _{n+1}-\lambda _{n})/\langle s\rangle }$${\displaystyle \langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle }$

${\displaystyle p_{1}(s)={\frac {\pi }{2}}s\,\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi }{4}}s^{2}} }$

ortogonal topluluk GOE için , ${\görüntüleme stili \beta =1}$

${\displaystyle p_{2}(s)={\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {4}{\pi }} ^{2}}}$

üniter topluluk GUE için ve ${\görüntüleme stili \beta =2}$

${\displaystyle p_{4}(s)={\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}\mathrm {e} ^{-{\ frac {64}{9\pi }}s^{2}}}$

sempatik topluluk GSE için . ${\görüntüleme stili \beta =4}$

Sayısal sabitler normalleştirilmiş şekildedir : ${\displaystyle p_{\beta }(lar)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,p_{\beta }(s)=1}$

ve ortalama boşluk,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,s\,p_{\beta }(s)=1,}$

için . ${\görüntüleme stili \beta=1,2,4}$

genellemeler

Wigner matrisleri rastgele Hermit matrisleridir, öyle ki girişler ${\displaystyle \textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$

${\displaystyle \left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\sağ\}}$

ana köşegenin üzerinde sıfır ortalamalı ve aynı ikinci momentlere sahip bağımsız rastgele değişkenler bulunur.

Değişmez matris toplulukları , V fonksiyonunun potansiyel olarak adlandırıldığı formda olan gerçek simetrik/ Hermityen/ kuaterniyonik Hermit matrislerinin uzayı üzerinde yoğunluğu olan rastgele Hermit matrisleridir . ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-n\mathrm {tr} V(H)}~,}$

Gauss toplulukları, bu iki rastgele matris sınıfının tek ortak özel durumlarıdır.

Rastgele matrislerin spektral teorisi

Rastgele matrislerin spektral teorisi, matrisin boyutu sonsuza giderken özdeğerlerin dağılımını inceler.

küresel rejim

Gelen küresel rejim , tek formun lineer istatistiklerin dağıtımı ile ilgileniyor . ${\displaystyle N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)}$

ampirik spektral ölçü

Deneysel spektrum ölçüsü μ _H ve H ile tanımlanır

${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{}}H{\text{ }}A\right'ın özdeğerleri \}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .}$

Genellikle, limiti deterministik bir ölçüdür; bu, kendi kendine ortalama almanın özel bir durumudur . Kümülatif dağılım fonksiyonu sınırlandırıcı tedbirin adlandırılır durumlarının entegre yoğunluğu ve ifade edilir , N ( λ ). Durumların entegre yoğunluğu türevlenebilir ise, türevi durumların yoğunluğu olarak adlandırılır ve ρ ( λ ) ile gösterilir  . ${\görüntüleme stili \mu _{H}}$

Wigner matrisleri için ampirik spektral ölçümün limiti Eugene Wigner tarafından tanımlanmıştır ; bkz. Wigner yarım daire dağılımı ve Wigner varsayımı . Örnek kovaryans matrisleri söz konusu olduğunda, Marčenko ve Pastur tarafından bir teori geliştirilmiştir.

Değişmez matris topluluklarının ampirik spektral ölçüsünün sınırı, potansiyel teorisinden kaynaklanan belirli bir integral denklem ile tanımlanır .

dalgalanmalar

N _{f , H}  =  n ⁻¹  Σ  f ( λ _j ) doğrusal istatistikleri için ∫ f ( λ )  dN ( λ ) hakkındaki dalgalanmalarla da ilgilenilir  . Rastgele matrislerin birçok sınıfı için, formun merkezi limit teoremi

${\displaystyle {\frac {N_{f,H}-\int f(\lambda )\,dN(\lambda )}{\sigma _{f,n}}}{\overset {D}{\longrightarrow } }N(0,1)}$

biliniyor, bkz., vb.

yerel rejim

Olarak yerel rejimi , bir sipariş 1 / uzunluğunun bir aralık içinde eigen ortak dağılımında, daha genel olarak, özdeğerler arasındaki aralıklarda ilgilenen, ve n . Sınırlayıcı spektral ölçünün desteği içindeki aralıklarla ilgili toplu istatistikler ile desteğin sınırına yakın aralıklarla ilgili kenar istatistikleri arasında ayrım yapılır .

Toplu istatistikler

Resmi olarak düzeltmek içinde iç ait destek ait . Sonra nokta sürecini düşünün${\displaystyle \lambda _{0}}$${\ Displaystyle N(\lambda )}$

${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})=\sum _{j}\delta {\Big (}{\cdot }-n\rho (\lambda _{0})(\lambda _{j}) -\lambda _{0}){\Büyük )}~,}$

rastgele matrisin özdeğerleri nerede . ${\displaystyle \lambda _{j}}$

Nokta süreci , civarındaki özdeğerlerin istatistiksel özelliklerini yakalar . İçin Gauss toplulukları , limiti bilinir; bu nedenle, GUE için çekirdek ile belirleyici bir nokta sürecidir.${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$

${\displaystyle K(x,y)={\frac {\sin \pi (xy)}{\pi (xy)}}}$

( sinüs çekirdeği ).

Genellik temel olguların bu sınırı olarak (ve de rasgele matris belirli bir modele de sadece rasgele matrisin simetri sınıfına bağımlı olmalıdır ). Bu, birkaç rastgele matris modeli için titizlikle kanıtlandı: değişmez matris toplulukları için, Wigner matrisleri için, vb. ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \lambda _{0}}$

Kenar istatistikleri

Bkz. Tracy–Widom dağılımı .

korelasyon fonksiyonları

Formun bölme fonksiyonları ile rastgele Hermit matrislerinin özdeğerlerinin ortak olasılık yoğunluğu${\görüntüleme stili n\kez n}$${\displaystyle M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}$

${\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V (M))}}$

nerede

${\displaystyle V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}}$

ve Hermit matrislerinin uzayı üzerindeki standart Lebesgue ölçüsüdür , ile verilir ${\görüntüleme stili d\mu _{0}(M)}$${\displaystyle \mathbf {H} ^{n\times n}}$${\görüntüleme stili n\kez n}$

${\displaystyle p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{ i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.}$

-Point korelasyon fonksiyonları (veya marjinal dağılımlar ) olarak tanımlanır ${\görüntüleme stili k}$

${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(nk)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\dots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{ n}),}$

değişkenlerinin çarpık simetrik fonksiyonlarıdır. Özellikle, tek noktalı korelasyon işlevi veya durumların yoğunluğu ,

${\displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\dots \int _{\mathbf {R} }dx_ {n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

Borel kümesi üzerindeki integrali , aşağıdakilerde bulunan beklenen özdeğer sayısını verir : ${\displaystyle B\altküme\mathbf {R} }$${\görüntüleme stili B}$

${\displaystyle \int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{}}B\}'deki özdeğerler\ sağ).}$

Aşağıdaki sonuç, bu korelasyon fonksiyonlarını , korelatör içinde görünen nokta çiftlerinde uygun integral çekirdeğin değerlendirilmesinden oluşan matrislerin belirleyicileri olarak ifade eder. ${\görüntüleme stili (x_{i},x_{j})}$

Teorem [Dyson-Mehta] herhangi biri için , -Point korelasyon fonksiyonu bir belirleyici olarak yazılabilir ${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\görüntüleme stili k}$${\ Displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$

${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\ sol(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\sağ),}$

burada bir inci Christoffel-Darboux çekirdeği ${\görüntüleme stili K_{n,V}(x,y)}$${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y),}$

ile ilişkili , yarı polinomlar cinsinden yazılmış ${\görüntüleme stili V}$

${\displaystyle \psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,{\rm {e}}^{-{ 1 \over 2}V(z)},}$

ortogonillik koşullarını karşılayan, belirtilen derecelerin tam bir monik polinom dizisi nerede${\displaystyle \{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }}$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.}$

Rastgele matrislerin diğer sınıfları

Wishart matrisleri

Wishart matrisleri , H  =  X X ^* biçimindeki n × n rastgele matrisleridir; burada X , bağımsız girişleri olan bir n × m rastgele matristir ( m  ≥  n ) ve X ^* , onun eşlenik devriktir . Wishart tarafından ele alınan önemli özel durumda, X'in girdileri aynı şekilde dağıtılmış Gauss rastgele değişkenleridir (gerçek veya karmaşık).  

Wishart matrislerinin ampirik spektral ölçüsünün sınırı Vladimir Marchenko ve Leonid Pastur tarafından bulundu , bkz. Marchenko–Pastur dağılımı .

Rastgele üniter matrisler

Dairesel topluluklara bakın .

Hermityen olmayan rastgele matrisler

Dairesel yasaya bakın .

Referans rehberi

• Rastgele matris teorisi üzerine kitaplar:
• Rastgele matris teorisi üzerine anket makaleleri:
• Tarihi eserler:

Referanslar

Dış bağlantılar

• Fyodorov, Y. (2011). "Rastgele matris teorisi" . Scholarpedia . 6 (3): 9886. Bibcode : 2011SchpJ...6.9886F . doi : 10.4249/scholarpedia.9886 .
• Weisstein, EW "Rastgele Matris" . Wolfram MathWorld'ün fotoğrafı.