Özdeş parçacıklar - Identical particles

Istatistik mekaniği
Termodinamik Kinetik teori
parçacık istatistikleri Spin-istatistik teoremi özdeş parçacıklar Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac paraistatistik Anyonik istatistikler Örgü istatistikleri
Termodinamik topluluklar NVE Mikrokanonik NVT Kanonik µVT Büyük kanonik NPH İzoentalpik-izobarik NPT İzotermal-izobarik
Modeller debye Einstein Şarkı söylerim saksılar
potansiyeller İçsel enerji entalpi Helmholtz serbest enerji Gibbs serbest enerjisi Büyük potansiyel / Landau serbest enerjisi
Bilim insanları Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman debye fermi Bose
v T e

Olarak kuantum mekaniği , özdeş parçacıklar (aynı zamanda ayırt veya ayırt edilemez partiküller ) vardır parçacıklar da, prensip olarak, birbirinden ayırt edilemez. Özdeş parçacık türleri, bunlarla sınırlı olmamak üzere, temel parçacıkları ( elektronlar gibi ), bileşik atom altı parçacıkları ( atom çekirdeği gibi ) ve ayrıca atomları ve molekülleri içerir . Kuasipartiküller de bu şekilde davranır. Bilinen tüm ayırt edilemez parçacıklar yalnızca kuantum ölçeğinde mevcut olsa da, kuantum istatistiklerinde keşfedildiği gibi, olası tüm parçacık türlerinin kapsamlı bir listesi veya kesin bir uygulanabilirlik sınırı yoktur .

: Özdeş parçacıkların iki ana kategori vardır bozonları paylaşabilir, kuantum durumları ve fermiyonlar ile (tarif edildiği gibi değildir, Pauli ilkesine ). Bozon örnekleri fotonlar , gluonlar , fononlar , helyum-4 çekirdekleri ve tüm mezonlardır . Fermiyon örnekleri elektronlar, nötrinolar , kuarklar , protonlar , nötronlar ve helyum-3 çekirdekleridir.

Parçacıkların özdeş olabileceği gerçeği, hesaplamaların , incelenen nesnelerin aynı olup olmadığına duyarlı olan olasılıksal argümanlara dayandığı istatistiksel mekanikte önemli sonuçlara sahiptir . Sonuç olarak, özdeş parçacıklar, ayırt edilebilir parçacıklardan önemli ölçüde farklı istatistiksel davranış sergiler. Örneğin, parçacıkların ayırt edilemezliği, Gibbs'in karıştırma paradoksuna bir çözüm olarak önerilmiştir .

Parçacıklar arasında ayrım yapmak

Parçacıkları ayırt etmek için iki yöntem vardır. İlk yöntem, kütle , elektrik yükü ve dönüş gibi parçacıkların içsel fiziksel özelliklerindeki farklılıklara dayanır . Farklılıklar varsa, ilgili özellikleri ölçerek parçacıklar arasında ayrım yapmak mümkündür. Bununla birlikte, aynı türden mikroskobik parçacıkların tamamen eşdeğer fiziksel özelliklere sahip olduğu ampirik bir gerçektir. Örneğin, evrendeki her elektron tamamen aynı elektrik yüküne sahiptir; bu yüzden " elektronun yükü " diye bir şeyden söz etmek mümkündür .

Parçacıklar eşdeğer fiziksel özelliklere sahip olsa bile, parçacıklar arasında ayrım yapmak için her parçacığın yörüngesini izlemek olan ikinci bir yöntem kalır. Her parçacığın konumu sonsuz bir kesinlikle ölçülebildiği sürece (parçacıklar çarpışsa bile), hangi parçacığın hangisi olduğu konusunda hiçbir belirsizlik olmayacaktır.

İkinci yaklaşımın sorunu, kuantum mekaniğinin ilkeleriyle çelişmesidir . Kuantum teorisine göre, parçacıklar ölçümler arasındaki periyotlarda belirli pozisyonlara sahip değildir. Bunun yerine, her pozisyonda bir parçacık bulma olasılığını veren dalga fonksiyonları tarafından yönetilirler . Zaman geçtikçe, dalga fonksiyonları yayılma ve örtüşme eğilimindedir. Bu gerçekleştiğinde, sonraki bir ölçümde parçacık konumlarından hangisinin daha önce ölçülenlere karşılık geldiğini belirlemek imkansız hale gelir. Parçacıkların daha sonra ayırt edilemez olduğu söylenir.

Kuantum mekanik açıklaması

Simetrik ve antisimetrik durumlar

Aşağıda, kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonu hakkındaki makalede geliştirilen formalizmi kullanarak yukarıdaki tartışmayı somut hale getirmek için bir örnek verilmiştir .

Let , n için (örneğin tek parçacık durumlarını belirtmek için (ayrık) kuantum numaralarının tam kümesini göstermek bir kutu içinde parçacık almak problem , n nicelenmiş olduğu dalga vektörü oluşan bir sistemi düşünün, dalga fonksiyonunun.) Yalınlık sağlamak için birbiriyle etkileşmeyen iki parçacıktan oluşur. Bir parçacığın n ₁ durumunda ve diğerinin n ₂ durumunda olduğunu varsayalım . Sezgisel olarak, sistemin kuantum durumu şu şekilde yazılır:

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$

burada durum yazma sırası, ilk yazılan durum parçacık 1 için ve ikinci yazılan durum parçacık 2 içindir (yani, eğer , o zaman parçacık 1 n ₂ durumunu işgal ederken parçacık 2 n ₁ durumunu işgal eder) ). Bu, tek tek alanlardan birleştirilmiş sistemin bir tensör çarpım uzayı için bir temel oluşturmanın basit bir şekilde kanonik yoludur . Bu ifade ayırt edilebilir parçacıklar için geçerlidir, ancak ayırt edilemeyen parçacıklar için uygun değildir, çünkü parçacıkların değişiminin bir sonucu olarak ve genellikle farklı durumlardır. ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$${\görüntüleme stili H\otimes H}$${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

• "parçacık 1 n ₁ durumunu işgal eder ve parçacık 2 n ₂ durumunu işgal eder " ≠ "parçacık 1 n ₂ durumunu ve parçacık 2 n ₁ durumunu işgal eder ".

İki durum, yalnızca karmaşık bir faz faktörü ile en fazla farklılık gösteriyorsa fiziksel olarak eşdeğerdir. Birbirinden ayırt edilemeyen iki parçacık için, parçacık değişiminden önceki durum, değişimden sonraki duruma fiziksel olarak eşdeğer olmalıdır, bu nedenle bu iki durum en fazla karmaşık bir faz faktörü ile farklılık gösterir. Bu gerçek, ayırt edilemez (ve etkileşmeyen) iki parçacık için bir durumun aşağıdaki iki olasılık ile verildiğini göstermektedir:

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

Toplamın olduğu durumlar simetrik , farkı içeren durumlar ise antisimetrik olarak bilinir . Daha tam olarak, simetrik durumlar şu şekildedir:

${\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{sabit}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_ {2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

antisimetrik durumlar forma sahipken

${\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{sabit}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_ {2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Not eğer n ₁ ve n, ₂ aynıdır, antisymmetric ifadesi, normalleştirilmiş olamaz çünkü bir durum vektörü olamaz sıfır, verir. Başka bir deyişle, birden fazla özdeş parçacık bir antisimetrik durumu işgal edemez (bir antisimetrik durum yalnızca bir parçacık tarafından işgal edilebilir). Bu bilinen Pauli ilkesine ve arkasındaki temel nedenidir kimyasal atomlu özellikleri ve stabilitesi madde .

değişim simetrisi

Simetrik ve antisimetrik durumların önemi nihayetinde ampirik kanıtlara dayanmaktadır. Özdeş parçacıkların karışık simetri durumlarını işgal etmedikleri, doğanın bir gerçeği gibi görünmektedir, örneğin;

${\displaystyle |n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{sabit}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_ {2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Aslında bu kuralın daha sonra tartışılacak olan bir istisnası vardır. Öte yandan, değişim simetrisi olarak bilinen çok parçacıklı durumların belirli bir simetrisini inceleyerek, simetrik ve antisimetrik durumların bir anlamda özel olduğu gösterilebilir .

Değişim operatörü olarak adlandırılan bir doğrusal operatör P tanımlayın . İki durum vektörünün bir tensör ürünü üzerinde hareket ettiğinde, durum vektörlerinin değerlerini değiştirir:

${\displaystyle P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle }$

P hem Hermitsel ve üniter . Üniter olduğu için simetri operatörü olarak kabul edilebilir . Bu simetri, parçacıklara (yani, tek parçacık Hilbert uzaylarına) eklenen etiketlerin değişimi altındaki simetri olarak tanımlanabilir.

Açıktır ki, (kimlik belgesi), yani özdeğerler ve P + 1 ve -1. Karşılık gelen özvektörler simetrik ve antisimetrik durumlardır: ${\ Displaystyle P^{2}=1}$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle }$

Başka bir deyişle, simetrik ve antisimetrik durumlar, parçacık etiketlerinin değişimi altında esasen değişmez: Hilbert uzayında başka bir yerde "döndürülmek" yerine, yalnızca +1 veya -1 faktörü ile çarpılırlar. Bu, ayırt edilemezlik üzerine daha önceki tartışma ile uyumlu olarak, parçacık etiketlerinin fiziksel bir anlamı olmadığını gösterir.

P'nin Hermitian olduğu hatırlanacaktır . Sonuç olarak, sistemin gözlenebiliri olarak kabul edilebilir, yani prensipte, bir durumun simetrik mi yoksa antisimetrik mi olduğunu bulmak için bir ölçüm yapılabilir. Ayrıca, parçacıkların eşdeğerliği, Hamiltoniyenin simetrik bir biçimde yazılabileceğini gösterir , örneğin:

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_ {2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

Bu tür Hamiltonianların komütasyon bağıntısını sağladığını göstermek mümkündür.

${\displaystyle \sol[P,H\sağ]=0}$

Heisenberg denklemine göre bu, P'nin değerinin bir hareket sabiti olduğu anlamına gelir . Kuantum durumu başlangıçta simetrik (antisimetrik) ise, sistem geliştikçe simetrik (antisimetrik) kalacaktır. Matematiksel olarak, bu durum vektörünün P'nin iki özuzaydan biriyle sınırlı olduğunu ve tüm Hilbert uzayını kapsamasına izin verilmediğini söyler . Böylece, bu özuzay, sistemin gerçek Hilbert uzayı olarak da ele alınabilir. Fock uzayının tanımının arkasındaki fikir budur .

Fermiyonlar ve bozonlar

Simetri veya antisimetri seçimi, parçacığın türüne göre belirlenir. Örneğin, fotonları veya helyum-4 atomlarını tanımlarken simetrik durumlar her zaman ve elektronları veya protonları tanımlarken antisimetrik durumlar kullanılmalıdır .

Simetrik durumlar sergileyen parçacıklara bozon denir . Simetrik durumların doğası, birçok özdeş bozondan oluşan sistemlerin istatistiksel özellikleri için önemli sonuçlara sahiptir. Bu istatistiksel özellikler Bose-Einstein istatistikleri olarak tanımlanır .

Antisimetrik durumlar sergileyen parçacıklara fermiyon denir . Antisimetri, özdeş fermiyonların aynı kuantum durumunu paylaşmasını yasaklayan Pauli dışlama ilkesine yol açar . Birçok özdeş fermiyonun sistemleri, Fermi-Dirac istatistikleri ile tanımlanır .

Parastatistikler de mümkündür.

Bazı iki boyutlu sistemlerde karışık simetri oluşabilir. Bu egzotik parçacıklar anyon olarak bilinir ve kesirli istatistiklere uyarlar . Herhangi birinin varlığına dair deneysel kanıtlar , MOSFET'lerin inversiyon katmanını oluşturan iki boyutlu elektron gazlarında gözlemlenen bir fenomen olan kesirli kuantum Hall etkisinde mevcuttur . Plektonlar olarak bilinen parçacıklarla ilişkilendirilen ve örgü istatistikleri olarak bilinen başka bir istatistik türü daha vardır .

Spin-istatistik teoremi bunların özdeş parçacıkların kuru simetri ile ilgilidir dönüş . Bozonların tamsayı dönüşü ve fermiyonların yarı tamsayı dönüşü olduğunu belirtir. Anyonlar kesirli spine sahiptir.

N parçacık

Yukarıdaki tartışma kolaylıkla N tanecikler durumuna genellenir . Kuantum sayıları n ₁ , n ₂ , ..., n _N olan N tane parçacık olduğunu varsayalım . Parçacıklar bozonlarsa, herhangi iki parçacık etiketinin değişimi altında simetrik olan tamamen simetrik bir durum işgal ederler :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {\prod _{n}m_{n}!}{N!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\sağ\rangle \left|n_{p(2)}\sağ\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\sağ\rangle }$

Burada, N elemana etki eden p permütasyonları altındaki tüm farklı durumlar için toplam alınır . Toplama bırakılan karekök bir normalleştirme sabitidir . Miktar m _{, n} kere tek parçacık her bir ülkenin sayıyı temsil etmektedir , n görünür K -Parçacık durum. Σ _n m _n = N olduğuna dikkat edin .

Aynı şekilde, fermiyonlar tamamen antisimetrik durumlara sahiptir :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatöradı {sgn} ( p)\sol|n_{p(1)}\sağ\rangle \left|n_{p(2)}\sağ\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\sağ\rangle \ }$

Burada, SGN ( s ) olan bir işaret her permütasyon (yani eğer transpozisyonlar çift sayıda ve oluşan tek ise). Terim olmadığına dikkat edin , çünkü her bir tek parçacık durumu, bir fermiyonik durumda yalnızca bir kez görünebilir. Aksi takdirde, antisimetri nedeniyle toplam yine sıfır olur ve böylece fiziksel olarak imkansız bir durumu temsil eder. Bu, birçok parçacık için Pauli dışlama ilkesidir . ${\görüntüleme stili +1}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili -1}$${\displaystyle \Pi _{n}m_{n}}$

Bu durumlar normalleştirildi, böylece

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1 }n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

Ölçüm

Simetrik (antisimetrik) durumda bir N bozon (fermiyon) sistemi olduğunu varsayalım.

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle }$

ve diğer bazı ayrık gözlemlenebilirler kümesi üzerinde bir ölçüm gerçekleştirilir, m . Genel olarak, bu, bazı sonuç verir m ₁ bir tanecik için m ₂ benzeri bir parçacık için, ve. Parçacıklar bozon (fermiyon) ise, ölçümden sonraki durum simetrik (antisimetrik) kalmalıdır, yani

${\displaystyle |m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle }$

m ölçümü için belirli bir sonuç elde etme olasılığı

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left \langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

Gösterilebilir ki

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_ {1},\ldots ,m_{N})=1}$

bu, toplam olasılığın 1 olduğunu doğrular. Her çok parçacık durumunun birden fazla sayılmamasını sağlamak için toplam , m ₁ , ..., m _N sıralı değerlerle sınırlandırılmalıdır .

dalga fonksiyonu gösterimi

Şimdiye kadar, tartışma yalnızca ayrık gözlemlenebilirleri içeriyordu. x konumu  gibi sürekli gözlemlenebilirlere genişletilebilir .

Sürekli bir gözlemlenebilirin öz durumunun, ayrık gözlemlenebilirlerde olduğu gibi tek bir değeri değil, gözlemlenebilirin sonsuz küçük bir değer aralığını temsil ettiğini hatırlayın . Örneğin, bir parçacık | ψ ⟩, hacim bir bölge içinde bulunma olasılığı d ³ x bir konum çevresinde x olan

${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x}$

Sonuç olarak, sürekli özdurumlar | x ⟩, birlik yerine delta işlevine normalleştirilir :

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')}$

Simetrik ve antisimetrik çok parçacıklı durumlar, daha önce olduğu gibi sürekli özdurumlardan oluşturulabilir. Ancak, farklı bir normalleştirme sabiti kullanmak gelenekseldir:

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!} }\sum _{p}\left|x_{p(1)}\sağ\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\sağ\ rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{N!}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\ sol|x_{p(1)}\sağ\rangle \left|x_{p(2)}\sağ\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\sağ\rangle \end{hizalı}}}$

Çok cisimli bir dalga fonksiyonu yazılabilir,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{ N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&= {\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{ p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N }}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_ {1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N}) \end{hizalanmış}}}$

tek parçacık dalga fonksiyonlarının her zamanki gibi tanımlandığı yerde

${\displaystyle \psi _{n}(x)\eşdeğer \langle x|n\rangle }$

Bu dalga fonksiyonlarının en önemli özelliği, herhangi iki koordinat değişkeninin değiştirilmesinin dalga fonksiyonunu sadece bir artı veya eksi işareti ile değiştirmesidir. Bu, dalga fonksiyonu gösteriminde simetri ve antisimetrinin tezahürüdür:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _ {n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_ {N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}( \cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{hizalı}}}$

Çok vücut dalga fonksiyonu aşağıdaki anlamları vardır: Sistem kuantum sayısı ile başlangıçta hazır bir durumda, eğer , n _{, 1} , ..., n _{, N} , ve bir mesafe ölçümünün gerçekleştirilir yakın sonsuz hacimlerde parçacıkların bulma olasılığı x ₁ , x ₂ , ..., x _{, N} olduğu

${\displaystyle N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\sağ|^{2}\;d^{3N}\!x}$

N faktörü ! tek parçacık dalga fonksiyonlarına benzer şekilde seçilen normalleştirme sabitimizden gelir,

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d ^{3}\!x_{N}=1}$

Her bir integral, x'in tüm olası değerleri üzerinde çalıştığı için , her çok parçacıklı durum N ! integraldeki zamanlar. Başka bir deyişle, her olayla ilişkili olasılık N ! integral uzayda eşdeğer noktalar. Kısıtlı olmayan integrallerle çalışmak genellikle kısıtlı olanlardan daha uygun olduğundan, bunu yansıtmak için normalleştirme sabiti seçilmiştir.

Son olarak, antisimetrik dalga fonksiyonu, Slater determinantı olarak bilinen bir matrisin determinantı olarak yazılabilir :

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N !}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots & \psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{ n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matris}}\sağ|}$

Operatör yaklaşımı ve paraistatistik

Parçacıklar için Hilbert uzayı tensör çarpımı tarafından verilir . Permütasyon grubu , girişlere izin vererek bu alan üzerinde hareket eder. Tanım gereği bir gözlenebilir için beklenen değerleri arasında ayırt edilemez parçacıklar bu permütasyonu değişmez olması gerekir. Bunun anlamı, herkes için ve${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili \otimes _{n}H}$${\ Displaystyle S_{n}}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili n}$${\ Displaystyle \ psi \ H'de}$${\displaystyle \sigma \S_{n}}$

${\displaystyle (\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,}$

veya eşit olarak her biri için ${\displaystyle \sigma \S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a}$.

İki durum, tüm gözlemlenebilirler için beklenti değerleri çakıştığında eşdeğerdir. Özdeş parçacıkların gözlenebilirleriyle ve dolayısıyla yukarıdaki denklemi sağlayan gözlenebilirlerle sınırlandırırsak , aşağıdaki durumların (normalizasyondan sonra) eşdeğer olduğunu buluruz. ${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle \Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi }$.

Denklik sınıfları vardır örten ilişki indirgenemez alt uzayları ile under . ${\görüntüleme stili \otimes _{n}H}$${\ Displaystyle S_{n}}$

İki belirgin indirgenemez altuzay, tek boyutlu simetrik/bosonik altuzay ve anti-simetrik/fermiyonik altuzaydır. Bununla birlikte, indirgenemez alt uzayların daha fazla türü vardır. Bu diğer indirgenemez alt uzaylarla ilişkili durumlara paraistatistik durumlar denir . Genç tablolar , tüm bu indirgenemez alt uzayları sınıflandırmak için bir yol sağlar.

istatistiksel özellikler

Ayırt edilemezliğin istatistiksel etkileri

Parçacıkların ayırt edilemezliği, istatistiksel özellikleri üzerinde derin bir etkiye sahiptir. Bunu göstermek için, N ayırt edilebilir, etkileşime girmeyen parçacıklardan oluşan bir sistem düşünün . Bir kez daha, izin n _j parçacık durumunu (örneğin kuantum sayısı) belirtmek j . Parçacıklar aynı fiziksel özelliklere sahipse, n _j 'ler aynı değer aralığında ilerler. Let ε ( n belirtmektedir) enerji durumu bir parçacığın n . Parçacıklar etkileşime girmediğinden, sistemin toplam enerjisi, tek parçacık enerjilerinin toplamıdır. Sistemin bölme işlevi ,

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon ( n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\sağ]\sağ\}}$

burada k , Boltzmann sabitidir ve T , sıcaklıktır . Bu ifade elde etmek için çarpanlarına ayrılabilir

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

nerede

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \sol[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\sağ].}$

Parçacıklar aynıysa, bu denklem yanlıştır. Tek parçacık durumları [ n ₁ , ..., n _N ] tarafından tanımlanan sistemin bir durumunu düşünün . Z denkleminde , n' s'nin her olası permütasyonu , bu permütasyonların her biri aynı çok parçacıklı durumu tanımlıyor olsa bile, toplamda bir kez gerçekleşir. Bu nedenle, eyaletlerin sayısı fazla sayılmıştır.

Örtüşen durumların olasılığı ihmal edilirse, ki bu sıcaklık yüksekse geçerlidir, o zaman her bir durumun sayılma sayısı yaklaşık N !'dir. Doğru bölüm işlevi

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

Bu "yüksek sıcaklık" yaklaşımının fermiyonlar ve bozonlar arasında ayrım yapmadığına dikkat edin.

Ayırt edilebilir ve ayırt edilemez parçacıkların bölünme fonksiyonlarındaki tutarsızlık, kuantum mekaniğinin ortaya çıkmasından önce 19. yüzyıla kadar biliniyordu. Gibbs paradoksu olarak bilinen bir zorluğa yol açar . Gibbs denklemdeki gösterdi , Z = ξ ^N , entropi Klasik bir yere gaz olan

${\displaystyle S=Nk\ln \sol(V\sağ)+Nf(T)}$

burada V bir hacim gaz ve f bazı fonksiyonudur T , tek başına. Bu sonuçtaki sorun, S'nin geniş olmamasıdır - N ve V ikiye katlanırsa, S buna göre iki katına çıkmaz. Böyle bir sistem termodinamiğin varsayımlarına uymaz .

Gibbs ayrıca Z = ξ ^N / N ! sonucu değiştirir

${\displaystyle S=Nk\ln \sol({\frac {V}{N}}\sağ)+Nf(T)}$

ki bu mükemmel derecede kapsamlıdır. Bununla birlikte, bölüm fonksiyonundaki bu düzeltmenin nedeni, kuantum mekaniğinin keşfine kadar belirsiz kaldı.

Bozonların ve fermiyonların istatistiksel özellikleri

Bozonların ve fermiyonların, sırasıyla Bose-Einstein istatistikleri ve Fermi-Dirac istatistikleri tarafından açıklanan istatistiksel davranışları arasında önemli farklılıklar vardır . Kabaca konuşursak, bozonlar, lazer , Bose-Einstein yoğuşması ve aşırı akışkanlık gibi fenomenlerin altında yatan aynı kuantum durumuna girme eğilimindedir . Öte yandan, fermiyonların kuantum hallerini paylaşmaları yasaktır, bu da Fermi gazı gibi sistemlere yol açar . Bu, Pauli Dışlama Prensibi olarak bilinir ve bir atomdaki elektronlar (fermiyonlar), hepsi aynı en düşük enerji durumunda yatmak yerine, kabuklardaki birçok durumu art arda doldurduğundan, kimyanın çoğundan sorumludur .

Fermiyonların, bozonların ve ayırt edilebilir parçacıkların istatistiksel davranışları arasındaki farklar, iki parçacıklı bir sistem kullanılarak gösterilebilir. Parçacıklar A ve B olarak adlandırılır. Her parçacık aynı enerjiye sahip ve etiketli iki olası durumda bulunabilir . ${\görüntüleme stili |0\menzil }$${\görüntüleme stili |1\menzil }$

Kompozit sistem, gürültülü bir ortamla etkileşime girerek zamanla gelişebilir. Çünkü ve durumları enerjik eşdeğerdir bu işlem durumları randomize etkisine sahiptir, böylece, ne devlet, tercih edilir. (Bu, kuantum dolaşıklık ile ilgili makalede tartışılmaktadır .) Bir süre sonra, bileşik sistem, mevcut durumların her birini işgal etme konusunda eşit bir olasılığa sahip olacaktır. Parçacık durumları daha sonra ölçülür. ${\görüntüleme stili |0\menzil }$${\görüntüleme stili |1\menzil }$

A ve B ayırt edilebilir parçacıklarsa, bileşik sistemin dört farklı durumu vardır: , , , ve . Durumda iki parçacık elde etme olasılığı 0.25'tir; durumda iki parçacık elde etme olasılığı 0.25'tir; ve bir parçacığın durumda ve diğerinin durumda elde edilmesi olasılığı 0,5'tir. ${\displaystyle |0\menzil |0\menzil }$${\displaystyle |1\menzil |1\menzil }$${\displaystyle |0\menzil |1\menzil }$${\displaystyle |1\menzil |0\menzil }$${\görüntüleme stili |0\menzil }$${\görüntüleme stili |1\menzil }$${\görüntüleme stili |0\menzil }$${\görüntüleme stili |1\menzil }$

A ve B özdeş bozonlarsa, bileşik sistemin yalnızca üç farklı durumu vardır: , , ve . Deney yapıldığında, durumda iki parçacığın elde edilme olasılığı artık 0.33'tür; durumda iki parçacık elde etme olasılığı 0.33'tür; ve bir parçacığın durumda ve diğerinin durumda elde edilmesi olasılığı 0.33'tür. Aynı durumda parçacıkları bulma olasılığının, ayırt edilebilir duruma göre nispeten daha büyük olduğuna dikkat edin. Bu, bozonların "kümelenme" eğilimini gösterir. ${\displaystyle |0\menzil |0\menzil }$${\displaystyle |1\menzil |1\menzil }$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )}$${\görüntüleme stili |0\menzil }$${\görüntüleme stili |1\menzil }$${\görüntüleme stili |0\menzil }$${\görüntüleme stili |1\menzil }$

A ve B özdeş fermiyonlar ise, bileşik sistem için uygun olan tek bir durum vardır: tamamen antisimetrik durum . Deney yapıldığında, bir parçacık her zaman durumda, diğeri ise haldedir. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )}$${\görüntüleme stili |0\menzil }$${\görüntüleme stili |1\menzil }$

Sonuçlar Tablo 1'de özetlenmiştir:

Tablo 1: İki parçacığın istatistikleri

parçacıklar	Her ikisi de 0	her ikisi de 1	Bir 0 ve bir 1
ayırt edilebilir	0.25	0.25	0,5
bozonlar	0.33	0.33	0.33
fermiyonlar	0	0	1

Görülebileceği gibi, iki parçacıklı bir sistem bile ayırt edilebilir parçacıklar, bozonlar ve fermiyonlar arasında farklı istatistiksel davranışlar sergiler. Fermi-Dirac istatistikleri ve Bose-Einstein istatistikleri hakkındaki makalelerde , bu ilkeler niteliksel olarak benzer sonuçlarla çok sayıda parçacığa genişletildi.

homotopi sınıfı

Parçacık istatistiklerinin neden bu şekilde çalıştığını anlamak için, öncelikle parçacıkların nokta-lokalize uyarılar olduğuna ve uzay benzeri ayrılmış parçacıkların etkileşime girmediğine dikkat edin. Düz bir d -boyutlu M uzayında , herhangi bir zamanda, iki özdeş parçacığın konfigürasyonu M × M'nin bir elemanı olarak belirtilebilir . Parçacıklar arasında, doğrudan etkileşime girmemeleri için bir örtüşme yoksa, konumları , çakışan noktaların kaldırıldığı alt uzay olan [ M × M ]/{tesadüf noktaları} uzayına ait olmalıdır . Eleman ( x ,  y ) en parçacık ben konfigürasyonunu tanımlamaktadır x de ve parçacık II y ise, ( Y ,  X ) ara-konfigürasyonunu tarif etmektedir. Özdeş parçacıklarla, ( x ,  y ) ile tanımlanan durum, ( y ,  x ) ile tanımlanan durumdan ayırt edilemez olmalıdır . Şimdi ( x ,  y ) ile ( y ,  x ) arasındaki sürekli yolların homotopi sınıfını [ M × M ]/{tesadüf noktaları} alanı içinde ele alalım . Eğer M bir R, ^d d ≥ 3 , bu eşyerellik sınıf sadece bir eleman yer alır. Eğer M bir R, ² , o zaman bu eşyerellik sınıfı (sayılabilir birçok elemana sahiptir, yani saat yönünün tersine bir değişim vb yarım tur, bir buçuk sarım iki tarafından ters saat değişimi buçuk sarım, yarım tur bir saat yönünde birbirlerinin yerine , vesaire.). Özellikle, yarım tur saat yönünün tersine bir değişim, yarım tur saat yönünde bir değişime homotopik değildir . Son olarak, E ise R , o zaman bu eşyerellik sınıf boştur.

Önce d ≥ 3 olduğunu varsayalım . Genel kaplama alanı içinde [ M x M ] / {çakışık noktaları} başkası değildir [ M x M ] / {çakışık noktası} kendisi değil, yalnızca fiziksel ayırt edilemez iki noktası vardır ( x ,  y ) , yani, ( x ,  y ) kendisi ve ( y ,  x ) . Bu nedenle, izin verilen tek değiş tokuş her iki parçacığı da değiştirmektir. Bu değiş tokuş bir involüsyondur , dolayısıyla tek etkisi, fazı 1'in karekökü ile çarpmaktır.

M = R ² durumunda , [ M × M ]/{çakışan noktalar} evrensel kaplama uzayı, ( x ,  y ) ' den fiziksel olarak ayırt edilemeyen sonsuz sayıda noktaya sahiptir . Bu, saat yönünün tersine yarım dönüş değişimi yaparak oluşturulan sonsuz döngüsel grup ile tanımlanır . Önceki durumdan farklı olarak, bu değişimi arka arkaya iki kez gerçekleştirmek orijinal durumu kurtarmaz; böylece böyle bir değişim jenerik exp (bir çarpma neden olabilir iθ herhangi bir gerçek) İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ile ( unitarity , çarpma mutlak değeri 1 olmalıdır). Buna anyonik istatistik denir . Aslında, ( x ,  y ) şimdi ( y ,  x ) ' den fiziksel olarak ayırt edilebilir olsa da, iki ayırt edilebilir parçacıkla bile , evrensel kaplama uzayı hala orijinal noktadan fiziksel olarak ayırt edilemeyen sonsuz sayıda nokta içerir, şimdi saat yönünün tersi tarafından oluşturulur. bir tam tur döndürme. Bu üreteç, daha sonra, exp( iφ ) ile bir çarpma ile sonuçlanır . Buradaki bu faz faktörü, karşılıklı istatistikler olarak adlandırılır .

Son olarak, M = R durumunda , [ M × M ]/{tesadüf noktaları} uzayı bağlantılı değildir, dolayısıyla I. parçacık ve II. parçacık aynı olsalar bile, "üzerindeki parçacık" gibi etiketlerle ayırt edilebilirler. sol" ve "sağdaki parçacık". Burada değişim simetrisi yoktur.

Ayrıca bakınız

• yarı küme teorisi
• DeBroglie hipotezi

Dipnotlar

Referanslar

• Tuckerman, Mark (2010), İstatistiksel Mekanik , ISBN 978-0198525264

Dış bağlantılar

• John S. Denker tarafından Özdeş ve Muhtemelen Ayırt Edilemez Parçacıkların Değişimi
• Kuantum Teorisinde Kimlik ve Bireysellik ( Stanford Felsefe Ansiklopedisi )
• E. Pavarini, E. Koch ve U. Schollwöck'teki Çok Elektron Durumları: İlişkili Maddede Acil Durum Olayları, Jülich 2013, ISBN  978-3-89336-884-6