Spin-istatistik teoremi - Spin–statistics theorem

Istatistik mekaniği
Termodinamik Kinetik teori
parçacık istatistikleri Spin-istatistik teoremi özdeş parçacıklar Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac paraistatistik Anyonik istatistikler Örgü istatistikleri
Termodinamik topluluklar NVE Mikrokanonik NVT Kanonik µVT Büyük kanonik NPH İzoentalpik-izobarik NPT İzotermal-izobarik
Modeller debye Einstein Şarkı söylerim saksılar
potansiyeller İçsel enerji entalpi Helmholtz serbest enerji Gibbs serbest enerjisi Büyük potansiyel / Landau serbest enerjisi
Bilim insanları Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman debye fermi Bose
v t e

Olarak kuantum mekaniği , spin-istatistik teoremi ilgilidir içsel bir spin parçacık (arasında açısal momentum sağlanamaması nedeniyle yörünge hareketi) partikül istatistikleri bu uyar. İndirgenmiş Planck sabiti ħ birimlerinde, 3 boyutta hareket eden tüm parçacıkların ya tamsayı dönüşü ya da yarı tamsayı dönüşü vardır.

Arka fon

Kuantum durumları ve ayırt edilemez parçacıklar

Bir kuantum sisteminde, fiziksel bir durum bir durum vektörü ile tanımlanır . Bir çift farklı durum vektörü, mutlak değerleri eşitse, diğer etkileşimleri yok sayarak fiziksel olarak eşdeğerdir. Bunun gibi bir çift ayırt edilemez parçacık sadece bir duruma sahiptir. Bunun anlamı, eğer parçacıkların konumları değiştirilirse (yani bir permütasyona uğrarlarsa), bu yeni bir fiziksel durumu değil, orijinal fiziksel duruma uyan bir fiziksel durumu tanımlar. Aslında hangi parçacığın hangi konumda olduğu söylenemez.

Parçacıkların konumlarının değişimi altında fiziksel durum değişmezken, bir değişim sonucunda durum vektörünün işaret değiştirmesi mümkündür. Bu durum vektörünün mutlak değerini değiştirmediğinden fiziksel durumu etkilemez.

Spin/istatistik ilişkisini kanıtlamanın temel bileşeni, Lorentz dönüşümleri altında fiziksel yasaların değişmediği göreliliktir . Alan operatörleri , tanım gereği, oluşturdukları parçacığın spinine göre Lorentz dönüşümleri altında dönüşüm yaparlar .

Ek olarak, uzay benzeri ayrılmış alanların ya gidip geldiği ya da ters gittiği varsayımı (mikro nedensellik olarak bilinir), yalnızca zaman yönü olan göreli teoriler için yapılabilir. Aksi takdirde, uzay-benzeri olma kavramı anlamsızdır. Bununla birlikte, ispat, şimdi açıklanacağı gibi, zaman yönünün uzaysal bir yön olarak ele alındığı bir Öklid uzay-zaman versiyonuna bakmayı içerir.

Lorentz dönüşümleri , artırmaların yanı sıra 3 boyutlu döndürmeleri içerir . Bir destek , farklı bir hızla bir referans çerçevesine aktarılır ve matematiksel olarak zamana dönüş gibidir. By analitik devamında kuantum alan teorisinin korelasyon fonksiyonlarının, zaman olabilir koordinat hayali ve ardından artırır rotasyonlar olur. Yeni "uzay-zaman" sadece uzaysal yönlere sahiptir ve Öklid olarak adlandırılır .

Değişim simetrisi veya permütasyon simetrisi

Bozonlar , böyle bir değişim veya permütasyon altında dalga fonksiyonu simetrik olan parçacıklardır, dolayısıyla parçacıkları değiştirirsek dalga fonksiyonu değişmez. Fermiyonlar , dalga fonksiyonu antisimetrik olan parçacıklardır, bu nedenle böyle bir değiş tokuş altında dalga fonksiyonu bir eksi işareti alır, yani iki özdeş fermiyonun aynı durumu işgal etmesi için genlik sıfır olmalıdır. Bu, Pauli dışlama ilkesidir : iki özdeş fermiyon aynı durumu işgal edemez. Bu kural bozonlar için geçerli değildir.

Kuantum alan teorisinde, bir durum veya bir dalga fonksiyonu, vakum adı verilen bazı temel durum üzerinde çalışan alan operatörleri tarafından tanımlanır . Operatörlerin, yaratan dalga fonksiyonunun simetrik veya antisimetrik bileşenini dışarı yansıtması için, uygun komütasyon yasasına sahip olmaları gerekir. Operatör

${\displaystyle \iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy}$

( bir operatör ve sayısal bir fonksiyon ile) dalga fonksiyonu ile iki parçacıklı bir durum yaratır ve alanların komütasyon özelliklerine bağlı olarak ya sadece antisimetrik kısımlar ya da simetrik kısımlar önemlidir. ${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili \psi (x,y)}$${\görüntüleme stili \psi (x,y)}$

Bunu ve iki operatörün aynı anda gerçekleştiğini varsayalım ; daha genel olarak, aşağıda açıklanacağı gibi boşluk benzeri bir ayrılmaya sahip olabilirler . ${\görüntüleme stili x\neq y}$

Alanlar commutte ise , bu, aşağıdakilerin geçerli olduğu anlamına gelir:

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x)}$,

o zaman sadece simetrik kısım katkıda bulunur, böylece , ve alan bozonik parçacıklar yaratacaktır. ${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili \psi (x,y)=\psi (y,x)}$

Öte yandan, alanlar anti-commute ise , bu şu özelliğe sahip demektir: ${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),}$

o zaman sadece antisimetrik kısmı katkıda bulunur, böylece , ve parçacıklar fermiyonik olacaktır. ${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili \psi (x,y)=-\psi (y,x)}$

Naif olarak, ikisinin de değişim özellikleriyle değil, parçacıkların dönme özelliklerini belirleyen dönüşle hiçbir ilgisi yoktur.

Spin-istatistik ilişkisi

Spin-istatistik ilişki ilk tarafından 1939 yılında formüle edildi Markus Fierz ve bir daha sistematik bir şekilde rederived edildi Wolfgang Pauli . Fierz ve Pauli, pozitif-belirli bir enerji yoğunluğu da dahil olmak üzere yerel olarak değişen gözlemlenebilirler için ikinci dereceden formların olması şartına tabi olan tüm serbest alan teorilerini numaralandırarak sonuçlarını savundular. Daha kavramsal bir argüman 1950'de Julian Schwinger tarafından sağlandı . Richard Feynman , bir dış potansiyel değişken olduğu için saçılma için üniterliği talep ederek bir gösteri yaptı ; bu, alan diline çevrildiğinde, potansiyele bağlanan ikinci dereceden operatör üzerinde bir koşuldur.

teorem ifadesi

Teorem şunu belirtir:

• Dalga fonksiyonu sisteminin aynı tam sayı-sıkma parçacıklarının herhangi iki parçacık konumu değiştirilir aynı değere sahiptir. Değişim altında simetrik dalga fonksiyonlarına sahip parçacıklara bozon denir .
• Özdeş yarı tamsayılı spinli parçacıklardan oluşan bir sistemin dalga fonksiyonu, iki parçacık yer değiştirdiğinde işaret değiştirir. Değişim altında antisimetrik dalga fonksiyonlarına sahip parçacıklara fermiyon denir .

Başka bir deyişle, spin-istatistik teoremi, tamsayılı spinli parçacıkların bozon, yarım tamsayılı spinli parçacıkların ise fermiyon olduğunu belirtir.

Genel Tartışma

Müstehcen sahte argüman

İki alanlı operatör ürününü düşünün

${\displaystyle R(\pi )\phi (x)\phi (-x),}$

burada R , belirli bir eksen etrafında 180 derecelik bir dönüş yapıldığında alanın spin polarizasyonunu 180 derece döndüren matristir. bileşenleri bu gösterimde gösterilmemiştir. birçok bileşeni vardır ve R matrisi bunları birbiriyle karıştırır. ${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili\phi }$

Göreceli olmayan bir teoride, bu ürün, iki parçacığı birbirine göre döndürülen konumlarda ve polarizasyonlarla yok etmek olarak yorumlanabilir . Şimdi bu konfigürasyonu orijin etrafında döndürün . Bu döndürme altında, iki nokta ve anahtar yerleri ve iki alan polarizasyonu ek olarak bir tarafından döndürülür . Yani biz ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili -x}$${\görüntüleme stili\pi }$${\görüntüleme stili\pi }$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili -x}$${\görüntüleme stili\pi }$

${\displaystyle R(2\pi )\phi (-x)R(\pi )\phi (x),}$

tamsayı dönüşü için hangisi eşittir

${\görüntüleme stili \phi (-x)R(\pi )\phi (x)}$

ve yarım tamsayılı spin için eşittir

${\displaystyle -\phi (-x)R(\pi )\phi (x)}$

( Spin (fizik) § Rotasyonlarda kanıtlanmıştır ). Her iki operatör hala iki parçacık imha ve . Bu nedenle, parçacık durumları ile ilgili olarak şunu gösterdiğimizi iddia ediyoruz: ${\displaystyle \pm \phi (-x)R(\pi )\phi (x)}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili -x}$

${\displaystyle R(\pi )\phi (x)\phi (-x)={\begin{durumlar}\phi (-x)R(\pi )\phi (x)&{\text{ integral dönüşler için }},\\-\phi (-x)R(\pi )\phi (x)&{\metin{ yarı integral dönüşler için}}.\end{durumlar}}}$

Bu nedenle, uygun şekilde polarize edilmiş iki operatör yerleştirme sırasının vakuma değiştirilmesi, yarım tamsayı durumunda bir işaret pahasına bir döndürme ile yapılabilir.

Bu argüman tek başına spin-istatistik ilişkisi gibi bir şey kanıtlamaz. Nedenini görmek için, serbest bir Schrödinger denklemi tarafından tanımlanan göreli olmayan bir spin-0 alanını düşünün. Böyle bir alan işe gidiş geliş veya gidiş geliş olabilir. Nerede başarısız olduğunu görmek için, göreli olmayan bir spin-0 alanının polarizasyonu olmadığını düşünün, böylece yukarıdaki ürün basitçe:

${\görüntüleme stili \phi (-x)\phi (x).}$

Relativistik olmayan teoride, bu ürün ve'de iki parçacığı yok eder ve herhangi bir durumda sıfır beklenti değerine sahiptir. Sıfırdan farklı bir matris elemanına sahip olmak için, bu operatör çarpımı, sağda soldakinden daha fazla parçacık bulunan durumlar arasında olmalıdır: ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili -x}$

${\displaystyle \langle 0|\phi (-x)\phi (x)|\psi \rangle .}$

Döndürmeyi gerçekleştirirken öğrendiğimiz tek şey, 2 parçacık durumunu döndürmenin operatör sırasını değiştirmekle aynı işareti vermesidir. Bu ek bilgi vermez, bu nedenle bu argüman hiçbir şeyi kanıtlamaz. ${\ Displaystyle |\psi \rangle }$

Sahte argüman neden başarısız oluyor?

Spin-istatistik teoremini kanıtlamak için, göreli olmayan spinsiz fermiyon ve göreli olmayan dönen bozonların tutarlılığından da anlaşılacağı gibi göreliliği kullanmak gerekir. Literatürde spin-istatistik teoreminin görelilik gerektirmeyen kanıtlarına ilişkin iddialar vardır, ancak bunlar karşı örneklerin gösterdiği gibi bir teoremin kanıtları değil, daha çok spin-istatistiğin neden yanlış olsa da neden "doğal" olduğuna dair argümanlardır. -istatistikler "doğal değil". Görelilikte bağlantı gereklidir.

Görelilikte, salt yaratma işleçleri veya yok etme işleçleri olan yerel alanlar yoktur. Her yerel alan hem parçacıklar yaratır hem de karşılık gelen karşı parçacığı yok eder. Bu, görelilikte, serbest gerçek spin-0 alanının ürününün sıfır olmayan bir vakum beklenti değerine sahip olduğu anlamına gelir , çünkü yok edilmeyen parçacıkları yaratmanın ve daha sonra yaratılmayan parçacıkları yok etmenin yanı sıra, yaratan ve yaratan bir parçayı da içerir. varlığı etkileşim hesaplamalarına giren "sanal" parçacıkları yok eder - ama asla saçılma matrisi endeksleri veya asimptotik durumlar olarak.

${\displaystyle G(x)=\langle 0|\phi (-x)\phi (x)|0\rangle .}$

Ve şimdi sezgisel argüman, bunun eşittir olduğunu görmek için kullanılabilir , bu da bize alanların anti-commuting olamayacağını söyler. ${\görüntüleme stili G(x)}$${\görüntüleme stili G(-x)}$

Kanıt

Öklid xt düzlemindeki bir π dönüşü , önceki bölümün alan ürününün vakum beklenti değerlerini döndürmek için kullanılabilir. Zaman rotasyon Spin-istatistik kuramına içine önceki bölümün argüman döner.

Kanıt aşağıdaki varsayımları gerektirir:

1. Teorinin Lorentz değişmez bir Lagrange'ı vardır.
2. Vakum Lorentz değişmezidir.
3. Parçacık, lokalize bir uyarımdır. Mikroskobik olarak, bir diziye veya alan duvarına bağlı değildir.
4. Parçacık yayılıyor, yani sonsuz değil, sonlu bir kütlesi var.
5. Parçacık gerçek bir uyarılmadır, yani bu parçacığı içeren durumların pozitif-belirli bir normu vardır.

Aşağıdaki örneklerin gösterdiği gibi, bu varsayımlar çoğunlukla gereklidir:

1. Spinsiz anticommuting alan gösterileri spinsiz fermiyonlar nonrelativistically tutarlı olduğunu. Benzer şekilde, bir spinor değişme alanı teorisi, dönen bozonların da olduğunu gösterir.
2. Bu varsayım zayıflayabilir.
3. 2+1 boyutlarında, Chern-Simons teorisi kaynakları , üç boyutlu döndürme grubunun yalnızca tamsayı ve yarım tamsayı dönüş temsillerine sahip olmasına rağmen, egzotik dönüşlere sahip olabilir.
4. Bir ultra yerel alan, spininden bağımsız olarak her iki istatistiğe de sahip olabilir. Bu, Lorentz değişmezliği ile ilgilidir, çünkü sonsuz kütleli bir parçacık her zaman göreli değildir ve spin dinamikten ayrılır. Renkli kuarklar bir QCD dizisine bağlı olmalarına ve sonsuz kütleye sahip olmalarına rağmen, kuarklar için spin-istatistik ilişkisi kısa mesafe limitinde kanıtlanabilir.
5. Gösterge hayaletleri spinsiz fermiyonlardır, ancak negatif norm durumlarını içerirler.

1 ve 2 numaralı varsayımlar, teorinin bir yol integrali tarafından tanımlandığını ima eder ve varsayım 3, parçacığı yaratan yerel bir alan olduğunu ima eder.

Dönme düzlemi zamanı içerir ve Öklid kuramında zamanı içeren bir düzlemde döndürme , Minkowski kuramında bir CPT dönüşümünü tanımlar . Teori bir yol integrali ile tanımlanırsa, bir CPT dönüşümü durumları eşleniklerine alır, böylece korelasyon fonksiyonu

${\displaystyle \langle 0|R\phi (x)\phi (-x)|0\rangle }$

varsayım 5 ile x=0'da pozitif tanımlı olmalıdır, parçacık durumları pozitif norma sahiptir. Sonlu kütle varsayımı, bu korelasyon fonksiyonunun x uzaysı için sıfırdan farklı olduğunu ima eder. Lorentz değişmezliği artık alanların önceki bölümün argümanı tarzında korelasyon fonksiyonu içinde döndürülmesine izin veriyor:

${\displaystyle \langle 0|RR\phi (x)R\phi (-x)|0\rangle =\pm \langle 0|\phi (-x)R\phi (x)|0\rangle }$

İşaretin daha önce olduğu gibi dönüşe bağlı olduğu yer. Korelasyon fonksiyonunun CPT değişmezliği veya Öklid dönel değişmezliği, bunun G(x)'e eşit olduğunu garanti eder. Yani

${\displaystyle \langle 0|(R\phi (x)\phi (y)-\phi (y)R\phi (x))|0\rangle =0}$

tamsayı döndürme alanları için ve

${\displaystyle \langle 0|R\phi (x)\phi (y)+\phi (y)R\phi (x)|0\rangle =0}$

yarım tamsayı-döndürme alanları için.

Operatörler uzaysal olarak ayrıldığından, farklı bir düzen yalnızca bir faza göre farklılık gösteren durumlar yaratabilir. Argüman, dönüşe göre fazı -1 veya 1 olarak sabitler. Uzay benzeri ayrılmış polarizasyonları yerel pertürbasyonlarla bağımsız olarak döndürmek mümkün olduğundan, faz, uygun şekilde seçilen alan koordinatlarında polarizasyona bağlı olmamalıdır.

Bu argüman Julian Schwinger'dan kaynaklanmaktadır .

Teoremin ifade edilmesi çok basit olmasına rağmen, spin-istatistik teoremi için temel bir açıklama yapılamaz. Feynman Lectures on Physics'te Richard Feynman bunun muhtemelen ilgili temel ilkeyi tam olarak anlamadığımız anlamına geldiğini söyledi. bkz Ek okuma altında.

Teoremi test etmek için Drake, He atomunun Pauli dışlama ilkesini ihlal eden durumları için çok kesin hesaplamalar yaptı ; bunlara paronik durumlar denir . Daha sonra, bir atomik ışın spektrometresi kullanılarak Drake tarafından hesaplanan paronik durum 1s2s ¹ S ₀ arandı . Arama, 5x10 ⁻⁶ üst sınırıyla başarısız oldu .

Sonuçlar

fermiyonik alanlar

Spin-istatistik teoremi, yarım-tamsayı-spin parçacıklarının Pauli dışlama ilkesine tabi olduğunu, tamsayı-spin parçacıklarının ise tabi olmadığını ima eder . Belirli bir kuantum durumunu herhangi bir zamanda yalnızca bir fermiyon işgal edebilir , ancak bir kuantum durumunu işgal edebilecek bozonların sayısı sınırlı değildir. Protonlar , nötronlar ve elektronlar gibi maddenin temel yapı taşları fermiyonlardır. Madde parçacıkları arasındaki kuvvetlere aracılık eden foton gibi parçacıklar bozonlardır.

Fermi-Dirac dağılım ilginç özelliklere fermiyonlar yol açıklayan. Belirli bir kuantum durumunu yalnızca bir fermiyon işgal edebileceğinden, spin-1/2 fermiyonları için en düşük tek parçacıklı enerji seviyesi, parçacıkların spinleri zıt olarak hizalanmış en fazla iki parçacık içerir. Bu nedenle, mutlak sıfırda bile, bu durumda ikiden fazla fermiyonlu bir sistem hala önemli miktarda enerjiye sahiptir. Sonuç olarak, böyle bir fermiyonik sistem dışarıya doğru bir basınç uygular . Sıfır olmayan sıcaklıklarda bile böyle bir basınç mevcut olabilir. Bu yozlaşma basıncı , bazı büyük yıldızların yerçekimi nedeniyle çökmesini engellemekten sorumludur. Bkz beyaz cüce , nötron yıldızı ve kara delik .

bozonik alanlar

İki tür istatistikten kaynaklanan birkaç ilginç fenomen vardır. Bose-Einstein dağılımı için bozonlar potansiyel tarif Bose-Einstein yoğunlaşması . Belirli bir sıcaklığın altında, bir bozonik sistemdeki parçacıkların çoğu temel durumu (en düşük enerji durumu) işgal edecektir. Gibi sıradışı özellikleri üstün akışkanlık neden olabilir.

hayalet alanlar

Hayalet alanlar spin-istatistik ilişkisine uymaz. Teoremdeki bir açıklığın nasıl kapatılacağı konusunda Klein dönüşümüne bakın .

Lorentz grubunun temsil teorisi ile ilişkisi

Lorentz grubu hiç olmayan önemsiz sahip üniter temsillerini sonlu boyutlu. Bu nedenle, tüm durumların sonlu, sıfır olmayan spin ve pozitif, Lorentz değişmez normuna sahip olduğu bir Hilbert uzayı inşa etmek imkansız görünüyor. Bu problem, parçacık spin istatistiklerine bağlı olarak farklı şekillerde aşılır.

Bir tamsayı spin durumu için negatif norm durumları ("fiziksel olmayan polarizasyon" olarak bilinir) sıfıra ayarlanır, bu da ayar simetrisinin kullanılmasını gerekli kılar.

Yarı tamsayılı bir spin durumu için, argüman fermiyonik istatistiklere sahip olarak atlatılabilir.

Sınırlamalar: 2 boyuttaki herkes

1982 yılında, fizikçi Frank Wilczek diye adlandırdığı mümkün fraksiyonel-Spin parçacıkların olanakları, üzerine bir araştırma yayınladı anyons "herhangi bir" spin almaya yeteneklerinden. Teorik olarak, hareketin üçten daha az uzamsal boyutla sınırlı olduğu düşük boyutlu sistemlerde ortaya çıkmalarının öngörüldüğünü yazdı. Wilczek, spin istatistiklerini "olağan bozon ve fermiyon durumları arasında sürekli olarak enterpolasyon yapmak" olarak tanımladı. Herhangi birinin varlığına dair kanıtlar 1985'ten 2013'e kadar deneysel olarak sunuldu, ancak önerilen tüm türlerin var olduğu kesin olarak kanıtlanmadı. Anyonlar örgü simetrisi ve maddenin topolojik halleri ile ilgilidir .

Ayrıca bakınız

• paraistatistik
• Anyonik istatistikler
• Örgü istatistikleri

Referanslar

daha fazla okuma

• Ördek, Ian; Sudarshan, EKG (1998). "Spin-istatistik teoreminin anlaşılmasına doğru". Amerikan Fizik Dergisi . 66 (4): 284-303. Bibcode : 1998AmJPh..66..284D . doi : 10.1119/1.18860 .
• Streater, Ray F.; Wightman, Arthur S. (2000). PCT, Döndürme ve İstatistik ve Hepsi (5. baskı). Princeton: Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-691-07062-8.
• Jabs, Arthur (2010). "Kuantum mekaniğinde spin ve istatistiklerin bağlanması". Fiziğin Temelleri . 40 (7): 776–792. arXiv : 0810.2399 . Bibcode : 2010FoPh...40..776J . doi : 10.1007/s10701-009-9351-4 .

Dış bağlantılar

• John Baez'in ana sayfasında güzel bir neredeyse kanıt
• Çift kemerli Dirac kemer hilesinin animasyonu, kemerlerin 1/2 dönüşlü parçacıklar gibi davrandığını gösteriyor
• Spin 1/2 parçacıklarının fermiyon olduğunu gösteren bir Dirac kemer hilesi varyantının animasyonu