Sonlu ilişki - Finitary relation

Gelen matematik bir bağıntı kümesi üzerinde X 1 , ..., x , n bir alt kümesidir Kartezyen ürün x 1 x ⋯ x X , n ; olduğu, bu bir dizi N -tuples ( X 1 , ..., x , n ) elemanları oluşan x i içinde X i . Tipik olarak, ilişki, bir n- tuple öğeleri arasındaki olası bir bağlantıyı tanımlar. Örneğin, " x , y ve z ile bölünebilir " ilişkisi , sırasıyla x , y ve z ile değiştirildiğinde tümceyi doğru yapacak şekilde 3 demet kümesinden oluşur .

İlişkideki "yer" sayısını veren negatif olmayan n tamsayısına ilişkinin aritesi , adisitesi veya derecesi denir . Bir ilişkisi n "yerler" çeşitli bir adlandırılır n -ary ilişki , bir n- -adic ilişki ya da derecesi arasındaki ilişkiyi n . Sınırlı sayıda yerle olan ilişkilere , sonlu ilişkiler (veya bağlam açıksa basitçe ilişkiler) denir . Kadar olgusunun yaygınlaşması da mümkündür infinitary ilişkiler ile sonsuz diziler .

X 1 , …, X n kümeleri üzerinde bir n -ary ilişkisi , X 1 × ⋯ × X n kuvvet kümesinin bir öğesidir .

0-ary bağıntıları yalnızca iki üyeden oluşur: her zaman geçerli olan ve hiçbir zaman geçerli olmayan. Bunun nedeni, yalnızca bir 0-tuple, boş tuple () olmasıdır. Bazen bir tümevarım argümanının temel durumunu oluşturmak için kullanışlıdırlar .

Tekli ilişkiler, bazı özelliklere ( Nobel ödülü verilmiş olmak gibi) sahip bir üyeler topluluğu ( Nobel ödüllülerin koleksiyonu gibi) olarak görülebilir .

İkili ilişkiler , sonlu ilişkilerin en çok çalışılan şeklidir. Tüm X 1 = X 2 , bir denir homojen bir ilişki örneğin:

Aksi takdirde , örneğin heterojen bir ilişkidir :

Örnek

Üçlü ilişki göz önünde R " X düşünmektedir y seven z insan grubu üzerinde" p = {Alice, Bob Charles Denise tarafından tanımlanan}:

R = {(Alice, Bob, Denise), (Charles, Alice, Bob), (Charles, Charles, Alice), (Denise, Denise, Denise) }.

R , aşağıdaki tablo ile eşdeğer olarak temsil edilebilir:

İlişkisi R " X düşünmektedir y sever z "
P P P
Alice Bob Denise
Charles Alice Bob
Charles Charles Alice
Denise Denise Denise

Burada, her bir sütun, bir üçlü temsil R o "biçiminde bir açıklama yapan olduğu, X düşünmektedir y sever z ". Örneğin, ilk satırda "Alice, Bob'un Denise'i sevdiğini düşünüyor" yazıyor. Tüm satırlar ayrıdır. Satırların sıralaması önemsizdir, ancak sütunların sıralaması önemlidir.

Yukarıdaki tablo aynı zamanda ilişkisel bir veritabanının basit bir örneğidir, teoride ilişkisel cebir ve veri yönetimindeki uygulamalara dayanan bir alan . Bununla birlikte, bilgisayar bilimcileri, mantıkçılar ve matematikçiler, genel bir ilişkinin ne olduğu ve nelerden oluştuğu konusunda farklı kavramlara sahip olma eğilimindedir. Örneğin, veritabanları tanımı gereği sonlu olan deneysel verilerle ilgilenmek üzere tasarlanırken, matematikte sonsuz arite ile ilişkiler (yani sonsuz ilişki) de dikkate alınır.

Tanımlar

Zihin tarafından birlikte görülen iki nesne, nitelik, sınıf veya nitelik bir bağlantı altında görüldüğünde, bu bağlantıya ilişki denir.

-  Augustus De Morgan

Matematikte karşılaşılan ilişkilerin ilk tanımı şudur:

tanım 1
X 1 , …, X n kümeleri üzerinde bir n -ary ilişkisi R , Kartezyen çarpım X 1 × ⋯ × X n'nin bir alt kümesidir .

İlişkilerin ikinci tanımı, matematikte yaygın olan bir deyimi kullanır ve şöyle veya böyle bir matematiksel nesnenin n elemanlı matematiksel nesnelerin belirtimi tarafından belirlenmesini sağlamak için " şu ve böyle bir n- tuple" olduğunu şart koşar. . n küme üzerinde bir R ilişkisi olması durumunda, belirtilmesi gereken n + 1 şey vardır, yani n küme artı Kartezyen çarpımlarının bir alt kümesi. Deyimde bu, R'nin bir ( n + 1 )-tuple olduğu söylenerek ifade edilir .

tanım 2
Bir n -ary ilişkisi R over X 1 , …, X n kümeleri bir ( n + 1 )-tuple ( X 1 , …, X n , G ) olup burada G , X Kartezyen çarpımının bir alt kümesidir 1 × ⋯ × X n , R'nin grafiği olarak adlandırılır .

Kural olarak, eldeki uygulamaya en uygun olan tanım bu amaç için seçilecektir ve iki tanım arasında ayrım yapmak gerekirse, o zaman ikinci tanımı karşılayan bir varlığa gömülü veya dahil edilmiş bir ilişki denilebilir .

Her iki ifadeleri ( X 1 , ..., x , n ) içinde R (ilk tanım altında) ve ( X 1 , ..., x , n ) içinde G (ikinci tanım altında) "oku x 1 , ..., x , n olan R lı "kullanılarak gösterilir önek gösterimini göre Rx 1 ⋯ x , n ve kullanılarak sonek gösterimini ile x 1 ⋯ x , n , R . Durumda R ' bir ikili ilişkisi, bu söylemler aynı zamanda kullanılarak belirtilmiştir infix gösterimini ile x 1 Rx 2 .

Aşağıdaki hususlar her iki tanım için de geçerlidir:

  • Grubu X ı olarak adlandırılır i inci etki alanı arasında R . İlk tanım altında, ilişki belirli bir alan dizisini benzersiz bir şekilde belirlemez. Durumda R ' bir ikili ilişkisi, X, 1 , aynı zamanda olarak da adlandırılan bir alan ya da çıkış grubu ve R ve X, 2 olarak da adlandırılır değer kümesi ya da hedef dizi arasında R .
  • Unsurları zaman X i ilişkiler, X, i bir adlandırılır basit olmayan etki alanı arasında R .
  • Tüm grubu X i de X- ı olan vardır ( X 1 , ..., x i - 1 , x i + 1 , ..., x , n ) içinde X, 1 x ⋯ x x i - 1 x x i + 1 × ⋯ x X , n , öyle ki Rx 1 ⋯ x i - 1 x i x i + 1 ⋯ x n olarak adlandırılır i inci tanımı alan ya da aktif bir etki ve R . Durumda R ' bir ikili ilişkisi, tanımı ilk alan aynı zamanda basit olarak adlandırılan tanım alanı ya da aktif bir etki ve R , ve tanım ikinci alan olarak da adlandırılır tanımının değer kümesi ya da aktif değer kümesi arasında R .
  • Tüm i tanımının inci alan R eşittir , X i , R ' olduğu söylenir , toplam ilgili X i . Durumunda R ' olduğunda, bir ikili ilişkidir R, toplam olup X 1 , aynı zamanda olduğu söylenmektedir , toplam sol ve seri , zaman ve R, toplam olup X 2 , aynı zamanda olduğu söylenmektedir sağ toplam ya da örten .
  • Hepsini için x ve y de π i ∈ I x i ve tüm z π içinde i ∈ J x i burada { I , J } a, bölüm arasında {1, ..., n } bileşenleri, eğer x ve z vardır R ' lı ve bileşenleri y ve z olan R, o lı x = y , Ar olduğu söylenir benzersiz üzerinde { X i } i ∈ I ve { X i } i ∈ J olarak adlandırılan bir birinci anahtar bir R . Durumda R ' bir ikili ilişkidir, Ar üzerindeki benzersiz { X, 1 }, aynı zamanda söylenir sol Özgü veya İnjektif ve zaman R' ile ilgili benzersiz { x 2 } aynı zamanda olduğu söylenir hemen - benzersiz veya işlevsel .
  • Tüm zaman X, i aynı grubu olan X , ifade etmek için basit R bir şekilde N fazla -ary ilişki X olarak adlandırılan, homojen bir ilişki . Aksi halde R'ye heterojen bir ilişki denir .
  • X i'den herhangi biri boş olduğunda, tanımlayıcı Kartezyen çarpım boştur ve böyle bir alan dizisi üzerindeki tek ilişki boş ilişki R = ∅'dir . Bu nedenle, genel olarak tüm alanların boş olmaması şart koşulmuştur.

Bir Boole alanı B'nin , öğeleri mantıksal değerler olarak yorumlanabilen, tipik olarak 0 = false ve 1 = true olan B = {0, 1 } gibi iki öğeli bir küme olmasına izin verin . Karakteristik fonksiyonu arasında R χ ile gösterilen, R , bir Boole değerli işlev χ R : X, 1 x ⋯ x X, N → B ile tanımlanan, χ R ( ( x 1 , ..., x , n ) 1 =) halinde Rx 1 ⋯ x n ve χ R ( ( x 1 , …, x n ) ) = 0 aksi halde.

Uygulamalı matematik, bilgisayar bilimi ve istatistikte, Boolean değerli bir fonksiyona n -ary yüklemi olarak atıfta bulunmak yaygındır . Daha soyut bakış açısından biçimsel mantık ve modeli teorisi , ilişki R bir teşkil mantıksal bir model ya da ilişkisel yapıyı birçok olası biri olarak hizmet veren, yorumların bazılarının n -ary yüklem sembolü.

İlişkiler birçok bilimsel disiplinde olduğu kadar matematik ve mantığın birçok dalında da ortaya çıktığı için terminolojide önemli farklılıklar vardır. Kenara grubu-teorik uzantısı ilişkisel kavram ya da terimin terimi "ilişki" terimi ayrıca tekabül eden mantıksal şirketi belirtmektedir da kullanılabilir mantıksal anlama toplamıdır, intensions tüm elemanları ile paylaşılan veya soyut özellikleri ilişki, ya da bu öğeleri ve niyetleri gösteren simgeler. Ayrıca, ikinci görüşün bazı yazarları, daha somut çağrışımları olan terimleri ortaya koyarlar (belirli bir ilişkisel kavramın küme-teorik uzantısı için "ilişkisel yapı" gibi).

Tarih

Ayrıca bakınız: Cebirsel mantık § Geçmiş

Mantıkçı Augustus De Morgan , 1860 civarında yayınlanan çalışmasında, ilişki kavramını bugünkü anlamıyla ifade eden ilk kişiydi. Ayrıca ilişkiler teorisindeki ilk biçimsel sonuçları da belirtti (De Morgan ve ilişkiler hakkında, bkz. Merrill 1990).

Charles Peirce , Gottlob Frege , Georg Cantor , Richard Dedekind ve diğerleri ilişkiler teorisini geliştirdiler. Fikirlerinin çoğu, özellikle mertebe adı verilen ilişkiler üzerine , Bertrand Russell'ın bu sonuçları özgürce kullandığı The Principles of Mathematics'de (1903) özetlenmiştir .

1970 yılında Edgar Codd , veri tabanları için ilişkisel bir model önerdi ve böylece veri tabanı yönetim sistemlerinin gelişimini öngördü .

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ a b c d e f g h Codd, Edgar Frank (Haziran 1970). "Büyük Paylaşılan Veri Bankaları İçin İlişkisel Bir Veri Modeli" (PDF) . ACM'nin İletişimi . 13 (6): 377–387. doi : 10.1145/362384.362685 . 2020-04-29 alındı .
  2. ^ "Yüksek Matematiksel Jargonun Kesin Sözlüğü - İlişki" . Matematik Kasası . 2019-08-01 . 2019-12-12 alındı .
  3. ^ "İlişki - Matematik Ansiklopedisi" . www.encyclopediaofmath.org . 2019-12-12 alındı .
  4. ^ "n-ary İlişkisinin Tanımı" . cs.odu.edu . 2019-12-12 alındı .
  5. ^ Nivat, Maurice (1981). Astesiano, Egidio; Böhm, Corrado (ed.). "Sonsuz ilişkiler" . '81 . Bilgisayar Bilimleri Ders Notları. Springer Berlin Heidelberg. 112 : 46-75. doi : 10.1007/3-540-10828-9_54 . ISBN'si 978-3-540-38716-9.
  6. ^ "İlişkiler — CS441" (PDF) . www.pitt.edu . 2019-12-11 alındı .
  7. ^ De Morgan, A. (1858) Heath, P., ed. (1966) Kıyas ve diğer mantıksal yazılar üzerine . Routledge. s. 119,

bibliyografya

  • Codd, Edgar Frank (1990). Veritabanı Yönetimi için İlişkisel Model: Sürüm 2 (PDF) . Boston: Addison-Wesley . ISBN'si 978-0201141924.
  • Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics , John Meldrum, çev. Springer-Verlag.
  • Carnap, Rudolf (1958) Uygulamalarla Sembolik Mantığa Giriş . Dover Yayınları.
  • Halmos, PR (1960) Naif Küme Teorisi . Princeton NJ: D. Van Nostrand Şirketi.
  • Lawvere, FW ve R. Rosebrugh (2003) Matematik Kümeleri , Cambridge Üniv. Basmak.
  • Lewis, CI (1918) Sembolik Mantık Araştırması , Bölüm 3: Boole-Schröder Cebirinin Uygulamaları, İnternet Arşivi Yoluyla
  • Lucas, JR (1999) Matematiğin Kavramsal Kökleri . Routledge.
  • Maddux, RD (2006) İlişki Cebirleri , cilt. 150'de 'Mantık Çalışmaları ve Matematiğin Temelleri'. Elsevier Bilimi.
  • Merrill, Dan D. (1990) Augustus De Morgan ve ilişkilerin mantığı . Kluwer.
  • Peirce, CS (1870), " Boole'un Mantık Analizinin Kavramlarının Genişletilmesinden Kaynaklanan Akrabaların Mantığı için bir Notasyonun Tanımı", Amerikan Sanat ve Bilim Akademisi Anıları 9, 317–78, 1870. Yeniden basıldı , Toplanan Makaleler CP 3.45–149, Kronolojik Baskı CE 2, 359–429.
  • Peirce, CS (1984) Charles S. Peirce Yazıları: Bir Kronolojik Baskı, Cilt 2, 1867-1871 . Peirce Sürümü Projesi, ed. Indiana Üniversitesi Yayınları.
  • Russell, Bertrand (1903/1938) Matematiğin İlkeleri, 2. baskı. Cambridge Üniv. Basmak.
  • Suppes, Patrick (1960/1972) Aksiyomatik Küme Teorisi . Dover Yayınları.
  • Tarski, A. (1956/1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers to 1923 to 1938 , JH Woodger, çev. 1. baskı, Oxford University Press. 2. baskı, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Yayıncılık.
  • Ulam, SM ve Bednarek, AR (1990), "Paralel Hesaplama için İlişkisel Yapılar ve Şemalar Teorisi Üzerine", s. 477-508 AR Bednarek ve Françoise Ulam (ed.), Analojiler Arasındaki Analojiler: SM'nin Matematik Raporları Ulam ve Los Alamos İş Ortakları , University of California Press, Berkeley, CA.
  • Ulam, SM (1990) Analojiler Arasındaki Analojiler: AR Bednarek ve Françoise Ulam'daki SM Ulam ve Los Alamos İşbirlikçilerinin Matematiksel Raporları , eds., University of California Press.
  • Roland Fraïssé (2000) [1986] İlişkiler Kuramı , Kuzey Hollanda