Augustus De Morgan'ın fotoğrafı. Augustus De Morgan

Augustus De Morgan
Augustus De Morgan (1806-1871)
Doğmak	( 1806-06-27 )27 Haziran 1806 Madurai , Madras Başkanlığı , Britanya İmparatorluğu (bugünkü Hindistan)
Öldü	18 Mart 1871 (1871-03-18)(64 yaşında) Londra, Ingiltere
Milliyet	ingiliz
gidilen okul	Trinity Koleji , Cambridge
Bilinen	De Morgan yasaları De Morgan cebiri İlişki cebiri Evrensel cebir
Bilimsel kariyer
Alanlar	matematikçi ve mantıkçı
kurumlar	Üniversite Koleji Londra Üniversite Koleji Okulu
Akademik danışmanlar	John Philips Higman George Tavus Kuşu William Whewell
Önemli öğrenciler	Edward Routh James Joseph Sylvester Frederick Guthrie William Stanley Jevons Ada Lovelace Francis Guthrie Stephen Joseph Perry
etkiler	George Boole
Etkilenen	Thomas Corwin Mendenhall Isaac Todhunter
Notlar
William De Morgan'ın babasıydı .

Augustus De Morgan (27 Haziran 1806 - 18 Mart 1871) İngiliz matematikçi ve mantıkçıydı . De Morgan'ın yasalarını formüle etti ve matematiksel tümevarım terimini tanıttı ve fikrini kesinleştirdi.

biyografi

Çocukluk

Augustus De Morgan, 1806'da Hindistan'ın Madurai kentinde doğdu. Babası, Doğu Hindistan Şirketi'nin hizmetinde çeşitli görevlerde bulunan Yarbay John De Morgan (1772-1816) idi . Annesi Elizabeth Dodson (1776-1856), bir anti-logaritma tablosu (ters logaritma ) hesaplayan James Dodson'un soyundan geliyordu . Augustus De Morgan, doğduktan bir veya iki ay sonra bir gözü kör oldu. Augustus yedi aylıkken aile İngiltere'ye taşındı. Babası ve dedesi hem Hindistan'da doğmuş gibi, De Morgan teknik terim kullanarak, o ne İngilizce, ne de İskoç, ne de İrlanda, ancak İngiliz "serbest" olduğunu söylerdi bir lisans uygulanan Oxford veya Cambridge olduğu Kolejlerden herhangi birinin üyesi değil.

De Morgan on yaşındayken babası öldü. Bayan De Morgan, İngiltere'nin güneybatısındaki çeşitli yerlerde ikamet etti ve oğlu, ilk eğitimini pek de önemli olmayan çeşitli okullarda aldı. Bir aile-arkadaş bir rakam oluşan ayrıntılı bir çizim yapma onu keşfettiğinde o on dört yaşına kadar O'nun matematiksel yetenekleri fark edilmeden gitti Öklid ile cetvel ve pergel . Öklid'in amacını Augustus'a açıkladı ve ona gösteriye giriş izni verdi.

Orta öğrenimini Oxford'daki Oriel Koleji'nden bir arkadaşı olan ve klasikleri matematikten daha çok takdir eden Bay Parsons'tan aldı . Annesi , İngiltere Kilisesi'nin aktif ve ateşli bir üyesiydi ve oğlunun bir din adamı olmasını istedi, ancak bu zamana kadar De Morgan, uygun olmayan eğilimini göstermeye başlamıştı . Ateist oldu.

Dilimizde, hem bir mezhep tarafından diğerine atfedilen bir isnat olarak sık sık yapılan onursuzca kullanımından hem de ona atfedilen çeşitli anlamlardan dolayı bu konuyu karıştırmayacağım bir kelime var. Anti-Deizm kelimesini, Evreni yaratan ve sürdüren bir Yaratıcının olmadığı fikrini belirtmek için kullanacağım.

—  De Morgan 1838 , s. 22

üniversite eğitimi

1823'te, on altı yaşında , Cambridge'deki Trinity College'a girdi ve burada ömür boyu arkadaşları olan George Peacock ve William Whewell'in etkisi altına girdi ; birincisinden cebirin yenilenmesine ilgi duydu ve ikincisinden mantığın yenilenmesine ilgi duydu - gelecekteki yaşamının iki konusu. Kolej öğretmeni John Philips Higman , FRS (1793-1855) idi.

Üniversitede eğlence için flüt çaldı ve müzik kulüplerinde öne çıktı. Bilgiye duyduğu sevgi, büyük matematik yarışı için eğitime müdahale etti; sonuç olarak dördüncü asistan olarak çıktı . Bu ona Bachelor of Arts derecesini verdi; ancak daha yüksek bir Sanat Yüksek Lisans derecesini almak ve böylece burs almaya hak kazanmak için teolojik bir sınavı geçmek gerekliydi. De Morgan, İngiltere Kilisesi'nde yetiştirilmiş olmasına rağmen, böyle bir sınavın imzalanmasına karşı güçlü bir itiraz hissetti. Yaklaşık 1875'te Oxford ve Cambridge Üniversitelerinde akademik dereceler için teolojik testler kaldırıldı.

Londra Üniversitesi

Kendi üniversitesinde kendisine hiçbir kariyer açık olmadığı için Baro'ya gitmeye karar verdi ve Londra'da ikamet etti; ama matematik öğretmeyi hukuk okumaya tercih etti. Bu sıralarda Londra Üniversitesi'ni (şimdiki Londra Üniversitesi Koleji ) kurma hareketi şekillendi. Oxford ve Cambridge'in iki eski üniversitesi teolojik testler tarafından o kadar korunuyordu ki, İngiltere Kilisesi dışında hiçbir Yahudi ya da Muhalif öğrenci olarak giremez, hatta herhangi bir göreve atanamaz. Liberal görüşlü bir grup insan, Londra'da dini tarafsızlık ilkesi üzerine bir üniversite kurarak bu zorluğu aşmaya karar verdi. De Morgan, daha sonra 22 yaşında, matematik profesörü olarak atandı. "Matematik çalışması üzerine" giriş dersi, kalıcı değeri olan zihinsel eğitim üzerine bir söylemdir ve yakın zamanda Amerika Birleşik Devletleri'nde yeniden basılmıştır.

Londra Üniversitesi yeni bir kurumdu ve yönetim konseyi, profesörler senatosu ve öğrenciler topluluğu arasındaki ilişkiler iyi tanımlanmamıştı. Anatomi profesörü ile öğrencileri arasında bir anlaşmazlık çıktı ve Konsey tarafından alınan önlem sonucunda, De Morgan başkanlığındaki birkaç profesör istifa etti. Başka bir matematik profesörü atandı ve birkaç yıl sonra boğuldu. De Morgan kendini bir öğretmenler prensi olarak göstermişti: sandalyesine geri dönmeye davet edilmişti ve bundan sonra otuz yıl boyunca çalışmalarının sürekli merkezi haline geldi.

Londra Üniversitesi'ni kuran hem bilim hem de siyasette önde gelen bir İskoçyalı olan Lord Brougham'ın başkanlığındaki aynı reformcular topluluğu , aynı zamanda , Yararlı Bilginin Yayılması Derneği'ni kurdu . Amacı, zamanın en iyi yazarları tarafından ucuz ve açıkça yazılmış incelemeler yoluyla bilimsel ve diğer bilgileri yaymaktı. En hacimli ve etkili yazarlarından biri De Morgan'dı. Dernek tarafından yayınlanan Diferansiyel ve İntegral Hesap üzerine harika bir çalışma yazdı ; ve Cemiyet tarafından yayınlanan Penny Cyclopedia'daki makalelerin altıda birini yazdı ve kuruş numaralarıyla yayınladı. De Morgan, Londra'da ikamet etmeye geldiğinde , negatif nicelikler hakkındaki matematiksel sapkınlığına rağmen, William Frend'de cana yakın bir arkadaş buldu . Her ikisi de aritmetikçi ve aktüerdi ve dini görüşleri biraz benzerdi. Frend, o zamanlar Londra'nın bir banliyösü olan yerde, eskiden Daniel Defoe ve Isaac Watts tarafından kullanılan bir kır evinde yaşıyordu . Flütüyle De Morgan hoş bir ziyaretçiydi.

De Morgan profesörü olan Londra Üniversitesi farklı bir kurumdu Londra Üniversitesi . Londra Üniversitesi, yaklaşık on yıl sonra, herhangi bir ikamet şartı olmaksızın, sınavdan sonra derece vermek amacıyla Hükümet tarafından kuruldu. Londra Üniversitesi, Londra Üniversitesi'ne bir öğretim koleji olarak bağlıydı ve adı University College olarak değiştirildi. Londra Üniversitesi bir inceleme organı olarak başarılı değildi; bir öğretim üniversitesi talep edildi. De Morgan son derece başarılı bir matematik öğretmeniydi. Planı bir saat ders vermek ve her dersin kapanışında ders verilen konuyu açıklayan bir takım problemler ve örnekler vermekti; öğrencilerinden yanlarına oturmaları ve bir sonraki dersten önce gözden geçirip revize ettiği sonuçları ona getirmeleri istendi. De Morgan'ın görüşüne göre, büyük ilkelerin kapsamlı bir şekilde kavranması ve zihinsel olarak özümsenmesi, yarı anlaşılmış ilkelerin belirli durumlara uygulanmasındaki herhangi bir salt analitik becerinin öneminden çok daha ağır basıyordu.

Bu dönemde, De Morgan'ın Ramanujan'ı olarak adlandırılan kendi kendini yetiştirmiş Hintli matematikçi Ramchundra'nın çalışmalarını da destekledi . O Ramchundra kitabının Londra'da yayın denetimli Maksimum ve Minimum Sorunları Risalesi O çok gibi Hint matematikçi başkaları tarafından ilgisini 1859 yılında Brahmagupta , ancak genel olarak Ram Chandra önsözünde onun çalışmalarını takdir

Bu çalışmayı incelerken, onda yalnızca cesaretlendirilmeye değer bir liyakat değil, bana göründüğü gibi, teşvik edilmesi Hindistan'daki yerli zihnin restorasyonuna yönelik yerli çabayı teşvik etmesi muhtemel olan tuhaf türden bir liyakat gördüm.

Bu kitabın girişinde, kendi çalışması üzerinde herhangi bir etkisinin olup olmadığı bilinmemekle birlikte, Hint mantık geleneğinin farkında olduğunu kabul etti. De Morgan'ın kendisi 1860'ta Hint mantığının önemi hakkında şunları yazmıştı:

"Matematiği kuran iki ırk, Sanskritçe ve Yunan dillerininkiler, bağımsız olarak mantık sistemleri oluşturan ikisidir.

Mary Boole, amcası George Everest aracılığıyla , genel olarak Hint düşüncesinin ve özellikle Hint mantığının , George Boole'un yanı sıra Augustus De Morgan ve Charles Babbage üzerinde derin bir etkisi olduğunu iddia etmesine rağmen :

Babbage, De Morgan ve George Boole gibi üç adamın yoğun Hindulaştırılmasının 1830-65 matematik atmosferi üzerindeki etkisinin ne olduğunu bir düşünün. Vektör Analizinin ve şimdi fizik biliminde araştırmaların yürütüldüğü matematiğin oluşturulmasında bunun ne payı vardı ?

Jonardon Ganeri, bu dönemde (bilginlerin Hint mantığına ilgi duyduklarında) George Boole (1815-1864) ve Augustus De Morgan'ın (1806-1871) cebirsel fikirlerin öncü uygulamalarını mantığın formülasyonuna ( cebirsel gibi) uyguladıklarını gözlemlemiştir. mantık ve Boole mantığı ) ve bu rakamların kseno-mantıktaki bu çalışmalardan haberdar olmalarının muhtemel olduğunu ve ayrıca önermesel mantığın eksikliklerine dair kazanılmış farkındalıklarının muhtemelen onların sistemin dışına bakma isteklerini teşvik etmiş olabileceğini öne sürmüştür.

Aile

Augustus, dördü yetişkinliğe kadar hayatta kalan yedi çocuktan biriydi.

• Eliza (1801-1836), Bath'da yaşayan bir cerrah olan Lewis Hensley ile evlendi.
• Augustus (1806-1871)
• George (1808-1890), Josephine, Koramiral Josiah Coghill, 3 Baronet Coghill kızı evli bir avukat-at-law
• Campbell Greig (1811-1876), Middlesex Hastanesinde bir cerrah

1837 sonbaharında, William Frend'in (1757-1841) en büyük kızı Sophia Elizabeth Frend (1809-1892) ve Cleveland Başdiyakozu Francis Blackburne'un (1705-1787) torunu Sarah Blackburne (1779-?) ile evlendi. .

De Morgan'ın masal yazarı Mary de Morgan da dahil olmak üzere üç oğlu ve dört kızı vardı . En büyük oğlu çömlekçi William De Morgan'dı . İkinci oğlu George , University College ve University of London'da matematik alanında ayrıcalık kazandı. O ve benzer düşünen başka bir mezun, Londra'da matematiksel makalelerin yalnızca ( Royal Society tarafından olduğu gibi) kabul edilmeyeceği, aynı zamanda okunacağı ve tartışılacağı bir matematik topluluğu kurma fikrini tasarladı . İlk toplantı University College'da yapıldı; De Morgan ilk başkan, oğlu birinci sekreterdi. Londra Matematik Derneği'nin başlangıcıydı .

Emeklilik ve ölüm

1866'da University College'daki zihinsel felsefe kürsüsü boşaldı. Üniteryen bir din adamı ve zihinsel felsefe profesörü olan James Martineau , Senato tarafından Konsey'e resmen önerildi; ama Konsey'de Üniteryen bir din adamına karşı çıkanlar ve teistik felsefeye karşı çıkanlar da vardı. Bain ve Spencer okulundan bir meslekten olmayan kişi atandı. De Morgan, eski dini tarafsızlık standardının aşağı çekildiğini düşündü ve hemen istifa etti. Şimdi 60 yaşındaydı. Öğrencileri ona 500 sterlinlik bir emekli maaşı aldı, ancak bunu talihsizlikler izledi. İki yıl sonra oğlu George -Augustus'un, bu ismin ünlü baba-oğul matematikçilerine atıfta bulunarak, kendisinden duymaktan hoşlandığı adıyla "daha genç Bernoulli"- öldü. Bu darbeyi bir kızın ölümü izledi. Üniversite Koleji'nden istifasından beş yıl sonra De Morgan , 18 Mart 1871'de sinirsel secdeden öldü .

Matematiksel çalışma

De Morgan, tartışmacı ya da muhabir olarak parlak ve esprili bir yazardı. Onun zamanında, sık sık karıştırılan iki Sir William Hamilton gelişti. Biri, Edinburgh Üniversitesi'nde mantık ve metafizik profesörü olan İskoçyalı 9. Baronet Sir William Hamilton'du (yani unvanı miras alındı) ; diğeri bir şövalyeydi (yani unvanı kazandı), İrlandalı, Dublin Üniversitesi'nde astronomi profesörü. Baronet, mantığa, özellikle yüklemin nicelleştirilmesi doktrinine katkıda bulundu; tam adı William Rowan Hamilton olan şövalye matematiğe, özellikle geometrik cebire katkıda bulunmuş ve ilk olarak Kuaterniyonları tanımlamıştır . De Morgan her ikisinin de çalışmalarıyla ilgilendi ve her ikisiyle de mektuplaştı; ama İskoç'la olan yazışmalar kamuoyunda bir tartışmayla sonuçlandı, İrlandalı'yla olan yazışmalar ise dostluk damgasını vurdu ve yalnızca ölümle sona erdi. De Morgan, Rowan'a yazdığı mektuplardan birinde şöyle diyor:

Sizin ve diğer Sör WH'nin benim için karşılıklı kutuplar olduğunuzu keşfettiğimden emin olun (zihinsel ve ahlaki olarak, çünkü İskoç baroneti bir kutup ayısıdır ve ben diyecektim ki, bir kutup beyefendisisiniz). ). Edinburgh'a biraz araştırma gönderdiğimde, bu ilkin WH'si ondan aldığımı söylüyor. Sana bir tane gönderdiğimde, onu benden alıyorsun, bir bakışta genelleştiriyorsun, böylece toplumun geneline genelleştiriyorsun ve beni bilinen bir teoremin ikinci keşfedicisi yapıyorsun.

De Morgan'ın matematikçi Hamilton ile yazışmaları yirmi dört yılı aşkın bir süreye yayıldı; sadece matematiksel konuların tartışmalarını değil, aynı zamanda genel ilgi alanlarını da içerir. Hamilton tarafında güler yüzlülük ve De Morgan tarafında zeka ile işaretlenmiştir. Aşağıdaki bir örnektir: Hamilton şunları yazdı:

Berkeley'in çalışmalarının benim kopyam değil; Berkeley gibi, bilirsiniz, ben bir İrlandalıyım.

De Morgan yanıtladı:

'Benim kopyam benim değil' ifaden bir boğa değil . Özellikle kullanım söz konusu olduğunda, aynı kelimeyi iki farklı anlamda bir cümlede kullanmak mükemmel bir İngilizcedir. Dilin uyuşmazlığı boğa değildir, çünkü anlamı ifade eder. Ama fikirlerin uyuşmazlığı (ipi çeken İrlandalının ipin bitmediğini anlayınca, birinin diğer ucunu kestiğini haykırması gibi) gerçek boğadır.

De Morgan kişisel özelliklerle doluydu. Arkadaşı Lord Brougham'ın Edinburgh Üniversitesi Rektörü olarak atanması vesilesiyle, Senato ona LL.M.'nin fahri derecesini vermeyi teklif etti. NS.; o bir yanlış isim olarak onuru reddetti. Bir keresinde adını yazdırdı: Augustus De Morgan, H – O – M – O – P – A – U – C – A – R – U – M – L – I – T – E – R – A – R – U – M (Latince "birkaç harfli adam").

Londra dışındaki taşraları sevmiyordu ve ailesi denizin tadını çıkarırken ve bilim adamları ülkedeki İngiliz Derneği toplantısında iyi vakit geçirirken , metropolün sıcak ve tozlu kütüphanelerinde kaldı. Atina'dan ne kadar uzaksa mutluluktan da o kadar uzak olduğunu söyleyen Sokrates gibi hissettiğini söyledi . Asla Kraliyet Cemiyeti Üyesi olmaya çalışmadı ve Cemiyetin bir toplantısına asla katılmadı; fiziksel filozofla ortak hiçbir fikri veya sempatisi olmadığını söyledi. Tutumu muhtemelen fiziksel rahatsızlığından kaynaklanıyordu, bu da onu gözlemci veya deneyci olmaktan alıkoyuyordu. Asla bir seçimde oy kullanmadı ve Avam Kamarası'nı , Londra Kulesi'ni veya Westminster Abbey'i hiç ziyaret etmedi .

De Morgan'ın Faydalı Bilgi Topluluğu'na yaptığı katkılar gibi yazıları toplu eserler şeklinde yayınlansaydı, küçük bir kütüphane oluştururlardı. Esasen Peacock ve Whewell'in çabalarıyla, Cambridge'de bir Felsefe Cemiyeti açılmıştı ve De Morgan, cebirin temelleri üzerindeki işlemlerine dört hatıra ve biçimsel mantık üzerine eşit sayıda katkıda bulundu. Cebir görüşünün en iyi sunumu, 1849'da yayınlanan Trigonometri ve Çift Cebir başlıklı bir ciltte bulunur ; ve onun daha önceki biçimsel mantık görüşü, 1847'de yayınlanan bir ciltte bulunur. En belirgin eseri, A Budget of Paradoxes ; başlangıçta Athenaeum dergisinin sütunlarında harfler olarak yer aldı ; hayatının son yıllarında De Morgan tarafından gözden geçirilip genişletildi ve ölümünden sonra dul eşi tarafından yayınlandı.

George Peacock'un cebir teorisi , Cambridge Okulu'nun genç bir üyesi olan DF Gregory tarafından , eşdeğer formların kalıcılığına değil, belirli resmi yasaların kalıcılığına vurgu yapan DF Gregory tarafından çok geliştirildi . Sembollerin ve bunların kombinasyon yasalarının bilimi olarak cebirin bu yeni teorisi, mantıksal sorununa De Morgan tarafından taşındı; ve konuyla ilgili doktrini hala genel olarak İngiliz cebirciler tarafından takip edilmektedir. Böylece George Chrystal De Morgan'ın teorisi üzerine Cebir Ders Kitabı'nı kurar ; dikkatli bir okuyucu, sonsuz diziler konusunu ele aldığında pratikte onu terk ettiğini belirtebilir. De Morgan'ın teorisi, Trigonometri ve Çift Cebir hakkındaki cildinde belirtilmiştir , burada Kitap II, Bölüm II, "Sembolik cebir üzerine" başlıklı, şöyle yazar:

Sembollerin anlamlarını terk ederken, onları tanımlayan kelimelerin anlamlarını da terk ederiz. Dolayısıyla ekleme , şimdilik, anlamlı bir boşluk olacaktır. ile temsil edilen bir kombinasyon modudur ; ne zaman bu kadar da olacak kelime, anlamını alır ek . Öğrencinin, bir istisna dışında , aritmetik veya cebirle ilgili hiçbir kelimenin veya işaretinin, bu bölüm boyunca, nesnesi semboller ve bunların kombinasyon yasaları olan, sembolik bir anlam veren bir atom anlamı olmadığını akılda tutması çok önemlidir. Cebir , bundan sonra yüzlerce farklı anlamlı cebirin grameri haline gelebilir . Herhangi biri bunu iddia ederse ve ödül ve ceza anlamına gelebilirse ve , , , vb. erdemler ve kusurları temsil edebilirse, okuyucu ona inanabilir veya istediği gibi onunla çelişebilir - ancak bu bölümün dışında değil .${\görüntüleme stili +}$${\görüntüleme stili +}$${\görüntüleme stili +}$${\görüntüleme stili -}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili C}$

Yukarıda belirtilen ve bir miktar anlam payı olan bir istisna, 'de olduğu gibi iki sembol arasına yerleştirilen işarettir . Elde edilen farklı adımlar ne olursa olsun, iki sembolün aynı sonuca sahip olduğunu gösterir. Bu ve , eğer miktarlar aynı miktarda ise; eğer operasyonlarsa, aynı etkiye sahiptirler, vb. ${\görüntüleme stili =}$${\görüntüleme stili A=B}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$

Trigonometri ve Çift Cebir

De Morgan'ın Trigonometri ve Çift Cebir başlıklı çalışması iki bölümden oluşmaktadır; birincisi trigonometri üzerine bir inceleme , ikincisi ise "çift cebir" adını verdiği genelleştirilmiş cebir üzerine bir inceleme. Cebirin gelişimindeki ilk aşama aritmetiktir , burada sadece + , × , vb. Gibi işlemlerin doğal sayıları ve sembolleri kullanılır. Bir sonraki aşama, evrensel olarak sayıları belirtmek için sayıların yerine harflerin göründüğü ve işlemlerin sembollerin değerleri bilinmeden yürütüldüğü evrensel aritmetiktir . Let bir ve b herhangi bir doğal sayı belirtir. a - b gibi bir ifade hala imkansız olabilir, bu nedenle evrensel aritmetikte , işlemin mümkün olması koşuluyla her zaman bir koşul vardır . Üçüncü aşama , tek cebir sembolü miktar öne doğru ya da geriye doğru bir miktar anlamında olabilir, ve yeterli bir başlangıç noktasından geçen bir doğru üzerinde segmentleri ile temsil edilmektedir. Negatif nicelikler artık imkansız değildir; geri segment tarafından temsil edilirler. Ancak ikinci dereceden denklemin çözümünde ortaya çıkan a + b √ -1 gibi bir ifadenin son kısmında hala bir imkansızlık vardır . Dördüncü aşama çift ​​cebirdir . Cebirsel sembol, genel olarak belirli bir düzlemdeki bir doğrunun bir bölümünü belirtir. Çift semboldür, çünkü uzunluk ve yön olmak üzere iki özelliği içerir; ve √ -1 , bir çeyreği ifade ediyor olarak yorumlanır. a + b √ −1 ifadesi , düzlemde apsisi a ve ordinatı b olan bir doğruyu temsil eder . Argand ve Warren şimdiye kadar çift cebir taşıdılar, ancak bu teori üzerinde e ^{a √ -1} gibi bir ifadeyi yorumlayamadılar . De Morgan, böyle bir ifadeyi b + q √ -1 biçimine indirgeyerek bunu denedi ve bunun her zaman böyle indirgenebileceğini gösterdiğini düşündü. Dikkat çekici gerçek şu ki, bu ikili cebir yukarıda sayılan tüm temel yasaları karşılıyor ve görünüşte imkansız olan her sembol kombinasyonu yorumlandığından, cebirin tam formu gibi görünüyor. 6. bölümde hiperbolik fonksiyonları tanıttı ve ortak ve hiperbolik trigonometrinin bağlantısını tartıştı.

Yukarıdaki teori doğruysa, gelişimin bir sonraki aşaması üçlü cebir olmalı ve a + b √ −1 belirli bir düzlemde gerçekten bir çizgiyi temsil ediyorsa , yukarıdakilere eklenen üçüncü bir terim bulmak mümkün olmalıdır. uzayda bir çizgiyi temsil eder. Argand ve diğerleri bunun a + b √ −1 + c √ -1 ^{√ −1} olduğunu tahmin ettiler, ancak bu Euler tarafından ortaya konan √ -1 ^{√ −1} = e ^−π/2 gerçeğiyle çelişiyor . De Morgan ve diğerleri sorun üzerinde çok çalıştılar, ancak sorun Hamilton tarafından ele alınana kadar hiçbir şey çıkmadı. Şimdi sebebini açıkça görüyoruz: Çift cebir sembolü bir uzunluk ve yönü ifade etmez; ama bir çarpan ve bir açı . İçinde açılar bir düzlemle sınırlıdır. Dolayısıyla bir sonraki aşama , düzlemin ekseni değişken yapıldığında dörtlü bir cebir olacaktır . Bu da ilk sorunun cevabını veriyor; çift ​​cebir, analitik düzlem trigonometrisinden başka bir şey değildir ve bu nedenle alternatif akımlar için doğal analiz olduğu bulunmuştur. Ama De Morgan asla bu kadar ileri gidemedi. Çift cebirin, aritmetik kavramlarının tam gelişimi olarak kalması gerektiği, aritmetiğin hemen önerdiği bu semboller söz konusu olduğu sürece” inancıyla öldü.

Kitap II, Bölüm II'de, sembolik cebir teorisi hakkında yukarıda alıntılanan pasajı takiben, De Morgan cebirin temel sembollerinin bir envanterini ve ayrıca cebir yasalarının bir envanterini vermeye devam ediyor. Semboller , , , , , , ⁽⁾ ve harflerdir; sadece bunlar, tüm diğerleri türetilmiştir. De Morgan'ın açıkladığı gibi, bu sembollerin sonuncusu, bir öncekinin üzerine ve sonrasında üst simge olarak ikinci bir ifade yazmayı temsil eder. Temel yasaların envanteri on dört başlık altında ifade edilmiştir, ancak bazıları sadece tanımdır. Yukarıdaki semboller listesi, bu başlıklardan ilkinin konusudur. Uygun yasalar, onun kabul ettiği gibi, birbirinden bağımsız olmayan aşağıdakilere indirgenebilir, "ama üssel işlemin simetrik olmayan karakteri ve bağlantı sürecinin eksikliği ve ... bunları ayrı ayrı belirtin": ${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili 1}$${\görüntüleme stili +}$${\görüntüleme stili -}$${\görüntüleme stili \kez }$${\görüntüleme stili\div }$${\görüntüleme stili ()}$${\görüntüleme stili +}$${\görüntüleme stili \kez }$

1. Kimlik yasaları. ${\ Displaystyle a=0+a}$ ${\görüntüleme stili =+a}$ ${\görüntüleme stili =a+0}$ ${\görüntüleme stili =a-0}$ ${\görüntüleme stili =1\kez a}$ ${\görüntüleme stili =\kez a}$ ${\görüntüleme stili =a\kez 1}$ ${\displaystyle =a\div 1}$ ${\displaystyle =0+1\kez a}$
2. İşaretler yasası. ${\ Displaystyle +(+a)=+a,}$ ${\görüntüleme stili +(-a)=-a,}$ ${\displaystyle -(+a)=-a,}$ ${\displaystyle -(-a)=+a,}$ ${\displaystyle \times (\times a)=\times a,}$ ${\displaystyle \times (\div a)=\div a,}$ ${\displaystyle \div (\times a)=\div a,}$ ${\displaystyle \div (\div a)=\kez a}$
3. Değişmeli kanun. ${\görüntüleme stili a+b=b+a,}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$
4. Dağıtım kanunu. ${\görüntüleme stili a(b+c)=ab+ac,}$ ${\görüntüleme stili a(bc)=ab-ac,}$ ${\displaystyle (b+c)\div a=(b\div a)+(c\div a),}$ ${\displaystyle (bc)\div a=(b\div a)-(c\div a)}$
5. Endeks yasaları. ${\görüntüleme stili a^{0}=1,}$ ${\görüntüleme stili a^{1}=a,}$ ${\displaystyle (a\times b)^{c}=a^{c}\times b^{c},}$ ${\displaystyle a^{b}\times a^{c}=a^{b+c},}$ ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{b\times c}}$

De Morgan, cebir simgelerinin uyması gereken yasaların eksiksiz bir dökümünü verdiğini söyler, çünkü şöyle der: "Bu kurallara uyan ve başka hiçbir şeye uymayan herhangi bir simge sistemi -bu kuralların birleşiminden oluşmaları dışında- ve önceki semboller ve diğerleri değil - bu sembollerin kombinasyonlarının kısaltmasında icat edilen yeni semboller dışında - sembolik cebirdir . Onun bakış açısından, yukarıdaki ilkelerin hiçbiri kural değildir; bunlar formel yasalardır, yani cebirsel simgelerin tabi olması gereken keyfi olarak seçilmiş ilişkilerdir. Gregory tarafından daha önce işaret edilmiş olan ve daha sonra dernek Yasası adı verilen yasadan bahsetmiyor . Değişmeli yasa başarısız olursa, çağrışım geçerli olabilir; ama tersi değil . Evrensel aritmetikte eşit olmaması sembolist veya formalist için talihsiz bir şeydir ; çünkü o zaman değişmeli yasa tam kapsamlı olurdu. Neden tam kapsam vermiyor? Çünkü cebirin temelleri her şeyden önce biçimsel değil gerçektir, sembolik değil maddidir. Biçimcilere göre indeks işlemleri aşırı derecede inatçıdır, bunun sonucunda bazıları onları dikkate almaz, ancak uygulamalı matematiğe havale eder. Cebir sembollerinin uyması gereken yasaların bir dökümünü vermek imkansız bir iştir ve zihnin a priori bilgisinin bir dökümünü çıkarmaya çalışan filozofların görevini hiç de anımsamaz . ${\görüntüleme stili (a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)}$${\görüntüleme stili m^{n}}$${\görüntüleme stili n^{m}}$

Resmi Mantık

Cambridge Üniversitesi'nde matematik çalışmaları yeniden canlandığında, mantık çalışmaları da canlandı. Hareketli ruhu Whewell, asıl yazıları bir vardı Trinity College, Hakimi'ydi Endüktif Bilimler Tarih ve Endüktif Bilimler Felsefesi . Şüphesiz De Morgan, mantıksal araştırmalarında Whewell'den etkilenmiştir; ancak diğer etkili çağdaşlar Dublin'de Sir William Rowan Hamilton ve Cork'ta George Boole idi. De Morgan'ın 1847'de yayınlanan Formal Logic adlı çalışması, sayısal olarak belirli kıyası geliştirmesi bakımından esas itibariyle dikkate değerdir . Aristoteles'in takipçileri, Bazı M'ler A'dır ve Bazı M'ler B'dir gibi iki özel önermeden , A'lar ve B'ler arasındaki ilişki hakkında zorunluluktan hiçbir şeyin çıkmadığını söylerler . Ama daha da ileri gidiyorlar ve A'lar ve B'ler hakkındaki herhangi bir ilişkinin zorunluluktan kaynaklanabilmesi için orta terimin öncüllerden birinde evrensel olarak alınması gerektiğini söylüyorlar. De Morgan, Çoğu M'nin A'dır ve Çoğu M'nin B'dir, bunun zorunlu olarak bazı A'ların B'ler olduğuna dikkat çekti ve bu ilkeyi tam nicel biçime sokan sayısal olarak belirli kıyası formüle etti. M'in sayısı olduğunu varsayalım A'ın olup burada M 's, , ve B are M'in ; o zaman en azından B olan A'lar vardır. Bir vapurdaki ruh sayısının 1000 olduğunu, bu 500 kişinin salonda olduğunu ve 700 kişinin kaybolduğunu varsayalım. En az 700 + 500 – 1000, yani 200 sedan yolcusunun kayıp olması zorunluluktan kaynaklanmaktadır. Bu tek ilke, tüm Aristoteles ruh hallerinin geçerliliğini kanıtlamaya yeter. Bu nedenle zorunlu akıl yürütmede temel bir ilkedir. ${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili (a+bm)}$

İşte o zaman De Morgan , terimlerin nicelleştirilmesini getirerek büyük bir ilerleme kaydetmişti . O sırada Sir William Hamilton , Edinburgh'da yüklemin nicelleştirilmesine ilişkin bir doktrin öğretiyordu ve bir yazışma ortaya çıktı. Ancak, De Morgan kısa süre sonra Hamilton'ın nicelleştirmesinin farklı bir karakterde olduğunu fark etti; Bu iki şekilde ikame örneğin demek A'nın bütün B bütündür ve A'nın, tüm B bir parçasıdır Aristotelian form için tüm bir en B vardır . Hamilton, kilit taşını kendi ifadesiyle Aristoteles kemerine yerleştirdiğini düşündü. Her ne kadar kilit taşı olmadan 2000 yıl ayakta durabilen tuhaf bir kemer olsa gerek. Sonuç olarak, De Morgan'ın yeniliklerine yer yoktu. De Morgan'ı intihalle suçladı ve tartışmalar yıllarca Athenæum'un sütunlarında ve iki yazarın yayınlarında sürdü .

De Morgan'ın Formal Logic adlı kitabının yayımlanmasının ardından Transactions of the Cambridge Philosophical Society'ye katkıda bulunduğu mantık üzerine anıları , bilime yaptığı açık ara farkla en önemli katkıları, özellikle de çalışmaya başladığı dördüncü anı kitabıdır . "akrabaların mantığı"nın geniş alanı.

Paradoksların Bütçesi

Paradoksların Bütçesinin girişinde De Morgan, bu sözcükle ne demek istediğini açıklıyor:

Matematiksel yöntemin yükselişinden bu yana pek çok kişi, her biri kendisi için, onun doğrudan ve dolaylı sonuçlarına saldırdı. Bu kişilerin her birine bir paradoks ve onun sistemine bir paradoks diyeceğim . Sözcüğü eski anlamında kullanıyorum: paradoks, konu, yöntem veya sonuç bakımından genel kanıdan ayrı olan bir şeydir. Öne sürülen şeylerin çoğu, şimdi eski paradoksa en yakın kelime olan crotchets olarak adlandırılacaktı . Ancak şu fark var ki, bir şeye kroşe demekle onun hakkında hafifçe konuşmak istiyoruz; ki bu gerekli bir paradoks duygusu değildi. Böylece 16. yüzyılda birçok kişi dünyanın hareketinden Kopernik'in paradoksu olarak bahsetti ve bu teorinin yaratıcılığına çok büyük saygı duydu ve hatta bazılarının buna meylettiğini düşünüyorum. On yedinci yüzyılda anlamdan yoksunluk, en azından İngiltere'de gerçekleşti.

Sesli paradoksalcı sahte paradoksçudan nasıl ayırt edilebilir? De Morgan aşağıdaki testi sağlar:

Bir paradoksalcının kendini anlamlı ya da anlamsız olarak gösterme tarzı, ileri sürdükleri şeye değil, başkaları tarafından yapılanlar hakkında, özellikle bunu yapmak, kendisi için bilgi icat etmenin bir ön koşulu... Yeni bilgi, ne zaman olursa olsun, düşünceyi ilgilendiren her konuda eski bilginin tefekküriyle gelmelidir; mekanik düzen bazen, çok sık olmamakla birlikte, bu kuraldan kaçar. Düşünce tarafından yönetilen her konuda, şimdi kaşif olarak adlandırılan tüm insanlar, atalarının zihinlerinde ustalaşmış ve kendilerinden önce olanları öğrenmiş kişilerdir. Tek bir istisna yoktur.

Bütçe kısmen yazarlar tarafından kendisine gönderilen kitaplardan, kısmen incelenmek üzere kendisine gönderilen kitaplardan, kısmen bookstands adresinden satın tarafından, De Morgan kendi kütüphanesinde birikmiş olan paradoksal kitapların geniş bir koleksiyona gözden oluşmaktadır. Şu sınıflandırmayı verir: dairenin kareleri, açının üç bölümü, küpün kopyalayıcıları, sürekli hareketin yapıcıları, yerçekiminin yıkıcıları, dünyanın durağanları, evrenin kurucuları. Tüm bu sınıfların örneklerini Yeni Dünya'da ve yeni yüzyılda hala bulacaksınız. De Morgan, paradokslarla ilgili kişisel bilgisini veriyor.

İngiltere'deki herhangi bir erkekten daha fazla İngilizce dersi bildiğimden şüpheleniyorum. Hiç hesaba katmadım: ama biliyorum ki bir yıl diğeriyle mi? ve önceki yıllarda olduğundan daha az geç yıllar? – Her yıl beşten fazla kişiyle görüştüm, yüz elliden fazla örnek verdim. Bundan eminim, bin tane olmamışlarsa benim hatamdır. Doğal olarak başvurdukları kişiler dışında kimse nasıl kaynaştıklarını bilmiyor. Her yaştan ve karakterden, her rütbe ve meslekteler. Onlar çok ciddi insanlardır ve amaçları gerçek paradokslarını yaymaktır. Pek çoğu -aslında kitle- okuma yazma bilmiyor ve pek çoğu da araçlarını boşa harcıyor ve kıtlık içinde ya da buna yaklaşıyor. Bu kaşifler birbirlerini hor görürler.

De Morgan'ın, Achilles'in Hector'a -onu tekrar tekrar duvarların etrafında sürüklemesi için- yaptığı iltifatı ödediği paradokslardan biri, Liverpool'un başarılı bir tüccarı olan James Smith'ti. O buldu . Akıl yürütme tarzı , Euclid'in reductio ad absurdum'unun tuhaf bir karikatürüydü . Let ' dedi ve sonra bu varsayıma göre 'nin diğer tüm değerlerinin saçma olması gerektiğini gösterdi. Sonuç olarak, gerçek değerdir. Aşağıdaki, De Morgan'ın Truva surlarının etrafında sürüklenmesinden bir örnek: ${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$${\görüntüleme stili\pi }$${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$

Bay Smith, cevap vermem gerektiğini ima ettiği uzun mektuplar yazmaya devam ediyor. Not kâğıdının yakından yazılmış 31 yüzünün sonuncusunda, inatçı sessizliğime atıfta bulunarak, kendimi ve başkaları tarafından matematiksel bir Goliath olduğumu düşünmeme rağmen, matematiksel salyangoz oynamaya karar verdiğimi ve devam etmeye karar verdiğimi söylüyor. kabuğumun içinde. Matematiksel bir salyangoz ! Bu, bir saatin vuruşunu düzenleyen sözde şey olamaz; çünkü bu, Bay Smith'in günün doğru saatini seslendirmem gerektiği anlamına gelir, ki bunu, yanlış kuadratif değeri ile her saatte 19 saniye tek kazanan bir saatte asla üstlenmem . Ama bana basit gerçeğin ve sağduyunun sapanlarından çıkan çakılların eninde sonunda kabuğumu kıracağını ve beni savaştan atacağını söylemeye cüret ediyor . Görüntülerin karışıklık eğlenceli: Goliath önlemek için bir salyangoz içine kendini dönüm ve koyun: ve James Smith hazretleri, Mersey dock Kurulu. Muharebe de hors bir sapan gelen çakıl tarafından. Golyat bir salyangoz kabuğuna sızmış olsaydı, Davud Filistin'i ayağıyla kıracaktı. Çatlak kabuklu çakılın henüz etkisini göstermediği imasında alçakgönüllülük gibi bir şey var; Sapancının bu zamana kadar şarkı söyleyeceği sanılabilirdi - Ve üç kez [ve sekizde bir] tüm düşmanlarımı bozguna uğrattım, Ve üç kez [ve sekizde bir] katledilenleri öldürdüm.${\görüntüleme stili\pi }$${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$

Saf matematik alanında, De Morgan gerçek paradokstan yanlışı kolayca saptayabilir; ama fizik alanında o kadar yetkin değildi. Kayınpederi bir paradoksçuydu ve karısı bir paradoksçuydu; ve fiziksel filozofların görüşüne göre, De Morgan'ın kendisi zorlukla kaçtı. Karısı, spiritüalizm, masa çalma, masa çevirme vb. fenomenlerini anlatan bir kitap yazdı ; ve De Morgan, öne sürülen gerçeklerin bazılarını bildiğini, diğerlerinin tanıklığa inandığını, ancak bunların ruhlardan mı kaynaklandığını veya bilinmeyen ve hayal edilemeyen bir kökene sahip olup olmadığını biliyormuş gibi davranmadığını söylediği bir önsöz yazdı . Bu alternatiften sıradan maddi nedenleri dışarıda bıraktı. Faraday, Spiritüalizm üzerine bir konferans verdi ve burada, soruşturmada neyin fiziksel olarak mümkün veya imkansız olduğu fikriyle yola çıkmamız gerektiğini ortaya koydu; De Morgan buna inanmadı.

ilişkiler

De Morgan , ilk olarak 1860'ta yayınlanan Syllabus of a Proposed System of Logic (1966: 208–46) adlı kitabında ilişkiler hesabını geliştirdi . De Morgan, kıyaslarla akıl yürütmenin , ilişkilerin bileşimi ile değiştirilebileceğini gösterebildi . Hesap, De Morgan'a hayran olan ve ölümünden kısa bir süre önce onunla tanışan Charles Sanders Peirce tarafından akrabaların mantığı olarak tanımlandı . Taşı, bundan başka, üçüncü hacmi uzatılmıştır Ernst Schröder sitesindeki Lojik der cebir die über Vorlesungen . İkili ilişkiler , özellikle sipariş teorisi , kritik kanıtladı Principia Mathematica ve Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead . Buna karşılık, bu hesap 1940'ta Alfred Tarski ve meslektaşları ve California Üniversitesi'ndeki öğrenciler tarafından başlayan çok daha ileri çalışmaların konusu oldu .

spiritüalizm

De Morgan daha sonraki yaşamında maneviyat fenomeniyle ilgilenmeye başladı . 1849'da durugörü konusunu araştırmış ve konudan etkilenmişti. Daha sonra Amerikan medyası Maria Hayden ile kendi evinde paranormal araştırmalar yaptı. Bu araştırmaların sonucu daha sonra eşi Sophia tarafından yayınlandı. De Morgan, bir bilim adamı olarak kariyerinin, spiritüalizm çalışmasına olan ilgisini açıklamış olsaydı etkilenmiş olabileceğine inanıyordu, bu yüzden kitabın isimsiz olarak yayınlanmasına yardım etti. Kitap, Maddeden Ruha: Ruh Tezahürlerinde On Yıllık Deneyimin Sonucu başlıklı 1863'te yayınlandı .

Tarihçi Janet Oppenheim'a göre , De Morgan'ın karısı Sophia ikna olmuş bir maneviyatçıydı, ancak De Morgan, Oppenheim'ın “bekle ve gör pozisyonu” olarak tanımladığı maneviyat fenomenleri üzerinde üçüncü bir pozisyonu paylaştı; o ne bir mümin ne de bir şüpheciydi. Bunun yerine, onun bakış açısı, fizik bilimlerinin metodolojisinin psişik fenomenleri otomatik olarak dışlamadığı ve bu tür fenomenlerin, fizikçilerin henüz tanımlamadığı doğal güçlerin olası varlığı ile zaman içinde açıklanabileceği idi.

De Morgan , From Matter to Spirit'in (1863) önsözünde şunları söyledi:

Evrenin, hakkında kimsenin hiçbir şey bilmediği birkaç aracı -mesela yarım milyon- içerebileceğini düşündüğümden, bu ajansların küçük bir bölümünün -mesela beş binin- çeşitli yetkinlikleri üretmeye yetkin olabileceğinden şüphelenmekten kendimi alıkoyamıyorum. tüm [spiritüalist] fenomenler, ya da aralarındaki göreve oldukça bağlı olabilir. Gördüğüm fiziksel açıklamalar kolay, ama sefil bir şekilde yetersiz: Spiritüalist hipotez yeterli, ama çok zor. Zaman ve düşünce karar verecek, ikincisi ilkinden daha fazla deneme sonucu isteyecek.

Psişik araştırmacı John Beloff , De Morgan'ın Britanya'da spiritüalizm çalışmasına ilgi duyan ilk kayda değer bilim adamı olduğunu ve çalışmalarının William Crookes'un spiritüalizmi inceleme kararını etkilediğini yazdı . Beloff ayrıca De Morgan'ın ateist olduğunu ve bu nedenle Oxford veya Cambridge'deki bir görevden men edildiğini iddia ediyor .

Miras

Büyük matematik mirasının ötesinde, Londra Matematik Derneği'nin genel merkezine De Morgan Evi denir ve University College London Matematik Bölümü'nün öğrenci topluluğuna Augustus De Morgan Topluluğu denir.

Krater De Morgan üzerinde Ay onun adını taşımaktadır.

Seçilmiş yazılar

Ayrıca bakınız

• Murphy kanunu

Referanslar

Notlar

alıntılar

Kaynaklar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar

• İlgili Medya Augustus De Morgan Wikimedia Commons
• Augustus De Morgan tarafından Project Gutenberg'de çalışıyor
• Augustus De Morgan tarafından veya yaklaşık İşleri at Internet Archive
• Augustus De Morgan tarafından İşleri at LibriVox (kamu malı sesli kitaplar)
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Augustus De Morgan" , MacTutor Matematik Tarihi arşivi , St Andrews Üniversitesi
• Augustus De Morgan'ın Londra Üniversitesi Senato Binası Kütüphanesi tarafından düzenlenen belgeleri
• Augustus De Morgan Kütüphanesi
• "Augustus De Morgan ile ilgili arşiv malzemesi" . Birleşik Krallık Ulusal Arşivleri .
• Augustus De Morgan portreleri de Ulusal Portre Galerisi, Londra