Hamilton–Jacobi–Einstein denklemi - Hamilton–Jacobi–Einstein equation

hakkında bir dizi makalenin bir parçası
Genel görelilik
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$
Giriş Tarih matematiksel formülasyon testler
Temel kavramlar görelilik ilkesi Görecelilik teorisi Genel kovaryans eşzamanlılık eşzamanlılığın göreliliği bağıl hareket Etkinlik Referans çerçevesi Atalet referans çerçevesi kitle eylemsizlik kütlesi Dinlenme çerçevesi Momentum merkezi çerçevesi eğrilik jeodezik coğrafi denklik ilkesi Genel görelilikte kütle Kütle-enerji denkliği değişmez değişmez kütle uzay-zaman simetrileri Özel görelilik çift ​​özel görelilik de Sitter değişmez özel görelilik ölçek görelilik Işık hızı Zaman türevi Doğru zaman Uygun uzunluk Uzunluk daralması Uzaktan eylem Yerellik ilkesi Riemann geometrisi Enerji durumu
olaylar gravitoelektromanyetizma Kepler sorunu Yerçekimi Yerçekimi alanı yerçekimi kuyusu yerçekimi merceklenmesi yerçekimi dalgaları yerçekimi kırmızıya kayma kırmızıya kayma Maviye kayma zaman genişlemesi Yerçekimi zaman genişlemesi Shapiro zaman gecikmesi Yer çekimsel potansiyel yerçekimi sıkıştırma yerçekimi çöküşü Çerçeve sürükleme jeodezik etki görünen ufuk Olay ufku yerçekimi tekilliği çıplak tekillik Kara delik beyaz delik Boş zaman zamanın oku ışık konisi dünya çizgisi Üç boyutlu uzay dört boyutlu uzay Uzay Zaman manifold Pürüzsüz manifold Riemann manifoldu Yapılandırma alanı durum uzayı Faz boşluğu Hilbert uzayı Öklid uzayı topolojik uzay topolojik kusur uzay-zaman diyagramları Minkowski uzay-zaman Lorentz skaleri Kapalı zaman eğrisi (CTC) Solucan deliği Ellis solucan deliği
denklemler formalizmler denklemler Doğrusallaştırılmış yerçekimi Einstein alan denklemleri Friedmann jeodezik Mathisson-Papapetrou-Dixon Hamilton-Jacobi-Einstein Eğrilik değişmezi (genel görelilik) Lorentz dönüşümü Lorentzian manifoldu Küresel hiperbolik manifold nedensellik koşulları nedensel yapı formalizmler ADM BSSN Newman-Penrose Newton sonrası ileri teori Brans-Dicke teorisi kozmik sansür hipotezi Kaluza-Klein teorisi kuantum yerçekimi süper yerçekimi
Çözümler göreli disk Schwarzschild ( iç ) Reissner-Nordström Gödel Kerr Kerr-Newman kaşer Lemaitre-Tolman Taub-SOMUN Milne Robertson-Walker pp dalgası kamyonet Stockum tozu Weyl-Lewis-Papapetro Vakum çözeltisi
teoremler Birkhoff teoremi Geroch'un bölme teoremi Goldberg-Sachs teoremi Lovelock teoremi saçsızlık teoremi Penrose-Hawking tekillik teoremleri pozitif enerji teoremi
Bilim insanları Einstein Lorentz Hilbert poincare Schwarzschild bakıcı Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaitre Gödel tekerlekli Robertson Bardeen yürüteç Kerr Chandrasekhar Ehler Penrose şahin Raychaudhuri Taylor Hulse kamyonet Stockum Taub Yeni adam evet Thorne diğerleri
v t e

Olarak genel görelilik , Hamilton-Jacobi-Einstein denklemi ( HJEE ) ya da Einstein Hamilton-Jacobi denklemi ( EHJE ) 'de bir denklemdir Hamilton formülasyon arasında geometrodynamics içinde süper uzay 1960 çevresinde "geometrodynamics dönemi" dökme, Asher Peres 1962 ve diğerleri. Genel göreliliği, kuantum mekaniği ile klasik mekanik arasındaki yazışmaya çok benzer şekilde, yarı-klasik bir yaklaşım içinde kuantum teorisine benzeyecek şekilde yeniden formüle etme girişimidir .

Adını Albert Einstein , Carl Gustav Jacob Jacobi ve William Rowan Hamilton'dan almıştır . EHJE, on Einstein alan denkleminin (EFE'ler) tamamı kadar bilgi içerir . Klasik mekanikten Hamilton-Jacobi denkleminin (HJE) bir modifikasyonudur ve ADM formalizmindeki en az eylem ilkesi kullanılarak Einstein-Hilbert eyleminden türetilebilir .

Arka plan ve motivasyon

Klasik ve kuantum fiziği arasındaki yazışmalar

Klasik analitik mekanikte sistemin dinamikleri S eylemi ile özetlenir . Kuantum teorisinde, yani göreli olmayan kuantum mekaniği (QM), göreli kuantum mekaniği (RQM) ve ayrıca kuantum alan teorisi (QFT), bu teorilerde değişen yorumlar ve matematiksel formalizmlerle, bir sistemin davranışı tamamen içinde bulunur. bir kompleks -valued genlik olasılık Ψ (daha resmi olarak bir kuantum devlet ket | Ψ⟩ - bir unsuru Hilbert uzay ). Dalga fonksiyonunun kutupsal formunu kullanarak, bir Madelung dönüşümü yaparak:

${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }}$

Faz ait Ψ eylem olarak yorumlanabilir ve modül edilir √ p, = √ Ψ * Ψ = | Ψ | olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak Kopenhag yorumuna göre yorumlanır . İndirgenmiş Planck sabiti ħ olan açısal momentum kuantum . Bunun kuantum genel Schrödinger denklemine (SE) ikame edilmesi :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,}$

ve ħ → 0 limitinin alınması klasik HJE'yi verir:

${\displaystyle -{\frac {\kısmi S}{\kısmi t}}=H\,,}$

bu yazışma ilkesinin bir yönüdür .

Dört boyutlu uzay-zamanın eksiklikleri

Öte yandan, kuantum teorisi ile genel görelilik (GR) arasında geçiş yapmak zordur; bir sebep, bu teorilerde uzay ve zamanın ele alınmasıdır. Göreceli olmayan QM'de uzay ve zaman eşit düzeyde değildir; zaman bir parametredir, pozisyon ise bir operatördür . RQM ve QFT'de, bu teoriler yalnızca dört boyutlu düz Minkowski uzayında SR ile tutarlı olsa da , eğri uzay veya GR ile değil , konum zaman koordinatının yanı sıra olağan uzaysal koordinatlara geri döner . Formüle etmek mümkündür Eğri uzay kuantum alan kuramı , yerçekimi olmadığı için henüz bu bile hala GR dahil edemez renormalize QFT içinde. Ek olarak, GR'de parçacıklar her an deterministik olarak bilinen bir konum ve momentum ile eğri uzay-zamanda hareket ederken, kuantum teorisinde bir parçacığın konumu ve momentumu aynı anda tam olarak bilinemez; uzay x ve momentum p ve enerji E ve zaman t , ikili olarak belirsizlik ilkelerine tabidir

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}\,,}$

bu, uzay ve zamandaki küçük aralıkların, enerji ve momentumda büyük dalgalanmaların mümkün olduğu anlamına geldiğini ima eder. GR'de kütle-enerji ve momentum-enerji uzay - zaman eğriliğinin kaynağı olduğundan , enerji ve momentumdaki büyük dalgalanmalar, uzay-zaman "kumaşının" potansiyel olarak o kadar çarpık hale gelebileceği ve yeterince küçük ölçeklerde parçalanabileceği anlamına gelir. QFT'den, atomlardaki elektronların hareketi dalgalandığı için vakumun enerjiye sahip olduğuna dair teorik ve deneysel kanıtlar vardır, bu Lamb kayması ile ilgilidir . Bu ve diğer nedenlerle, giderek daha küçük ölçeklerde, uzay ve zamanın Planck uzunluğu ve Planck zaman ölçeklerine kadar dinamik olduğu düşünülmektedir .

Her durumda, dört boyutlu eğri uzay - zaman sürekliliği, genel göreliliğin iyi tanımlanmış ve merkezi bir özelliğidir, ancak kuantum mekaniğinde değildir.

Denklem

QM ve GR için mümkün olduğu kadar yakın bir şekilde bir sistem dinamiklerini düzenleyen bir denklem bulmak için bir teşebbüs, içinde HJE yeniden formüle etmektir üç boyutlu eğri alanı "dinamik" (zamanla değişen) ve olduğu anlaşılmalıdır değil EFE'ler gibi dört boyutun tamamında dört boyutlu uzay - zaman dinamiği. Alanın bir metriği vardır ( ayrıntılar için metrik alana bakın).

Genel relativitede metrik tensör , çünkü temel bir amacı, uygun bir zamanda , yay uzunluğu , jeodezik hareket içinde Eğri uzay ve diğer şeyler arasında, her metrik bağlıdır. Yukarıdaki HJE metriği içerecek şekilde değiştirilir, ancak bu yalnızca r 3d uzaysal koordinatlarının (örneğin , Kartezyen koordinatlarda r = ( x , y , z ) t koordinat zamanı olmadan) bir fonksiyonudur :

${\displaystyle g_{ij}=g_{ij}(\mathbf {r} )\,.}$

Bu bağlamda g _ij , "metrik alan" veya basitçe "alan" olarak adlandırılır.

Genel denklem (serbest eğri uzay)

Eğri " boş uzay " veya " boş uzay "da, yani parçacığın kendisinden başka bir maddenin yokluğunda serbest bir parçacık için denklem şöyle yazılabilir:

burada g , metrik tensörün determinantı ve R , 3d geometrinin (zaman dahil değil) Ricci skaler eğriliğidir ve " d " yerine " δ " , sıradan türev yerine varyasyonel türevi belirtir . Bu türevler, "metrik alana eşlenik" alan momentumuna karşılık gelir:

${\displaystyle \pi ^{ij}(\mathbf {r} )=\pi ^{ij}={\frac {\delta S}{\delta g_{ij}}}}\,,}$

g _ij ( r ) alan koordinatlarına göre hareketin değişim oranı . Buradaki g ve π , klasik Hamilton mekaniğinde sırasıyla q ve p = ∂ S /∂ q ile benzerdir . Daha fazla arka plan için kurallı koordinatlara bakın .

Denklem, serbest bir parçacığın madde dalgalarının dinamikleri kavisli uzayda ortaya çıktıkça , sabit eylemin dalga cephelerinin süperuzayda nasıl yayıldığını açıklar . Parçacık üzerinde, diğer parçacıkların veya madde dağılımlarının (uzay eğriliğine katkıda bulunan) varlığını ve parçacıkları elektrik yüklü veya dönüşlü olarak etkileyen elektromanyetik alan kaynaklarını içeren ekstra etkilerin varlığını açıklamak için ek kaynak terimlerine ihtiyaç vardır . Einstein alan denklemleri gibi, metrik bileşenlerin çarpımları nedeniyle metrikte doğrusal değildir ve HJE gibi, eylemdeki varyasyonel türevlerin çarpımı nedeniyle eylemde doğrusal değildir.

Eylemin dalga fonksiyonunun aşaması olduğu kuantum mekaniği kavramı, bu denklemden aşağıdaki gibi yorumlanabilir. Aşama, en az eylem ilkesini sağlamalıdır; sistemin konfigürasyonundaki küçük bir değişiklik için, başka bir deyişle, metrik bileşenlerde küçük bir değişikliğe karşılık gelen parçacığın konumunda küçük bir değişiklik için sabit olmalıdır ;

${\displaystyle g_{ij}\rightarrow g_{ij}+\delta g_{ij}\,,}$

fazdaki hafif değişiklik sıfırdır:

${\displaystyle \delta S=\int {\frac {\delta S}{\delta g_{ij}(\mathbf {r} )}}\delta g_{ij}(\mathbf {r} )\mathrm {d } ^{3}\mathbf {r} =0\,,}$

(burada d ³ r olan hacim elemanı arasında hacim integrali ). Yani madde dalgalarının yapıcı girişimi maksimumdur. Bu, süperpozisyon ilkesiyle ifade edilebilir ; lokalize bir dalga fonksiyonu oluşturmak için eğri uzaya yayılmış birçok lokalize olmayan dalga fonksiyonuna uygulanır:

${\displaystyle \Psi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}\,,}$

bazı katsayılar için c _n ve ayrıca her ψ _n için eylem (faz) S _{n aşağıdakileri} sağlamalıdır:

${\displaystyle \delta S=S_{n+1}-S_{n}=0\,,}$

tüm n için veya eşdeğer olarak,

${\displaystyle S_{1}=S_{2}=\cdots =S_{n}=\cdots \,.}$

Ψ'nin maksimum veya minimum olduğu bölgeler , orada parçacığı bulma olasılığının olduğu ve eylem (faz) değişikliğinin sıfır olduğu noktalarda meydana gelir. Dolayısıyla, yukarıdaki EHJE'de, sabit hareketin her bir dalga cephesi, parçacığın bulunabileceği yerdir .

Bu denklem hala kuantum mekaniği ve genel göreliliği "birleştirmiyor", çünkü kuantum teorisi ve genel görelilik bağlamında yarı-klasik Eikonal yaklaşımı, bu teoriler arasında bir geçiş sağlamak için uygulandı.

Uygulamalar

Denklem çeşitli karmaşık biçimler alır:

• kuantum yerçekimi
• kuantum kozmolojisi

Ayrıca bakınız

• yapraklanma
• kuantum geometrisi
• kuantum uzay-zaman
• varyasyon hesabı
• Denklem aynı zamanda Wheeler-DeWitt denklemi ile de ilgilidir .
• Peres metriği

Referanslar

Notlar

daha fazla okuma

Kitabın

• JL Lopes (1977). Kuantum mekaniği, yarım yüzyıl sonra: Kuantum Mekaniğinin Elli Yılı Üzerine Bir Kolokyumun Kağıtları . Strasbourg, Fransa: Springer, Kluwer Academic Publishers. ISBN'si 978-90-277-0784-0.
• C. Rovelli (2004). Kuantum Yerçekimi . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-83733-0.
• C. Kiefer (2012). Kuantum Yerçekimi (3. baskı). Oxford Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-19-958520-5.
• JK Glikman (1999). Kuantum Yerçekimine Doğru: XXXV Uluslararası Kış Okulu'nun Teorik Fizik Üzerine Bildirileri . Polanica, Polonya: Springer. s. 224. ISBN 978-3-540-66910-4.
• LZ Dişi; R. Ruffini (1987). Kuantum kozmolojisi . Astrofizik ve Kozmolojide Gelişmiş Seriler. 3 . Dünya Bilimsel . ISBN'si 978-9971-5-0312-3.

Seçilmiş makaleler

• T. Bankalar (1984). "TCP, Kuantum Yerçekimi, Kozmolojik Sabit ve hepsi..." (PDF) . Stanford, ABD.( Ekteki Denklem A.3 ).
• BK Daryan (1997). "Yerçekimi etkileşimli elektromanyetik ve skaler alanlar için Hamilton-Jacobi denklemini çözme". Kanada, ABD. arXiv : gr-qc/9707046v2 . Bibcode : 1998CQGra..15..143D . doi : 10.1088/0264-9381/15/1/010 .
• JR Bond; DS Salopek (1990). "Enflasyonlu modellerde uzun dalga boylu metrik dalgalanmaların doğrusal olmayan evrimi" . Fizik Rev. D . Kanada (ABD), Illinois (ABD).
• Sang Pyo Kim (1996). "Kuantum yerçekiminden klasik uzay-zaman" . Klasik ve Kuantum Yerçekimi . Kunsan, Kore: IoP . arXiv : gr-qc/9601049 . Bibcode : 1996CQGra..13.1377K . doi : 10.1088/0264-9381/13/6/011 .
• SR Berbena; AV Berrocal; J. Socorro; LO Pimentel (2006). "Einstein-Hamilton-Jacobi denklemi: barotropik FRW için klasik çözüm aranıyor". Guanajuato ve Autónoma Metropolitana (Meksika). arXiv : gr-qc/0607123 . Bibcode : 2007RMxFS..53b.115B .