Friedmann denklemleri - Friedmann equations

Friedmann denklemleri kümesidir denklemlerin içinde fiziksel kozmolojinin yöneten uzayın genişlemesini içinde homojen ve izotropik kapsamında evrenin modelleri genel görelilik . Önce tarafından elde edilmiştir Alexander Friedmann dan 1922 yılında Einstein'ın alan denklemlerinin ait yerçekimi için Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker metrik ve mükemmel akışkan verilen bir ile kitle yoğunluğu ve basınç . Negatif uzaysal eğrilik denklemleri 1924'te Friedmann tarafından verildi.

varsayımlar

Friedmann denklemleri, evrenin uzamsal olarak homojen ve izotropik olduğu şeklindeki basitleştirici varsayımla , yani kozmolojik ilkeyle başlar ; ampirik olarak, bu ~100 Mpc'den daha büyük ölçeklerde doğrulanır . Kozmolojik ilke, evrenin ölçütünün şu şekilde olması gerektiğini ima eder:

(a) düz uzay, (b) sabit pozitif eğrilik küresi veya (c) sabit negatif eğrilik ile hiperbolik uzaydan biri olması gereken üç boyutlu bir metrik nerede . Bu metriğe Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) metriği denir. Aşağıda tartışılan parametre , bu üç durumda sırasıyla 0, 1, -1 veya Gauss eğriliğini alır . Bir “ ölçek faktörü ” nden mantıklı bir şekilde söz etmemizi sağlayan bu gerçektir .

Einstein'ın denklemleri şimdi bu ölçek faktörünün evrimini evrendeki maddenin basıncı ve enerjisiyle ilişkilendiriyor. FLRW metriğinden Christoffel sembollerini , ardından Ricci tensörünü hesaplıyoruz . İle stres enerji tensörü mükemmel akışkan için, biz Einstein'ın alan denklemlerinin içine yerine ve elde edilen denklemler aşağıda açıklanmıştır.

denklemler

Homojen, izotropik bir evreni modellemek için iki bağımsız Friedmann denklemi vardır. İlk olarak:

bu, Einstein'ın alan denklemlerinin 00 bileşeninden türetilmiştir . İkincisi:

bu, Einstein'ın alan denklemlerinin iziyle birlikte birinciden türetilmiştir (iki denklemin boyutu, zaman -2'dir ).

bir ölçek faktörü , G , Λ ve C genel sabitler ( G Newton olan yerçekimi sabiti Λ olup, kozmolojik sabit (kendi boyutu uzunluğu -2 ) ve c ise vakumda ışık hızı ). ρ ve p , sırasıyla hacimsel kütle yoğunluğu (ve hacimsel enerji yoğunluğu değil) ve basınçtır. k , belirli bir çözüm boyunca sabittir, ancak bir çözümden diğerine değişebilir.

Önceki denklemlerde, , ρ ve p zamanın fonksiyonlarıdır. olan uzaysal eğrilik evrenin herhangi bir zaman dilimi içinde; uzaysal Ricci eğrilik skaleri R'nin altıda birine eşittir, çünkü

Friedmann modelinde. olan Hubble parametresi .

Friedmann denklemlerinde a(t)'nin uzaysal dilimler için seçtiğimiz koordinat sistemine bağlı olmadığını görüyoruz. Aynı fiziği tanımlayan ve k için yaygın olarak kullanılan iki seçenek vardır :

  • k = +1, 0 veya -1 , evrenin şeklinin sırasıyla kapalı 3-küre , düz (yani Öklid uzayı ) veya açık 3- hiperboloid olmasına bağlı olarak. Eğer k = + 1, daha sonra evrenin eğrilik yarıçapı. Eğer k = 0 ise, belirli bir zamanda herhangi bir keyfi pozitif sayıya sabitlenebilir. Eğer k = -1 ise (genel anlamda) bunun evrenin eğrilik yarıçapı olduğu söylenebilir .
  • şu anda 1 olarak alınan ölçek faktörüdür . olan uzaysal eğrilik (yani bugün). Eğer evrenin şekli olan hyperspherical ve (eğrilik yarıçapı olan bu takdirde, mevcut gün olarak) . Eğer olumlu, daha sonra evren hyperspherical olduğunu. Eğer sıfır, daha sonra evrenin düz . Eğer negatif ise, o zaman evren hiperbolik .

Birinci denklemi kullanarak, ikinci denklem şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

kütle-enerjinin korunumunu ortadan kaldıran ve ifade eden

Bu denklemler bazen değiştirilerek basitleştirilir.

vermek:

İkinci denklemin basitleştirilmiş hali bu dönüşüm altında değişmezdir.

Hubble parametresi, denklemin diğer kısımları zamana bağlıysa (özellikle kütle yoğunluğu, vakum enerjisi veya uzaysal eğrilik) zamanla değişebilir. Hubble parametresini şu anda değerlendirmek, Hubble yasasının orantı sabiti olan Hubble sabitini verir . Belirli bir durum denklemine sahip bir akışkana uygulanan Friedmann denklemleri, akışkan yoğunluğunun bir fonksiyonu olarak evrenin zamansal evrimini ve geometrisini verir.

Bazı kozmologlar bu iki denklemden ikincisini Friedmann ivme denklemi olarak adlandırır ve Friedmann denklemi terimini yalnızca birinci denklem için ayırır.

yoğunluk parametresi

Yoğunluk parametresi gerçek (veya gözlenen) yoğunluk oranı olarak tanımlanmaktadır kritik yoğunluğa Friedmann evrenin. Gerçek yoğunluk ile kritik yoğunluk arasındaki ilişki, evrenin genel geometrisini belirler; eşit olduklarında, evrenin geometrisi düzdür (Öklid). Kozmolojik bir sabit terim içermeyen daha önceki modellerde, kritik yoğunluk başlangıçta genişleyen ve küçülen bir Evren arasındaki dönüm noktası olarak tanımlanıyordu.

Bugüne kadar, kritik yoğunluğun metreküp başına yaklaşık beş atom ( monatomik hidrojen ) olduğu tahmin edilirken , Evrendeki sıradan maddenin ortalama yoğunluğunun metreküp başına 0,2-0,25 atom olduğuna inanılıyor.

Evrenin enerji yoğunluğunun bileşenleri için tahmini göreli dağılım. Karanlık enerji toplam enerjiye (%74) hakimken, karanlık madde (%22) kütlenin çoğunu oluşturur. Kalan baryonik maddenin (% 4) sadece onda biri kompakttır. Şubat 2015'te, Planck kozmoloji araştırmasının arkasındaki Avrupa liderliğindeki araştırma ekibi, bu değerleri %4,9 sıradan madde, %25,9 karanlık madde ve %69,1 karanlık enerjiye rafine eden yeni veriler yayınladı.

Tanımlanamayan karanlık maddeden çok daha büyük bir yoğunluk gelir ; hem sıradan hem de karanlık madde, evrenin büzülmesine katkıda bulunur. Bununla birlikte, en büyük kısım , kozmolojik sabit terimi açıklayan sözde karanlık enerjiden gelir . Toplam yoğunluk kritik yoğunluğa eşit olmasına rağmen (tam olarak, ölçüm hatasına kadar), karanlık enerji evrenin büzülmesine yol açmaz, aksine genişlemesini hızlandırabilir. Bu nedenle, evren muhtemelen sonsuza kadar genişleyecektir.

Kritik yoğunluk için bir ifade, Λ'nin sıfır olduğu varsayılarak (tüm temel Friedmann evrenleri için olduğu gibi) ve normalleştirilmiş uzaysal eğrilik, k , sıfıra eşitlenerek bulunur. Friedmann denklemlerinin birincisine ikameler uygulandığında şunu buluruz:

(burada h = H o /(100 km/s/Mpc). H o = 67,4 km/s/Mpc için, yani h = 0,674, ρ c = 8,5 × 10 −27 kg/m 3 )

Yoğunluk parametresi (farklı kozmolojik modelleri karşılaştırmak için kullanışlıdır) daha sonra şu şekilde tanımlanır:

Bu terim başlangıçta, uzaysal geometrinin düz (veya Öklidyen) olduğu kritik yoğunluğun nerede olduğu evrenin uzaysal geometrisini belirlemek için bir araç olarak kullanılmıştır . Sıfır vakum enerji yoğunluğunun birden büyük olduğu varsayıldığında , evrenin uzay bölümleri kapalıdır; evren sonunda genişlemeyi durduracak, sonra çökecek. Birden az ise, açıktırlar; ve evren sonsuza kadar genişler. Bununla birlikte, uzaysal eğrilik ve vakum enerjisi terimleri daha genel bir ifadeye dahil edilebilir , bu durumda bu yoğunluk parametresi tam olarak birliğe eşittir. O zaman, genellikle alt simgelerle gösterilen farklı bileşenlerin ölçülmesi meselesidir. Göre ΛCDM modeli , önemli bileşenleri vardır nedeniyle baryonların , soğuk karanlık madde ve karanlık enerji . Evrenin uzaysal geometrisi , WMAP uzay aracı tarafından neredeyse düz olarak ölçülmüştür . Bu, uzaysal eğrilik parametresinin sıfır olduğu bir modelle evrenin iyi tahmin edilebileceği anlamına gelir ; ancak bu, mutlaka evrenin sonsuz olduğu anlamına gelmez: sadece evrenin gördüğümüz kısımdan çok daha büyük olması olabilir. (Benzer şekilde, Dünya'nın Hollanda ölçeğinde yaklaşık olarak düz olduğu gerçeği, Dünya'nın düz olduğu anlamına gelmez: yalnızca Hollanda'dan çok daha büyük olduğu anlamına gelir.)

İlk Friedmann denklemi genellikle yoğunluk parametrelerinin mevcut değerleri cinsinden görülür.

İşte bugünkü radyasyon yoğunluğu (yani ne zaman ), bugünün madde ( karanlık artı baryonik ) yoğunluğu, bugün "uzaysal eğrilik yoğunluğu" ve bugün kozmolojik sabit veya vakum yoğunluğu.

Faydalı çözümler

Friedmann denklemleri, hal denklemi ile mükemmel bir akışkanın varlığında tam olarak çözülebilir .

burada bir basınç , Comoving çerçeve içinde sıvı kütle yoğunluğu ve bir sabittir.

Uzamsal olarak düz durumda ( k  = 0) ölçek faktörü için çözüm şudur:

başlangıç ​​koşullarının seçimi ile sabitlenecek bazı entegrasyon sabiti nerede . ile etiketlenen bu çözüm ailesi kozmoloji için son derece önemlidir. Örneğin , basıncın kütle yoğunluğuna göre ihmal edilebilir olduğu, maddenin hakim olduğu bir evreni tanımlar . Genel çözümden, maddenin egemen olduğu bir evrende ölçek faktörünün aşağıdaki gibi gittiğini kolayca görebiliriz.

madde ağırlıklı

Bir diğer önemli örnek, radyasyonun baskın olduğu bir evren durumudur , yani ne zaman . Bu yol açar

radyasyon baskın

Bu çözümün, a'ya karşılık gelen kozmolojik sabitin egemenliği için geçerli olmadığına dikkat edin . Bu durumda enerji yoğunluğu sabittir ve ölçek faktörü katlanarak büyür.

Diğer k değerleri için çözümler Tersiç, Balsa'da bulunabilir . "Astrofizik Ders Notları" (PDF) . Erişim tarihi: 20 Temmuz 2011 ..

Karışımlar

Madde, her biri böyle bir durum denklemine sahip, birbiriyle etkileşmeyen iki veya daha fazla akışkanın karışımıysa, o zaman

bu tür sıvıların her biri için ayrı ayrı tutar f . Herbir durumda,

hangisinden alıyoruz

Örneğin, bu tür terimlerin doğrusal bir kombinasyonu oluşturulabilir.

burada: A ,  = 1  olduğunda "toz"un (sıradan madde, w = 0) yoğunluğudur ; B , radyasyonun yoğunluğudur ( w  = 1/3)  = 1 olduğunda ; ve C , "karanlık enerjinin" yoğunluğudur ( w =-1). Biri daha sonra bunu yerine koyar

ve zamanın bir fonksiyonu olarak çözer .

Ayrıntılı türetme

Çözümleri daha açık hale getirmek için, ilk Friedman denkleminden tam ilişkileri türetebiliriz:

ile

Değişkenleri kullanmak ve entegrasyon için yeniden düzenleme ve değiştirme

Her bir bileşenin hakim olduğu evrenler için ölçek faktörünün zamana bağlılığına ilişkin çözümler bulunabilir. Her birinde , enerji yoğunluğunun hakim kaynağının olduğunu varsaymakla aynı şey olduğunu varsaydık .

Maddenin egemen olduğu evrenler için, nerede ve , yanı sıra .

hangi yukarıda belirtilenleri kurtarır

Radyasyonun hakim olduğu evrenler için, nerede ve , yanı sıra

İçin hakim evrenlerin nerede ve yanı sıra , şu andan itibaren entegrasyon bizim sınırları değişecek nereye kadar ve aynı şekilde karşı .

Zamana göre ikinci türev pozitif olduğu için hakim evrenin çözeltisi özel bir ilgi konusudur, sıfır olmayan; başka bir deyişle, evrenin hızlanan bir genişlemesini ima ederek karanlık enerjiye aday oluyor :

İnşaat tarafından nerede , bizim varsayımlar ve sıfırdan büyük olması ivme zorlayarak, pozitif olduğu ölçülmüştür.

Yeniden ölçeklendirilmiş Friedmann denklemi

Bugün ölçek faktörü ve Hubble parametresinin nerede ve ayrı ayrı olduğunu ayarlayın . O zaman alabiliriz

nerede . Etkin potansiyelin herhangi bir biçimi için onu üretecek bir durum denklemi vardır .

Ayrıca bakınız

Notlar

daha fazla okuma