Reissner–Nordström metriği - Reissner–Nordström metric

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Merkezi cismin toplam kütlesi ve indirgenemez kütlesi ile ilişkilidir

$${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.}$$

Arasındaki fark ve kaynaklanmaktadır

${\görüntüleme stili M}$

${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$

Yükün (veya eşdeğer olarak uzunluk ölçeğinin ) sıfıra gittiği sınırda ,

${\ ekran stili Q}$

${\displaystyle r_{Q}}$

${\displaystyle r_{\metin{s}}/r}$

${\görüntüleme stili r_{Q}/r}$

${\displaystyle r_{\metin{s}}/r}$

Uygulamada, oran genellikle son derece küçüktür. Örneğin, schwarzschild yarıçapı

${\displaystyle r_{\metin{s}}/r}$

${\görüntüleme stili r}$

Yüklü kara delikler

Görevli kara delikler rağmen r _Q  « r _s benzer Schwarzschild kara delik : bunlar iki ufuklar var olay ufku ve dahili bir Cauchy ufuk . Schwarzschild metriğinde olduğu gibi, uzay-zaman için olay ufukları, metrik bileşenin ayrıldığı yerde bulunur ; yani, nerede ${\displaystyle g_{rr}}$

$${\displaystyle 1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=- {\frac {1}{g_{rr}}}=0.}$$

Bu denklemin iki çözümü vardır:

$${\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_ {\rm {Q}}^{2}}}\sağ).}$$

Bu eşmerkezli olay ufukları 2

Elektromanyetik potansiyeli olan

$${\displaystyle A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).}$$

Manyetik tek kutup teorik olarak dahil edilmesi durumunda, o zaman bir genelleme manyetik yük dahil P değiştirilmesi ile elde edilir Q ² ile Q, ² + P ² mt ve terimi de dahil olmak üzere P  çünkü  θ  dφ elektromanyetik potansiyel olarak.

Yerçekimi zaman genişlemesi

Yerçekimsel zaman genişleme merkezi gövdenin çevresinde verilir

$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}}, }$$

$${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.}$$

Christoffel sembolleri

Christoffel sembolleri

$${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{ \kısmi x^{s}}}\sağ)}$$

$${\displaystyle \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \teta ,\ \varphi \}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr) }}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right )}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{Q^{2}r-2Mr^{ 2}+r^{3}}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{ r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{ 2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\ varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}} \\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{hizalı}}}$$

Christoffel sembolleri göz önüne alındığında, bir test parçacığının jeodezikleri hesaplanabilir.

hareket denklemleri

Metriğin küresel simetrisi nedeniyle , koordinat sistemi her zaman bir test parçacığının hareketi bir düzlemle sınırlı olacak şekilde hizalanabilir, bu nedenle kısalık için ve genellik kısıtlaması olmadan

$${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{ i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_ {k}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot { r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2 }}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{ 2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ( r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.}$$

Tüm toplam türevler uygun zamana göredir . ${\displaystyle {\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}}$

Hareketin sabitleri , kısmi diferansiyel denklemin çözümleri ile sağlanır.${\displaystyle S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\teta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})}$

$${\displaystyle 0={\dot {t}}{\dfrac {\kısmi S}{\kısmi t}}+{\dot {r}}{\frac {\kısmi S}{\kısmi r}}+{ \dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}} +{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\ nokta {\theta }}}}}$$

$${\displaystyle S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{ 2}}}\sağ)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_ {Q}^{2}}{r^{2}}}\sağ)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\ teta }}^{2}.}$$

ayrılabilir denklem

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\teta }}}}=0}$$

$${\displaystyle S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }};}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2}) }}{\dot {t}}{\frac {\kısmi S}{\kısmi {\dot {t}}}}=0}$$

$${\displaystyle S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac { qQ}{r}}.}$$

Değiştirme ve içine radyal denklemi verir ${\ Displaystyle S_{2}}$${\ Displaystyle S_{3}}$${\ Displaystyle S_{1}}$

$${\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q) ^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}rQ^{2}L^{2}}}}.}$$

İntegral işareti altında çarpma yörünge denklemini verir ${\ Displaystyle S_{2}}$

$${\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-( S^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}rQ^{2}L^{2}}}}.}$$

Test parçacığı ile sonsuzdaki bir gözlemci arasındaki toplam zaman genişlemesi ,

$${\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2}) }}.}$$

Yerel 3-hızın birinci türevleri ve karşı

${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$

${\görüntüleme stili v^{i}}$

$${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}},}$$

$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\paralel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v) ^{2})}}}}}$$

$${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}$$

Belirli yörünge enerji

$${\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ }{r}}}$$

$${\displaystyle L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$$

${\displaystyle v_{\paralel }}$

${\displaystyle v_{\perp }}$

$${\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\paralel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{ 2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}.}$$

Metrik alternatif formülasyonu

Metrik alternatif olarak şu şekilde ifade edilebilir:

$${\displaystyle {\begin{hizalı}g_{\mu \nu }&=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\\[5pt]f&={\frac {G }{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z}) =\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\sağ)\\[5pt]k_{0}&= 1.\end{hizalanmış}}}$$

k'nin bir birim vektör olduğuna dikkat edin . Burada M nesnenin sabit bir kütle olup, Q, nesne sürekli yük ve η olan Minkowsky tensörü .

Ayrıca bakınız

• kara delik elektron

Notlar

Referanslar

• Adler, R.; Bazin, M.; Schiffer, M. (1965). Genel Göreliliğe Giriş . New York: McGraw-Hill Kitap Şirketi. s.  395–401 . ISBN'si 978-0-07-000420-7.
• Wald, Robert M. (1984). Genel Görelilik . Chicago: Chicago Press Üniversitesi. s. 158, 312-324. ISBN'si 978-0-226-87032-8. 27 Nisan 2013 alındı .

Dış bağlantılar

• Andrew JS Hamilton tarafından Finkelstein diyagramı ve Penrose diyagramı dahil olmak üzere uzay-zaman diyagramları
• " Parçacık İki Uç Kara Delikler Around the Moving Enrique Zeleny tarafından" Wolfram Gösteriler Projesi .