Schwarzschild metriği - Schwarzschild metric

Gelen Einstein'ın 's teorisi genel görelilik , schwarzschild metriği (aynı zamanda Schwarzschild vakum veya Schwarzschild çözeltisi ) ile tam bir çözüm Einstein alan denklem tarif yerçekimi alanı varsayımına küresel bir kütle dışında, elektrik yükü arasında kütle, kütlenin açısal momentumu ve evrensel kozmolojik sabit sıfırdır. Çözüm, Dünya ve Güneş de dahil olmak üzere birçok yıldız ve gezegen gibi yavaş dönen astronomik nesneleri tanımlamak için yararlı bir yaklaşımdır . 1916'da Karl Schwarzschild tarafından ve yaklaşık aynı zamanlarda bağımsız olarak , çok daha eksiksiz ve modern görünümlü tartışmasını Schwarzschild'den sadece dört ay sonra yayınlayan Johannes Droste tarafından bulundu .

Birkhoff teoremine göre , Schwarzschild metriği Einstein alan denklemlerinin en genel küresel simetrik vakum çözümüdür . Bir Schwarzschild kara delik veya statik kara delik , ne elektrik yükü ne de açısal momentumu olmayan bir kara deliktir . Bir Schwarzschild kara deliği, Schwarzschild metriği ile tanımlanır ve kütlesi dışında başka hiçbir Schwarzschild kara deliğinden ayırt edilemez.

Schwarzschild kara deliği , genellikle bir kara deliğin yarıçapı olarak adlandırılan Schwarzschild yarıçapında yer alan olay ufku adı verilen çevreleyen küresel bir sınır ile karakterize edilir . Sınır fiziksel bir yüzey değildir ve olay ufkundan düşen bir kişi (gelgit kuvvetleri tarafından parçalanmadan önce) bu konumda herhangi bir fiziksel yüzey fark etmeyecektir; kara deliğin özelliklerini belirlemede önemli olan matematiksel bir yüzeydir. Schwarzschild yarıçapından daha küçük dönmeyen ve yüksüz herhangi bir kütle bir kara delik oluşturur. Einstein alan denklemlerinin çözümü herhangi bir M kütlesi için geçerlidir , bu nedenle prensipte (genel görelilik teorisine göre), koşullar onun oluşumuna izin verecek kadar elverişli hale gelirse, herhangi bir kütlenin bir Schwarzschild kara deliği var olabilir.

formülasyon

Schwarzschild metriği, (bir alt kümesi) üzerinde tanımlanan küresel simetrik bir Lorentzian metriğidir (burada, imza kuralı (-, +, +, +) ile birlikte)

nerede 3 boyutlu Öklid uzayı ve iki küredir. Döndürme grubu , birinci faktörü değiştirmeden bırakırken, merkez etrafında dönüşler olarak veya faktörü üzerinde hareket eder . Schwarzschild metriği, Einstein'ın boş uzaydaki alan denklemlerinin bir çözümüdür , yani yalnızca yerçekimi cismi dışında geçerlidir . Yani, yarıçaplı küresel bir cisim için çözüm için geçerlidir . Yerçekimi cismi içindeki ve dışındaki yerçekimi alanını tanımlamak için Schwarzschild çözümü , iç Schwarzschild metriği gibi bazı uygun iç çözümlerle eşleştirilmelidir .

Gelen Schwarzschild koordinatları metrik SCHWARZSCHİLD (ya da eşdeğer şekilde, hat elemanı için uygun bir süre ) formu vardır

iki küre üzerindeki metrik nerede , yani . Üstelik,

  • eğrileri gibi bir zaman için pozitif olduğu, ve bir doğru zaman (aynı boyunca bir saat hareketi ile ölçülen zaman , dünya hattı ile deney parçacık )
  • bir ışık hızı ,
  • zaman koordinatıdır (masif cisimden sonsuz uzaklıkta bulunan sabit bir saatle ölçülür),
  • radyal koordinattır ( büyük kütlenin etrafında merkezlenmiş bir kürenin çevresinin 2 π ile bölünmesiyle ölçülür ),
  • iki küre üzerinde bir noktadır ,
  • olan colatitude arasında (birimler olarak kuzey açısı, radyan keyfi bir seçtikten sonra tanımlanmıştır) z -Axis,
  • bir boylam arasında seçilen çevresinde (aynı zamanda radyan) z -Axis ve
  • olan schwarzschild yarıçapı hacimli çalışmalar, a ölçek faktörü kendi kütlesi ile ilgilidir göre , bir yerçekimi sabiti .

Schwarzschild metriği, içsel bir eğrilik tekilliği olan bir tekilliğe sahiptir. Olay ufkunda da bir tekillik var gibi görünüyor . Bakış açısına bağlı olarak, metrik bu nedenle yalnızca dış bölgede , yalnızca iç bölgede veya bunların ayrık birleşiminde tanımlanır. Bununla birlikte, metrik, uygun koordinatlarda görüldüğü gibi, olay ufku boyunca tekil değildir (aşağıya bakınız). için , Schwarzschild metriği Minkowski uzayında standart Lorentz metriğine asimptotiktir. Hemen hemen tüm astrofizik nesneler için oran son derece küçüktür. Örneğin , Dünya'nın Schwarzschild yarıçapı kabaca 8,9 mm iken, Güneş olan3,3 × 10 5 katı kadar kütleli, yaklaşık 3,0 km'lik bir Schwarzschild yarıçapına sahiptir. Oran, yalnızca kara deliklere ve nötron yıldızları gibi diğer ultra yoğun nesnelere yakın yerlerde büyür .

Radyal koordinat, "radyal olarak hareket eden jeodezik saatlere göre aynı anda meydana gelen iki olay arasındaki uygun mesafe, iki olay aynı radyal koordinat hattı üzerinde uzanıyor" olarak fiziksel bir öneme sahip olduğu ortaya çıkıyor.

Schwarzschild çözümü, bir nokta parçacığının etrafındaki yerçekimi alanına karşılık gelen klasik Newton yerçekimi teorisine benzer. Dünyanın yüzeyinde bile, Newton yerçekimi düzeltmeleri milyarda birdir.

Tarih

Schwarzschild çözümü, kesin çözümü 1915'te bulan ve Einstein'ın genel görelilik teorisinin yayınlanmasından bir aydan biraz daha uzun bir süre sonra Ocak 1916'da yayınlayan Karl Schwarzschild'in onuruna verildi . Bu, Einstein alan denklemlerinin önemsiz düz uzay çözümü dışındaki ilk kesin çözümüydü . Schwarzschild, makalesi yayınlandıktan kısa bir süre sonra, Birinci Dünya Savaşı sırasında Alman ordusunda görev yaparken geçirdiği bir hastalık sonucu öldü .

Johannes Droste 1916'da daha basit, daha doğrudan bir türetme kullanarak bağımsız olarak Schwarzschild ile aynı çözümü üretti.

Genel göreliliğin ilk yıllarında, Schwarzschild'de bulunan tekilliklerin doğası ve Einstein alan denklemlerinin diğer çözümleri hakkında çok fazla kafa karışıklığı vardı . Schwarzschild'in orijinal makalesinde, şimdi olay ufku dediğimiz şeyi koordinat sisteminin başlangıcına koydu. Bu yazıda , yardımcı değişken olarak şimdi Schwarzschild radyal koordinatı ( yukarıdaki denklemlerde r ) olarak bilinen şeyi de tanıttı . Schwarzschild, denklemlerinde Schwarzschild yarıçapında sıfır olan farklı bir radyal koordinat kullanıyordu.

Tekillik yapısının daha tam bir analiz ile verildi David Hilber hem belirsizlikleri tanımlayan bir sonraki yıl r = 0 ve r = r s . Singülarite genel bir fikir birliği olmasına rağmen , r = 0 , bir 'gerçek' fiziksel tekillik en tekillik doğası r = r s belirsiz kalmıştır.

1921'de Paul Painlevé ve 1922'de Allvar Gullstrand bağımsız olarak bir metrik, Einstein'ın denklemlerinin küresel simetrik bir çözümünü ürettiler, şimdi bildiğimiz Schwarzschild metriğinin koordinat dönüşümü, Gullstrand-Painlevé koordinatları , içinde r = r s'de tekillik yoktu . Bununla birlikte, çözümlerinin sadece koordinat dönüşümleri olduğunun farkına varmadılar ve aslında çözümlerini Einstein'ın teorisinin yanlış olduğunu iddia etmek için kullandılar. 1924'te Arthur Eddington , r = r s noktasındaki tekilliğin bir koordinat eseri olduğunu gösteren ilk koordinat dönüşümünü ( Eddington-Finkelstein koordinatları ) üretti , ancak bu keşfin öneminden habersiz gibi görünüyor. Daha sonra, 1932 yılında, Georges Lemaitre farklı koordinat dönüşümü verdi ( Lemaitre koordinatları aynı etki için) ve bu singülarite ima tanımak için ilk r = r s fiziksel değildi. 1939'da Howard Robertson , Schwarzschild metriğine göre azalan serbest düşen bir gözlemcinin, t koordinat zamanı açısından sonsuz miktarda zaman almasına rağmen , r = r s tekilliğini sonlu bir uygun zamanda geçeceğini gösterdi .

1950 yılında, John Synge maksimal gösteren bir kağıt imal analitik uzantısı yine de tekilliği gösteren, Schwarzschild metriğin r = r s bir objeyi koordine etmek ve iki ufuk temsil oldu. Benzer bir sonuç daha sonra George Szekeres ve bağımsız olarak Martin Kruskal tarafından yeniden keşfedildi . Günümüzde Kruskal-Szekeres koordinatları olarak bilinen yeni koordinatlar, Synge'inkinden çok daha basitti, ancak her ikisi de tüm uzay-zamanı kapsayan tek bir koordinat seti sağladı. Bununla birlikte, belki de Lemaître ve Synge'in makalelerinin yayınlandığı dergilerin belirsizliği nedeniyle, sonuçları fark edilmedi ve Einstein da dahil olmak üzere alandaki büyük oyuncuların çoğu, Schwarzschild yarıçapındaki tekilliğin fiziksel olduğuna inanıyordu.

Diferansiyel geometrinin daha kesin araçlarının genel görelilik alanına girmesiyle, bir Lorentzian manifoldunun tekil olmasının ne anlama geldiğine dair daha kesin tanımlara izin verdiğinde, 1960'larda gerçek ilerleme kaydedildi . Bu , Schwarzschild metriğindeki r = r s tekilliğinin bir olay ufku (uzay-zamanda yalnızca bir yönde geçilebilen bir hiper yüzey) olarak kesin olarak tanımlanmasına yol açtı .

Tekillikler ve kara delikler

Schwarzschild çözümü , r = 0 ve r = r s'de tekilliklere sahip görünüyor ; bazı metrik bileşenler bu yarıçaplarda "patlar" (sıfıra bölmeyi veya sonsuzla çarpmayı gerektirir). Schwarzschild metriğinin yalnızca yerçekimi yapan cismin yarıçapından R daha büyük olan yarıçaplar için geçerli olması beklendiğinden , R > r s olduğu sürece sorun yoktur . Sıradan yıldızlar ve gezegenler için bu her zaman böyledir. Örneğin, Güneş'in yarıçapı yaklaşık olarak700 000  km , Schwarzschild yarıçapı ise sadece3 km .

Singülarite r = r s iki bölme Schwarzschild koordinatları kesilmiş yamalar . Dış Schwarzschild çözümü ile r > r ler yıldızlar ve gezegenlerin yerçekimi alanları ilişkilidir biridir. İç Schwarzschild çözeltisi ile 0 ≤ r < r ler de tekilliği içerir, r = 0 , tamamen singularitenin ile dış yama ayrılır r = r s . Schwarzschild koordinatları bu nedenle iki yama arasında ayrı çözümler olarak görülebilecek hiçbir fiziksel bağlantı sağlamaz. Singülarite r = r s ancak illüzyonu olduğu; koordinat tekilliği denen şeyin bir örneğidir . Adından da anlaşılacağı gibi, tekillik koordinatların veya koordinat koşullarının kötü seçiminden kaynaklanır . Farklı bir koordinat sistemine geçildiğinde (örneğin Lemaitre koordinatları , Eddington–Finkelstein koordinatları , Kruskal–Szekeres koordinatları , Novikov koordinatları veya Gullstrand–Painlevé koordinatları ) metrik r = r s'de düzenli hale gelir ve dış yamayı aşağıdaki değerlere genişletebilir. r daha küçük r s . Farklı bir koordinat dönüşümü kullanarak, genişletilmiş dış yamayı iç yama ile ilişkilendirebilirsiniz.

Ancak r = 0 durumu farklıdır. Çözümün tüm r için geçerli olması istenirse , orijinde gerçek bir fiziksel tekillik veya yerçekimi tekilliği ile karşılaşılır . Bunun gerçek bir tekillik olduğunu görmek için, koordinat seçiminden bağımsız niceliklere bakmak gerekir. Böyle önemli bir nicelik, tarafından verilen Kretschmann değişmezidir .

En r = 0 kavis bir tekillik varlığını gösteren, sonsuz olur. Bu noktada metrik düzgün bir şekilde genişletilemez (Kretschmann değişmezi metriğin ikinci türevlerini içerir), uzay-zamanın kendisi artık iyi tanımlı değildir. Ayrıca Sbierski, metriğin sürekli bir şekilde genişletilemeyeceğini gösterdi. Uzun bir süre böyle bir çözümün fiziksel olmadığı düşünüldü. Bununla birlikte, genel göreliliğin daha iyi anlaşılması, bu tür tekilliklerin sadece egzotik bir özel durum değil, teorinin genel bir özelliği olduğunun anlaşılmasına yol açtı.

Tüm r > 0 için geçerli kabul edilen Schwarzschild çözümüne Schwarzschild karadeliği denir . Her ne kadar (diğer kara delikler gibi) oldukça tuhaf özelliklere sahip olsa da, Einstein alan denklemlerinin tamamen geçerli bir çözümüdür. İçin r < r s Schwarzschild koordinat radyal R olur zamansal ve zaman koordinat t olur spacelike . Sabit r'deki bir eğri, onu orada tutmaya çalışmak için bir kuvvet uygulansa bile artık bir parçacığın veya gözlemcinin olası bir dünya çizgisi değildir; bunun nedeni, uzay-zamanın o kadar çok bükülmesidir ki, neden-sonuç yönü (parçacığın gelecekteki ışık konisi ) tekilliği işaret eder. Yüzey r = r s kara deliğin olay ufku denilen şeyi sınırlar . Işığın artık yerçekimi alanından kaçamadığı noktayı temsil eder. Yarıçapı R , Schwarzschild yarıçapından küçük veya ona eşit olan herhangi bir fiziksel nesne, yerçekimi çöküşüne uğradı ve bir kara delik haline geldi.

alternatif koordinatlar

Schwarzschild çözümü, yukarıda kullanılan Schwarzschild koordinatlarının yanı sıra bir dizi farklı koordinat seçeneğiyle ifade edilebilir. Farklı seçenekler, çözümün farklı özelliklerini vurgulama eğilimindedir. Aşağıdaki tablo bazı popüler seçenekleri göstermektedir.

alternatif koordinatlar
koordinatlar Çizgi öğesi Notlar Özellikleri
Eddington-Finkelstein koordinatları
(devam ediyor)
gelecek ufukta düzenli
--geçmiş ufukta v=- sonsuz
Eddington-Finkelstein koordinatları
(giden)
düzenli at past horizon geçmiş ufuk
boyunca uzanır.
u'da gelecek ufku = sonsuz
Gullstrand-Painlevé koordinatları düzenli (+ gelecek/-geçmiş) ufukta
izotropik koordinatlar
Yalnızca olay ufkunun dışında geçerlidir:
sabit zaman dilimlerinde izotropik ışık konileri
Kruskal-Szekeres koordinatları ufukta düzenli
Maksimum uzay-zamana kadar uzanır
Lemaitre koordinatları gelecek/geçmiş ufukta düzenli
harmonik koordinatlar

Yukarıdaki tabloda, kısa olması için bazı stenografi sunulmuştur. Işık hızı c olarak bire ayarlandı . gösterim

birim yarıçaplı 2 boyutlu kürenin metriği için kullanılır. Ayrıca, her girişte ve belirli koordinatlar için alternatif radyal ve zaman koordinat seçimlerini belirtir. Not, ve/veya girişten girişe değişebilir.

Kruskal–Szekeres koordinatları, Belinski–Zakharov dönüşümünün uygulanabileceği forma sahiptir . Bu, Schwarzschild kara deliğinin bir yerçekimsel soliton biçimi olduğu anlamına gelir .

Flamm paraboloidi

Flamm paraboloidinin bir grafiği. İlgisiz bir yerçekimi kuyusu kavramıyla karıştırılmamalıdır .

r > r s için Schwarzschild çözümünün uzamsal eğriliği , grafikte gösterildiği gibi görselleştirilebilir. Schwarzschild çözümü ( θ = π2 , t = sabit) boyunca sabit bir zaman ekvator dilimi düşünün ve bu düzlemde hareket eden bir parçacığın konumunun kalan Schwarzschild koordinatları ( r , φ ) ile tanımlanmasına izin verin . Şimdi, fiziksel gerçekliği olmayan (uzay-zamanın bir parçası olmayan) ek bir Öklid boyutu w olduğunu hayal edin . Sonra ( r , φ ) düzlemini , denkleme göre ( Flamm paraboloidi ) w yönünde çukurlu bir yüzeyle değiştirin.

Bu yüzey, içinde ölçülen mesafelerin Schwarzschild metriğindeki mesafelerle eşleşme özelliğine sahiptir, çünkü yukarıdaki w tanımı ile ,

Bu nedenle, Flamm'ın paraboloidi, Schwarzschild metriğinin uzaysal eğriliğini görselleştirmek için kullanışlıdır. Ancak yerçekimi kuyusu ile karıştırılmamalıdır . Sıradan (kütleli veya kütlesiz) hiçbir parçacığın paraboloid üzerinde uzanan bir dünya çizgisi olamaz, çünkü üzerindeki tüm mesafeler uzay benzeridir (bu, bir anda bir enine kesittir, dolayısıyla üzerinde hareket eden herhangi bir parçacık sonsuz bir hıza sahip olacaktır ). Bir takyon , tamamen tek bir paraboloid üzerinde uzanan uzay benzeri bir dünya çizgisine sahip olabilir. Bununla birlikte, bu durumda bile, jeodezik yolu, yerçekimi kuyusunun bir "kauçuk levha" analojisinden geçen yörünge değildir: özellikle, çukur aşağı değil yukarıyı gösterecek şekilde çizilirse, takyonun jeodezik yolu hala merkezi kütleye doğru kıvrılır. , uzakta değil. Daha fazla bilgi için yerçekimi kuyusu makalesine bakın .

Flamm paraboloidi aşağıdaki gibi türetilebilir. Silindirik koordinatlarda ( r , φ , w ) Öklid metriği yazılır

Yüzeyin w = w ( r ) fonksiyonu ile tanımlanmasına izin vererek , Öklid metriği şu şekilde yazılabilir:

Bunu ekvator düzlemindeki Schwarzschild metriğiyle karşılaştırarak ( θ = π/2) sabit bir zamanda ( t = sabit, dt = 0 )

w ( r ) için bir integral ifadesi verir :

çözümü Flamm'ın paraboloididir.

yörünge hareketi

Newton (solda) ve Schwarzschild (sağda) uzay-zamanda bir test parçacığının yörüngesinin karşılaştırılması; Sağdaki apsisli presesyonu not edin .

Schwarzschild metriğinde yörüngede dönen bir parçacık, r > 3 r s ile kararlı bir dairesel yörüngeye sahip olabilir . Dairesel yörüngeler r arasında 1,5 r s ve 3 r s kararsız ve hiçbir dairesel yörüngeler ana kadar r <1.5 r s . Minimum yarıçapı 1.5 r s olan dairesel yörünge , ışık hızına yaklaşan bir yörünge hızına karşılık gelir. Bir parçacığın r s ile 1.5 r s arasında sabit bir r değerine sahip olması mümkündür , ancak ancak onu orada tutmak için bir kuvvet etki ederse.

Merkür gibi dairesel olmayan yörüngeler, Newton yerçekiminde beklenenden daha küçük yarıçaplarda daha uzun süre kalır . Bu, bir parçacığın olay ufkundan geçtiği ve sonsuza kadar onun içinde kaldığı daha dramatik durumun daha az uç bir versiyonu olarak görülebilir. Merkür durumu ile olay ufkunun ötesine düşen bir nesnenin durumu arasında, uydunun keyfi olarak çok sayıda neredeyse dairesel yörünge yürütmesi için yapılabileceği bıçak kenarlı yörüngeler gibi egzotik olasılıklar vardır. dışa doğru uçar.

simetriler

Schwarzschild metriğinin izometrileri grubu , zaman eksenini (yıldızın yörüngesi) kendisine alan on boyutlu Poincare grubunun alt grubudur . Uzamsal çevirileri (üç boyut) ve artırmaları (üç boyut) atlar. Zaman ötelemelerini (tek boyut) ve dönüşleri (üç boyut) korur. Böylece dört boyutu vardır. Poincare grubu gibi, dört bağlantılı bileşene sahiptir: kimliğin bileşeni; zamanı tersine çeviren bileşen; uzaysal inversiyon bileşeni; ve hem zamanı hem de uzamsal olarak ters çevrilmiş bileşen.

eğrilikler

Ricci eğrilik skaleri ve Ricci eğrilik tensörü sıfırdır. Olmayan sıfır bileşen tensör Riemann eğrilik vardır

Riemann tensörünün simetrileri ile elde edilebilen bileşenler görüntülenmez.

Bu niceliklerin fiziksel anlamını anlamak için eğrilik tensörünü ortonormal bir temelde ifade etmek yararlıdır. Bir gözlemcinin ortonormal esas olarak sıfır olmayan bileşenleri geometrik birimleri olan

Yine, Riemann tensörünün simetrileri ile elde edilebilen bileşenler görüntülenmez. Bu sonuçlar herhangi bir Lorentz artışı için değişmezdir, dolayısıyla bileşenler statik olmayan gözlemciler için değişmez. Jeodezik sapma iki gözlemci arasında gel-git ivme ile ayrılmış olduğu denklem gösterir IS uzunlukta bir gövde, yani belirgin bir hızlanma ile radyal yönde gerilir tarafından dik yönde sıkıştırılmış .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar