T ₁ boşluk -T₁ space

Ayırma aksiyonları içinde topolojik boşluk
Kolmogorov sınıflandırması
T 0	(Kolmogorov)
T 1	(Fréchet)
T 2	(Hausdorff)
T 2 ½	(Urysohn)
tamamen T 2	(tamamen Hausdorff)
T 3	(normal Hausdorff)
T 3 ½	(Tychonoff)
T 4	(normal Hausdorff)
T 5	(tamamen normal  Hausdorff)
T 6	(tamamen normal  Hausdorff)
Tarih

Gelen topoloji ve ilgili dalları matematik , bir T ₁ alan a, topolojik alan ayrı noktalarının her çifti için, her biri bir yer alır içinde, mahalle diğer nokta içermeyen. Bir R ₀ uzayı , bunun her topolojik olarak ayırt edilebilir nokta çifti için geçerli olduğu uzaydır . T ₁ ve R ₀ özellikleri ayırma aksiyomlarının örnekleridir .

Tanımlar

Let X, bir olmak topolojik alan ve izin x ve y noktaları olarak X . Biz söylemek x ve y edilebilir ayrılmış bir her yalanlarla eğer mahalle diğer nokta içermez.

• X, a, T ₁ alan herhangi iki eğer farklı noktaları X ayrılır.
• X'te topolojik olarak ayırt edilebilen herhangi iki nokta ayrılmışsa , X bir R ₀ uzayıdır .

AT ₁ uzayına ayrıca erişilebilir uzay veya Fréchet topolojisine sahip bir uzay denir ve bir R ₀ uzayı da simetrik uzay olarak adlandırılır . (Terimi Frechet alanı da vardır tamamen farklı bir anlam içinde fonksiyonel analiz . Bu nedenle, burada kullanılan T ₁ alanı tercih edilir. Bir nosyonu bulunmaktadır Frechet-Urysohn alan bir tür olarak sıralı alanı . Terimi simetrik alan vardır Başka bir anlam .)

Özellikler

Eğer X bir topolojik uzay daha sonra aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:

1. X, bir T ₁ alanı.
2. X , bir T ₀ uzayı ve bir R ₀ uzayıdır.
3. X'te noktalar kapalıdır ; Herhangi bir yani tekil seti bir olan kapalı bir set .${\displaystyle x\in X,}$${\görüntüleme stili \{x\}}$
4. X'in her alt kümesi, onu içeren tüm açık kümelerin kesişimidir.
5. Her sonlu küme kapalıdır.
6. Her kosonlu X kümesi açıktır.
7. Sabit ultrasüzgeç de x yalnızca yakınsak x .
8. Her alt kümesi için S ve X ve her nokta x bir olan sınır noktası arasında S eğer her açık yalnızca mahalle arasında x sonsuz sayıda nokta içeren S .${\displaystyle x\in X,}$

Eğer X bir topolojik uzay daha sonra aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:

1. X bir R ₀ uzayıdır.
2. Herhangi Verilen kapatma ait dan topolojik ayırt edilemeyen sadece noktalarını içerir x .${\displaystyle x\in X,}$${\görüntüleme stili \{x\}}$
3. Uzaydaki herhangi iki x ve y noktası için, x , ancak ve ancak y ,${\görüntüleme stili \{y\}}$${\görüntüleme stili \{x\}.}$
4. Uzmanlık ön sipariş üzerine X olan simetrik (ve bu nedenle bir eşdeğerlik ilişkisi ).
5. Sabit ultrasüzgeç x yalnızca gelen topolojik ayırt edilemez noktalara yakınsak x .
6. Her açık küme , kapalı kümelerin birleşimidir .

Herhangi iki noktanın özellikleri olarak herhangi bir topolojik uzayda aşağıdaki çıkarımlara sahibiz:

ayrılmış topolojik olarak ayırt edilebilir farklı${\görüntüleme stili\ima eder }$ ${\görüntüleme stili\ima eder }$

İlk ok tersine çevrilebilirse boşluk R _{0 olur} . İkinci ok tersine çevrilebilirse boşluk T _{0 olur} . Bileşik ok tersine çevrilebilirse, boşluk T _1'dir . Bir boşluk, yalnızca ve yalnızca hem R ₀ hem de T ₀ ise T _1'dir .

Sonlu T olduğu Not ₁ alanı zorunlu olan farklı (her resim grubu kapalı olduğu için).

Örnekler

• Sierpinski uzayı , T _{0 olan} ancak T ₁ olmayan bir topolojinin basit bir örneğidir .
• Üst üste binen aralığı topolojisi T bir topoloji basit bir örneğidir ₀ ancak T değildir ₁ .
• Her zayıf Hausdorff uzayı T _1'dir ancak tersi genel olarak doğru değildir.
• Co-sonlu topolojisi , bir de sonsuz grubu T bir topoloji basit bir örnek ₁ değil ama Hausdorff (T ₂ ). Bu, ortak sonlu topolojinin hiçbir iki açık kümesi ayrık olmadığı için ortaya çıkar. Özellikle, izin kümesi olsun tamsayılar ve tanımlamak açık kümeleri bu alt kümeleri olmak arasında olduğunu içeren tüm ama bir sonlu alt kümesi arasında Ardından verilen farklı tamsayılar ve :${\görüntüleme stili X}$ ${\ Displaystyle O_{A}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$

• açık küme içerir ama içermez ve açık küme içerir ve içermez ;${\displaystyle O_{\{x\}}}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili x,}$${\displaystyle O_{\{y\}}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$
• eşdeğer olarak, her tekli küme açık kümenin tümleyenidir, dolayısıyla kapalı bir kümedir;${\görüntüleme stili \{x\}}$${\displaystyle O_{\{x\}},}$

bu nedenle, elde edilen uzay, yukarıdaki tanımların her biri tarafından T _1'dir . Bu alan T değil ₂ , çünkü kesişme herhangi iki açık kümelerin ve olduğu boşaltmak asla hangi. Alternatif olarak, çift tamsayılar kümesi kompakttır ancak kapalı değildir , bu bir Hausdorff uzayında imkansız olurdu.${\ Displaystyle O_{A}}$${\görüntüleme stili O_{B}}$${\displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B},}$

• Yukarıdaki örnek oluşturmak için biraz modifiye edilebilir çift uçlu Cofinite topoloji bir R bir örneğidir, ₀ ne T alan ₁ ya da R ₁ . Izin tekrar tamsayılar grubu olabilir ve tanımını kullanarak Önceki örnekten elde edilen bir tanımlama altyapıya güvenle açık kümelerin herhangi bir tam sayı için olması halinde bir bir çift sayı ve eğer garip. Daha sonra topolojinin temeli , alt temel kümelerin sonlu kesişimleri tarafından verilir: sonlu bir küme verildiğinde , açık kümeleri şunlardır:${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle O_{A}}$${\görüntüleme stili G_{x}}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle G_{x}=O_{\{x,x+1\}}}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle G_{x}=O_{\{x-1,x\}}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili A,}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.}$

Ortaya çıkan uzay T ₀ değildir (ve dolayısıyla T ₁ değildir ), çünkü noktalar ve (çift için ) topolojik olarak ayırt edilemez; ancak aksi halde önceki örneğe esasen eşdeğerdir.${\görüntüleme stili x}$${\ Displaystyle x+1}$${\görüntüleme stili x}$

• Zariski topolojisi bir on cebirsel çeşitli (aşırı cebirsel olarak kapalı alan ) T ₁ . Bunu görmek için, yerel koordinatları olan bir noktayı içeren teklinin polinomların sıfır kümesi olduğuna dikkat edin . Ancak bu örnek, Hausdorff (T ₂ ) olmayan bir uzay olarak iyi bilinmektedir . Zariski topolojisi, esasen bir kofinite topolojisinin bir örneğidir.${\displaystyle \sol(c_{1},\ldots ,c_{n}\sağ)}$ ${\displaystyle x_{1}-c_{1},\ldots ,x_{n}-c_{n}.}$
• Değişmeli bir halkadaki (yani bir halkanın asal spektrumu ) Zariski topolojisi T _0'dır, ancak genel olarak T _{1 değildir} . Bunu görmek için, bir noktalı kümenin kapanışının, noktayı içeren tüm asal ideallerin kümesi olduğuna dikkat edin (ve dolayısıyla topoloji T ₀ dır ). Ancak, bu kapatılması olduğunu maksimal ideal ve sadece kapalı noktalar maksimal idealler vardır ve dolayısıyla topoloji açık kümelerin herhangi yer almayan ve bu nedenle uzay aksiyomu T tatmin etmiyor ₁ . Bu örnekte hakkında net olmak gerekirse: değişmeli yüzük için Zariski topoloji aşağıdaki şekilde verilir: topolojik uzay kümesi tüm asal idealler arasında topolojik bazı açık kümeleri tarafından verilen do asal ideallerin değil içerirler Öyle Bu gerçekten de temelini oluşturur doğrulamak için basit: o kadar ve ve Zariski topoloji kapalı setleri asal idealler kümeleridir do ihtiva noktaları topolojisinde değildir: bu nasıl örnek farklılık ustaca Cofinite topoloji örnekten, yukarıda Bildirimi bir T ise, genel olarak, kapalı ₁ alanı, noktalar her zaman kapalıdır.${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili A.}$${\displaystyle O_{a}}$${\görüntüleme stili bir\A'da.}$${\displaystyle O_{a}\cap O_{b}=O_{ab}}$${\displaystyle O_{0}=\varnothing }$${\displaystyle O_{1}=X.}$${\görüntüleme stili bir.}$
• Her tamamen kesilmiş uzay T ₁ her noktası olduğu için, bağlantılı bileşen ve bu nedenle kapattı.

Diğer uzay türlerine genellemeler

"T ₁ ", "R ₀ " terimleri ve bunların eşanlamlıları, tekdüze uzaylar , Cauchy uzayları ve yakınsama uzayları gibi topolojik uzayların bu tür varyasyonlarına da uygulanabilir . Kavramı tüm bu örneklerde birleştiren özellik, sabit ultrafiltrelerin (veya sabit ağların ) limitlerinin benzersiz (T ₁ uzayları için) veya topolojik ayırt edilemezliğe kadar (R ₀ uzayları için) benzersiz olmasıdır .

Görünen o ki, düzgün uzaylar ve daha genel olarak Cauchy uzayları her zaman R _0'dır , dolayısıyla bu durumlarda T ₁ koşulu T ₀ koşuluna indirgenir . Ancak R ₀ tek başına pretopolojik uzaylar gibi diğer yakınsama uzayları için ilginç bir koşul olabilir .

Ayrıca bakınız

• Topolojik özellik  – Topolojik uzaylar kategorisinde çalışma nesnesi

alıntılar

bibliyografya

• Lynn Arthur Steen ve J. Arthur Seebach, Jr., Topolojide Karşı Örnekler . Springer-Verlag, New York, 1978. Dover Publications tarafından yeniden basılmıştır, New York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (Dover baskısı).
• Willard, Stephen (1998). Genel Topoloji . New York: Dover. s. 86-90. ISBN'si 0-486-43479-6.
• Folland, Gerald (1999). Gerçek analiz: modern teknikler ve uygulamaları (2. baskı). John Wiley & Sons, Inc. s. 116 . ISBN'si 0-471-31716-0.
• AV Arkhangel'skii, LS Pontryagin (Ed.) Genel Topoloji I (1990) Springer-Verlag ISBN  3-540-18178-4 .