Ayırma aksiyomlarının tarihi - History of the separation axioms
|
Ayırma aksiyonları içinde topolojik boşluk | |
|---|---|
| Kolmogorov sınıflandırması | |
| T 0 | (Kolmogorov) |
| T 1 | (Fréchet) |
| T 2 | (Hausdorff) |
| T 2 ½ | (Urysohn) |
| tamamen T 2 | (tamamen Hausdorff) |
| T 3 | (normal Hausdorff) |
| T 3 ½ | (Tychonoff) |
| T 4 | (normal Hausdorff) |
| T 5 | (tamamen normal Hausdorff) |
| T 6 | (tamamen normal Hausdorff) |
Tarihçesi aksiyomların içinde genel topoloji aynı kavram için yarışan aynı terimleri için rekabet birçok anlamları ve birçok terimlerle, dolambaçlı edilmiştir.
kökenler
Topolojik uzayın mevcut genel tanımından önce , bazıları (şimdi düşündüğümüz gibi) bazı ayırma aksiyomlarını varsayan birçok tanım teklif edildi. Örneğin, 1914'te Felix Hausdorff tarafından verilen tanım , modern tanım artı Hausdorff ayırma aksiyomu ile eşdeğerdir .
Bir grup olarak ayırma aksiyomları, ölçülebilirlik çalışmasında önemli hale geldi : hangi topolojik uzaylara bir metrik uzayın yapısı verilebileceği sorusu . Metrik uzaylar tüm ayırma aksiyomlarını karşılar; ama aslında, yalnızca bazı aksiyomları karşılayan uzayları incelemek , tam ölçülebilirlik kavramının oluşturulmasına yardımcı olur.
Bu şekilde ilk kez birlikte çalışılan ayırma aksiyomları, erişilebilir uzaylar , Hausdorff uzayları , düzenli uzaylar ve normal uzaylar için aksiyomlardı . Topologlar bu uzay sınıflarına T 1 , T 2 , T 3 ve T 4 adlarını verdiler . Daha sonra bu numaralandırma sistemi T 0 , T 2½ , T 3½ (veya T π ), T 5 ve T 6 ' yı içerecek şekilde genişletildi .
Ama bu dizinin sorunları vardı. Buradaki fikir, eğer i > j ise her T i uzayının özel bir T j uzayı olduğu varsayılmıştı . Ancak tanımlar değiştiği için bu mutlaka doğru değildir. Örneğin, bir düzenli uzay (T 3 olarak adlandırılır ) bir Hausdorff uzayı (T 2 olarak adlandırılır) olmak zorunda değildir , en azından düzenli uzayların en basit tanımına göre değil.
Farklı tanımlar
Her yazar T 0 , T 1 ve T 2 üzerinde anlaşmıştır . Bununla birlikte, diğer aksiyomlar için, farklı yazarlar üzerinde çalıştıklarına bağlı olarak önemli ölçüde farklı tanımlar kullanabilirler. Tek bir topolojik uzay tatmin T varsayar eğer Bu farklılıklar, çünkü geliştirebilir 1 aksiyomu, daha sonra çeşitli tanımlamalar eşdeğer (çoğu durumda) bulunmaktadır. Dolayısıyla, bu varsayımı yapacaksa, o zaman en basit tanımı kullanmak isteyecektir. Ancak bu varsayımda bulunulmazsa, o zaman en kullanışlı kavram için en basit tanım doğru olmayabilir; her durumda, (örneğin) Hausdorff olmayan düzenli boşluklara izin vererek , T i'nin (geçişli) gerekliliğini T j tarafından yok ederdi .
Metrisation sorun üzerinde çalışan topologists genellikle yaptığımız T varsayalım 1 ; sonuçta, tüm metrik uzaylar T 1'dir . Böylece, T i için en basit tanımları kullandılar . Onlar ne zaman bu günler için Ardından, değil T varsayalım 1 , bunlar daha basit olanlarla bunları kontrast için, daha karmaşık tanımları için ( "normal" ve "normal") kelimeleri kullanılmıştır. Bu yaklaşım, 1970 gibi geç bir tarihte Lynn A. Steen ve J. Arthur Seebach, Jr. tarafından Topolojide Karşı Örnekler'in yayınlanmasıyla birlikte kullanıldı.
Buna karşılık, 1955'te John L. Kelley tarafından yönetilen genel topologlar , genellikle T 1'i varsaymadılar , bu nedenle en başından itibaren en büyük genellikte ayırma aksiyomlarını incelediler. Onlar T daha karmaşık tanımları kullanılan i her zaman T ilgili güzel bir özelliği olurdu böylece, i T j . Daha sonra, daha basit tanımlar için kelimeler kullandılar (yine, "düzenli" ve "normal"). Her iki uzlaşımın da "orijinal" anlamları takip ettiği söylenebilir; orijinal bağlam olan T 1 uzayları için farklı anlamlar aynıdır . Ancak sonuç, farklı yazarların çeşitli terimleri tam tersi şekillerde kullanmalarıydı. Karışıklığa ek bazı literatür bir aksiyom ve mekan arasında hoş bir ayrım gözlemleyeceksiniz tatmin olduğu aksiyomu, T böylece 3 uzay tatmin etmek gerekebilir aksiyomlar T 3 ve T 0 (örn içinde Matematik Ansiklopedik Sözlüğü , 2. baskı).
1970'den beri, genel topologların terimleri, analiz gibi matematiğin diğer dalları da dahil olmak üzere, popülerlik kazanmaktadır . (Bu nedenle Wikipedia'da terimlerini kullanıyoruz.) Ancak kullanım hala tutarlı değil.
Tamamen Hausdorff, Urysohn ve T 2 1 ⁄ 2 boşluk
Steen ve Seebach, bir Urysohn uzayını "herhangi iki nokta için bir Urysohn işlevi olan bir uzay" olarak tanımlar. Willard buna tamamen Hausdorff uzayı diyor. Steen & Seebach , Willard'ın Urysohn uzayı veya T 2 1 ⁄ 2 uzayı olarak adlandırdığı, her iki noktanın kapalı komşuluklarla ayrıldığı bir uzay olarak tamamen Hausdorff uzayı veya T 2 1 ⁄ 2 uzayı tanımlar . (Wikipedia, Willard'ı takip eder.)
Ayrıca bakınız
Referanslar
- John L. Kelley ; Genel Topoloji ; ISBN 0-387-90125-6
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Topolojide Karşı Örnekler ( Dover yeniden basımı, 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
- Stephen Willard, General Topology , Addison-Wesley, 1970. Dover Publications tarafından yeniden basılmıştır, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover baskısı).
- Willard, Stephen (2004) [1970]. Genel Topoloji (İlk baskı). Mineola, NY : Dover Yayınları . ISBN'si 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .