Uyumluluk - Cofiniteness

Gelen matematik , bir co-sonlu bir alt kümesi , bir dizi , X bir alt kümesidir bir olan tamamlayıcı olarak X a, sonlu grubu . Diğer bir deyişle, A , X'in sonlu sayıdaki birçok unsurunu içerir . Tamamlayıcı sonlu değilse, ancak sayılabilirse, o zaman biri kümenin hesaplanabilir olduğunu söyler .

Bunlar, sonlu kümelerdeki yapıları, çarpım topolojisinde veya doğrudan toplamda olduğu gibi, özellikle sonsuz çarpımlarda, sonsuz kümelere genelleştirirken doğal olarak ortaya çıkar .

Boole cebirleri

X'in sonlu veya eş-sonlu olan tüm alt kümelerinin kümesi bir Boole cebri oluşturur , yani birleşme , kesişim ve tamamlama işlemleri altında kapalıdır . Bu Boole cebri, X üzerindeki sonlu-eş-sonlu cebirdir . Bir Boolean cebri bir benzersiz olmayan ana sahip ultrasüzgeç (yani, bir maksimal filtre sonsuz grubu olduğu, ancak ve ancak cebir tek bir eleman olarak oluşturulur) X, böyle bir ilgili sonlu Cofinite cebir izomorf X . Bu durumda, temel olmayan ultra filtre, tüm ortak sonlu kümelerin kümesidir.

Kofinit topolojisi

Co-sonlu topolojisi (bazen sonlu tamamlayıcı topolojisi ) a, topolojisi , her resim grubu tanımlanabilir X . Bu tam da vardır boş seti ve tüm Cofinite alt kümelerini ait X açık batarken. Sonuç olarak, eş-sonlu topolojide, yalnızca kapalı alt kümeler sonlu kümeler veya X'in tamamıdır . Topoloji sembolik olarak şöyle yazılır:

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} = \ {A \ subseteq X \ mid A = \ varnothing {\ mbox {veya}} X \ setminus A {\ mbox {sonludur}} \}}

Bu topoloji, Zariski topolojisi bağlamında doğal olarak ortaya çıkar . Yana polinomları aşkın bir değişken alan K sonlu setleri veya bütün üzerinde sıfır K , ile Zariski topolojisi K (olarak kabul afin hattı ) co-sonlu topolojisidir. Aynı şey herhangi bir indirgenemez cebirsel eğri için de geçerlidir ; örneğin düzlemde XY = 0 için doğru değildir .

Özellikleri

Alt uzaylar : Eş-sonlu topolojinin her alt uzay topolojisi aynı zamanda eş-sonlu bir topolojidir.
Sıkılık: Her yana açık kümesi tüm ama sonlu sayıda noktaları içeren X , uzay X ise kompakt ve sıralı kompakt .
Ayırma: Eş-sonlu topoloji, T ₁ aksiyomunu karşılayan en kaba topolojidir ; yani, her tekil kümenin kapalı olduğu en küçük topolojidir . Aslında, X üzerindeki keyfi bir topoloji, ancak ve ancak ortak sonlu topolojiyi içeriyorsa, T ₁ aksiyomunu karşılar. Eğer X sonlu sonra Cofinite topoloji basitçe ayrık topoloji . Eğer X sonlu değildir, o zaman bu topoloji değil T ₂ , düzenli ya da normale hiçbir iki boş olmayan açık kümeleri (yani edilir ayrık olduğundan, Hiperbağlantı ).

Çift uçlu eş-sonlu topoloji

Çift uçlu Cofinite topolojisi her noktası ile co-sonlu topolojisi olan iki; o 'dir, topolojik bir ürün ile co-sonlu topolojinin bölünmemiş topolojisi iki öğeli bir set. İkilinin noktaları topolojik olarak ayırt edilemez olduğundan, T ₀ veya T ₁ değildir . Bununla birlikte, topolojik olarak ayırt edilebilir noktalar ayrılabildiği için R _{° '} dır .

Sayılabilir bir çift uçlu ortak sonlu topoloji örneği, onları bir arada gruplandıran bir topolojiye sahip çift ve tek tamsayılar kümesidir. Let X tamsayılar kümesi olabilir ve izin Ç _Bir tamamlayıcı dizi tamsayılar olmak bir alt kümesini A . Bir tanımlama altyapıya güvenle açık kümelerin G _x tam sayılar için x olduğu G _X = O _{{ x , x + 1}} , eğer X bir bir çift sayı ve G _X = O _{{ x 1, X }} , eğer x garip. Daha sonra X'in temel kümeleri sonlu kesişimler tarafından oluşturulur, yani sonlu A için , topolojinin açık kümeleri

{\ displaystyle U_ {A}: = \ bigcap _ {x \, A} G_ {x}}

Ortaya çıkan uzay T ₀ değildir (dolayısıyla T ₁ değildir ), çünkü x ve x + 1 noktaları ( x çift için) topolojik olarak ayırt edilemez. Bununla birlikte, uzay , kompakt bir uzaydır , çünkü her U _A , sonlu sayıda nokta hariç tümünü içerir.

Diğer örnekler

Ürün topolojisi

Ürün topolojisi topolojik boşluklar sahip bir ürün üzerine olan temel açık ve cofinitely çok olduğu . ${\ displaystyle \ prod X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ prod U_ {i}}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ subseteq X_ {i}}$ ${\ displaystyle U_ {i} = X_ {i}}$

Analog (sonsuz sayıda çoğunun tüm uzay olmasını gerektirmeden) kutu topolojisidir .

Doğrudan toplam

Modüllerin doğrudan toplamının elemanları, ortak sonsuz sayıda olan dizilerdir . ${\ displaystyle \ bigoplus M_ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} \, M_ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} = 0}$