Ayrılmış kümeler - Separated sets

Gelen topoloji ve ilgili dalları matematik , bebekler ayrılmış çiftleridir alt kümelerinin belirli bir topolojik alan belirli bir şekilde birbiri ile ilişkili olan: kabaca de üst üste de etkileyici. İki kümenin ne zaman ayrılıp ayrılmadığı fikri, hem bağlantılı uzaylar (ve bunların bağlantılı bileşenleri) hem de topolojik uzaylar için ayırma aksiyomları için önemlidir .

Ayrılmış kümeler , biraz ilişkili ancak farklı olan ayrılmış boşluklarla (aşağıda tanımlanmıştır) karıştırılmamalıdır . Ayrılabilir uzaylar yine tamamen farklı bir topolojik kavramdır.

Tanımlar

Bir X topolojik uzayının iki alt kümesinin ayrılmış olarak düşünülebileceği çeşitli yollar vardır .

• A ve B olan ayrık kendi halinde kesişme olan boş grubu . Bu özelliğin topoloji ile ilgisi yoktur, sadece küme teorisi ile ilgilidir . Farklı kavramlar dizisinde en zayıf olduğu için buraya dahil edilmiştir. Genel olarak kopukluk hakkında daha fazla bilgi için bkz. Ayrık kümeler .
• A ve B olan ayrı olarak , X , birbirlerinin gelen ayrık ise kapağın . Kapakların kendilerinin birbirinden ayrı olması gerekmez; örneğin, [0,1) ve (1,2] aralıkları , 1 noktası her iki kapanışa da ait olsa bile , gerçek R doğrusunda ayrılır.Daha genel bir örnek, herhangi bir metrik uzayda , iki açık topun olmasıdır. B _r (x ₁ ) = {y: d (x ₁ , y) < r } ve B _s (x ₂ ) = {y: d (x ₂ , y) < s }, d (x ₁ , x ₂ ) ≥ r + s Herhangi iki ayrı kümenin otomatik olarak ayrık olması gerektiğini unutmayın.
• A ve B olan çevreye göre ayrılmış varsa yakın çevre U arasında A ve V bölgesinin B , öyle ki , U ve V , ayrık bulunmaktadır. (Bazen U ve V'nin açık mahalleler olması gerekliliğini göreceksiniz , ancak bu sonuçta hiçbir fark yaratmaz.) A = [0,1) ve B = (1,2] örneği için U = alabilirsiniz. (-1,1) ve V = (1,3). Herhangi iki küme komşuluklarla ayrılıyorsa, kesinlikle ayrılırlar. A ve B açık ve ayrıksa, komşuluklarla ayrılması gerekir; sadece sunar U = A ve V = B . Bu nedenle, separatedness genellikle (olduğu gibi kapalı setleri ile birlikte kullanılır , normal ayırma aksiyomu ).
• A ve B olan kapalı çevreye göre ayrılmış bir varsa kapalı mahalle u arasında A ve bir kapalı mahalle V bölgesinin B , öyle ki , U ve V , ayrık bulunmaktadır. Bizim örnekleri, [0,1) ve (1,2] edilir değil Ya yapabiliriz. Kapalı çevreye göre ayrılmış , U ya da V o nokta 1 içerecek şekilde kapalı, ama onlara gg ayrık tutarken bunların her ikisi de kapalı yapamaz. Herhangi iki kümenin kapalı mahallelerle ayrıldığını unutmayın, o zaman kesinlikle mahallelerle ayrılırlar.
• A ve B olan bir işlev ile ayrılan bir mevcutsa sürekli fonksiyon f boşluğundan X gerçek hattı R şekilde f ( A ) = {0} ve f ( B ) = {1}. (Bazen bu tanımda R yerine [0,1] birim aralığının kullanıldığını göreceksiniz , ancak bu hiçbir fark yaratmaz.) Örneğimizde [0,1) ve (1,2] bir fonksiyonla ayrılmamıştır. sürekli tanımlamak için bir yol olduğundan, f her iki küme bir fonksiyon ile ayrılır, sonra da kapalı çevreye göre ayrılır bu noktada 1. Not; yakın çevre açısından verilebilir öngörüntü arasında f olarak U  : = f ^-1 [- e , e ] ve V  : = f ^-1 [1- e , 1 + e ] sürece e a, pozitif reel sayı az 1/2 den.
• A ve B olan tam bir fonksiyon ile ayrılmış sürekli bir fonksiyon mevcutsa f den X için R öyle ki f ^-1 (0) = A ve f ^-1 (1) = B . (Yine, R yerine birim aralığını da görebilirsiniz ve yine hiçbir fark yaratmaz.) Herhangi iki küme bir işlev tarafından tam olarak ayrılmışsa, o zaman kesinlikle bir işlevle ayrılmış olduklarına dikkat edin. {0} ve {1} R'de kapalı olduğundan, yalnızca kapalı kümeler bir işlev tarafından tam olarak ayrılabilmektedir, ancak iki kümenin bir işlev tarafından kapatılıp ayrılması, bunların bir işlev tarafından otomatik olarak tam olarak ayrıldıkları anlamına gelmez. (hatta farklı bir işlev).

Ayırma aksiyomları ve ayrılmış uzaylarla ilişkisi

Ayırma aksiyonları ayrılmış setleri çeşitli açısından tarif edilebilir ki çoğu zaman topolojik boşluklar empoze edilen çeşitli durumlar vardır. Örnek olarak , ayrılmış uzaylara dayatılan koşul olan T ₂ aksiyomunu tanımlayacağız . Spesifik olarak, herhangi iki farklı x ve y noktası verildiğinde , { x } ve { y } tekil kümeleri komşuluklarla ayrılmışsa , bir topolojik uzay ayrılır .

Ayrılmış uzaylara Hausdorff uzayları veya T ₂ uzayları da denir . Ayrılmış alanlarla ilgili daha fazla tartışma Hausdorff uzay makalesinde bulunabilir . Çeşitli ayırma aksiyomlarının genel tartışması, Ayırma aksiyomu makalesinde yer almaktadır .

Bağlantılı uzaylarla ilişkisi

Bir topolojik uzay X verildiğinde, bir A alt kümesinin tümleyeninden ayrılmasının mümkün olup olmadığını düşünmek bazen yararlıdır . A ya boş küme ya da tüm X uzayıysa bu kesinlikle doğrudur , ancak başka olasılıklar da olabilir. Yalnızca iki olasılık buysa , bir topolojik uzay X bağlanır . Boş olmayan bir alt kümesi Tersine, A , kendi tamamlayıcı ayrılır ve yalnızca alt kümesi içinde A , bu özelliği paylaşmak için boş kümesidir, o zaman A bir olduğunu açık bağlantılı bileşen arasında X . ( X'in kendisinin boş küme olduğu dejenere durumda , yetkililer bağlı olup olmadığı ve kendisinin açık bağlantılı bir bileşeni olup olmadığı konusunda farklılık gösterir .) ${\ Displaystyle \ boş küme }$${\ Displaystyle \ boş küme }$${\ Displaystyle \ boş küme }$

Bağlantılı alanlar hakkında daha fazla bilgi için bkz. Bağlantılı alan .

Topolojik olarak ayırt edilebilir noktalarla ilişkisi

Bir topolojik uzay verilen X , iki nokta x ve y olan topolojik ayırt bir mevcutsa açık kümesi bir nokta aittir fakat diğer noktası yapar. Eğer x ve y topolojik olarak ayırt edilebilir ise, o zaman { x } ve { y } tekil kümeleri ayrık olmalıdır. Öte yandan, { x } ve { y } tekilleri ayrılmışsa, x ve y noktaları topolojik olarak ayırt edilebilir olmalıdır. Böylece tekiller için topolojik ayırt edilebilirlik, ayrıklık ve ayrıklık arasındaki bir durumdur.

Hakkında daha fazla bilgi topolojik ayırt noktaları için, bkz topolojik ayırt edilebilirliğini .

Alıntılar

Kaynaklar