Morita denkliği - Morita equivalence

Gelen soyut cebir , Morita denklik arasında tanımlanan bir ilişki halkaların pek çok koruyan halka teorik özellikleri. Gibi daha tam olarak iki halka R , S (ile gösterilmiş Morita eşdeğerdir bunların varsa) modül kategorisi olan , katkı eşdeğer (ile gösterilmiş ). Adını, 1958'de denkliği ve benzer bir ikilik kavramını tanımlayan Japon matematikçi Kiiti Morita'dan almıştır . ${\görüntüleme stili R\yaklaşık S}$ ${\displaystyle {}_{R}M\yaklaşık {}_{S}M}$

Motivasyon

Halkalar genellikle kendi açısından incelenir modüllerin modüller olarak görülebilir olarak, temsiller halkaların. Her R halkasının kendi üzerinde doğal bir R modülü yapısı vardır, burada modül eylemi halkadaki çarpma olarak tanımlanır, bu nedenle modüller aracılığıyla yaklaşım daha geneldir ve faydalı bilgiler verir. Bu nedenle, genellikle bir halka, o halka üzerindeki modüllerin kategorisini inceleyerek çalışır . Morita denklik onların modül kategoriler ise Morita eşdeğer olması halkaları tanımlayarak doğal sonuca bu bakış açısını alır eşdeğer . Bu kavram sadece değişmeli olmayan halkalarla ilgilenirken ilgi çekicidir , çünkü iki değişmeli halkanın Morita eşdeğeri olduğu ancak ve ancak izomorfik olduklarında gösterilebilir .

Tanım

(sol) modüller kategorisinin R , R-Mod ve (sol) modüller kategorisinin S üzerinde bir denkliği varsa , R ve S (birleşik, 1 ile) iki halkanın ( Morita ) eşdeğer olduğu söylenir , S Modu . Sol modül kategorileri R-Mod ve S-Mod'un eşdeğer olduğu ancak ve ancak sağ modül kategorileri Mod-R ve Mod-S eşdeğer olduğunda gösterilebilir. Bundan başka, herhangi bir funktor olduğu gösterilebilir R Mod için S-Mod eş değer verir otomatik olarak katkı maddesi .

Örnekler

Herhangi iki izomorfik halka Morita eşdeğeridir.

Halka N -by- n matrisler elemanlarla R , M gösterilen _N ( R ) için Morita eşdeğer olan R herhangi n> 0 . Bunun Artin-Wedderburn teorisi tarafından verilen basit artinian halkalarının sınıflandırmasını genelleştirdiğine dikkat edin . Denkliği, bildirimi görmek için, eğer X, bir sol olan R, daha sonra Modül X ^{, n} , M bir _N ( R ' ) Modül modül yapı sütun vektörleri sol matris çarpımı ile verilmektedir , X . Bu, sol kategorisinden bir functor tanımı sağlar R sol M kategorisine-modüller _N ( R )-modüller. Ters funktor gerçekleştirilmesi ile tanımlanır herhangi M _n ( R ) Modül olduğu bir sol R Modül X M şekilde _N ( R ' ) Modül elde edilen X yukarıda tarif edildiği gibi.

denklik kriterleri

Eşdeğerlikler şu şekilde karakterize edilebilir: Eğer F : R-Mod S-Mod ve G : S-Mod R-Mod toplamalı (kovaryant) işlevler ise , o zaman F ve G bir denkliktir ancak ve ancak dengeli ( S , R ) - bimodule P şekilde _S P ve P _R edilir sonlu üretilmiş yansıtmalı jeneratörler ve orada doğal izomorfizm functors arasında ve funktorlar arasında sonlu üretilmiş yansıtmalı jeneratörler de bazen adlandırılır progenerators kendi modülü kategorisi için. ${\görüntüleme stili \ için }$ ${\görüntüleme stili \ için }$ ${\displaystyle \operatör adı {F} (-)\cong P\otimes _{R}-}$${\displaystyle \operatöradı {G} (-)\cong \operatöradı {Hom} (_{S}P,-).}$

Sol- R modülleri kategorisinden, doğrudan toplamlarla değişen sol- S modülleri kategorisine kadar her sağ-tam functor F için , bir homolojik cebir teoremi , bir (S,R) -bimodül E olduğunu gösterir. functor , functor ile doğal olarak izomorfiktir . Denkliği tam gerekliliği ve doğrudan toplamları gidip göre olduğundan, bu ifade eder R ve S bimodules vardır, ancak ve ancak Morita eşdeğerdir _R M _S ve _S , N _R şekilde olduğu gibi (R, R) bimodules ve şekilde S, S ( ) bimodüller. Ayrıca, N ve M , bir (S,R) bimodül izomorfizmi ile ilişkilidir : . ${\displaystyle \operatör adı {F} (-)}$${\ Displaystyle E\otimes _{R}-}$${\ Displaystyle M\otimes _{S}N\cong R}$${\ Displaystyle N\otimes _{R}M\cong S}$${\displaystyle N\cong \operatöradı {Hom} (M_{S},S_{S})}$

Daha somut olarak, iki R ve S halkası, ancak ve ancak bir projeneratör modülü P _R için olması durumunda Morita eşdeğeridir ; ${\displaystyle S\cong \operatöradı {Son} (P_{R})}$

${\displaystyle S\cong e\mathbb {M} _{n}(R)e}$

Bazı pozitif tamsayı için (halkaların izomorfizm) n ve tam İdempotent e matris halka M _n ( R ).

R'nin Morita'nın S'ye eşdeğer olması durumunda , C( R ) halkasının C( S ) halkasına izomorf olduğu , burada C(-)'nin halkanın merkezini gösterdiği ve ayrıca R / J ( R )'nin Morita, S / J ( S )'ye eşdeğerdir , burada J (-) Jacobson radikalini belirtir .

İzomorfik halkalar Morita eşdeğeri iken, Morita eşdeğer halkalar izomorfik olmayabilir. Basit bir örnek bir yani bölme halka D matriksi tüm Morita eşdeğer halkalar olan M _n ( D ), fakat zaman izomorfik olamaz , n  > değişmeli halkaların özel durumda, 1., Morita eşdeğer halkalar aslında izomorfik. Bu, yukarıdaki yorumdan hemen çıkar, çünkü R , Morita'nın S'ye eşdeğer olması durumunda , . ${\displaystyle R=\operatöradı {C} (R)\cong \operatöradı {C} (S)=S}$

Eşdeğerlik ile korunan mülkler

Modül kategorisindeki nesneler için birçok özellik denklik işlevi tarafından korunur. Genel olarak konuşursak, tamamen modüller ve bunların homomorfizmaları (alttaki elemanlarına veya halkasına değil) açısından tanımlanan modüllerin herhangi bir özelliği , eşdeğerlik functor tarafından korunacak olan kategorik bir özelliktir . Örneğin, F (-) den denklik funktoru olan R-Mod için , S-Mod , o zaman R modülü E aşağıdaki özelliklerden herhangi birini, ancak ve ancak, eğer var S modülü F ( M : mal) birebir , yansıtmalı , düz , sadık , sade , yarı basit , sonlu üretilmiş , sonlu takdim , Artin ve Noetherian . Korunması zorunlu olmayan özelliklerin örnekleri arasında özgür olma ve döngüsel olma yer alır .

Birçok halka teorik özelliği modülleri cinsinden ifade edilir ve bu nedenle bu özellikler Morita eşdeğer halkaları arasında korunur. Eşdeğer halkalar arasında paylaşılan özelliklere Morita değişmez özellikleri denir . Örneğin, bir halka R, bir yarı basit ise ve modül her yarı basit olan ve yarı basit modüller Morita denklik altında korunur, çünkü eşdeğer bir halka halinde S da modülleri yarı-basit tüm sahiptir ve dolayısıyla bir yarı basit bir halka kendisine olmalıdır.

Bazen bir mülkün neden korunması gerektiği hemen belli olmaz. Örneğin, bir standart tanım kullanılarak von Neumann, normal bir halka (tüm a içinde R , vardır X in R olduğu gibi bir  =  axa eşdeğer bir halka ayrıca Von Neumann düzenli olması gerektiği açık değildir). Ancak başka bir formülasyon şudur: bir halka, ancak ve ancak tüm modülleri düz ise, von Neumann düzenlidir. Düzlük Morita denkliği boyunca korunduğu için, von Neumann düzenliliğinin Morita değişmezi olduğu artık açıktır.

Aşağıdaki özellikler Morita değişmezidir:

• basit , yarı basit
• von Neumann düzenli
• sağ (veya sol) Noetherian , sağ (veya sol) Artinian
• sağ (veya sol) kendinden enjeksiyonlu
• yarı-Frobenius
• Başbakan , sağ (veya sol) ilkel , yarıasal , semiprimitive
• sağ (veya sol) (yarı) kalıtsal
• sağ (veya sol) tekil olmayan
• sağ (veya sol) tutarlı
• yarı birincil , sağ (veya sol) mükemmel , yarı mükemmel
• yarı yerel

Morita değişmezi olmayan özelliklerin örnekleri arasında değişmeli , yerel , indirgenmiş , etki alanı , sağ (veya sol) Goldie , Frobenius , değişmez temel sayı ve Dedekind sonlu yer alır .

Bir halka özelliğinin Morita değişmezi olup olmadığını belirlemek için en az iki test daha vardır . Bir eleman E bir halka oluşturur R a, tam İdempotent e ²  =  e ve rer  =  R ' . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$

• ${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$Morita değişmez, ancak ve ancak olduğu zaman bir halka R, tatmin ardından yapar ERE her tam İdempotent için e ve böylece her matris ringi M _n ( R, her pozitif tamsayı için) , n ;${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$

veya

• ${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$herhangi bir halka için: Morita değişmez, ancak ve ancak bir R ve tam İdempotent e de R , R, tatmin ancak ve ancak zil ERE tatmin .${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$

Diğer yönler

Eşdeğerlik teorisinin ikilisi , kullanılan functorların kovaryanttan ziyade kontravariant olduğu modül kategorileri arasındaki dualite teorisidir . Bu teori, form olarak benzer olsa da, önemli farklılıklara sahiptir, çünkü alt kategoriler için ikilikler mevcut olsa da, herhangi bir halka için modül kategorileri arasında bir ikilik yoktur. Başka bir deyişle, sonsuz boyutlu modüller genellikle dönüşlü olmadığı için , dualiteler teorisi, noetherian halkaları üzerinden sonlu olarak oluşturulmuş cebirlere daha kolay uygulanır. Belki de şaşırtıcı olmayan bir şekilde, yukarıdaki kriterin, doğal izomorfizmin tensör işlevi yerine ana işlev açısından verildiği ikilikler için bir analogu vardır .

Morita denkliği, simplektik grupoidler ve C*-cebirleri gibi daha yapılandırılmış durumlarda da tanımlanabilir . C*-cebirleri söz konusu olduğunda, C*-cebirlerinin ek yapısı (içerici *-işleminden gelir) nedeniyle uygulamalarda yararlı sonuçlar elde etmek için güçlü Morita denkliği adı verilen daha güçlü bir tür eşdeğerliğe ihtiyaç vardır ve ayrıca C*-cebirleri mutlaka bir kimlik elemanına sahip değildir.

K-teorisinde Önemi

İki halka Morita eşdeğeri ise, Morita denklikleri tam dizileri (ve dolayısıyla yansıtmalı modülleri) koruyacağından ilgili yansıtmalı modül kategorilerinin indüklenmiş bir eşdeğerliği vardır. Yana cebirsel K-teorisi bir halkanın (tanımlanır Quillen yaklaşımı açısından) Homotopy grupları (kabaca) arasında sınıflandırmak alan bir sinir , Morita eşdeğer halkalar halka üzerinde sonlu üretilmiş yansıtmalı modüllerin (küçük) kategori izomorfik K gruplarına sahip olmalıdır.

Notlar

alıntılar

Referanslar

daha fazla okuma

• Reiner, İ. (2003). Maksimum Siparişler . Londra Matematik Derneği Monografları. Yeni seri. 28 . Oxford Üniversitesi Yayınları . s. 154–169. ISBN'si 0-19-852673-3. Zbl  1024.16008 .