Hopkins-Levitzki teoremi - Hopkins–Levitzki theorem

Dalında soyut cebir denilen halka teorisi , Akizuki-Hopkins-Levitzki teoremi bağlayan inen zincir koşulu ve artan zincir koşulu içinde modüllerin semiprimary halkalar üzerinde. Halka R, (1) ile adı semiprimary eğer R / J ( R ) 'dir yarı basit ve J ( R ) a, nilpotentlik yere , J ( R ) belirtmektedir Jacobson radikal . Teorem, eğer R bir yarı birincil halka ve M bir R modülü ise, üç modül koşulu Noetherian , Artinian ve "bir kompozisyon serisine sahiptir" ifadesinin eşdeğer olduğunu belirtir . Yarı birincil koşul olmadan, tek doğru çıkarım, M'nin bir kompozisyon serisine sahip olması durumunda , M'nin hem Noetherian hem de Artinian olduğudur.

Teorem şu anki halini Charles Hopkins'in bir makalesinden ve Jacob Levitzki'nin bir makalesinden alıyor , her ikisi de 1939'da. Bu nedenle, genellikle Hopkins-Levitzki teoremi olarak anılır . Bununla birlikte, Yasuo Akizuki , birkaç yıl önce, 1935'te değişmeli halkaların sonucunu kanıtladığı için bazen dahil edilmiştir .

Sağ Artin halkalarının yarı birincil olduğu bilindiğinden , teoremin doğrudan bir sonucu şudur: Sağ bir Artin halkası da doğru Noetherian'dır . Sol Artin halkaları için benzer ifade de geçerlidir. Bu genel olarak Artin modülleri için doğru değildir, çünkü Noetherian olmayan Artin modülleri örnekleri vardır .

Bir başka doğrudan sonuç, eğer R sağ Artiniyse, o zaman R , ancak ve ancak Noetherian bırakılırsa, Artinli olarak bırakılır.

İspat taslağı

İşte aşağıdakilerin kanıtı: R yarı birincil halka ve M a sol R modülü olsun. Eğer M artinian veya Notherian dir, daha sonra M bir bileşim serisi vardır. (Bunun tersi herhangi bir yüzük için geçerlidir.)

J , R'nin radikali olsun . Ayarla . R modülü daha sonra bir şekilde görülebilir , çünkü Modül J içerdiği sõfõrlayõcõlõ arasında . Her biri yarı basit bir modüldür, çünkü yarı basit bir halkadır. Dahası, J üstelsıfır olduğundan, yalnızca sonlu çoğu sıfırdan farklıdır. Eğer M artinian (veya Notherian), daha sonra sınırlı bir bileşim serisi vardır. Kompozisyon serilerini uçtan uca istifleyerek, M için bir kompozisyon serisi elde ederiz . ${\ displaystyle F_ {i} = J ^ {i-1} M / J ^ {i} M}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle R / J}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ displaystyle R / J}$${\ displaystyle R / J}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$

Grothendieck kategorilerinde

Teoremin çeşitli genellemeleri ve uzantıları mevcuttur. Biri Grothendieck kategorileriyle ilgilidir : Eğer G , Artin jeneratörü olan bir Grothendieck kategorisiyse, o zaman G'deki her Artinian nesnesi Noetherian'dır.

Ayrıca bakınız

• Artinian modülü
• Noetherian modülü
• Kompozisyon serisi

Referanslar

• Cohn, PM (2003), Temel Cebir: Gruplar, Halkalar ve Alanlar
• Charles Hopkins (1939) Sol idealler için minimum koşullu halkalar , Ann. Matematik. (2) 40, sayfalar 712–730.
• TY Lam (2001) Değişmeli olmayan halkalarda ilk kurs , Springer-Verlag. sayfa 55 ISBN   0-387-95183-0
• Jakob Levitzki (1939) Sağ el idealleri için minimum koşulu karşılayan halkalar üzerine , Compositio Mathematica, c. 7, s. 214–222.