Üçgen matris - Triangular matrix

Olarak matematiksel bir disiplin lineer cebir , bir üçgen matris özel bir tür olan kare matris . kare matris denir Üçgen düşürmek tüm girişleri iseyukarıdabaş çaprazsıfırdır. Benzer şekilde, bir kare matris denirÜst üçgen tüm girişleri iseaşağıdaana Diagonalsıfırdır.

Üçgen matrisli matris denklemlerinin çözülmesi daha kolay olduğu için sayısal analizde çok önemlidir . Tarafından LU ayrıştırma algoritması, bir ters çevrilebilir matris daha düşük bir üçgen matris ürün olarak yazılabilir L ve bir üst üçgen matris U ancak ve ancak tüm gelen ana küçükler olmayan sıfırdır.

Açıklama

Formun bir matrisi

${\displaystyle L={\başlangıç{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1} &\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots & \ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}$

alt üçgen matris veya sol üçgen matris olarak adlandırılır ve benzer şekilde formun bir matrisi

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2, 3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

Bir adlandırılan üst üçgen matris ya da dik üçgen matris . Alt veya sol üçgen matris genellikle L değişkeni ile gösterilir ve üst veya sağ üçgen matris genellikle U veya R değişkeni ile gösterilir .

Hem üst hem de alt üçgen olan bir matris köşegendir . Olan Matrisler benzer üçgen matrislere denir triangularisable .

Köşegenin üzerinde (altında) sıfırlar bulunan kare olmayan (veya bazen herhangi bir) matris, alt (üst) yamuk matris olarak adlandırılır. Sıfır olmayan girişler yamuk şeklini oluşturur .

Örnekler

Bu matris

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&4\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

üst üçgendir ve bu matris

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}}$

alt üçgendir.

İleri ve geri ikame

Alt üçgen matrisler için ileri ikame ve üst üçgen matrisler için benzer şekilde geri ikame adı verilen yinelemeli bir süreçle veya biçimindeki bir matris denklemini çözmek çok kolaydır . Süreç böylece çünkü alt üçgen matrisleri, bir ilk Hesaplamalar için çağrılır sonra, yerine ileriye doğru bir sonraki denklemi için çözmeye kadar, ve tekrarlar . Bir üst üçgen matriste, bir inşaat geriye doğru, birinci bilgisayar , daha sonra bu ikame geri içine önceki çözmek için denklem ve içinden tekrar . ${\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle U\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\görüntüleme stili x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n-1}}$${\görüntüleme stili x_{1}}$

Bunun matrisin ters çevrilmesini gerektirmediğine dikkat edin.

ileri oyuncu değişikliği

L x = b matris denklemi bir lineer denklem sistemi olarak yazılabilir.

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2, 2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2} x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

İlk denklemin ( ) yalnızca içerdiğini ve dolayısıyla kişinin doğrudan için çözülebileceğini gözlemleyin . İkinci denklem yalnızca ve'yi içerir ve bu nedenle, zaten çözülmüş değeri yerine koyduğunda çözülebilir . Bu şekilde devam edersek, -th denklemi yalnızca içerir ve kişi için daha önce çözülmüş değerleri kullanarak çözebilir . ${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$${\görüntüleme stili x_{1}}$${\görüntüleme stili x_{1}}$${\görüntüleme stili x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\görüntüleme stili x_{1}}$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$

Ortaya çıkan formüller şunlardır:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{ 2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m }-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{hizalı}}}$

Üst üçgen matris U olan bir matris denklemi , sadece geriye doğru çalışarak benzer bir şekilde çözülebilir.

Uygulamalar

İleriye dönük ikame, bir getiri eğrisi oluşturmak için finansal önyüklemede kullanılır .

Özellikler

Devrik bir üst üçgen matrisin tam tersi bir alt üçgen matrisi ve yardımcısı olup.

Hem simetrik hem de üçgen olan bir matris köşegendir. Benzer bir şekilde, her ikisi de olan bir matris içinde , normal (yani bir ^* A = AA ^* , A ^* olduğu konjügat devrik ve üçgen aynı zamanda köşegen olduğunu). Bu, A ^* A ve AA ^*' nın köşegen girişlerine bakarak görülebilir .

Belirleyici ve kalıcı direkt hesaplama kontrol edilebilir olarak üçgen bir matris, köşegen girişlerin ürünü eşittir.

Aslında daha fazlası doğrudur: bir üçgen matrisin özdeğerleri tam olarak onun köşegen girdileridir. Ayrıca, her bir özdeğer tam olarak ortaya k Diagonal zamanları k onun bir cebirsel çokluğu olan, onun bir kök olarak çokluğu bir karakteristik polinomunun bir A . Başka bir deyişle, üçgensel bir n × n matris A'nın karakteristik polinomu tam olarak ${\displaystyle p_{A}(x)=\det(xI-A)}$

${\displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$,

yani, kökleri A'nın (çokluklarla) köşegen girişleri olan benzersiz n dereceli polinom . Bunu görmek için, bunun da üçgen olduğunu ve dolayısıyla belirleyicisinin köşegen girişlerinin ürünü olduğunu gözlemleyin . ${\ Displaystyle xI-A}$${\görüntüleme stili \det(xI-A)}$${\displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$

Özel formlar

tek üçgen matris

Bir (üst veya alt) üçgen matrisin ana köşegenindeki girişlerin tümü 1 ise, matris (üst veya alt) birim üçgen olarak adlandırılır .

Bu matrisler için kullanılan diğer isimler birim (üst veya alt) üçgen veya çok nadiren normlu (üst veya alt) üçgen şeklindedir . Ancak, birim üçgen matris aynı değildir birim matrisine ve normlu üçgen matris kavramı ile ilgisi yoktur matris norm .

Tüm sonlu tek üçgen matrisler unipotenttir .

Kesinlikle üçgen matris

Bir (üst veya alt) üçgen matrisin ana köşegenindeki tüm girişler de 0 ise, matris kesin (üst veya alt) üçgen olarak adlandırılır .

Tüm sonlu kesinlikle üçgen matrisler nilpotenttir .

Atomik üçgen matris

Bir atomik (üst veya alt) üçgen matris , tek bir sütundaki girişler dışında tüm köşegen dışı elemanların sıfır olduğu, birim üçgen matrisin özel bir şeklidir . Böyle bir matris aynı zamanda bir Frobenius matrisi , bir Gauss matrisi veya bir Gauss dönüşüm matrisi olarak da adlandırılır .

üçgenleştirilebilirlik

Olan bir matris içindeki bir üçgen matris olarak ifade edilir triangularizable . Soyut, bu stabilize edici bir eşdeğerdir bayrak : üst üçgen matrisler tam korumaya olanlardır standart bayrak standardında verilmiştir, esas sipariş ve elde edilen bayrak Tüm bayraklar conjugate (genel lineer grubu gibi bazlar ile geçişli hareket), bu yüzden bir bayrağı stabilize eden herhangi bir matris, standart bayrağı stabilize edene benzer. ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\sağ\rangle =K^{n}.}$

Herhangi bir karmaşık kare matris üçgenleştirilebilir. Aslında, bir matris bir aşkın bir alan eigen tümünü içeren A (örneğin, üzerinde herhangi bir matris cebirsel olarak kapalı alan ) bir üçgen matris benzerdir. Bu gerçeğine indüksiyon kullanılarak ispat edilebilir bir öz vektör ile bölüm yer alacak ve göstermek için indükleyerek bir özvektör sahip bir bayrak stabilize olur ve bu bayrak için bir tabana göre bu şekilde triangularizable olup.

Bu durumda A'nın çok özel bir formun üst üçgen matrisine benzediğini belirten Jordan normal form teoremi tarafından daha kesin bir ifade verilir . Ancak daha basit üçgenleştirme sonucu genellikle yeterlidir ve her durumda Jordan normal form teoremini kanıtlamak için kullanılır.

Karmaşık matrisler söz konusu olduğunda, üçgenleştirme hakkında daha fazla şey söylemek mümkündür, yani herhangi bir kare matris A'nın bir Schur ayrışmasına sahip olduğu söylenebilir . Bu, A'nın bir üst üçgen matrise birimsel olarak eşdeğer (yani , temel değişikliği olarak birimsel bir matris kullanılarak benzer) olduğu anlamına gelir ; bunu bayrak için Hermit temelli bir temel alarak takip eder.

Eşzamanlı üçgenleştirilebilirlik

Bir dizi matris olduğu söylenir${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$hepsinin üst üçgen olduğu bir temel varsa aynı anda üçgenleştirilebilir; eşdeğer olarak, eğer tek bir benzerlik matrisiPile üst üçgenleştirilebilirlerse.Böyle birmatrisseti, ürettiği matrislerin cebiri, yanibelirtilenEşzamanlı üçgenlenebilirliktekitüm polinomlar, bu cebirin Lie alt cebirine eşlenik olduğu anlamına gelir. üst üçgen matrislerin toplamıdır ve bu cebirin birBorel altcebirinin Lie alt cebiri olmasına eşdeğerdir. ${\displaystyle A_{i},}$${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$

Temel sonuç, (cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde), yer değiştirme matrislerinin veya daha genel olarak eş zamanlı olarak üçgenleştirilebilir olmasıdır. Bu, önce değişmeli matrislerin ortak bir özvektöre sahip olduğunu göstererek ve daha sonra daha önce olduğu gibi boyut üzerinde tümevarım yaparak kanıtlanabilir. Bu, işe gidiş geliş matrislerinde tartışıldığı gibi, 1878'de işe gidip gelen bir çift için başlayarak Frobenius tarafından kanıtlandı . Tek bir matrise gelince, karmaşık sayılar üzerinde bunlar üniter matrislerle üçgenleştirilebilir. ${\görüntüleme stili A,B}$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

Değişmeli matrislerin ortak bir özvektöre sahip olduğu gerçeği, Hilbert'in Nullstellensatz'ının bir sonucu olarak yorumlanabilir : değişmeli matrisler, üzerinde k boyutlu afin uzayda bir çeşitlilik olarak yorumlanabilecek değişmeli bir cebir oluşturur ve (ortak) bir özdeğerin (ortak) varlığı ( ve dolayısıyla ortak bir özvektör), (zayıf) Nullstellensatz'ın içeriği olan (boş olmayan) bir noktaya sahip bu çeşitliliğe karşılık gelir. Cebirsel terimlerle, bu operatörler polinom cebirinin k değişkenli bir cebir temsiline karşılık gelir . ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$

Bu, çözülebilir bir Lie cebirinin herhangi bir temsilinin aynı anda üst üçgenleştirilebilir olduğunu gösteren Lie teoremi tarafından genelleştirilir , değişken matrislerin durumu abelian Lie cebiri durumudur, abelian a fortiori çözülebilirdir.

Daha genel olarak ve hassas bir şekilde, matris bir dizi ve matris halinde, eş zamanlı olarak triangularisable olan bir nilpotenttir tüm polinomlar için p de k olmayan değişkenleri -commuting, burada bir komütatör ; gidip gelmek için bu tutar böylece komütatör ortadan kaybolur. Bu, ( Drazin, Dungey & Gruenberg 1951 ); kısa bir kanıt ( Prasolov 1994 , s. 178–179 )'da verilmektedir. Bir yön açıktır: matrisler aynı anda üçgenleştirilebilir ise, o zaman kesinlikle üst üçgenleştirilebilirdir (dolayısıyla sıfır potansiyellidir), bu da bunların herhangi biri veya kombinasyonu ile çarpılarak korunur - üçgenleştirme temelinde köşegende hala 0'lara sahip olacaktır. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$ ${\ Displaystyle [A_{i},A_{j}]}$${\displaystyle A_{i}}$${\ Displaystyle [A_{i},A_{j}]}$${\ Displaystyle A_{k}}$

Üçgen matrislerin cebirleri

İkili alt birim üçgensel Toeplitz matrisleri, F ₂ işlemleri kullanılarak çarpılır . Onlar oluşturan Cayley tablo içinde Z ₄ ve tekabül 4 bitlik Gri kod permütasyon yetkileri .

Üst üçgenlik birçok işlemle korunur:

• İki üst üçgen matrisin toplamı üst üçgendir.
• İki üst üçgen matrisin çarpımı üst üçgendir.
• Bir üst üçgen matrisin tersi, mevcut olduğu yerde üst üçgendir.
• Bir üst üçgen matris ile bir skalerin çarpımı üst üçgendir.

Birlikte bu gerçekler üst üçgen matrisler bir formu anlamına alt cebiri ait ilişkisel cebir belirli bir boyut için kare matrislerin. Ek olarak, bu aynı zamanda, üst üçgen matrislerin, sabit boyutlu kare matrislerin Lie cebirinin bir Lie alt cebiri olarak görülebileceğini gösterir , burada Lie parantezinin [ a , b ] ab − ba komütatörü tarafından verilir . Tüm üst üçgen matrislerin Lie cebiri , çözülebilir bir Lie cebiridir . Genellikle tüm kare matrislerin Lie cebirinin bir Borel alt cebiri olarak adlandırılır .

Tüm bu sonuçlar, eğer üst üçgen baştan aşağı alt üçgen ile değiştirilirse geçerlidir ; özellikle alt üçgen matrisler de bir Lie cebiri oluşturur. Bununla birlikte, üst ve alt üçgen matrisleri karıştıran işlemler genel olarak üçgen matrisler üretmez. Örneğin, bir üst ve bir alt üçgen matrisin toplamı herhangi bir matris olabilir; bir üst üçgen matris ile bir alt üçgenin çarpımı da mutlaka üçgen olmak zorunda değildir.

Birim üçgen matrisler kümesi bir Lie grubu oluşturur .

Kesinlikle üst grubu (ya da daha düşük) üçgen matrisler formları nilpotentlik Lie cebri , belirtilen bu cebir türetilmiş Lie cebir arasında , tüm üst üçgen matrislerin Lie cebri; sembollerde, Ayrıca, tek üçgen matrislerin Lie grubunun Lie cebiridir. ${\displaystyle {\mathfrak {n}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Aslında, Engel'in teoremi ile , herhangi bir sonlu-boyutlu nilpotent Lie cebiri, kesinlikle üst üçgen matrislerin bir alt cebirine eşleniktir, yani, sonlu boyutlu bir sıfır-boyutlu Lie cebiri aynı anda kesinlikle üst üçgenleştirilebilirdir.

Üst üçgen matrislerin cebirleri , Hilbert uzayları üzerinde yuva cebirlerini veren fonksiyonel analizde doğal bir genellemeye sahiptir .

Borel alt grupları ve Borel alt cebirleri

Belirli bir türdeki (üst veya alt) ters çevrilebilir üçgen matrisler grubu , tüm ters çevrilebilir matrislerin genel lineer grubunun bir alt grubu olan bir grup , aslında bir Lie grubu oluşturur . Bir üçgen matris, tam olarak köşegen girişleri tersine çevrilebilir (sıfır olmayan) olduğunda tersine çevrilebilir.

Gerçek sayılar üzerinde, bu grubun bağlantısı kesilir, her çapraz giriş pozitif veya negatif olduğu için buna göre bileşenlere sahiptir. Kimlik bileşeni diyagonal üzerinde olumlu girişleri ile ters çevrilebilir üçgen matrisler ve tüm ters çevrilebilir üçgen matrisler grubu bir semidirect ürün bu grubun ve grup çapraz matrisler ile bileşenlere karşılık gelen diyagonal. ${\ Displaystyle 2^{n}}$${\görüntüleme stili \pm 1}$

Lie cebiri ters çevrilebilir üst üçgen matris Lie grubunun mutlaka tersi değil tüm üst üçgen matrisler setidir ve bir çözülebilir Lie cebiri . Bunlar, sırasıyla, Standart Borel alt-grup B Lie grubunun GL _{, n} ve standart Borel altcebirine Lie cebri gl ve _n . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Üst üçgen matrisler tam olarak standart bayrağı sabitleyen matrislerdir . Aralarında ters çevrilebilir olanlar, eşlenik alt grupları bazı (diğer) tam bayrağın dengeleyicisi olarak tanımlananlar olan genel doğrusal grubun bir alt grubunu oluşturur. Bu alt gruplar Borel alt gruplarıdır . Ters çevrilebilir alt üçgen matrisler grubu böyle bir alt gruptur, çünkü standart tabanla ters sırada ilişkili standart bayrağın dengeleyicisidir.

Standart bayrağın bazı bölümlerinin unutulmasıyla elde edilen kısmi bayrağın dengeleyicisi, bir dizi blok üst üçgen matris olarak tanımlanabilir (ancak elemanlarının tümü üçgen matris değildir ). Böyle bir grubun eşlenikleri, bazı kısmi bayrakların sabitleyicisi olarak tanımlanan alt gruplardır. Bu alt gruplara parabolik alt gruplar denir .

Örnekler

2 x 2 üst unitriangular matrislerin grubudur izomorfik için katkı maddesi grubu skalerler alanının; karmaşık sayılar durumunda, parabolik Möbius dönüşümlerinden oluşan bir gruba karşılık gelir ; 3×3 üst tek üçgen matrisler Heisenberg grubunu oluşturur .

Ayrıca bakınız

• Gauss elimine etme
• QR ayrıştırma
• Cholesky ayrışması
• Hessenberg matrisi
• üç köşeli matris
• değişmez alt uzay

Referanslar