Möbius dönüşümü - Möbius transformation

Olarak geometri ve kompleks analiz , bir Möbiüs dönüşüm ait kompleks düzlemde a, rasyonel fonksiyonu formunun

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

bir karmaşık değişkenin z ; burada a , b , c , d katsayıları ad − bc ≠ 0'ı sağlayan karmaşık sayılardır .

Geometrik olarak, bir Möbius dönüşümü, önce düzlemden iki küre birimine stereografik izdüşüm gerçekleştirerek , küreyi uzayda yeni bir konuma ve oryantasyona döndürerek ve hareket ettirerek ve daha sonra (kürenin yeni konumundan) stereografik izdüşüm gerçekleştirerek elde edilebilir. ) uçağa. Bu dönüşümler açıları korur, her düz çizgiyi bir çizgi veya daireyle eşler ve her daireyi bir çizgi veya daireyle eşler.

Möbius dönüşümleri , karmaşık yansıtmalı çizginin yansıtmalı dönüşümleridir . Projektif lineer grup PGL(2, C ) olan Möbius grubu adı verilen bir grup oluştururlar . Alt gruplarıyla birlikte matematik ve fizikte çok sayıda uygulamaya sahiptir.

Möbius dönüşümleri, Ağustos Ferdinand Möbius'un onuruna adlandırılmıştır ; bunlar aynı zamanda homografiler , homografik dönüşümler , doğrusal kesirli dönüşümler , çift doğrusal dönüşümler , kesirli doğrusal dönüşümler veya spin dönüşümleri (görecelik teorisi) olarak da adlandırılır .

genel bakış

Möbius dönüşümleri, genişletilmiş karmaşık düzlemde tanımlanır (yani, sonsuzdaki nokta tarafından büyütülmüş karmaşık düzlem ). ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

Stereografik izdüşüm , daha sonra Riemann küresi olarak adlandırılan bir küre ile özdeşleşir ; alternatif olarak, karmaşık projektif çizgi olarak düşünülebilir . Möbiüs dönüşümler tam olarak örten konformal kendi Riemann küreden haritaları, yani otomorfizmalar bir şekilde Riemann kürenin karmaşık bir çoklu ; alternatif olarak, bir cebirsel çeşitlilik olarak otomorfizmalardır . Bu nedenle, tüm Möbius dönüşümlerinin kümesi, bileşim altında bir grup oluşturur . Bu grup Möbius grubu olarak adlandırılır ve bazen olarak gösterilir . ${\ Displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\ Displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ $\operatöradı {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})$

Möbiüs grubu olduğu izomorfik yönlendirme koruyucu grubuna izometrileri arasında hiperbolik 3-alan ve çalışma, bu nedenle önemli bir rol oynar hiperbolik 3-manifoldlar .

Olarak fizik , kimlik bileşeni arasında Lorentz grubu üzerinde etkili gökküresi Möbiüs grubu Riemann küre üzerinde hareket aynı şekilde. Aslında, bu iki grup izomorfiktir. Göreceli hızlara hızlanan bir gözlemci, Dünya'nın yakınında görüldüğü gibi takımyıldız deseninin sonsuz küçük Möbius dönüşümlerine göre sürekli dönüştüğünü görecektir. Bu gözlem genellikle twistor teorisinin başlangıç noktası olarak alınır .

Möbius grubunun belirli alt grupları, diğer basit bağlantılı Riemann yüzeylerinin ( karmaşık düzlem ve hiperbolik düzlem ) otomorfizm gruplarını oluşturur . Bu nedenle, Möbius dönüşümleri Riemann yüzeyleri teorisinde önemli bir rol oynamaktadır . Temel grup , her Riemann yüzeyi a, ayrı alt-grup (bakınız Möbiüs grubunun Fuchsian grubu ve Kleinian grubu ). Möbius grubunun özellikle önemli bir ayrık alt grubu, modüler gruptur ; birçok teorisine merkezi fraktallar , modüler formlar , eliptik eğriler ve Pellian denklemler .

Möbiüs dönüşümler daha genel boyutun mekanlarda tanımlanabilir n den örten konformal yönlendirme koruyucu haritalar gibi> 2 N -sphere için n -sphere. Böyle bir dönüşüm, bir etki alanının uyumlu eşlemesinin en genel biçimidir. Göre Liouville teoremi bir Möbiüs dönüşüm çevirileri, bir bileşim olarak ifade edilebilir benzerlikler , ortogonal dönüşüm ve ters çevirme.

Tanım

Bir Möbius dönüşümünün genel biçimi şu şekilde verilir:

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

burada bir , b , c , d her olan karmaşık sayılar tatmin

reklam - bc \neq 0

. Eğer

reklama = bc

, yukarıda tanımlanan rasyonel fonksiyon sabit beri olduğu

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a(cz+d)}{c(cz+d)}}-{\frac {ad- bc}{c(cz+d)}}={\frac {a}{c}}

ve bu nedenle bir Möbius dönüşümü olarak kabul edilmez.

$c \neq 0$ durumunda , bu tanım tanımlanarak tüm Riemann küresine genişletilir.

f\left({\frac {-d}{c}}\sağ)=\infty {\text{ ve }}f(\infty )={\frac {a}{c}}.

Eğer $c = 0$ , tanımladığımızı

f(\infty )=\infty.

Bu nedenle, bir Möbius dönüşümü her zaman Riemann küresinden Riemann küresine bir bijektif holomorfik fonksiyondur .

Tüm Möbius dönüşümlerinin kümesi, bileşim altında bir grup oluşturur . Bu gruba karmaşık bir manifoldun yapısı, kompozisyon ve inversiyon holomorfik haritalar olacak şekilde verilebilir . Möbius grubu daha sonra karmaşık bir Lie grubudur . Möbius grubu, genellikle Riemann küresinin otomorfizm grubu olduğu için belirtilir . $\operatöradı {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})$

Sabit noktalar

Her özdeş olmayan Möbius dönüşümünün Riemann küresi üzerinde iki sabit noktası vardır . Sabit noktalar burada sayılır bu Not çokluğu ; parabolik dönüşümler, sabit noktaların çakıştığı dönüşümlerdir. Bu sabit noktalardan biri veya her ikisi sonsuzdaki nokta olabilir. $\gamma _{1},\gamma _{2}$

Sabit noktaların belirlenmesi

Dönüşümün sabit noktaları

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

f ( γ ) = γ sabit nokta denklemi çözülerek elde edilir . İçin c ≠ 0, bu Bu denklemi genişleterek elde edilen iki kökleri

c\gamma ^{2}-(ad)\gamma -b=0\ ,

ve ikinci dereceden formülün uygulanması . Kökler

\gamma _{1,2}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {\left(rek\right)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac { (reklam)\pm {\sqrt {\Delta }}}}{2c}}

ayrımcı ile

\Delta =(\operatöradı {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad- M.Ö).

Parabolik dönüşümler, sıfır diskriminant nedeniyle tesadüfi sabit noktalara sahiptir. İçin c sıfırdan farklı ve sıfır olmayan bir ayırıcı dönüşümü oval veya hiperbolik.

Tüm C = 0, lineer bir denklem haline kuadratik denklemi dejenere ve dönüşümü doğrusaldır. Bu, sabit noktalardan birinin sonsuzdaki nokta olduğu duruma karşılık gelir. Ne zaman bir ≠ d ikinci sabit nokta sonlu ve verilir

\gamma =-{\frac {b}{ad}}.

Bu durumda dönüşüm, ötelemeler , döndürmeler ve genişlemelerden oluşan basit bir dönüşüm olacaktır :

z\mapsto \alpha z+\beta .

Eğer c = 0 ve bir = d , o zaman her iki sabit noktalar saf çeviri Möbiüs dönüşümü karşılık sonsuzda, ve:

z\mapsto z+\beta .

topolojik kanıt

Topolojik olarak, (özdeşlik-olmayan) Möbius dönüşümlerinin 2 noktayı (çoklukla) sabitlemesi , kürenin Euler karakteristiğine karşılık gelir :

\chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.

İlk olarak, projektif lineer grup PGL(2, K ) keskin bir şekilde 3-geçişlidir - farklı noktaların herhangi iki sıralı üçlüsü için, tıpkı Möbius dönüşümlerinde olduğu gibi ve aynı şekilde bir üçlüyü diğerine alan benzersiz bir harita vardır. cebirsel kanıt ( grup 3 boyutlu olduğu için esasen boyut sayımı ). Böylece en az 3 noktayı sabitleyen herhangi bir harita kimliktir.

Daha sonra, Möbius grubunu herhangi bir Möbius fonksiyonunun özdeşliğe homotopik olduğu ile tanımlayarak görebiliriz . Aslında, genel lineer grubun herhangi bir üyesi Gauss-Jordan eliminasyonu ile kimlik haritasına indirgenebilir, bu, projektif lineer grubun da yola bağlı olduğunu ve kimlik haritasına bir homotopi sağladığını gösterir. Lefschetz-Hopf teoremi sonlu sayıda sabit noktaları ile bir haritanın sabit nokta (bu bağlamda, çokluk) indislerinin toplamı eşittir bildiren Lefschetz sayısı bu durumda kimlik haritasının izidir haritanın, Euler karakteristiği olan homoloji grupları üzerinde. $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$

Buna karşılık, gerçek yansıtmalı çizginin, PGL(2, R ) projektif lineer grubunun herhangi bir noktayı sabitlemesine gerek yoktur – örneğin (gerçek) sabit noktaları yoktur: karmaşık bir dönüşüm olarak sabitler ± i – harita 2 x sabitlerken 0 ve ∞'nin iki noktası. Bu, dairenin (gerçek yansıtmalı doğru) Euler karakteristiğinin 0 olduğu gerçeğine tekabül eder ve bu nedenle Lefschetz sabit nokta teoremi yalnızca en az 0 noktayı, ancak muhtemelen daha fazlasını sabitlemesi gerektiğini söyler. ${\görüntüleme stili (1+x)/(1-x)}$

Normal form

Möbius dönüşümleri de bazen normal formda sabit noktaları cinsinden yazılır . Önce iki ayrı sabit noktanın olduğu parabolik olmayan durumu ele alıyoruz.

Parabolik olmayan durum :

Parabolik olmayan her dönüşüm, bir genişleme/dönüşe, yani formun bir dönüşümüne eşleniktir .

z\mapsto kz

( k ∈ C ) 0 ve ∞'de sabit noktalarla. Bunu görmek için bir harita tanımlayın

g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}

( γ ₁ , γ ₂ ) noktalarını (0, ∞)'ye gönderir . Burada γ ₁ ve γ _2'nin farklı ve sonlu olduğunu varsayıyoruz . Bunlardan biri zaten sonsuzdaysa, g , sonsuzu sabitleyecek ve diğer noktayı 0'a gönderecek şekilde değiştirilebilir.

Eğer f ayrı sabit noktaları vardır ( γ ₁ , y ₂ ) daha sonra dönüştürme 0 ° C'de sabit noktaya sahiptir ve ∞ ve bu nedenle büyümesidir: . Daha sonra f dönüşümü için sabit nokta denklemi yazılabilir. ${\görüntüleme stili gfg^{-1}}$ $gfg^{-1}(z)=kz$

{\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z -\gamma _{2}}}.

f'yi çözmek (matris formunda):

{\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&( k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}

veya sabit noktalardan biri sonsuzda ise:

{\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\başlangıç{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.

Yukarıdaki ifadelerden , sabit noktalarda f'nin türevleri hesaplanabilir :

f'(\gamma _{1})=k

ve

f'(\gamma _{2})=1/k.

Gözlemleyin, sabit nokta bir sipariş göz önüne alındığında, çarpanların (birini ayırt edebilir k arasında) f olarak karakteristik sabit bir f . Sabit noktaların sırasını tersine çevirmek, karakteristik sabit için ters çarpanı almaya eşdeğerdir:

{\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _ {1}).

Loxodromic dönüşümler için, her zaman | k | > 1, kimse bu γ diyor ₁ olan itici sabit nokta ve γ ₂ olan cazip sabit nokta. için | k | < 1, roller tersine çevrilir.

Parabolik durum :

Parabolik durumda sadece bir sabit nokta γ vardır . Bu noktayı ∞'ye gönderen dönüşüm

g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}

veya γ zaten sonsuzdaysa özdeşlik . Dönüşüm sonsuzluğu sabitler ve bu nedenle bir çeviridir:

{\görüntüleme stili gfg^{-1}}

gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.

Burada β, öteleme uzunluğu olarak adlandırılır . Bir parabolik dönüşüm için sabit nokta formülü daha sonra

{\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .

f (matris formunda) için çözme verir

{\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}

veya eğer γ = ∞ ise:

{\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\başlangıç{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}

Not β olan olup karakteristik sabit f her zaman parabolik dönüşüm için 1,. Yukarıdaki ifadelerden hesaplanabilir:

f'(\gamma )=1.

Dönüşümün kutupları

Noktası olarak adlandırılır kutup arasında ; altında sonsuzdaki noktaya dönüştürülen noktadır . ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ ${\mathfrak {H}}$ ${\mathfrak {H}}$

Ters kutup , sonsuzdaki noktanın dönüştürüldüğü noktadır. İki kutup arasındaki orta nokta her zaman iki sabit nokta arasındaki orta nokta ile aynıdır: ${\textstyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}$

\gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }.

Bu dört nokta , bazen dönüşümün karakteristik paralelkenarı olarak adlandırılan bir paralelkenarın köşeleridir .

Bir dönüşüm , iki sabit nokta γ ₁ , γ ₂ ve kutup ile belirtilebilir . ${\mathfrak {H}}$ $z_{\infty }$

{\mathfrak {H}}={\başlangıç{pmatrix}Z_{\infty}&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix} },\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }.

Bu, k ile verilen arasındaki dönüşüm için bir formül türetmemizi sağlar : $z_{\infty }$ $\gamma _{1},\gamma _{2}$

z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}}

k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {ac\gamma _{1}}{ac\gamma _{2}}},

hangi aşağı azaltır

k={\frac {(a+d)+{\sqrt {\sol(reklam\sağ)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {\sol(reklam) \sağ)^{2}+4bc}}}}.

Son ifade , matrisin (karşılıklı olarak karşılıklı) özdeğer oranlarından biriyle çakışıyor ${\textstyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$

{\mathfrak {H}}={\başlangıç{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

dönüşümü temsil eden (bir dönüşümün karakteristik sabiti hakkında önceki bölümdeki tartışmayı karşılaştırın). Bu karakteristik polinom eşittir

\det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} {\mathfrak {H}}\,\lambda +\det {\ matfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)

kökleri olan

\lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {\left(rek\sağ)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac { (a+d)\pm {\sqrt {\left(a+d\right)^{2}-4(ad-bc)}}}}{2}}=c\gamma _{i}+d\, .

Basit Möbius dönüşümleri ve kompozisyon

Bir Möbius dönüşümü, basit dönüşümler dizisi olarak oluşturulabilir .

Aşağıdaki basit dönüşümler de Möbius dönüşümleridir:

$f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ bir çeviridir .
$f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ a ( homotety ve rotasyon ) birleşimidir . Eğer bu bir rotasyon olduğunu, sonra eğer o zaman bir ispatlarda olduğunu. ${\görüntüleme stili |a|=1}$ $a\in \mathbb {R}$
$f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ ( gerçek eksene göre ters çevirme ve yansıma )

Basit dönüşümlerin bileşimi

Eğer , izin verin: ${\ Displaystyle c\neq 0}$

$f_{1}(z)=z+d/c\quad$ ( Çevirisi tarafından d / c )
$f_{2}(z)=1/z\quad$ ( gerçek eksene göre ters çevirme ve yansıma )
$f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad$ ( homotety ve rotasyon )
$f_{4}(z)=z+a/c\quad$ ( a / c ile çeviri )

Daha sonra bu fonksiyonlar oluşturulabilir ,

f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}(z)=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.

Yani,

{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},

ile birlikte

e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.

Bu ayrıştırma, Möbius dönüşümünün birçok özelliğini açık hale getirir.

Temel özellikler

Bir Möbius dönüşümü, bir dizi daha basit dönüşüme eşdeğerdir. Kompozisyon, Möbius dönüşümünün birçok özelliğini açık hale getirir.

Ters dönüşüm için formül

Ters Möbius dönüşümünün varlığı ve açık formülü, daha basit dönüşümlerin ters fonksiyonlarının bileşimi ile kolayca elde edilir. İşlevler tanımlayan bir O g ₁ , g ₂ , g ₃ , g ₄ gibi her birinin g _i tersidir f _i . Daha sonra kompozisyon

g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz +a}}

tersi için bir formül verir.

Açıların ve genelleştirilmiş çemberlerin korunması

Bu ayrıştırmadan, Möbius dönüşümlerinin daire tersinin önemsiz olmayan tüm özelliklerini taşıdığını görüyoruz . Örneğin, açıların korunması, diğer dönüşüm türleri, açıları önemsiz bir şekilde koruyan genişleme ve izometriler (çevirme, yansıma, döndürme) olduğundan, daire ters çevrilmesinin açıları koruduğunu kanıtlamaya indirgenir .

Ayrıca, Möbiüs dönüşümler edilen haritanın çevreleri genel daire ters bu özelliğine sahip olduğundan genel çevrelere. Genelleştirilmiş bir daire ya bir daire ya da bir çizgidir, ikincisi sonsuzdaki noktadan geçen bir daire olarak kabul edilir. Bir Möbius dönüşümünün mutlaka daireleri dairelere ve çizgileri çizgilere eşlemediğini unutmayın: ikisini karıştırabilir. Bir daireyi başka bir daireyle eşlese bile, ilk dairenin merkezini ikinci dairenin merkezine eşlemesi gerekmez.

Çapraz oranlı koruma

Çapraz oranlar , Möbius dönüşümleri altında değişmezdir. Diğer bir deyişle, bir Möbius dönüşümü dört farklı noktayı sırasıyla dört farklı noktaya eşlerse, o zaman $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$

{\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{ 4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1} -w_{4})}}.

Noktalardan biri sonsuzdaki nokta ise, çapraz oran uygun limit alınarak tanımlanmalıdır; örneğin çapraz oranı IS $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$

{\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.

Dört farklı noktanın çapraz oranı, ancak ve ancak içlerinden geçen bir çizgi veya daire varsa gerçektir. Bu, Möbius dönüşümlerinin genelleştirilmiş daireleri koruduğunu göstermenin başka bir yoludur.

Birleşme

İki puan z ₁ ve Z ₂ olan konjügatı genelleştirilmiş bir daireye göre Cı eğer, genel bir daire verilen D içinden geçen z ₁ ve z ₂ ve kesme C iki noktadan bir ve b , ( z ₁ , z ₂ ; a , b ) olan harmonik çapraz oranı (yani, çapraz oranı 1). Bu özellik, D çemberinin seçimine bağlı değildir . Bu özellik bazen bir çizgiye veya daireye göre simetrik olarak da adlandırılır .

İki z , z ^∗ noktası , eğer doğruya göre simetrikse , bir doğruya göre eşleniktir . Bu daireye göre ters çevirme ile yer değiştirirlerse, iki nokta bir daireye göre eşleniktir .

Nokta z ^* konjuge z L tabanlı vektör ile tespit hattı E ^iθ noktasında z ₀ açık olarak verilebilir

z^{*}=e^{2i\theta }{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.

Nokta z ^* konjuge z Cı yarıçapı çemberi r merkezli z ₀ açık olarak verilebilir

z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}

Möbius dönüşümleri genelleştirilmiş çemberleri ve çapraz oranları koruduğu için, aynı zamanda konjugasyonu da korurlar.

Projektif matris temsilleri

Doğal aksiyon PGL (2, Cı üzerine) kompleksi yansıtmalı hattı CP ¹ tam yansıtmalı hattı Riemann küre, Möbius grubunun doğal eylem CP ¹ aşağıdaki gibi ve Riemann küre tanımlanır:

[z_{1}:z_{2}]\ \thicksim [z_{1}/z_{2},\ 1].

Bu, [ z ₁ : z ₂ ] olarak homojen koordinatlar üzerinde CP ¹ ; [1:0] noktası, Riemann küresinin ∞ noktasına karşılık gelir. Homojen koordinatlar kullanılarak, Möbius dönüşümlerini içeren birçok somut hesaplama basitleştirilebilir, çünkü ∞ ile ilgili hiçbir durum ayrımı gerekli değildir.

Her tersinir kompleks 2×2 matrisi ile

{\mathfrak {H}}={\başlangıç{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}

Möbius dönüşümünü ilişkilendirebiliriz

[z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+ b}{cz+d}},\ 1\sağ]\ =\ f(z).

Durum reklam - bc ≠ 0 şartıyla eşdeğerdir belirleyici yukarıda matris matris ters çevrilebilir, yani, sıfır olmamalıdır.

İki matrisin çarpımının , karşılık gelen iki Möbius dönüşümünün bileşimi ile ilişkilendirileceğini kontrol etmek kolaydır . Başka bir deyişle, harita

\pi \colon \operatöradı {GL} (2,\mathbb {C})\to \operatöradı {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})

den genel lineer grubunun GL (2, Cı- matrisini gönderir Möbiüs grubuna) transformasyon için f , a, grup homomorfizması .

{\mathfrak {H}}

Karmaşık bir skaler λ ile çarpılarak elde edilen herhangi bir matrisin aynı dönüşümü belirlediğine dikkat edin, bu nedenle bir Möbius dönüşümü matrisini yalnızca skaler katlara

kadar belirler . Başka bir deyişle:

π'nin

çekirdeği , I kimlik matrisinin tüm skaler katlarından oluşur ve grup teorisinin ilk izomorfizm teoremi , GL(2, C ) / (( C \ {0}) I ) bölüm grubunun Möbius grubuna göre izomorfiktir. Bu bölüm grubu projektif lineer grup olarak bilinir ve genellikle PGL(2, C ) ile gösterilir.

{\mathfrak {H}}

\operatöradı {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})\cong \operatöradı {PGL} (2,\mathbb {C} ).

PGL(2, K )'nin kesirli doğrusal dönüşümler grubu ve yansıtmalı çizginin yansıtmalı doğrusal otomorfizmleri grubu ile aynı özdeşliği, herhangi bir K alanı üzerinde geçerlidir; karmaşık sayılar en büyük geometrik ilgiye sahiptir.

Eğer biri determinantın matrisleriyle sınırlandırılırsa ,

π

haritası özel lineer grup SL(2, C )'den Möbius grubuna bir surjective harita ile sınırlandırılır ; kısıtlı ortamda çekirdek artı ve eksi özdeşlikten oluşur ve PSL(2, C ) ile gösterilen SL(2, C ) / {± I } bölüm grubu da bu nedenle Möbius grubuna eşbiçimlidir:

{\mathfrak {H}}

\operatöradı {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})\cong \operatöradı {PSL} (2,\mathbb {C} ).

Bundan Möbius grubunun 3 boyutlu karmaşık bir Lie grubu (veya 6 boyutlu bir gerçek Lie grubu) olduğunu görüyoruz. Bu bir olan yarıbasit olmayan kompakt Lie grubu.

Herhangi bir Möbius dönüşümünü temsil etmek için kullanılabilecek, birim determinantı olan tam olarak iki matris olduğuna dikkat edin. Yani, SL(2, C ), PSL(2,

C )' nin çift kapağıdır . SL(2, C ) basit bağlantılı olduğundan , Möbius grubunun evrensel kapağıdır . Bu nedenle, Möbius grubunun temel grubu Z _2'dir .

Üç nokta ile bir dönüşüm belirtme

Riemann küresi üzerinde üç farklı nokta z ₁ , z ₂ , z ₃ ve w ₁ , w ₂ , w ₃ farklı noktalardan oluşan ikinci bir set verildiğinde ,

f ( z _i ) ile tam olarak bir Möbius dönüşümü f ( z ) vardır. ) = w _i için i 1,2,3 =. (Başka bir deyişle: Möbius grubunun Riemann küresi üzerindeki eylemi keskin bir şekilde 3-geçişlidir .) Verilen nokta kümelerinden f ( z )' yi belirlemenin birkaç yolu vardır .

Önce 0, 1, ∞ ile eşleme

Möbius dönüşümünü kontrol etmek kolaydır.

f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}- z_{1})}}

matris ile

{\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_ {2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}

z ₁ , z ₂ , z _3'ü sırasıyla 0, 1, ∞ ile eşler . Eğer z _i'den biri ∞ ise, o zaman için uygun formül , önce tüm girişleri z _i'ye bölerek ve sonra z _ben → ∞ limiti alarak yukarıdaki formülden elde edilir .

{\mathfrak {H}}_{1}

Eğer Benzer eşlemek için tanımlandığı

ağırlık _{, 1} , ağırlık ₂ , ağırlık ₃ , 0 1, ∞, daha sonra matris haritalar z _1,2,3 için ağırlık _1,2,3 olur

{\mathfrak {H}}_{2}

{\mathfrak {H}}

{\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}.

{0, 1, ∞} stabilizatörü (sırasız bir küme olarak) anharmonik grup olarak bilinen bir alt

gruptur .

Açık belirleyici formül

denklem

w={\frac {az+b}{cz+d}}

standart bir hiperbol denklemine eşdeğerdir

cwz-az+dw-b=0

( z , w )-düzleminde. Bir üçlüyü başka bir üçlüye eşleyen bir Möbius dönüşümü oluşturma problemi , bu nedenle noktalardan geçen hiperbolün a , b , c , d katsayılarını bulmaya eşdeğerdir . Belirleyiciyi değerlendirerek açık bir denklem bulunabilir.

{\görüntüleme stili {\mathfrak {H}}(z)}

(z_{1},z_{2},z_{3})

(w_{1},w_{2},w_{3})

{\ Displaystyle (z_{i},w_{i})}

\det {\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1 \\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}\,

ilk sıra boyunca bir Laplace genişlemesi vasıtasıyla . Bu determinant formülleri ile sonuçlanır

a=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3 }&w_{3}&1\end{pmatrix}}

b=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_ {3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}

c=\det {\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}

d=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3 }&z_{3}&1\end{pmatrix}}

temsil eden matrisin a,b,c,d katsayıları için . Oluşturulan matris , z _i yanıt verirse kaybolmayan determinantına eşittir . w _i ikili olarak farklıdır, bu nedenle Möbius dönüşümü iyi tanımlanmıştır. Eğer z _i veya w _i noktalarından biri ∞ ise, o zaman önce dört determinantın hepsini bu değişkene böleriz ve sonra değişken ∞'ye yaklaştıkça limiti alırız.

{\mathfrak {H}}={\başlangıç{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

{\mathfrak {H}}

(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{ 1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})

Möbius grubunun alt grupları

Bir Möbius dönüşümünün a , b , c , d katsayılarının ad − bc = 1 olan gerçek sayılar olmasını istersek, Möbius grubunun PSL(2, R ) olarak gösterilen bir alt grubunu elde ederiz . Bu harita, bu Möbiüs dönüşümlerinin grubudur üst yarı düzlem H = x + i y : y > 0 kendisine ve tüm grubundan eşit biholomorphic (ya da eşit şekilde: örten , konformal ve yönlendirme koruyucu) haritalar H → H . Uygun ise mt sokulur, üst yarı düzlem bir model haline hiperbolik düzlemde H ² , Poincare yarı düzlem modeli ve PSL (2, R ) her yönlendirme koruyucu izometrileri grubudur H ² bu modeli.

Açık diski eşleyen tüm Möbius dönüşümlerinin alt grubu D = z : | z | < 1 kendisine formun tüm dönüşümlerinden oluşur

f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}

ile ∈ R , b ∈ C ve | b | < 1. Bu, tüm biholomorfik (veya eşdeğeri: çift anlamlı, açı koruyucu ve yön koruyucu) haritaların grubuna eşittir D → D . Uygun bir ölçüm katılmasıyla, hiperbolik düzlem, diğer bir modeli açık bir disk döner Poincare disk modeli ve bu grubun tüm yönlendirme koruyucu izometrileri grubudur H ² , bu modelde.

{\görüntüleme stili\phi }

Yukarıdaki alt her ikisinin izometri gruplar olarak görev yana H ² , bu izomorfik. Dönüşüm ile konjugasyon yoluyla somut bir izomorfizm verilir

f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}

bu, açık birim diski üst yarı düzleme ikili olarak eşler.

Alternatif olarak, r yarıçaplı ve r i merkezli bir açık disk düşünün . Bu diskteki Poincare disk modeli, r ∞'ye yaklaştıkça üst yarı düzlem modeliyle aynı hale gelir .

Möbius grubunun bir maksimal kompakt alt grubu (

Tóth 2002 ) ile verilir.

{\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}

{\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\mapsto {\frac {uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u}}}}:| u|^{2}+|v|^{2}=1\sağ\},

ve izomorfizm altında, üç boyutlu rotasyonların özel ortogonal grubu SO(3) ile izomorf olan projektif özel üniter grup PSU(2, C )'ye karşılık gelir ve Riemann küresinin rotasyonları olarak yorumlanabilir. Her sonlu alt grup bu maksimal kompakt gruba konjugedir ve bu nedenle bunlar tam olarak çokyüzlü gruplara, üç boyutlu nokta gruplarına karşılık gelir .

{\mathcal {M}}\cong \operatöradı {PSL} (2,\mathbb {C} )

Möbius dönüşümlerinin

ikosahedral grupları Felix Klein tarafından beşinci denkleme analitik bir çözüm vermek için kullanıldı ( Klein 1888 ); modern bir açıklama verilmiştir ( Tóth 2002 ).

Katsayıları gerektiriyorsa bir , b , c , d bir Möbiüs dönüşüm için tam sayıları ile reklam - bc = 1, elde ederiz modüler grubu PSL (2, Z ), PSL ayrı bir alt grubunu (2, R ) önemli olarak karmaşık düzlemde kafeslerin incelenmesi , eliptik fonksiyonlar ve eliptik eğriler . PSL(2, R )' nin ayrık alt grupları , Fuşya grupları olarak bilinir ; Riemann yüzeylerinin çalışmasında önemlidirler .

sınıflandırma

Hiperbolik bir dönüşüm gösterilmiştir. Birim çemberin ön görüntüleri, mesafe oranı c / a ve odakları - b / a ve - d / c olan Apollonius'un daireleridir .

Aynı odaklar − b / a ve − d / c için kırmızı daireler orijinden geçen ışınlara eşlenir.

Aşağıdaki tartışmada her zaman temsil eden matrisin şu şekilde normalize edildiğini varsayacağız . ${\mathfrak {H}}$ $\det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1$

Özdeş olmayan Möbius dönüşümleri genel olarak parabolik , eliptik , hiperbolik ve loksodromik olmak üzere dört tipte sınıflandırılır ve hiperbolik olanlar loksodromik olanların bir alt sınıfıdır. Sınıflandırmanın hem cebirsel hem de geometrik önemi vardır. Geometrik olarak, farklı türler, aşağıdaki şekillerde gösterildiği gibi, karmaşık düzlemin farklı dönüşümleriyle sonuçlanır.

Bu dört tip, ize bakılarak ayırt edilebilir . İznin konjugasyon altında değişmez olduğuna dikkat edin , yani, $\operatöradı {tr} {\mathfrak {H}}=a+d$

\operatöradı {tr} \,{\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatöradı {tr} \,{\mathfrak {H}},

ve böylece bir eşlenik sınıfının her üyesi aynı ize sahip olacaktır. Her Möbius dönüşümü, temsil eden matrisi determinantı olacak şekilde yazılabilir (girişleri uygun bir skalerle çarparak). İki Möbius dönüşümü (her ikisi de özdeşlik dönüşümüne eşit değil) ile konjuge olur ancak ve ancak

{\mathfrak {H}}

{\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'

\det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1

\operatöradı {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatöradı {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}'.

parabolik dönüşümler

Bir matris ile tanımlanan bir kimlik Möbiüs dönüşümü belirleyici birinin olduğu söylenir parabolik halinde ${\mathfrak {H}}$

\operatöradı {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4

(yani iz artı veya eksi 2'dir; yalnızca işarete kadar belirlendiğinden, belirli bir dönüşüm için her ikisi de olabilir ). Aslında seçimlerden biri , özdeşlik matrisi ile aynı karakteristik X ² −2 X +1 polinomuna sahiptir ve bu nedenle unipotenttir . Bir Möbius dönüşümü, ancak ve ancak genişletilmiş karmaşık düzlemde tam olarak bir sabit noktaya sahipse paraboliktir; bu, ancak ve ancak bir matris eşleniği tarafından tanımlanabiliyorsa gerçekleşir .

{\mathfrak {H}}

{\mathfrak {H}}

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}

{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

hangi karmaşık düzlemde bir çeviriyi açıklar.

Belirli bir sabit nokta ile tüm parabolik Möbius dönüşümlerinin kümesi , özdeşlikle birlikte , matrisler grubuna eşbiçimli bir alt grup oluşturur. ${\ Displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \sağ\};

Bu örneğidir unipotent radikali a Borel alt grubu (Möbiüs grubunun veya SL (2, bir Cı- ; kavramı herhangi için tanımlandığı matris grubu için) indirgeyici Lie grubu ).

karakteristik sabit

Tüm parabolik olmayan dönüşümlerin iki sabit noktası vardır ve bir matris eşleniği ile tanımlanır.

{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}

karmaşık sayı ile X değil karmaşık sayı ile çarpılması yoluyla genleşme / dönüşe karşılık gelen, 0, 1 ya da -1 eşit k = λ ² olarak adlandırılan, karakteristik sabit veya çarpan dönüşüm.

eliptik dönüşümler

Smith şeması tarafından kullanılan, elektrik mühendisleri analiz için iletim hatları , eliptik Möbiüs dönüşümü görsel bir tasviridir y = (Z-1) / (Z + 1). Smith grafiğindeki her nokta, |Γ |<1 için aynı anda hem z (sol alt) değerini hem de karşılık gelen Γ (sağ alt) değerini temsil eder .

Dönüşüm olduğu söylenir eliptik bir matris ile temsil edilebilir, eğer olan izidir gerçek ile ${\mathfrak {H}}$

0\leq \operatöradı {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.

Bir dönüşüm, ancak ve ancak | λ | = 1 ve λ ≠ ±1. Yazma , eliptik bir dönüşüm eşleniğidir $\lambda =e^{i\alpha }$

{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}

ile α gerçek.

Söz konusu Not bir karakteristik sabiti ile k , karakteristik sabit olan k ^{, n} . Bu nedenle, sonlu düzenin tüm Möbius dönüşümleri eliptik dönüşümlerdir, yani tam olarak λ'nın birliğin kökü olduğu veya eşdeğer olarak, α'nın $π'nin$ rasyonel bir katı olduğu dönüşümlerdir . α = $π$ / 2 kesirli çoklu ortalamanın en basit olasılığı , aynı zamanda 'nin benzersiz durumudur , aynı zamanda bir olarak ifade edilir. ${\mathfrak {H}}$ ${\mathfrak {H}}^{n}$ $\operatöradı {tr} {\mathfrak {H}}=0$ dairesel dönüşüm ; bu geometrik olarak iki sabit nokta etrafında 180° dönüşe karşılık gelir. Bu sınıf matris formunda şu şekilde temsil edilir:

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.

Bu 3 noktanın simetri grubundaki üç transpozisyon olan {0, 1, ∞} sabitleyen 3 temsilci vardır: 1'i sabitleyen ve 0'ı ∞ ile değiştiren (1 ve -1 noktaları etrafında 180° döndürme), , ∞'yi sabitleyen ve 0'ı 1 ile değiştiren (1/2 ve ∞ noktaları etrafında 180° dönüş ) ve 0'ı sabitleyen ve 1'i ∞ ile değiştiren (0 ve 2 noktaları etrafında 180° dönüş).

{\görüntüleme stili 1/z,}

{\ Displaystyle 1-z}

{\görüntüleme stili z/(z-1)}

hiperbolik dönüşümler

Transform is olduğu söylenen hiperbolik bir matris ile temsil edilebilir, eğer olan izidir

gerçek ile

{\mathfrak {H}}

\operatöradı {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.

Bir dönüşüm ancak ve ancak λ gerçek ve λ ≠ ±1 ise hiperboliktir .

loksodromik dönüşümler

[0,4]'te değilse dönüşümün loxodromic olduğu söylenir . Bir dönüşüm loxodromic ancak ve ancak . $\operatöradı {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}$ $|\lambda |\neq 1$

Tarihsel olarak, navigasyon ile kerte hattı veya kerte hattının sabit bir yol anlamına gelir yatak ; sonuçta ortaya çıkan yol, bir loxodromic Möbius dönüşümünün yaptığı karmaşık düzlemin dönüşümlerine benzer şekilde logaritmik bir spiraldir . Aşağıdaki geometrik şekillere bakın.

Genel sınıflandırma

dönüşüm	iz kare	çarpanlar	Sınıf temsilcisi
dairesel	σ = 0	k = -1	${\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}$	z ↦ − z
Eliptik	0 ≤ σ < 4	\| k \| = 1 $k=e^{\pm i\theta }\neq 1$	${\begin{pmatrix}e^{i\theta/2}&0\\0&e^{-i\theta/2}\end{pmatrix}}$	z ↦ e ^{ben θ} z
Parabolik	σ = 4	k = 1	${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$	z ↦ z + bir
hiperbolik	4 < σ < ∞	$k\in \mathbb {R} ^{+}$ $k=e^{\pm \theta}\neq 1$	${\begin{pmatrix}e^{\teta/2}&0\\0&e^{-\theta/2}\end{pmatrix}}$	z ↦ e ^θ z
loksodromik	σ ∈ C \ [0,4]	$\|k\|\neq 1$ $k=\lambda ^{2},\lambda ^{-2}$	${\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}$	z ↦ kz

Gerçek durum ve terminoloji üzerine bir not

Gerçek sayılar üzerinde (katsayıların gerçek olması gerekiyorsa), hiperbolik olmayan loksodromik dönüşümler yoktur ve sınıflandırma, gerçek koniklerde olduğu gibi eliptik, parabolik ve hiperbolik olarak yapılır . Terminoloji, izin mutlak değerinin, |tr|/2'nin yarısının, dönüşümün eksantrikliği olarak kabul edilmesinden kaynaklanmaktadır - 2'ye bölme, boyut için düzeltir, dolayısıyla kimliğin eksantrikliği 1'e sahiptir (tr/ n bazen bir bu nedenle iz için alternatif) ve mutlak değer, PSL'de çalışma nedeniyle yalnızca ±1 faktörüne kadar tanımlanan iz için düzeltir. Alternatif olarak, yukarıda yapıldığı gibi , iz karesinin yarısı , eksantriklik karesi için bir vekil olarak kullanılabilir; bu sınıflandırmalar (ancak tam eksantriklik değerleri değil, çünkü kare alma ve mutlak değerler farklıdır) gerçek izler için uygundur, ancak karmaşık izler için değil. Aynı terminoloji SL(2, R ) (2 katlı kapak) elemanlarının sınıflandırılması için kullanılır ve

benzer sınıflandırmalar başka yerlerde kullanılır. Loxodromic dönüşümler esasen karmaşık bir fenomendir ve karmaşık eksantrikliklere karşılık gelir.

Karakteristik sabitin geometrik yorumu

Aşağıdaki resim (küreden düzleme stereografik dönüşümden sonra) parabolik olmayan durumda bir Möbius dönüşümünün iki sabit noktasını göstermektedir:

Karakteristik sabit, logaritması cinsinden ifade edilebilir :

e^{\rho +\alpha i}=k.

Bu şekilde ifade edildiğinde, gerçek sayı ρ bir genişleme faktörü olur. Sabit nokta γ _1'in ne kadar itici ve γ ₂ ne kadar çekici olduğunu gösterir. Gerçek sayı α , dönüşümün düzlemi saat yönünün tersine γ ₁ ve saat yönünde γ ₂ etrafında ne ölçüde döndürdüğünü gösteren bir döndürme faktörüdür .